Démarche expérimentale corrigée : dix laboratoires du volet pratique (physique, secondaire 5)

La question de recherche nomme la cause et l'effet :

« Quel est l'effet de l'angle d'incidence sur l'angle de réflexion d'un rayon sur un miroir plan ? »

L'hypothèse attendue est une prédiction vérifiable ET justifiée : « Je pense que l'angle de réflexion sera égal à l'angle d'incidence, parce que la lumière se propage en ligne droite et qu'un miroir poli renvoie le rayon de façon symétrique par rapport à la normale. »

Les autres propositions parlent de luminosité ou d'absorption : le disque gradué ne mesure ni l'une ni l'autre, donc on ne pourrait jamais les confirmer ni les infirmer avec ce montage.

Piège : une hypothèse sans justification (« je pense que $r=i$ ») perd une partie des points du critère ; le « parce que » appartient à l'hypothèse.

La variable indépendante est celle qu'on choisit et qu'on fait varier : l'angle d'incidence $i$, réglé en tournant le laser.

La variable dépendante est celle qu'on lit en réponse : l'angle de réflexion $r$.

Variables contrôlées (deux suffisent, en voici quatre) : le même miroir plan, le rayon qui frappe toujours le centre du disque, les angles toujours mesurés depuis la normale, le miroir posé exactement sur le diamètre.

Piège : la couleur du laser ou la distance laser-miroir ne varient pas ici ; ce sont des facteurs qu'on garde constants, pas la variable étudiée.

Pour six mesures, $r$ reste à $1^{\circ}$ de $i$. Pour $i=65^{\circ}$, l'équipe note $r=24^{\circ}$ : $41^{\circ}$ d'écart, beaucoup plus que l'incertitude.

Explication : la graduation a été lue depuis la surface du miroir, et non depuis la normale. Un angle de $24^{\circ}$ par rapport au miroir correspond à :

$90^{\circ}-24^{\circ}=66^{\circ}$ par rapport à la normale.

La valeur à consigner était $r=66^{\circ}$, cohérente avec $i=65^{\circ}$ à $1^{\circ}$ près.

Une mesure aberrante ne se supprime pas en silence : on la barre dans le tableau, on écrit pourquoi, et l'idéal est de la REFAIRE.

Écarts $|r-i|$ des six autres mesures : $0$, $1$, $1$, $0$, $1$, $1$ degré. Le plus grand vaut $1^{\circ}$.

La graduation est au degré, donc chaque lecture vaut $\pm 1^{\circ}$ : un écart de $1^{\circ}$ est à l'intérieur de l'incertitude.

Conclusion : dans la limite de l'incertitude de lecture, l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence, sur toute la plage de $15^{\circ}$ à $75^{\circ}$. L'hypothèse est confirmée.

Piège : écrire « l'hypothèse est fausse car $26\neq 25$ ». Deux mesures égales à l'incertitude près sont égales pour l'expérimentateur.

Un laser, même de faible puissance, peut léser la rétine. On ne dirige jamais le faisceau vers un visage, on ne le regarde pas en face, et on se méfie de sa RÉFLEXION : c'est précisément ce que fait le miroir.

Le Ministère cite cette règle comme exemple de technique de laboratoire en physique de secondaire 5.

Le chariot immobile est en équilibre : le dynamomètre compense exactement la composante du poids parallèle au rail.

L'hypothèse justifiée est donc : « la force de retenue sera proportionnelle à $\sin\theta$, parce qu'elle équilibre la composante de la force gravitationnelle parallèle au plan ». Elle prédit la forme de la relation, ce qui permettra de la tester par un graphique de $F$ en fonction de $\sin\theta$.

À $30^{\circ}$ :

$F=0{,}500\times 9{,}8\times\sin 30^{\circ}=2{,}45$ N

Piège : « la force augmente avec l'angle » est vrai mais trop pauvre pour une hypothèse de secondaire 5, et « la force double quand l'angle double » est faux : $\sin 20^{\circ}=0{,}342$, $\sin 40^{\circ}=0{,}643$, rapport $1{,}88$.

On calcule d'abord la plus grande force à mesurer, à $40^{\circ}$ :

$F_{max}=0{,}500\times 9{,}8\times\sin 40^{\circ}\approx 3{,}15$ N

Le 0 à 2 N ne couvre pas la plage : il sature dès $24^{\circ}$ environ. Le 0 à 20 N la couvre mais sa graduation de 0,2 N est quatre fois plus grossière. Le 0 à 5 N couvre toute la plage avec la meilleure précision possible : c'est lui.

Incertitude d'un dynamomètre à aiguille : la moitié de la plus petite graduation.

$\Delta F=\dfrac{0{,}05}{2}=0{,}025$ N, qu'on arrondit à $\pm 0{,}03$ N.

À $20^{\circ}$, où $F\approx 1{,}68$ N, cela fait une incertitude relative d'environ $1{,}5\,\%$ : très acceptable.

Le rail forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont $h$ est le côté opposé à $\theta$ :

Pour $30{,}0^{\circ}$ : $h=1{,}000\times\sin 30^{\circ}=0{,}500$ m.

Pour $h=0{,}342$ m : $\theta=\arcsin(0{,}342)=20{,}0^{\circ}$.

Mesurer $h$ avec une règle au millimètre donne l'angle au dixième de degré près : c'est plus précis qu'un rapporteur d'écolier. Choisir la bonne méthode de mesure fait partie du plan d'action.

Un protocole se lit comme une recette qu'une autre équipe pourrait refaire sans poser de question :

1. Peser le chariot ($0{,}500$ kg) ; mesurer la longueur du rail ($L=1{,}000$ m).

2. Régler la hauteur $h$ du haut du rail pour obtenir $10^{\circ}$, avec $h=L\sin\theta$.

3. Accrocher le dynamomètre 0 à 5 N entre le chariot et la tige, PARALLÈLE au rail, après avoir fait son zéro dans cette position.

4. Lâcher doucement le chariot et lire la force quand il est immobile.

5. Répéter la lecture trois fois ; noter les trois valeurs et leur moyenne.

6. Recommencer pour $20^{\circ}$, $30^{\circ}$ et $40^{\circ}$.

7. Consigner dans un tableau : $\theta$, $h$, $\sin\theta$, les trois forces, la moyenne, avec unités et incertitudes.

Variables contrôlées : la masse du chariot, le même chariot et le même rail, l'orientation du dynamomètre, le zéro du dynamomètre.

Piège : un dynamomètre tenu horizontalement mesure une force qui n'est plus celle qui équilibre le chariot le long du rail.

La moyenne des cinq essais :

$\bar t=\dfrac{0{,}496+0{,}493+0{,}497+0{,}494+0{,}495}{5}=\dfrac{2{,}475}{5}=0{,}495$ s

L'incertitude par la demi-étendue (le plus grand moins le plus petit, divisé par deux) :

$\Delta t=\dfrac{0{,}497-0{,}493}{2}=0{,}002$ s

Résultat : $t=0{,}495\pm 0{,}002$ s. La dispersion ($0{,}002$ s) dépasse la résolution de l'appareil ($0{,}001$ s) : c'est donc elle qui fixe l'incertitude. Répéter une mesure sert exactement à cela, vérifier la répétabilité de l'instrument.

La bille part du repos en MRUA : $h=\frac{1}{2}g t^{2}$, d'où

$g=\dfrac{2h}{t^{2}}=\dfrac{2\times 1{,}200}{0{,}495^{2}}\approx 9{,}79$ m/s²

Méthode des extrêmes : la plus grande valeur possible de $g$ combine la plus grande hauteur et la plus petite durée, et inversement.

$g_{max}=\dfrac{2\times 1{,}201}{0{,}493^{2}}\approx 9{,}88$ m/s² et $g_{min}=\dfrac{2\times 1{,}199}{0{,}497^{2}}\approx 9{,}71$ m/s²

$\Delta g=\dfrac{9{,}88-9{,}71}{2}\approx 0{,}09$ m/s²

Résultat : $g=9{,}79\pm 0{,}09$ m/s², soit un intervalle de $9{,}70$ à $9{,}88$ m/s² qui contient $9{,}80$ m/s².

On garde deux décimales parce que l'incertitude porte sur le centième : écrire $9{,}794919$ m/s² prétendrait une précision que la mesure n'a pas.

Piège : oublier le carré dans $t^{2}$, ou mettre la plus grande durée dans $g_{max}$. Une durée plus longue donne un $g$ plus PETIT.

Équipe 1 : $\bar t=\dfrac{0{,}53+0{,}41+0{,}62+0{,}47+0{,}55}{5}=0{,}516$ s, d'où

$g=\dfrac{2\times 1{,}200}{0{,}516^{2}}\approx 9{,}0$ m/s²

Extrêmes : $\dfrac{2{,}4}{0{,}41^{2}}\approx 14{,}3$ m/s² et $\dfrac{2{,}4}{0{,}62^{2}}\approx 6{,}2$ m/s², donc $\Delta g\approx 4$ m/s².

Résultat honnête : $g=9\pm 4$ m/s². Il « contient » $9{,}80$, mais il contiendrait aussi bien $6$ ou $13$ : il ne permet de rien conclure.

La cause est connue : le temps de réaction d'une personne vaut environ $0{,}1$ s au départ ET à l'arrêt, alors que la chute entière dure moins d'une demi-seconde. Le choix d'un instrument tient compte de sa sensibilité : pour une durée aussi courte, il faut un déclenchement automatique.

Piège : juger une mesure sur sa valeur seule. $9{,}0$ et $9{,}79$ semblent proches de $9{,}8$ ; seule l'incertitude dit lequel est fiable.

Si la bille part $0{,}010$ s après le départ du chronomètre, la durée affichée est TROP LONGUE de $0{,}010$ s. Or $g=\dfrac{2h}{t^{2}}$ : une durée trop longue donne un $g$ trop petit.

$g=\dfrac{2\times 1{,}200}{(0{,}495+0{,}010)^{2}}=\dfrac{2{,}400}{0{,}505^{2}}\approx 9{,}41$ m/s²

Le retard ne se voit pas dans la dispersion : il décale TOUS les essais du même côté. C'est une erreur systématique, que la répétition ne corrige pas. La correction passe par le montage : mesurer le retard de l'électroaimant, ou faire partir le chronomètre au passage de la bille devant une barrière photoélectrique.

La force est le poids des masses suspendues, $F=mg$ avec $m$ en kilogrammes ; l'allongement est la différence de deux lectures.

Pour $250$ g : $F=0{,}250\times 9{,}8=2{,}45$ N et $x=21{,}8-12{,}0=9{,}8$ cm $=0{,}098$ m.

Tableau complet : $F$ vaut $0$ ; $0{,}49$ ; $0{,}98$ ; $1{,}47$ ; $1{,}96$ ; $2{,}45$ ; $2{,}94$ N, et $x$ vaut $0$ ; $0{,}019$ ; $0{,}040$ ; $0{,}058$ ; $0{,}089$ ; $0{,}098$ ; $0{,}119$ m.

Incertitude : chaque lecture vaut $\pm 0{,}1$ cm (la plus petite graduation d'une règle) ; l'allongement est une différence de deux lectures, donc $\pm 0{,}2$ cm.

On place les sept points avec $x$ en abscisse et $F$ en ordonnée, comme le demande l'énoncé : la pente donnera directement $k$ (avec les axes inversés, elle donnerait $\frac{1}{k}$). Titre, axes nommés, unités, échelles régulières.

Six points s'alignent sur une droite qui passe par l'origine. Celui de $200$ g, à $x=0{,}089$ m, est nettement à droite : la tendance des autres donne environ $0{,}079$ m, soit un centimètre d'écart, cinq fois l'incertitude.

C'est l'erreur typique d'une lecture sur la mauvaise graduation du centimètre. On refait la mesure si c'est possible ; sinon, on garde le point sur le graphique, on le signale, et on l'écarte du tracé de la droite.

Piège : faire passer la droite « au milieu » de tous les points, y compris l'aberrant. La pente serait tirée vers le bas et $k$ tomberait vers $24{,}3$ N/m.

La droite la mieux ajustée passe par l'origine et laisse les six bons points répartis de part et d'autre. Sa pente se lit avec deux points de la DROITE, pris loin l'un de l'autre, par exemple l'origine et le point de la droite d'abscisse $0{,}120$ m, où elle vaut environ $2{,}99$ N :

$k=\dfrac{\Delta F}{\Delta x}=\dfrac{2{,}99-0}{0{,}120-0}\approx 24{,}9$ N/m

Un ajustement à la calculatrice sur les six bons points donne aussi $24{,}9$ N/m. Selon la droite tracée à la main, toute valeur entre $24{,}3$ et $25{,}5$ N/m est acceptée.

Piège : calculer la pente avec $x$ en centimètres ; on obtiendrait $0{,}249$, cent fois trop petit.

Les points valides s'alignent sur une droite qui passe par l'origine : $F$ est proportionnelle à $x$. L'hypothèse est confirmée, dans la plage étudiée de $0$ à $2{,}94$ N.

Énergie élastique pour $x=10{,}0$ cm $=0{,}100$ m :

$E_{e}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}\times 24{,}9\times 0{,}100^{2}\approx 0{,}124$ J

Cette énergie est aussi l'aire du triangle sous la droite, de l'origine jusqu'à $x=0{,}100$ m : $\frac{1}{2}\times 0{,}100\times 2{,}49$. Le graphique porte donc deux informations, $k$ par la pente et l'énergie par l'aire.

Amélioration : prolonger les mesures jusqu'à $400$ g pour vérifier où la proportionnalité cesse, sans dépasser la limite d'élasticité du ressort.

Première loi de Newton : à vitesse constante, la force résultante sur le bloc est nulle. Horizontalement, seules la traction du dynamomètre et le frottement agissent ; elles sont donc égales et opposées, et le dynamomètre affiche le frottement.

Si le bloc accélère, la force résultante n'est plus nulle et le programme donne : frottement $=$ force appliquée $-$ force résultante.

$F_{f}=1{,}20-0{,}35=0{,}85$ N

Piège : prendre la lecture de $1{,}20$ N pour le frottement. Le dynamomètre mesure la force APPLIQUÉE, et elle n'égale le frottement que sans accélération.

Moyennes de la série 1 :

grande face $\dfrac{0{,}85+0{,}90+0{,}80}{3}=0{,}85$ N ; face moyenne $0{,}85$ N ; petite face $\dfrac{0{,}90+0{,}85+0{,}85}{3}\approx 0{,}87$ N.

Deux sources d'incertitude : la lecture (la moitié de la graduation, $0{,}05$ N) et la dispersion (demi-étendue, $0{,}05$ N pour les deux premières faces, $0{,}025$ N pour la petite). On retient la plus grande : $\pm 0{,}05$ N.

Le plus grand écart entre faces vaut $0{,}87-0{,}85=0{,}02$ N, moins que $0{,}05$ N : les trois faces donnent le même frottement à l'incertitude près.

L'aire de contact passe de $24$ à $80$ cm², plus du triple, et le frottement ne change pas au-delà de l'incertitude. L'hypothèse de l'équipe est infirmée.

Une hypothèse infirmée n'est pas un échec : la conclusion le dit clairement, avec les données qui le montrent, puis propose une explication. Ici, une face plus grande répartit le même poids sur plus de surface : chaque centimètre carré appuie moins, et l'effet total reste le même.

Piège : écrire « l'hypothèse est confirmée, car $0{,}87$ est plus grand que $0{,}85$ ». La petite face donne la plus grande valeur, ce qui irait même à l'inverse de l'hypothèse ; et l'écart est de toute façon dans l'incertitude.

Moyennes de la série 2 : $1{,}70$ N à $500$ g et $2{,}55$ N à $750$ g, contre $0{,}85$ N à $250$ g.

$\dfrac{2{,}55}{0{,}85}=3{,}0$ et $\dfrac{1{,}70}{0{,}85}=2{,}0$

Masse doublée, frottement doublé ; masse triplée, frottement triplé : le frottement est proportionnel à la masse du bloc, c'est-à-dire à la force avec laquelle il appuie sur la table (la force normale).

Le programme demande de nommer les facteurs qui influencent le frottement (nature des surfaces, force qui presse les surfaces) ; le calcul avec un coefficient de frottement n'est pas au programme de secondaire 5, il vient au cégep.

Source d'erreur principale : tirer à la main à vitesse parfaitement constante est difficile ; chaque à-coup ajoute une force résultante et fait osciller l'aiguille, d'où la dispersion de $0{,}1$ N entre les essais.

Améliorations : tirer avec un petit treuil motorisé à vitesse constante, ou utiliser un capteur de force relié à un ordinateur qui enregistre la force moyenne pendant le glissement. Vérifier aussi que la table est propre et la même partout, puisque la nature des surfaces influence le frottement.

La minuterie impose le temps : c'est la variable indépendante. On mesure la position du chariot à chaque instant : c'est la variable dépendante. Variables contrôlées : l'inclinaison, le même chariot, la même minuterie.

En MRUA, la vitesse augmente de la même quantité à chaque intervalle, donc la distance parcourue pendant un intervalle augmente aussi d'une quantité constante, égale à $a\,T^{2}$.

Distances successives : $1{,}7$ ; $2{,}5$ ; $3{,}4$ ; $4{,}4$ ; $5{,}3$ ; $6{,}1$ ; $7{,}1$ ; $7{,}9$ cm. Elles augmentent de $0{,}8$ à $1{,}0$ cm à chaque fois, en moyenne :

$\dfrac{7{,}9-1{,}7}{7}\approx 0{,}9$ cm

Ce premier test, fait sans graphique, appuie déjà l'hypothèse d'un MRUA.

Sur un intervalle court et symétrique, la vitesse moyenne entre les points 3 et 5 est une bonne estimation de la vitesse instantanée au point 4 ; en MRUA, elle est même exacte.

$v_{4}=\dfrac{x_{5}-x_{3}}{t_{5}-t_{3}}=\dfrac{17{,}3-7{,}6}{0{,}20}=48{,}5$ cm/s $=0{,}485$ m/s

Piège : diviser par $0{,}10$ s. Deux intervalles séparent les points 3 et 5.

Même calcul aux points 1 à 7 : $0{,}210$ ; $0{,}295$ ; $0{,}390$ ; $0{,}485$ ; $0{,}570$ ; $0{,}660$ ; $0{,}750$ m/s.

Sur le graphique, les sept points s'alignent sur une droite qui ne passe PAS par l'origine : le chariot roulait déjà au point 0.

La pente de la droite ajustée est l'accélération ; avec deux points éloignés de la droite :

$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\approx\dfrac{0{,}751-0{,}209}{0{,}70-0{,}10}\approx 0{,}90$ m/s²

L'ordonnée à l'origine est la vitesse au point 0 : $v_{0}\approx 0{,}12$ m/s.

Contrôle : en MRUA, les distances successives augmentent de $a\,T^{2}=0{,}90\times 0{,}10^{2}=0{,}009$ m, soit $0{,}9$ cm, la valeur trouvée en a). Les deux méthodes concordent.

Sans frottement, la seule force motrice est la composante du poids parallèle au rail :

$\sin\theta=\dfrac{0{,}200}{2{,}00}=0{,}100$, donc $g\sin\theta=9{,}8\times 0{,}100=0{,}98$ m/s²

Écart : $\dfrac{0{,}98-0{,}90}{0{,}98}\times 100\approx 8\,\%$

Conclusion en deux temps. Première partie : la vitesse est une fonction affine du temps, le mouvement est bien un MRUA. Seconde partie : l'accélération est inférieure d'environ $8\,\%$ à $g\sin\theta$, un écart trop grand pour l'incertitude de la règle ; l'hypothèse « $a=g\sin\theta$ » n'est vérifiée qu'en négligeant le frottement.

Source d'erreur : le frottement des roues et surtout celui du ruban dans la minuterie, qui freinent le chariot. Il agit toujours dans le même sens : c'est une erreur systématique, que la répétition ne corrige pas.

Amélioration : un rail à coussin d'air et des barrières photoélectriques, sans ruban ; ou comparer plusieurs inclinaisons, ce qui permet de séparer l'effet de l'angle de celui du frottement.

Variable indépendante : la force qui fait accélérer le système, le poids de la masse suspendue. Variable dépendante : l'accélération. Variables contrôlées : la masse totale du système, le même chariot, le même rail, la position des barrières.

Transférer une masse du chariot au porte-masse augmente la force SANS changer la masse totale qui accélère. En ajoutant de nouvelles masses, on changerait deux variables à la fois et on ne saurait plus laquelle explique la variation de $a$.

Le rail incliné compense le frottement : la composante du poids le long du rail l'équilibre, comme le montre la vitesse constante après la pichenette. La force résultante est alors le seul poids de la masse suspendue.

Le système entier (chariot, masses à bord, masse suspendue) accélère d'un même mouvement, tiré par le poids de la masse suspendue :

$F=mg=0{,}060\times 9{,}8=0{,}588$ N

Deuxième loi de Newton appliquée au système :

$a=\dfrac{F}{M}=\dfrac{0{,}588}{1{,}000}=0{,}588$ m/s²

La mesure donne $0{,}57$ m/s², à $3\,\%$ près.

Piège : diviser par la masse du chariot seul. La masse suspendue accélère elle aussi ; elle fait partie de ce que la force met en mouvement.

Forces : $0{,}196$ ; $0{,}392$ ; $0{,}588$ ; $0{,}784$ ; $0{,}980$ N. Les cinq points du graphique s'alignent sur une droite qui passe très près de l'origine (ordonnée à l'origine environ $0{,}003$ m/s²) : la compensation du frottement a fonctionné.

Pente de la droite ajustée, lue avec deux points de la droite :

$\text{pente}\approx\dfrac{0{,}968-0{,}100}{0{,}980-0{,}098}\approx 0{,}98$ kg⁻¹

Comme $a=\dfrac{F}{M}$, la pente vaut $\dfrac{1}{M}$ :

$M=\dfrac{1}{0{,}985}\approx 1{,}02$ kg

Piège : prendre la pente pour la masse. Son unité, $\dfrac{\text{m/s}^{2}}{\text{N}}=\text{kg}^{-1}$, le dit tout de suite.

Écart avec la masse pesée :

$\dfrac{1{,}02-1{,}000}{1{,}000}\times 100\approx 2\,\%$ (avec la pente non arrondie, $M\approx 1{,}015$ kg et l'écart vaut $1{,}5\,\%$)

Conclusion : à masse constante, l'accélération est proportionnelle à la force résultante (droite passant par l'origine), et la masse tirée de la pente concorde avec la balance à $2\,\%$ près. L'hypothèse issue de la deuxième loi de Newton est confirmée.

Sources d'erreur : une compensation du frottement imparfaite (elle déplace la droite vers le bas ou vers le haut), la masse de la poulie qui tourne aussi et ralentit un peu le système, le fil qui frotte dans la gorge de la poulie. Les points mesurés sont légèrement SOUS la prévision : c'est le signe d'un frottement résiduel.

Amélioration : refaire chaque mesure cinq fois, vérifier la compensation avec les barrières (deux vitesses égales après la pichenette), et utiliser une poulie légère à roulement à billes.

Variable indépendante : la hauteur de chute $h_{1}$. Variable dépendante : la hauteur du rebond $h_{2}$. Variables contrôlées : la même balle, le même sol, un lâcher sans vitesse, la même position de la caméra.

Pendant la chute, l'énergie potentielle gravitationnelle se transforme en énergie cinétique. Au contact, la balle s'écrase : l'énergie cinétique devient de l'énergie potentielle élastique, dont une partie se dissipe en énergie thermique (et en un peu de son). La balle se détend, repart vers le haut, et l'énergie cinétique redevient de l'énergie potentielle gravitationnelle.

À l'écrasement maximal, la balle est immobile un instant : son énergie cinétique est nulle, et l'énergie restante est surtout élastique.

Au départ, toute l'énergie mécanique est potentielle :

$E_{p}=mgh_{1}=0{,}057\times 9{,}8\times 2{,}00\approx 1{,}12$ J

Juste avant le contact, elle est devenue cinétique (air négligé) :

$v=\sqrt{2gh_{1}}=\sqrt{2\times 9{,}8\times 2{,}00}\approx 6{,}26$ m/s

Au sommet du rebond : $E_{p}'=0{,}057\times 9{,}8\times 1{,}09\approx 0{,}609$ J.

$\dfrac{E_{p}'}{E_{p}}=\dfrac{h_{2}}{h_{1}}=\dfrac{1{,}09}{2{,}00}=0{,}545$, soit $54{,}5\,\%$ conservés et environ $0{,}51$ J transformés en énergie thermique au contact.

Remarque utile : la masse se simplifie, le rapport des énergies est le rapport des hauteurs. C'est ce qui permet de tester l'hypothèse avec un simple mètre.

Rapports $\dfrac{h_{2}}{h_{1}}$ : $0{,}54$ ; $0{,}56$ ; $0{,}547$ ; $0{,}545$. Ils ne dépendent pas de $h_{1}$.

Sur le graphique, les quatre points s'alignent sur une droite qui passe par l'origine. Sa pente, par ajustement :

Une droite passant par l'origine signifie que $h_{2}$ est proportionnelle à $h_{1}$ : la fraction d'énergie conservée est la même à toutes les hauteurs, environ $55\,\%$. L'hypothèse est confirmée dans la plage de $0{,}50$ à $2{,}00$ m.

Piège : conclure à partir d'un seul rapport. C'est la constance des quatre rapports, ou l'alignement avec l'origine, qui confirme l'hypothèse.

Chaque rebond conserve la même fraction ; elle s'applique deux fois :

$h=2{,}00\times 0{,}547\times 0{,}547\approx 0{,}60$ m

Source d'erreur propre à la vidéo : la parallaxe. Si la caméra est plus bas que le sommet du rebond, elle voit la balle devant une graduation trop haute. S'y ajoute le choix de l'image : à $60$ images par seconde, le vrai sommet peut tomber entre deux images.

Réduction : placer l'objectif à la hauteur du sommet attendu, le plus loin possible du mètre avec un zoom, et mettre la balle tout contre le mètre. Une caméra plus rapide réduit l'erreur sur l'image du sommet.

La loi de la réfraction s'écrit $n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}$. Avec l'air, $n_{1}=1{,}00$ :

Hypothèse justifiée : « le rapport des sinus sera le même à tous les angles, et il donnera l'indice du plexiglas ». Variable indépendante $\theta_{1}$, dépendante $\theta_{2}$ ; contrôlées : le même bloc, le rayon visant toujours le centre, les angles lus depuis la normale.

Le rayon réfracté part du centre de la face plane, qui est aussi le centre de la face courbe : il suit un rayon du cercle, donc il frappe la face courbe selon la NORMALE et n'est pas dévié. Ainsi, l'angle lu sur le bord du disque est bien $\theta_{2}$ ; avec un bloc rectangulaire, une seconde réfraction fausserait la lecture.

Rapport des angles : à $80^{\circ}$, $\dfrac{80}{41}\approx 1{,}95$, mais à $10^{\circ}$, $\dfrac{10}{7}\approx 1{,}43$. Il augmente avec l'angle : ce n'est pas une constante, et la proposition de l'élève ne mène nulle part.

Rapport des sinus à $50^{\circ}$ :

À $10^{\circ}$, le même calcul donne $1{,}42$ : aux petits angles, une erreur de lecture de $1^{\circ}$ sur $7^{\circ}$ pèse $14\,\%$. Un seul rapport ne suffit donc pas ; le graphique utilise toutes les mesures à la fois.

Piège : calculatrice en radians. $\sin 50$ en radians vaut $-0{,}26$, et l'indice deviendrait absurde.

Points ($\sin\theta_{2}$ ; $\sin\theta_{1}$) : ($0{,}122$ ; $0{,}174$), ($0{,}225$ ; $0{,}342$), ($0{,}342$ ; $0{,}500$), ($0{,}438$ ; $0{,}643$), ($0{,}515$ ; $0{,}766$), ($0{,}588$ ; $0{,}866$), ($0{,}629$ ; $0{,}940$), ($0{,}656$ ; $0{,}985$).

Ils s'alignent sur une droite qui passe par l'origine, ce qui confirme l'hypothèse. Sa pente, avec l'origine et le point de la droite d'abscisse $0{,}600$ (ordonnée $0{,}892$) :

La valeur des tables pour le plexiglas (PMMA) est $1{,}49$ : excellente concordance.

Le rayon passe du plexiglas à l'air : la réflexion totale commence quand le rayon émergent frôle la surface.

$\sin\theta_{c}=\dfrac{1{,}00}{1{,}49}$, donc $\theta_{c}\approx 42{,}2^{\circ}$

$v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{1{,}49}\approx 2{,}01\times 10^{8}$ m/s

L'observation à $42^{\circ}$, lue au degré près, concorde avec $42{,}2^{\circ}$ : la prédiction est vérifiée, ce qui valide l'indice par une seconde méthode indépendante.

Sécurité : on garde le faisceau à hauteur de table, jamais vers les yeux, et on surveille le rayon réfléchi par la face plane.