Exercices corrigés de Seconde : mesure et incertitudes

On range chaque durée dans sa classe ; une valeur qui tombe sur une borne va dans la classe dont elle est la borne de GAUCHE : $0{,}48$ va dans $[0{,}48\,;0{,}52[$, pas dans la précédente.

$[0{,}40\,;0{,}44[$ : $2$ ; $[0{,}44\,;0{,}48[$ : $5$ ; $[0{,}48\,;0{,}52[$ : $7$ ; $[0{,}52\,;0{,}56[$ : $4$ ; $[0{,}56\,;0{,}60[$ : $2$.

Contrôle : $2+5+7+4+2=20$, toutes les mesures sont rangées.

L'histogramme porte les classes en abscisse et l'effectif en ordonnée ; ses rectangles sont accolés, tous de même largeur (figure).

La moyenne est au centre de l'histogramme, dans la classe la plus haute : c'est le contrôle en un coup d'œil.

En mode statistique, on saisit les vingt valeurs et on lit $Sx$ : $s\approx 0{,}045\ \mathrm{s}$ ($0{,}04462$ à l'écran).

Piège : lire $\sigma x\approx 0{,}043\ \mathrm{s}$. C'est l'écart-type du cours de mathématiques, calculé en divisant par $n=20$ ; en physique on divise par $n-1=19$, et c'est $Sx$ qu'on lit.

Concrètement, $s$ mesure l'écart typique d'une durée à la moyenne : la largeur de l'histogramme. Ici, une durée mesurée s'écarte typiquement de $0{,}045\ \mathrm{s}$ de $0{,}497\ \mathrm{s}$, à cause du temps de réaction de chaque élève, au départ comme à l'arrivée.

$\bar{t}-s=0{,}497-0{,}045=0{,}452\ \mathrm{s}$ et $\bar{t}+s=0{,}497+0{,}045=0{,}542\ \mathrm{s}$.

Les durées de $0{,}46$ à $0{,}54$ y tombent : $14$ valeurs sur $20$, soit $70\ \%$.

C'est l'ordre de grandeur habituel : environ deux mesures sur trois tombent à moins d'un écart-type de la moyenne. Les autres ne sont pas « fausses », la dispersion est la nature même d'une série de mesures.

Par une approche statistique, l'incertitude-type d'UNE mesure faite avec ce protocole est l'écart-type de la série : $u(t)=s\approx 0{,}045\ \mathrm{s}$.

Le vingt et unième résultat a donc de bonnes chances, environ deux sur trois, de tomber entre $0{,}452$ et $0{,}542\ \mathrm{s}$.

C'est le sens d'une incertitude-type : elle ne dit pas l'erreur commise, inconnue, elle dit la LARGEUR des valeurs qu'on peut raisonnablement attribuer à la grandeur avec ce protocole.

Pipette : $\bar{m}_{P}=\dfrac{79{,}88}{8}=9{,}985\ \mathrm{g}$.

Éprouvette : $\bar{m}_{E}=\dfrac{79{,}92}{8}=9{,}990\ \mathrm{g}$.

Calculatrice ou tableur, écart-type expérimental $s$ (dénominateur $n-1=7$) :

pipette : $s_{P}\approx 0{,}016\ \mathrm{g}$ ;

éprouvette : $s_{E}\approx 0{,}18\ \mathrm{g}$.

L'écart-type de l'éprouvette est environ onze fois plus grand.

Les masses de la pipette restent toutes entre $9{,}96$ et $10{,}01\ \mathrm{g}$ ; celles de l'éprouvette s'étalent de $9{,}70$ à $10{,}24\ \mathrm{g}$. Sur la figure du corrigé, l'histogramme de l'éprouvette est beaucoup plus large : c'est elle qui disperse le plus.

Les deux moyennes, $9{,}985$ et $9{,}990\ \mathrm{g}$, ne diffèrent que de $0{,}005\ \mathrm{g}$, très peu devant les écarts-types : les deux instruments délivrent EN MOYENNE la même chose, environ $10\ \mathrm{mL}$.

La différence est dans la dispersion : on remplit l'éprouvette « à l'œil » sur une graduation large, et des gouttes restent sur sa paroi ; la pipette est calibrée pour délivrer son volume, avec un trait de jauge fin sur un col étroit.

Une masse de $1\ \mathrm{g}$ correspond à $1\ \mathrm{mL}$ : les écarts-types se lisent directement en millilitres.

Pipette jaugée : $u(V)\approx 0{,}016\ \mathrm{mL}$ pour un prélèvement.

Éprouvette graduée : $u(V)\approx 0{,}18\ \mathrm{mL}$ pour un prélèvement.

C'est l'INSTRUMENT qui fixe l'incertitude-type : avec le même opérateur et la même eau, l'éprouvette est environ onze fois moins fiable.

La pipette jaugée : un prélèvement s'écarte typiquement de $0{,}016\ \mathrm{mL}$ du volume visé, contre $0{,}18\ \mathrm{mL}$ avec l'éprouvette.

Les moyennes ne pouvaient pas trancher : un instrument est jugé sur CHAQUE prélèvement, et pas sur la moyenne de huit. Quand on prépare une solution, on ne fait qu'un prélèvement : c'est sa dispersion qui compte.

Piège : conclure « les deux instruments se valent » parce que les moyennes sont égales. Deux instruments de même moyenne peuvent avoir des incertitudes très différentes.

Deux chiffres significatifs : $u=0{,}0032\ \mathrm{g}$, dernier chiffre au dix-millième.

La valeur s'arrondit au dix-millième : $0{,}152736$ devient $0{,}1527$.

On arrondit l'incertitude D'ABORD : c'est elle qui fixe le rang du dernier chiffre de la valeur, jamais l'inverse.

$u(\bar{R})=\dfrac{5{,}0936}{\sqrt{16}}=\dfrac{5{,}0936}{4}=1{,}2734\ \Omega$, soit $u=1{,}3\ \Omega$ : dernier chiffre au dixième.

Remarque : ici $s=5{,}1\ \Omega$ décrit surtout les différences entre les résistors du lot, fabriqués avec une tolérance ; la moyenne, elle, est connue à $1{,}3\ \Omega$ près.

$u(\bar{h})=\dfrac{10{,}247}{\sqrt{9}}=\dfrac{10{,}247}{3}=3{,}4157\ \mathrm{cm}$, soit $u=3{,}4\ \mathrm{cm}$.

Une incertitude de plusieurs centimètres interdit d'écrire les centièmes : écrire $42{,}67$ annoncerait une précision de $0{,}01\ \mathrm{cm}$ que la série n'a pas.

Deux défauts. L'incertitude a cinq chiffres significatifs alors qu'elle n'est qu'une estimation : deux suffisent.

Et la valeur est donnée au dix-millième d'ohm alors qu'elle n'est connue qu'à environ $1\ \Omega$ près : les chiffres $4615$ après la virgule ne veulent rien dire.

Écriture correcte : $R=(218{,}5\pm 1{,}3)\ \Omega$. Contrôle d'un coup d'œil : le dernier chiffre de la valeur et celui de l'incertitude sont dans la même colonne.

$0{,}0032$ : deux chiffres significatifs, les zéros de tête ne comptent pas.

$218{,}5$ : quatre chiffres significatifs.

$42{,}7$ : trois chiffres significatifs.

Le nombre de chiffres significatifs de la valeur n'est pas choisi à l'avance : il découle de l'incertitude.

NB.SI.ENS compte les cellules de A2:A41 qui vérifient TOUTES les conditions : masse supérieure ou égale à $8{,}48$ et strictement inférieure à $8{,}52$.

Elle donne donc l'effectif de la classe $[8{,}48\,;8{,}52[$ : la cellule affiche $15$.

La borne de gauche est incluse (« >= »), celle de droite exclue (« < ») : une pièce de $8{,}52\ \mathrm{g}$ est comptée dans la classe suivante, jamais deux fois.

Les $40$ pièces sont réparties dans les cinq classes : $40-(2+7+15+11)=5$.

E6 affiche $5$, avec la formule =NB.SI.ENS(A2:A41;">=8,56";A2:A41;"<8,60").

Contrôle utile au tableur : une cellule =SOMME(E2:E6) doit afficher $40$.

L'écart-type expérimental de la physique est celui de ECARTYPE.STANDARD, qui divise par $n-1=39$ : $s=0{,}0414327$, soit $s\approx 0{,}041\ \mathrm{g}$.

ECARTYPE.PEARSON divise par $n=40$ : c'est l'écart-type $\sigma$ du cours de mathématiques, un peu plus petit ($0{,}0409115$).

Avec $40$ valeurs, la différence est minime ; avec $5$ valeurs, elle dépasserait $10\ \%$. On annonce donc toujours lequel on utilise.

Cinq classes, toutes de largeur $0{,}04\ \mathrm{g}$, de $8{,}40$ à $8{,}60\ \mathrm{g}$.

La plus haute est $[8{,}48\,;8{,}52[$, avec $15$ pièces : elle contient la masse officielle et la moyenne $8{,}5075\ \mathrm{g}$.

Des classes de même largeur sont indispensables : la hauteur d'un rectangle ne se compare à celle d'un autre que si les deux couvrent le même intervalle.

$u(\bar{m})=\dfrac{0{,}0414327}{\sqrt{40}}=0{,}00655\ \mathrm{g}$, soit $u=0{,}0066\ \mathrm{g}$ avec deux chiffres significatifs.

Écart à la masse officielle : $8{,}5075-8{,}50=0{,}0075\ \mathrm{g}$, à peine plus d'une incertitude-type.

La valeur officielle tombe tout près de l'intervalle $[8{,}5009\,;8{,}5141]$ : le résultat est compatible avec $8{,}50\ \mathrm{g}$.

Le chronomètre à la main : son histogramme s'étale sur toute la largeur de la figure, alors que celui du capteur tient dans une seule colonne.

Les moyennes, $1{,}260$ et $1{,}262\ \mathrm{s}$, sont très proches : les deux protocoles mesurent la même durée, ils diffèrent par leur dispersion.

À la main : les mesures occupent les $7$ classes, de $[1{,}12\,;1{,}16[$ à $[1{,}36\,;1{,}40[$.

Au capteur : les $24$ mesures tombent dans la seule classe $[1{,}24\,;1{,}28[$.

Évaluer qualitativement une dispersion, c'est exactement cela : comparer la LARGEUR des histogrammes tracés à la même échelle, avant tout calcul.

Pour une mesure isolée, $u(t)=s$ : $0{,}062\ \mathrm{s}$ à la main, $0{,}0024\ \mathrm{s}$ au capteur, environ $26$ fois moins.

À la main, l'élève déclenche et arrête le chronomètre en réagissant à ce qu'il voit : son temps de réaction, de l'ordre du dixième de seconde, varie d'un essai à l'autre, au départ comme à l'arrivée. Le capteur n'a pas de temps de réaction.

Le chronomètre affiche pourtant le centième de seconde : le nombre de chiffres de l'affichage ne dit rien de l'incertitude du PROTOCOLE.

$u(\bar{t})=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}062}{\sqrt{24}}=0{,}0127\ \mathrm{s}$, soit $u\approx 0{,}013\ \mathrm{s}$.

La moyenne de $24$ mesures est environ cinq fois moins incertaine qu'une mesure isolée : répéter améliore la moyenne.

On cherche $n$ tel que $\dfrac{0{,}062}{\sqrt{n}}=0{,}0024$, soit $\sqrt{n}=\dfrac{0{,}062}{0{,}0024}\approx 25{,}8$ et $n\approx 25{,}8^{2}\approx 667{,}4$.

Il faudrait au moins $668$ chronométrages à la main pour égaler UNE mesure au capteur.

Conclusion : répéter réduit l'incertitude sur la moyenne, mais lentement (diviser $u$ par $2$ demande quatre fois plus de mesures). Changer d'instrument ou de protocole est souvent bien plus efficace.

Les deux histogrammes ont la même largeur, environ $1\ ^{\circ}\mathrm{C}$, et les deux écarts-types sont presque égaux : $0{,}262$ et $0{,}256\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Les deux séries sont aussi dispersées l'une que l'autre.

Ce qui les distingue est leur POSITION : l'histogramme de B est décalé de près de $2\ ^{\circ}\mathrm{C}$ vers la droite.

$u(\bar{\theta}_{A})=\dfrac{0{,}262}{\sqrt{20}}=0{,}0586$, soit $0{,}059\ ^{\circ}\mathrm{C}$ ; $\theta_{A}=(99{,}940\pm 0{,}059)\ ^{\circ}\mathrm{C}$.

$u(\bar{\theta}_{B})=\dfrac{0{,}256}{\sqrt{20}}=0{,}0572$, soit $0{,}057\ ^{\circ}\mathrm{C}$ ; $\theta_{B}=(101{,}770\pm 0{,}057)\ ^{\circ}\mathrm{C}$.

Sonde A : $100{,}0-99{,}940=0{,}060\ ^{\circ}\mathrm{C}$, soit environ $\dfrac{0{,}060}{0{,}059}\approx 1$ incertitude-type.

Thermomètre B : $101{,}770-100{,}0=1{,}770\ ^{\circ}\mathrm{C}$, soit environ $\dfrac{1{,}770}{0{,}057}\approx 31$ incertitudes-types.

Sonde A : la référence est à environ une incertitude-type de la moyenne, juste au bord de l'intervalle $[99{,}881\,;99{,}999]$ : le résultat est compatible avec $100{,}0\ ^{\circ}\mathrm{C}$.

Thermomètre B : la référence est à une trentaine d'incertitudes-types, très loin de l'intervalle (figure du corrigé) : le résultat n'est pas compatible.

En Seconde, la comparaison reste qualitative : on regarde si l'écart est de l'ordre de l'incertitude-type ou s'il la dépasse de beaucoup. Le quotient chiffré $\dfrac{|x-x_{\text{réf}}|}{u}$ et son seuil sont au programme de Terminale.

Non. La dispersion ne mesure que les fluctuations d'une mesure à l'autre. Un décalage qui se reproduit à CHAQUE mesure, une erreur systématique, déplace tout l'histogramme sans l'élargir : il est invisible dans la dispersion.

On le découvre seulement en comparant à une valeur de référence, ou à un autre instrument.

Le thermomètre B indique environ $1{,}8\ ^{\circ}\mathrm{C}$ de trop : il faut l'étalonner, par exemple avec l'eau bouillante et la glace fondante, ou retrancher ce décalage à ses lectures.

Piège : écrire « nos mesures sont très regroupées, donc notre résultat est juste ». Regroupées veut dire reproductibles, pas justes.

$\bar{d}=\dfrac{150{,}2}{12}=12{,}517\ \mathrm{cm}$, au millième.

À la calculatrice, $Sx$ : $s=0{,}175$, soit $s\approx 0{,}17\ \mathrm{cm}$ au centième.

$u(\bar{d})=\dfrac{0{,}175}{\sqrt{12}}=0{,}0505$, soit $u=0{,}051\ \mathrm{cm}$.

Écart : $12{,}517-12{,}0=0{,}517\ \mathrm{cm}$, une dizaine d'incertitudes-types ($0{,}517/0{,}051\approx 10$).

La valeur annoncée tombe très loin de l'intervalle $[12{,}466\,;12{,}568]$ (figure du corrigé) : le résultat de la classe n'est pas compatible avec $12{,}0\ \mathrm{cm}$.

Pour une mesure isolée, l'incertitude-type est l'écart-type de la série : $u=s\approx 0{,}17\ \mathrm{cm}$.

Écart du groupe 8 : $12{,}2-12{,}0=0{,}2\ \mathrm{cm}$, à peine plus d'une incertitude-type : sa mesure seule est compatible avec $12{,}0\ \mathrm{cm}$.

Pas de contradiction : une mesure isolée est trop incertaine pour voir un écart d'un demi-centimètre. La moyenne de douze mesures est $\sqrt{12}\approx 3{,}5$ fois moins incertaine ; elle révèle un écart que chaque mesure, seule, cache dans sa dispersion.

Écart : $12{,}517-12{,}5=0{,}017\ \mathrm{cm}$, bien moins d'une incertitude-type : le résultat de la classe est compatible avec $12{,}5\ \mathrm{cm}$.

Les élèves ont donc bien mesuré la distance de l'image ; c'est le PROTOCOLE qui introduisait un décalage systématique de $0{,}5\ \mathrm{cm}$, puisqu'une fenêtre à $3\ \mathrm{m}$ n'est pas « à l'infini » pour cette lentille.

Correction : viser un objet beaucoup plus lointain. À $30\ \mathrm{m}$, l'image se forme à $12{,}05\ \mathrm{cm}$, et le décalage tombe sous l'incertitude.

Le fabricant n'était pas en cause, et la répétition seule ne l'aurait jamais montré.

Faux. L'écart-type $s$ décrit la largeur de la série, qui dépend du protocole : avec plus de mesures il se stabilise, il ne diminue pas (courbe orange).

Ce qui diminue, c'est l'incertitude-type sur la MOYENNE, $u(\bar{x})=\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ (courbe bleue) : quatre fois plus de mesures la divisent par deux.

Énoncé correct : plus on fait de mesures, plus la moyenne est connue précisément ; la dispersion d'une mesure isolée, elle, ne change pas.

Faux. Un écart-type nul dit seulement que l'affichage au gramme est trop grossier pour montrer les fluctuations (exercice 9) : l'incertitude n'est pas nulle, elle est cachée par la résolution de l'appareil.

Et des valeurs identiques ne prouvent pas la justesse : la balance peut afficher $3\ \mathrm{g}$ de trop à chaque pesée.

Évaluer une incertitude à partir des caractéristiques de l'instrument, et non d'une série, est au programme de Première.

Énoncé correct : des mesures identiques signalent un instrument peu résolu, pas une mesure parfaite.

Faux. Une faible dispersion dit que les mesures sont reproductibles ; une erreur systématique décale toutes les mesures du même côté sans élargir l'histogramme (exercice 6, thermomètre B, et exercice 7, fenêtre trop proche).

Énoncé correct : une faible dispersion donne une petite incertitude-type ; seule la comparaison à une référence, ou à un autre instrument, révèle un décalage.

Faux. $u(\bar{t})=\dfrac{0{,}044616}{\sqrt{20}}=0{,}00998$, soit $u=0{,}010\ \mathrm{s}$ avec deux chiffres significatifs ; la valeur s'arrête donc au millième.

Deux erreurs dans la phrase : $s$ n'est pas l'incertitude sur la moyenne, et la calculatrice ne sait pas quels chiffres sont significatifs. Les zéros recopiés annoncent une précision au dix-millionième de seconde.

Faux. Deux valeurs mesurées ne sont jamais rigoureusement égales ; on compare l'écart à l'incertitude-type.

Écart : $0{,}512-0{,}495=0{,}017\ \mathrm{s}$, à peine plus d'une incertitude-type ($0{,}017/0{,}015\approx 1{,}1$) : le résultat est compatible avec la valeur calculée.

Énoncé correct : « l'écart est de l'ordre de l'incertitude-type, le résultat est compatible avec la valeur attendue ».

Dix valeurs identiques : l'écart-type vaut $0\ \mathrm{g}$.

L'incertitude n'est pas nulle pour autant : la balance n'affiche que le gramme, et toutes les fluctuations plus petites qu'un gramme disparaissent dans l'arrondi de l'affichage. La série ne montre aucune dispersion parce que l'instrument est trop peu résolu pour la voir.

L'approche statistique ne s'applique donc pas ici. Évaluer l'incertitude à partir de la résolution de l'affichage, sans série de mesures, est une autre méthode, au programme de Première.

Non. Elle affiche $203-200=3\ \mathrm{g}$ de trop, et toujours dans le même sens.

Un décalage qui se reproduit à chaque mesure est une erreur systématique : un défaut de réglage du zéro ou d'étalonnage.

L'écart vaut trois fois la résolution de l'affichage, à chaque pesée : ce n'est pas une fluctuation, la balance n'est pas compatible avec la masse marquée.

$\bar{m}=\dfrac{2000{,}01}{10}=200{,}001\ \mathrm{g}$.

Écart-type expérimental ($Sx$) : $s\approx 0{,}037\ \mathrm{g}$.

Ici la balance est assez résolue pour montrer la dispersion : des courants d'air, la position de la masse sur le plateau, et l'électronique font varier la lecture de quelques centièmes.

$u(\bar{m})=\dfrac{0{,}037}{\sqrt{10}}=0{,}0117$, soit $u=0{,}012\ \mathrm{g}$.

Écart à la référence : $200{,}001-200{,}000=0{,}001\ \mathrm{g}$, très petit devant l'incertitude-type : le résultat est compatible avec la valeur de référence.

Non. Les cent pesées afficheraient encore $203\ \mathrm{g}$ : aucune dispersion supplémentaire n'apparaîtrait, et surtout le décalage de $3\ \mathrm{g}$ resterait entier.

Répéter ne corrige jamais une erreur systématique, et ne révèle rien qu'un affichage cache.

Ce qu'il faut : changer d'instrument (la balance du laboratoire) ou régler la balance de cuisine avec la masse marquée.