Physique-chimie, Seconde • Fiche de révision à Montréal

Fiche de révision : mesure et incertitudes (Seconde)

Q: Quelle est la différence entre écart-type et incertitude-type en Seconde ?

L'écart-type décrit la largeur d'une série de mesures. L'incertitude-type est ce qu'on attribue au résultat : pour une mesure isolée, elle vaut l'écart-type de la série ; pour la moyenne de n mesures, elle vaut l'écart-type divisé par la racine carrée de n, donc elle est plus petite.

Q: Quel écart-type prendre sur la calculatrice en physique-chimie ?

L'écart-type expérimental, noté Sx, s ou sigma n moins 1 selon les modèles, qui divise par n moins 1. Le sigma x, qui divise par n, est celui du cours de mathématiques. Au tableur, on utilise ECARTYPE.STANDARD et non ECARTYPE.PEARSON. On précise toujours lequel on a pris.

Q: Combien de chiffres significatifs garder pour un résultat de mesure ?

On arrondit d'abord l'incertitude-type à deux chiffres significatifs, parfois un seul selon le professeur, jamais trois. On arrondit ensuite la valeur au même rang que le dernier chiffre de l'incertitude. Les chiffres de la calculatrice au-delà de ce rang ne veulent rien dire.

Q: Comment savoir si une mesure est compatible avec la valeur de référence ?

On calcule l'écart entre le résultat et la référence, puis on le compare à l'incertitude-type. Un écart de l'ordre de l'incertitude ou plus petit : compatible. Un écart de nombreuses fois l'incertitude : non compatible, et il faut chercher une erreur systématique. Le critère chiffré arrive en Terminale.

Cette fiche couvre la partie « mesure et incertitudes » du programme de physique-chimie de Seconde : variabilité de la mesure, histogramme, moyenne et écart-type d'une série de mesures indépendantes, incertitude-type évaluée par une approche statistique, écriture d'un résultat avec un nombre adapté de chiffres significatifs, comparaison qualitative à une valeur de référence. Elle ne refait pas le cours : elle dit ce qui coûte des points au contrôle et dans un compte rendu de travaux pratiques, et le geste qui évite chaque perte.

Presque toutes ces pertes ont la même origine : traiter une mesure comme un nombre exact. Les neuf pièges, les deux arbres et l'exercice type reviennent à la même règle : on calcule d'abord l'incertitude-type, et c'est elle qui fixe les chiffres qu'on écrit et la conclusion qu'on tire. Ce qui est de Première ou de Terminale (évaluation de type B, critère chiffré de comparaison) est signalé là où il se présente.

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Le fil du chapitre

Une mesure n'est pas un nombre mais une dispersion : l'incertitude-type dit la largeur des valeurs qu'on peut raisonnablement attribuer à la grandeur, et c'est elle, pas la calculatrice, qui décide combien de chiffres on écrit et si l'on est d'accord avec la référence.

Ce chapitre fait partie de Physique-chimie en Seconde

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les statistiques descriptivesMathématiques Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Statistiques et probabilitésCinquième, Mathématiques
2Statistiques et probabilitésQuatrième, Mathématiques
3Moyenne, médiane, quartiles et étendueTroisième, Mathématiques
4Les statistiques descriptivesMathématiques

Notions couvertes

Variabilité de la mesure
Série de mesures indépendantes
Histogramme
Moyenne d'une série de mesures
Écart-type expérimental
Incertitude-type
Approche statistique de l'incertitude
Chiffres significatifs
Écriture d'un résultat de mesure
Valeur de référence
Erreur systématique

L'essentiel

Une série de mesures : une position et une largeur

• Mesurer plusieurs fois la même grandeur, avec le même protocole, donne des valeurs différentes : c'est la variabilité de la mesure, pas une faute.
• La moyenne $\bar{x}$ dit OÙ est la série ; l'écart-type expérimental $s=\sqrt{\dfrac{\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}$ dit sa LARGEUR.
• Calculatrice : $Sx$ (ou $s$ , $\sigma_{n-1}$ selon le modèle). Tableur : ECARTYPE.STANDARD. Jamais $\sigma x$ ni ECARTYPE.PEARSON, qui divisent par $n$ .
• Histogramme : classes de MÊME largeur, borne de gauche incluse, rectangles accolés.

Douze périodes d'un métronome : la moyenne

1{,}004\ \mathrm{s}

au centre, et la bande verte

\bar{T}\pm s

, large de deux fois

0{,}028\ \mathrm{s}

, qui contient huit mesures sur douze.

Pour une dizaine de mesures, environ deux sur trois tombent dans $[\bar{x}-s\,;\bar{x}+s]$ : c'est le sens concret de $s$ .

L'incertitude-type, évaluée par une approche statistique

• Elle estime la largeur des valeurs qu'on peut raisonnablement attribuer à la grandeur.
• Pour UNE mesure faite avec un protocole dont on connaît la série : $u(x)=s$ .
• Pour la MOYENNE de $n$ mesures : $u(\bar{x})=\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ , plus petite ; quatre fois plus de mesures la divisent par deux.
• $s$ dépend de l'instrument et du protocole ; il ne diminue pas quand on ajoute des mesures.

Les mots « type A » et « type B », et l'incertitude tirée de la notice d'un instrument, sont au programme de Première ; en Seconde, l'incertitude-type vient de la série.

Écrire le résultat, puis le comparer

• On arrondit $u$ à DEUX chiffres significatifs (convention de la ressource Eduscol ; certains professeurs en gardent un), puis la valeur au MÊME rang : $x=(\bar{x}\pm u)$ unité.
• Comparer qualitativement à une référence : un écart de l'ordre de $u$ ou moins, compatible ; un écart de nombreuses fois $u$ , non compatible ; entre les deux, on reste prudent.
• Une erreur systématique décale toutes les mesures sans élargir l'histogramme : seule une référence ou un autre instrument la révèle.

Le quotient $\dfrac{|x-x_{\text{réf}}|}{u}$ et son seuil chiffré sont au programme de Terminale.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire l'écart-type du cours de maths au lieu de celui de la physique

0,5 point, et toute la suite décalée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La calculatrice donne $\sigma x=0{,}027\ \mathrm{s}$ , c'est mon écart-type. »

Ce qu'il faut écrire

« Écart-type expérimental, lu en $Sx$ : $s=0{,}028\ \mathrm{s}$ (dénominateur $n-1$ ). »

Les mêmes douze périodes : ECARTYPE.STANDARD donne

s\approx 0{,}0278

, la valeur de la physique ; ECARTYPE.PEARSON donne le

\sigma

des maths, plus petit.

Pourquoi : Le cours de maths de Seconde divise par $n$ ; la physique divise par $n-1$ . Avec cinq mesures, l'écart dépasse $10\ \%$ .

2. Recopier tous les chiffres de l'écran

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\bar{T}=1{,}0041667\ \mathrm{s}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u(\bar{T})=0{,}0080\ \mathrm{s}$ , donc $T=(1{,}0042\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$ . »

Pourquoi : Sept décimales annoncent une précision au dix-millionième de seconde que douze chronométrages n'ont pas ; sans incertitude, le nombre ne dit rien.

3. Arrondir la valeur avant de connaître l'incertitude

0,5 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\bar{T}\approx 1{,}0\ \mathrm{s}$ et $u=0{,}0080\ \mathrm{s}$ , donc $T=(1{,}0\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u=0{,}0080\ \mathrm{s}$ s'arrête au dix-millième : $T=(1{,}0042\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$ . »

Pourquoi : C'est l'incertitude qui fixe le rang du dernier chiffre de la valeur : on arrondit $u$ d'abord, la valeur ensuite, et leurs derniers chiffres tombent dans la même colonne.

4. Donner à la moyenne l'incertitude d'une seule mesure

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Moyenne de douze périodes : $T=(1{,}004\pm 0{,}028)\ \mathrm{s}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $u(\bar{T})=\dfrac{0{,}0278}{\sqrt{12}}=0{,}0080\ \mathrm{s}$ : $T=(1{,}0042\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$ . »

Pourquoi : $s$ décrit une mesure isolée ; une moyenne de $n$ mesures est $\sqrt{n}$ fois moins incertaine. Avec $s$ , on jette le bénéfice des douze mesures.

5. Prendre une faible dispersion pour de la justesse

2 points, la conclusion entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Nos quinze mesures dans la glace fondante sont très regroupées, autour de $1{,}2\ ^{\circ}\mathrm{C}$ : le thermomètre est fiable. »

Ce qu'il faut écrire

« Regroupées mais décalées de $1{,}2\ ^{\circ}\mathrm{C}$ par rapport à $0{,}0\ ^{\circ}\mathrm{C}$ , soit plus de vingt incertitudes-types : erreur systématique, il faut étalonner. »

Deux histogrammes de même largeur : le juste est centré sur la référence

0{,}0\ ^{\circ}\mathrm{C}

; le décalé, en rouge, est tout entier déplacé vers

1{,}2\ ^{\circ}\mathrm{C}

, sans être plus large.

Pourquoi : Une erreur systématique déplace tout l'histogramme sans l'élargir. Peu dispersé veut dire reproductible, pas juste.

6. Affirmer « compatible » sans regarder l'incertitude

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1{,}004\ \mathrm{s}$ est proche de $1{,}000\ \mathrm{s}$ , donc c'est compatible. »

Ce qu'il faut écrire

« Écart $0{,}0042\ \mathrm{s}$ , environ la moitié de $u=0{,}0080\ \mathrm{s}$ : compatible avec $1{,}000\ \mathrm{s}$ . »

Pourquoi : « Proche » ne veut rien dire seul : $0{,}004\ \mathrm{s}$ serait un écart énorme pour un capteur au dix-millième. On compare l'écart à $u$ , jamais à son impression.

7. Prendre un écart-type nul pour une incertitude nulle

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le voltmètre affiche $2{,}35\ \mathrm{V}$ dix fois de suite : $s=0$ , donc l'incertitude est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« L'affichage au centième cache les fluctuations plus petites : l'approche statistique ne s'applique pas ici, l'incertitude n'est pas nulle. »

Pourquoi : Une série sans dispersion signale un instrument peu résolu, pas une mesure parfaite. Évaluer $u$ à partir de l'instrument est au programme de Première.

8. Tracer un histogramme aux classes inégales

1 point sur le graphique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Classes $[0{,}94\,;0{,}98[$ , $[0{,}98\,;1{,}00[$ , $[1{,}00\,;1{,}06[$ , hauteur = effectif. »

Ce qu'il faut écrire

« Classes de même largeur $0{,}04\ \mathrm{s}$ : $[0{,}94\,;0{,}98[$ , $[0{,}98\,;1{,}02[$ , $[1{,}02\,;1{,}06[$ , borne de gauche incluse. »

Pourquoi : Avec des classes inégales, la plus large paraît la plus peuplée parce qu'elle couvre plus de valeurs : l'histogramme ment sur la dispersion.

9. Retirer une valeur parce qu'elle gêne

1 point de démarche

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On enlève $1{,}10\ \mathrm{s}$ , trop loin des autres, pour avoir un plus petit écart-type. »

Ce qu'il faut écrire

« On ne l'écarte que pour une cause identifiée dans le protocole (chronomètre arrêté en retard, signalé par l'élève) ; sinon elle reste dans la série. »

Pourquoi : Une valeur éloignée sans cause fait partie de la dispersion réelle du protocole. La retirer sans raison, c'est fabriquer une incertitude trop petite.

Quelle méthode choisir

Quelle incertitude-type écrire ?

On regarde ce que l'énoncé appelle le résultat : une mesure isolée ou la moyenne d'une série.

Si une seule mesure, faite avec un protocole dont on a la série → $u=s$ , l'écart-type expérimental de la série

Exemple : un treizième chronométrage du métronome : $u=0{,}028\ \mathrm{s}$
Si la moyenne de n mesures indépendantes → $u(\bar{x})=\dfrac{s}{\sqrt{n}}$

Exemple : $\dfrac{0{,}0278}{\sqrt{12}}=0{,}0080\ \mathrm{s}$
Si toutes les valeurs identiques → l'approche statistique ne s'applique pas : l'affichage cache la dispersion

Exemple : $2{,}35\ \mathrm{V}$ dix fois : $u$ n'est PAS nulle

l'évaluation à partir de l'instrument est au programme de Première
Si une valeur très éloignée des autres → chercher une cause dans le protocole ; l'écarter seulement si elle est identifiée

Exemple : $1{,}10\ \mathrm{s}$ au milieu de valeurs entre $0{,}96$ et $1{,}05\ \mathrm{s}$

Dans tous les cas : arrondir u à deux chiffres significatifs avant d'écrire la valeur.

Compatible avec la référence, ou non ?

On calcule l'écart $|\bar{x}-x_{\text{réf}}|$ , puis on le compare à $u$ , en nombre d'incertitudes-types.

Trois résultats contre la même référence

10{,}0

: le vert l'atteint, le bleu la frôle à moins de deux

u

, le rouge en est à plus de six

u

Si écart inférieur à $u$ , ou de l'ordre de $u$ → compatible : la référence est dans l'intervalle ou à son bord

Exemple : $10{,}1\pm 0{,}15$ contre $10{,}0$ : écart $0{,}1$ , moins d'un $u$
Si écart compris entre une et trois fois $u$ → zone grise : dire « proche » et nuancer, ne pas trancher

Exemple : $10{,}32\pm 0{,}20$ contre $10{,}0$ : écart $0{,}32$ , environ $1{,}6\,u$

le critère chiffré qui tranche est au programme de Terminale
Si écart de nombreuses fois $u$ → non compatible : chercher une erreur systématique (instrument, protocole)

Exemple : $9{,}35\pm 0{,}10$ contre $10{,}0$ : écart $0{,}65$ , plus de six $u$

Sans incertitude, aucune des trois branches n'est accessible : on ne compare jamais deux nombres seuls.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Exploiter une série de mesures et conclure

Quand l'utiliser : « Exploitez la série de mesures et comparez le résultat à la valeur attendue. »

1 Calculer la moyenne $\bar{x}$ et l'écart-type expérimental $s$ ( $Sx$ , dénominateur $n-1$ ), en disant lequel on utilise.
2 Calculer l'incertitude-type sur la moyenne, $u(\bar{x})=\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ .
3 Arrondir $u$ à deux chiffres significatifs, puis la valeur au même rang.
4 Écrire le résultat avec son unité : $x=(\bar{x}\pm u)$ unité.
5 Calculer l'écart à la valeur de référence et le comparer à $u$ .
6 Conclure par une phrase qui cite l'écart et l'incertitude.

Phrase de conclusion

« $T=(1{,}0042\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$ ; l'écart à la valeur attendue, $0{,}0042\ \mathrm{s}$ , est inférieur à l'incertitude-type : le résultat est compatible avec $1{,}000\ \mathrm{s}$ . »

Le piège : Sauter le calcul de u et conclure sur l'impression que deux nombres sont proches.

Barème : Souvent 1 point pour u, 1 point pour l'écriture, 1 point pour la comparaison rédigée.

Discuter l'influence de l'instrument ou du protocole

Quand l'utiliser : « Quel protocole est le plus adapté ? » ou « Comment améliorer la mesure ? »

1 Comparer la largeur des deux histogrammes, tracés à la même échelle, avant tout calcul.
2 Comparer les écarts-types : le plus petit $s$ donne la plus petite incertitude-type d'une mesure isolée.
3 Nommer la source de la dispersion : temps de réaction, lecture d'une graduation, ménisque.
4 Vérifier la position par rapport à une référence : un décalage commun est une erreur systématique, que la répétition ne corrige pas.
5 Proposer le geste : changer d'instrument, modifier le protocole, étalonner.

Phrase de conclusion

« La pipette jaugée disperse dix fois moins que l'éprouvette graduée : c'est elle qu'on choisit pour un prélèvement unique. »

Le piège : Juger un instrument sur sa moyenne : deux instruments de même moyenne peuvent avoir des dispersions très différentes.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La même colonne

Dans $x=(\bar{x}\pm u)$ , le dernier chiffre de la valeur et le dernier chiffre de $u$ occupent la même colonne, et $u$ a deux chiffres significatifs.

$(1{,}0042\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$ est juste ; $(1{,}004\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$ et $(1{,}00417\pm 0{,}00802)\ \mathrm{s}$ ne le sont pas.
L'écart-type est une fraction de l'étendue

Pour une dizaine de mesures, $s$ vaut environ le tiers ou le quart de l'étendue (plus grande valeur moins plus petite). Un $s$ plus grand que l'étendue est faux.

Métronome : étendue $1{,}05-0{,}96=0{,}09\ \mathrm{s}$ , $s=0{,}028\ \mathrm{s}$ : rapport $3{,}2$ , plausible.
Deux mesures sur trois dans la bande

Compter les valeurs dans $[\bar{x}-s\,;\bar{x}+s]$ : environ deux sur trois. Toutes, ou presque aucune, signalent un $s$ mal calculé.

Huit périodes sur douze entre $0{,}976$ et $1{,}032\ \mathrm{s}$ : le calcul tient.
L'incertitude de la moyenne est plus petite que s

Dès que $n\ge 2$ , $u(\bar{x})=\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ est inférieure à $s$ . Une incertitude de moyenne égale à $s$ signale l'oubli de la racine.

$0{,}0080<0{,}028$ : cohérent ; trouver $0{,}0023$ signale une division par $12$ au lieu de $\sqrt{12}$ .

L'exercice type décortiqué

La période d'un métronome, comparée à la valeur affichée

Un métronome réglé sur $60$ battements par minute doit battre avec une période de $1{,}000\ \mathrm{s}$ . Douze élèves mesurent cette période au chronomètre, en secondes : $1{,}02$ ; $0{,}97$ ; $1{,}05$ ; $0{,}99$ ; $1{,}01$ ; $0{,}96$ ; $1{,}03$ ; $1{,}00$ ; $0{,}98$ ; $1{,}04$ ; $1{,}01$ ; $0{,}99$ .

Exploitez la série et dites si le métronome est bien réglé.

Étape 1

$\bar{T}=\dfrac{12{,}05}{12}=1{,}00417\ \mathrm{s}$ et, en $Sx$ , $s=0{,}0278\ \mathrm{s}$ .

Pourquoi

On annonce l'écart-type utilisé : le correcteur vérifie que c'est $s$ et pas le $\sigma$ des maths.

Étape 2

$u(\bar{T})=\dfrac{0{,}0278}{\sqrt{12}}=0{,}00802$ , soit $u=0{,}0080\ \mathrm{s}$ .

Pourquoi

Le résultat est une MOYENNE : son incertitude est $\sqrt{12}\approx 3{,}5$ fois plus petite que celle d'un chronométrage.

Étape 3

$T=(1{,}0042\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$

Pourquoi

$u$ d'abord, à deux chiffres ; puis la valeur au dix-millième, le rang de $u$ .

Étape 4

Écart : $1{,}0042-1{,}000=0{,}0042\ \mathrm{s}$ , environ $0{,}5\,u$ .

Pourquoi

C'est la comparaison qui rapporte le point, pas la phrase « c'est proche ».

Étape 5

Vérification : $8$ périodes sur $12$ dans $[0{,}976\,;1{,}032]$ , et $s$ vaut le tiers de l'étendue $0{,}09\ \mathrm{s}$ .

Pourquoi

Deux contrôles de cinq secondes qui attrapent un écart-type mal lu.

Conclusion rédigée

$T=(1{,}0042\pm 0{,}0080)\ \mathrm{s}$ ; l'écart à $1{,}000\ \mathrm{s}$ vaut environ la moitié de l'incertitude-type : le métronome est bien réglé, à la précision de cette série.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $u=s=0{,}028\ \mathrm{s}$ pour la moyenne : la conclusion reste « compatible », mais le résultat annoncé est trois fois et demie moins précis qu'il ne l'est vraiment.

À savoir par cœur

• Écart-type de la physique : $s$ , dénominateur $n-1$ ; $Sx$ à la calculatrice, ECARTYPE.STANDARD au tableur.
• Mesure isolée : $u=s$ . Moyenne de $n$ mesures : $u=\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ .
• $u$ à DEUX chiffres significatifs, puis la valeur au MÊME rang, puis l'unité.
• Compatible : écart de l'ordre de u ou moins. Non compatible : écart de nombreuses fois u.
• Peu dispersé veut dire REPRODUCTIBLE, pas juste : une erreur systématique ne se voit pas dans l'histogramme.
• Répéter réduit u sur la moyenne, lentement ; changer d'instrument est souvent plus efficace.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre écart-type et incertitude-type en Seconde ?

L'écart-type décrit la largeur d'une série de mesures. L'incertitude-type est ce qu'on attribue au résultat : pour une mesure isolée, elle vaut l'écart-type de la série ; pour la moyenne de n mesures, elle vaut l'écart-type divisé par la racine carrée de n, donc elle est plus petite.

Quel écart-type prendre sur la calculatrice en physique-chimie ?

L'écart-type expérimental, noté Sx, s ou sigma n moins 1 selon les modèles, qui divise par n moins 1. Le sigma x, qui divise par n, est celui du cours de mathématiques. Au tableur, on utilise ECARTYPE.STANDARD et non ECARTYPE.PEARSON. On précise toujours lequel on a pris.

Combien de chiffres significatifs garder pour un résultat de mesure ?

On arrondit d'abord l'incertitude-type à deux chiffres significatifs, parfois un seul selon le professeur, jamais trois. On arrondit ensuite la valeur au même rang que le dernier chiffre de l'incertitude. Les chiffres de la calculatrice au-delà de ce rang ne veulent rien dire.

Comment savoir si une mesure est compatible avec la valeur de référence ?

On calcule l'écart entre le résultat et la référence, puis on le compare à l'incertitude-type. Un écart de l'ordre de l'incertitude ou plus petit : compatible. Un écart de nombreuses fois l'incertitude : non compatible, et il faut chercher une erreur systématique. Le critère chiffré arrive en Terminale.

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Exercices corrigés : Mesure et incertitudes

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/2ndespc-mesure-incertitudes. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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