Exercice 1 : Pourquoi l'exponentielle tend vers l'infini : ses limites en plus et moins l'infini

On admet les propriétés de la fonction exponentielle vues en Première : elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et égale à sa dérivée, $\mathrm{e}^{0}=1$ , $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel $x$ , et $\mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ .

Le programme demande de DÉMONTRER que $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ et que $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ . La figure représente la courbe de l'exponentielle et la droite d'équation $y=x$ . On donne $\ln 10\approx 2{,}303$ .

a) On pose $g(x)=\mathrm{e}^{x}-x$ pour tout réel $x$ . Calculez $g'(x)$ , étudiez son signe, puis donnez $g(0)$ et la valeur minimale de $g$ sur $\mathbb{R}$ .
b) Démonstration. Déduisez de a) que $\mathrm{e}^{x}>x$ pour tout réel $x$ , puis que $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ . Quel théorème utilisez-vous ? À partir de quel réel $A$ l'inégalité $\mathrm{e}^{x}>x$ GARANTIT-elle $\mathrm{e}^{x}>10^{6}$ ? Comparez au seuil exact $\ln(10^{6})$ , au centième.
c) Démonstration. En posant $X=-x$ , démontrez que $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ . Qu'en déduit-on pour la courbe de l'exponentielle ?
d) Un élève écrit : « $\mathrm{e}^{x}>x$ et $\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ , donc $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=-\infty$ . » Expliquez pourquoi la minoration ne permet aucune conclusion en $-\infty$ , puis déterminez $\lim_{x\to-\infty}(\mathrm{e}^{x}+x)$ et $\lim_{x\to+\infty}(\mathrm{e}^{x}+x)$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

Signe de

g'

sur

]-\infty\,;0[

g(0)

Minimum de

g

b)

Théorème utilisé

Seuil

A

garanti

Seuil exact

c)

Quand

x\to-\infty

,

X

tend vers

Asymptote en

-\infty

d)

La minoration en

-\infty

\lim_{x\to-\infty}(\mathrm{e}^{x}+x)

\lim_{x\to+\infty}(\mathrm{e}^{x}+x)

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Réponses

a) $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$ , négatif sur $]-\infty\,;0[$ , positif sur $]0\,;+\infty[$ ; minimum $g(0)=1$
b) $\mathrm{e}^{x}>x$ , théorème de comparaison : limite $+\infty$ ; $A=10^{6}$ suffit, seuil exact $6\ln 10\approx 13{,}82$
c) $\mathrm{e}^{x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{X}}$ avec $X\to+\infty$ : limite $0$ , asymptote $y=0$ en $-\infty$
d) Une minoration par une fonction qui tend vers $-\infty$ ne dit rien ; limites $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$

a) $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{0}$ . L'exponentielle est strictement croissante, puisque sa dérivée $\mathrm{e}^{x}$ est strictement positive : pour $x<0$ , $\mathrm{e}^{x}<\mathrm{e}^{0}=1$ et $g'(x)<0$ ; pour $x>0$ , $g'(x)>0$ . Donc $g$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , croissante sur $[0\,;+\infty[$ , et son minimum est $g(0)=\mathrm{e}^{0}-0=1$ . On a cité deux outils déjà établis, la dérivée de l'exponentielle et sa positivité, jamais la limite qu'on cherche.

b) Démonstration rédigée. Pour tout réel $x$ , $g(x)\geq 1>0$ , donc $\mathrm{e}^{x}>x$ . Or $\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$ . D'après le théorème de comparaison (si $f(x)\geq u(x)$ au voisinage de $+\infty$ et si $u$ tend vers $+\infty$ , alors $f$ aussi), $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ . Le seuil illustre ce que le théorème cache : pour tout réel $M$ , il faut un $A$ tel que $x>A$ entraîne $\mathrm{e}^{x}>M$ . Ici $A=M$ convient : pour $x>10^{6}$ , $\mathrm{e}^{x}>x>10^{6}$ . Le seuil exact est $\ln(10^{6})=6\ln 10\approx 6\times 2{,}303\approx 13{,}82$ : la minoration est très grossière, mais une démonstration de limite n'exige pas le meilleur seuil, seulement l'existence d'UN seuil.

c) Démonstration rédigée. Pour tout réel $x$ , $\mathrm{e}^{x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{-x}}$ . Posons $X=-x$ : quand $x$ tend vers $-\infty$ , $X$ tend vers $+\infty$ , donc $\mathrm{e}^{X}$ tend vers $+\infty$ d'après b). L'inverse d'une quantité qui tend vers $+\infty$ tend vers $0$ : $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$ , et par valeurs positives puisque $\mathrm{e}^{x}>0$ . La droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$ , la courbe restant au-dessus. L'ordre compte : c) n'est valable qu'une fois b) démontré.

d) La minoration $\mathrm{e}^{x}>x$ reste vraie en $-\infty$ , mais toute fonction est minorée par une fonction qui tend vers $-\infty$ : cette information ne dit rien. Le théorème de comparaison ne marche que dans deux sens, minorer par une fonction qui tend vers $+\infty$ , ou majorer par une fonction qui tend vers $-\infty$ . D'ailleurs la conclusion de l'élève contredit $\mathrm{e}^{x}>0$ . Ensuite, en $-\infty$ , $\mathrm{e}^{x}\to 0$ et $x\to-\infty$ , donc $\mathrm{e}^{x}+x\to-\infty$ ; en $+\infty$ , les deux termes tendent vers $+\infty$ , donc la somme aussi. Aucune forme indéterminée : elle apparaîtrait pour $\mathrm{e}^{x}-x$ en $+\infty$ , que l'exercice 2 lève en écrivant $x\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}-1\right)$ .

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Exercice 2 : Croissance comparée : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance

Le programme demande de démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$ , $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty$ . On s'appuie UNIQUEMENT sur l'exercice 1 : $\mathrm{e}^{x}>x$ pour tout réel $x$ , et $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$ .

a) On pose $h(x)=\mathrm{e}^{x}-\frac{x^{2}}{2}$ sur $[0\,;+\infty[$ . Calculez $h'(x)$ et justifiez son signe à l'aide de l'exercice 1, puis donnez $h(0)$ . Déduisez-en que $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}>\frac{x}{2}$ pour tout $x>0$ . Quelle minoration de $\frac{\mathrm{e}^{40}}{40}$ obtient-on ?
b) Démonstration. Concluez que $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$ , puis que $\lim_{x\to+\infty}x\,\mathrm{e}^{-x}=0$ .
c) Démonstration pour $n\geq 2$ . Pour $x>0$ , on pose $X=\frac{x}{n}$ . Justifiez que $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=\frac{1}{n^{n}}\left(\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)^{n}$ et concluez. Pour $n=4$ , que vaut le nombre $n^{n}$ ?
d) Applications. Écrivez $x^{3}\mathrm{e}^{-x/2}$ sous la forme $k\,X^{3}\mathrm{e}^{-X}$ avec $X=\frac{x}{2}$ et déterminez sa limite en $+\infty$ . Déterminez aussi $\lim_{x\to-\infty}x^{2}\mathrm{e}^{x}$ .

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Réponses

a) $h'(x)=\mathrm{e}^{x}-x>0$ , $h(0)=1$ , donc $\mathrm{e}^{x}>\frac{x^{2}}{2}$ ; $\frac{\mathrm{e}^{40}}{40}>20$
b) $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}\to+\infty$ par comparaison ; $x\,\mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}/x}\to 0$
c) $\mathrm{e}^{x}=(\mathrm{e}^{X})^{n}$ et $x^{n}=n^{n}X^{n}$ ; limite $+\infty$ ; $4^{4}=256$
d) $k=8$ , limite $0$ ; $\lim_{x\to-\infty}x^{2}\mathrm{e}^{x}=0$

a) $h$ est dérivable et $h'(x)=\mathrm{e}^{x}-x$ . D'après l'exercice 1, $\mathrm{e}^{x}>x$ pour tout réel $x$ : on CITE ce résultat, déjà démontré, donc $h'(x)>0$ et $h$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Comme $h(0)=\mathrm{e}^{0}-0=1$ , on a $h(x)\geq 1>0$ pour $x\geq 0$ , c'est-à-dire $\mathrm{e}^{x}>\frac{x^{2}}{2}$ . Pour $x>0$ , on divise par $x>0$ sans changer le sens : $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}>\frac{x}{2}$ . Pour $x=40$ : $\frac{\mathrm{e}^{40}}{40}>20$ . Minoration modeste, mais c'est une fonction qui tend vers $+\infty$ qu'il fallait, pas une bonne valeur.

b) Démonstration rédigée. Pour $x>0$ , $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}>\frac{x}{2}$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty$ ; par comparaison, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$ . Ensuite $x\,\mathrm{e}^{-x}=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x}/x}$ : l'inverse d'une quantité qui tend vers $+\infty$ tend vers $0$ . Remarquer pourquoi on a pris $\frac{x^{2}}{2}$ et pas $x$ : $\mathrm{e}^{x}>x$ ne donne que $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}>1$ , qui ne tend vers rien. Il fallait une puissance de PLUS que celle du dénominateur.

c) Démonstration rédigée. Soit $n\geq 2$ et $x>0$ ; posons $X=\frac{x}{n}$ , donc $x=nX$ . D'une part $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{nX}=(\mathrm{e}^{X})^{n}$ , propriété algébrique de l'exponentielle ; d'autre part $x^{n}=n^{n}X^{n}$ . Donc $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=\frac{1}{n^{n}}\left(\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)^{n}$ . Quand $x\to+\infty$ , $X\to+\infty$ , donc $\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}\to+\infty$ d'après b), sa puissance $n$ -ième aussi, et le facteur $\frac{1}{n^{n}}$ est une constante STRICTEMENT POSITIVE, qui ne change ni la limite ni son signe : $\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty$ . Pour $n=4$ , $n^{n}=4^{4}=256$ : l'exponentielle peut être très en retard au départ, elle finit toujours devant.

d) Avec $X=\frac{x}{2}$ , $x^{3}=8X^{3}$ et $\mathrm{e}^{-x/2}=\mathrm{e}^{-X}$ , donc $x^{3}\mathrm{e}^{-x/2}=8\,X^{3}\mathrm{e}^{-X}=\frac{8}{\mathrm{e}^{X}/X^{3}}$ , qui tend vers $0$ quand $X\to+\infty$ d'après c) : $k=8$ et la limite vaut $0$ . En $-\infty$ , on pose $X=-x\to+\infty$ : $x^{2}\mathrm{e}^{x}=X^{2}\mathrm{e}^{-X}=\frac{1}{\mathrm{e}^{X}/X^{2}}\to 0$ . Le geste est toujours le même : un changement de variable ramène la limite à celle qu'on a démontrée, jamais à une intuition du type « l'exponentielle gagne ».

Exercice 3 : Le logarithme, réciproque de l'exponentielle : sa dérivée et la limite de x ln x en 0

La fonction $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par : $y=\ln x$ équivaut à $x=\mathrm{e}^{y}$ . On admet qu'elle est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ ; le programme demande de démontrer que $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ , puis que $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ .

La figure montre les deux courbes, symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ , les points $A(\ln 2\,;2)$ et $B(2\,;\ln 2)$ , et les tangentes en ces points. On donne $\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ .

a) Quelle est la pente de la tangente à la courbe de l'exponentielle en $A$ ? La symétrie par rapport à la droite $y=x$ échange abscisses et ordonnées : que devient une pente $m$ non nulle ? Déduisez-en la pente de la tangente à la courbe de $\ln$ en $B$ .
b) Démonstration. Pour tout $x>0$ , $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ . Dérivez les deux membres de cette égalité, isolez $\ln'(x)$ et concluez. Donnez $\ln'(4)$ .
c) Démonstration. Pour $x>0$ , on pose $X=\ln x$ , de sorte que $x=\mathrm{e}^{X}$ . Écrivez $x\ln x$ en fonction de $X$ , puis démontrez que $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ à l'aide de l'exercice 2.
d) Application. Soit $f(x)=x^{2}\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$ . Déterminez $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$ , étudiez les variations de $f$ , puis donnez son minimum au millième.

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Réponses

a) Pente $\mathrm{e}^{\ln 2}=2$ en $A$ ; la symétrie change $m$ en $\frac{1}{m}$ : pente $\frac{1}{2}$ en $B$
b) $\ln'(x)\,\mathrm{e}^{\ln x}=1$ , soit $\ln'(x)\times x=1$ : $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ ; $\ln'(4)=0{,}25$
c) $x\ln x=X\mathrm{e}^{X}$ avec $X\to-\infty$ : limite $0$
d) $f(x)=x\times x\ln x\to 0$ ; $f'(x)=x(2\ln x+1)$ , minimum en $x=\mathrm{e}^{-1/2}$ , $f=-\frac{1}{2\mathrm{e}}\approx-0{,}184$

a) La dérivée de l'exponentielle est elle-même : la pente en $A$ est $\mathrm{e}^{\ln 2}=2$ . La symétrie par rapport à $y=x$ envoie le point $(x\,;y)$ sur $(y\,;x)$ : un déplacement de $\Delta x$ horizontal et $\Delta y$ vertical devient $\Delta y$ horizontal et $\Delta x$ vertical, donc une pente $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ devient $\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{m}$ . La tangente en $A$ a pour image la tangente en $B$ , de pente $\frac{1}{2}$ , et $\frac{1}{2}$ est bien $\frac{1}{x_{B}}$ . La figure suggère le résultat, elle ne le démontre pas : c'est le rôle de b).

b) Démonstration rédigée. Pour tout $x>0$ , $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ . Les deux membres sont dérivables : à droite, la dérivée vaut $1$ ; à gauche, $x\mapsto\mathrm{e}^{u(x)}$ avec $u=\ln$ dérivable (admis), de dérivée $u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}$ . Donc $\ln'(x)\,\mathrm{e}^{\ln x}=1$ , et comme $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ , $\ln'(x)\times x=1$ . Puisque $x\neq 0$ , $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ . Ainsi $\ln'(4)=\frac{1}{4}=0{,}25$ . Le seul point admis est la dérivabilité ; l'expression $\frac{1}{x}$ , elle, est démontrée. Utiliser ici $\int_{1}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x$ serait un cercle vicieux : cette égalité vient justement de $\ln'=\frac{1}{x}$ (exercice 8).

c) Démonstration rédigée. Pour $x>0$ , posons $X=\ln x$ : $x=\mathrm{e}^{X}$ et $x\ln x=X\,\mathrm{e}^{X}$ . Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, $X=\ln x$ tend vers $-\infty$ . Or, avec $Y=-X\to+\infty$ , $X\mathrm{e}^{X}=-Y\mathrm{e}^{-Y}$ , qui tend vers $0$ d'après l'exercice 2 b). Par composition, $\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ . Le produit « $0\times(-\infty)$ » était une forme indéterminée : c'est le changement de variable, pas l'intuition, qui la lève. Contrôle : pour $x=\mathrm{e}^{-10}$ , $x\ln x=-10\,\mathrm{e}^{-10}$ , de l'ordre de $-0{,}0005$ .

d) $f(x)=x\times(x\ln x)$ , produit de deux quantités qui tendent vers $0$ : $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0$ , sans forme indéterminée cette fois. Ensuite $f'(x)=2x\ln x+x^{2}\times\frac{1}{x}=x(2\ln x+1)$ . Comme $x>0$ , $f'(x)$ a le signe de $2\ln x+1$ , négatif pour $\ln x<-\frac{1}{2}$ et positif après : $f$ décroît sur $]0\,;\mathrm{e}^{-1/2}]$ puis croît. Son minimum est $f(\mathrm{e}^{-1/2})=\mathrm{e}^{-1}\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2\mathrm{e}}\approx-0{,}184$ , avec $\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ . Piège : $(\mathrm{e}^{-1/2})^{2}=\mathrm{e}^{-1}$ , pas $\mathrm{e}^{-1/4}$ .

Exercice 4 : Une dérivée nulle sur un intervalle : primitives à une constante près et équation y' = ay

Les deux démonstrations de cet exercice reposent sur le même outil, admis : une fonction dérivable sur un INTERVALLE $I$ et de dérivée nulle sur $I$ est constante sur $I$ . C'est une conséquence du lien entre le signe de la dérivée et les variations.

a) Démonstration. Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$ . Démontrez qu'une fonction $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement s'il existe un réel $C$ tel que $G=F+C$ : rédigez les DEUX sens. Exemple : $F(x)=(x+1)^{2}$ et $G(x)=x^{2}+2x-5$ ; vérifiez qu'elles ont la même dérivée et donnez la constante $G-F$ .
b) Sur $\mathbb{R}^{*}=\,]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$ , on pose $F(x)=-\frac{1}{x}$ , et $G(x)=-\frac{1}{x}+1$ si $x<0$ , $G(x)=-\frac{1}{x}+3$ si $x>0$ . Vérifiez que $F'=G'$ sur $\mathbb{R}^{*}$ , calculez $(G-F)(-1)$ et $(G-F)(1)$ . Quelle hypothèse de a) manque ici ?
c) Démonstration. Soit $a$ un réel et $y$ une solution sur $\mathbb{R}$ de $y'=ay$ . On pose $z(x)=y(x)\,\mathrm{e}^{-ax}$ . Calculez $z'(x)$ , concluez que $y(x)=C\mathrm{e}^{ax}$ , puis vérifiez la réciproque. Application : $2y'+3y=0$ avec $y(0)=4$ ; donnez $a$ et $C$ .
d) Une quantité vérifie $y'=(\ln 2)\,y$ sur $\mathbb{R}$ , avec $y(1)=6$ . Justifiez que $y(x)=C\times 2^{x}$ , déterminez $C$ puis $y(4)$ .

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Réponses

a) $(G-F)'=0$ sur $I$ donc $G-F$ constante ; réciproquement $(F+C)'=f$ ; exemple : $G-F=-6$
b) $(G-F)(-1)=1$ et $(G-F)(1)=3$ : $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas un intervalle
c) $z'=(y'-ay)\mathrm{e}^{-ax}=0$ , $z=C$ , $y=C\mathrm{e}^{ax}$ ; $a=-1{,}5$ et $C=4$
d) $\mathrm{e}^{x\ln 2}=2^{x}$ ; $2C=6$ donne $C=3$ ; $y(4)=48$

a) Démonstration rédigée. Premier sens : si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors $(G-F)'=G'-F'=f-f=0$ sur $I$ ; comme $I$ est un intervalle, $G-F$ est constante : il existe $C$ tel que $G=F+C$ . Réciproque : si $G=F+C$ , $G$ est dérivable et $G'=F'=f$ , donc $G$ est une primitive. Les deux sens sont nécessaires : le premier dit qu'on les a TOUTES, le second que ce sont bien des primitives. Exemple : $F'(x)=2(x+1)=2x+2$ et $G'(x)=2x+2$ ; et $G(x)-F(x)=x^{2}+2x-5-(x^{2}+2x+1)=-6$ . Contrôle en $x=0$ : $G(0)-F(0)=-5-1=-6$ .

b) Pour $x\neq 0$ , $F'(x)=\frac{1}{x^{2}}$ et, sur chacun des deux morceaux, $G'(x)=\frac{1}{x^{2}}$ aussi : $F'=G'$ sur $\mathbb{R}^{*}$ . Pourtant $(G-F)(-1)=1$ et $(G-F)(1)=3$ : $G-F$ n'est pas constante. Rien ne contredit a) : $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas un intervalle, et $G-F$ est constante sur CHACUN des deux intervalles, avec deux constantes différentes. Oublier l'hypothèse « intervalle », c'est affirmer une propriété fausse ; c'est pourquoi on précise toujours « sur $]0\,;+\infty[$ » en donnant une primitive de $\frac{1}{x^{2}}$ .

c) Démonstration rédigée. $z$ est dérivable comme produit et $z'(x)=y'(x)\mathrm{e}^{-ax}-a\,y(x)\mathrm{e}^{-ax}=(y'(x)-ay(x))\,\mathrm{e}^{-ax}=0$ , puisque $y'=ay$ . Sur l'intervalle $\mathbb{R}$ , $z$ est donc constante, égale à un réel $C$ , et $y(x)=z(x)\mathrm{e}^{ax}=C\mathrm{e}^{ax}$ . Réciproque : $(C\mathrm{e}^{ax})'=aC\mathrm{e}^{ax}$ , donc toute fonction $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ est solution. Application : $2y'+3y=0$ s'écrit $y'=-\frac{3}{2}y$ , donc $a=-1{,}5$ et $y(x)=C\mathrm{e}^{-1{,}5x}$ ; $y(0)=C=4$ . Piège : la forme $y'=ay$ exige d'isoler $y'$ ; lire $a=3$ ou $a=-3$ dans $2y'+3y=0$ est l'erreur la plus fréquente.

d) D'après c), $y(x)=C\mathrm{e}^{(\ln 2)x}$ , et $\mathrm{e}^{x\ln 2}=(\mathrm{e}^{\ln 2})^{x}=2^{x}$ : $y(x)=C\times 2^{x}$ . La condition $y(1)=6$ donne $2C=6$ , soit $C=3$ , et $y(4)=3\times 2^{4}=48$ . L'unicité vient de la démonstration : une condition initiale fixe la seule constante libre, donc une seule solution. La quantité double à chaque unité : $6$ , $12$ , $24$ , $48$ de $x=1$ à $x=4$ , contrôle direct sans calculatrice.

Exercice 5 : Coefficients binomiaux : Pascal par le calcul, la somme 2 puissance n par dénombrement

Pour $0\leq k\leq n$ , $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Le programme demande deux démonstrations de natures différentes : la relation de Pascal PAR LE CALCUL, et $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}$ PAR DÉNOMBREMENT.

a) Vérification. Calculez $\binom{8}{3}$ , $\binom{8}{4}$ et $\binom{9}{4}$ , et vérifiez que $\binom{8}{3}+\binom{8}{4}=\binom{9}{4}$ .
b) Démonstration par le calcul. Pour $n\geq 2$ et $1\leq k\leq n-1$ , écrivez $\binom{n-1}{k-1}$ et $\binom{n-1}{k}$ avec des factorielles, réduisez au même dénominateur $k!\,(n-k)!$ en précisant par quoi chaque fraction est multipliée, et concluez que $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$ .
c) Démonstration par dénombrement. Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Comptez ses parties de deux façons : en les rangeant selon leur nombre d'éléments, puis en décidant pour chaque élément s'il est dans la partie ou non. Concluez. Contrôle avec $n=6$ : donnez $\binom{6}{3}$ et la somme de la ligne $6$ du triangle de Pascal.
d) Application. Un club de sept élèves veut former une équipe d'au moins deux de ses membres, sans limite de taille. Combien d'équipes différentes sont possibles ?

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Réponses

a) $\binom{8}{3}=56$ , $\binom{8}{4}=70$ , $\binom{9}{4}=126=56+70$
b) On multiplie par $k$ et par $n-k$ : numérateur $(n-1)!\,(k+n-k)=n!$ , d'où $\binom{n}{k}$
c) Les deux comptages donnent $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}$ ; $\binom{6}{3}=20$ , ligne $6$ : $64$
d) $2^{7}-1-7=120$ équipes

a) $\binom{8}{3}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$ , $\binom{8}{4}=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$ et $\binom{9}{4}=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{24}=126$ . On a bien $56+70=126$ . C'est une vérification, pas une preuve : elle ne dit rien pour $n=50$ .

b) Démonstration rédigée. Soit $n\geq 2$ et $1\leq k\leq n-1$ , de sorte que les deux coefficients sont définis. $\binom{n-1}{k-1}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}$ et $\binom{n-1}{k}=\frac{(n-1)!}{k!\,(n-1-k)!}$ . Comme $k!=k\times(k-1)!$ et $(n-k)!=(n-k)\times(n-1-k)!$ , on multiplie la première fraction en haut et en bas par $k$ , la seconde par $n-k$ : les deux ont alors le dénominateur $k!\,(n-k)!$ , et la somme vaut $\frac{(n-1)!\,k+(n-1)!\,(n-k)}{k!\,(n-k)!}=\frac{(n-1)!\,n}{k!\,(n-k)!}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}=\binom{n}{k}$ . La restriction $1\leq k\leq n-1$ n'est pas décorative : pour $k=0$ , $\binom{n-1}{-1}$ n'a pas de sens.

c) Démonstration rédigée. On compte $N$ , le nombre de parties de $E$ . Premier comptage : une partie a $k$ éléments pour un unique $k$ entre $0$ et $n$ , et il y a $\binom{n}{k}$ parties à $k$ éléments, donc $N=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$ . Second comptage : une partie est déterminée par la réponse, pour chacun des $n$ éléments, à la question « est-il dans la partie ? », oui ou non ; d'après le principe multiplicatif, $N=2\times 2\times\cdots\times 2=2^{n}$ . Un même nombre compté de deux façons : $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}$ . Aucun calcul de factorielle, c'est tout l'intérêt. Contrôle : la ligne $6$ est $1$ , $6$ , $15$ , $20$ , $15$ , $6$ , $1$ , de somme $64=2^{6}$ , avec $\binom{6}{3}=20$ .

d) Une équipe est une partie du club ayant au moins deux éléments. Le club a $2^{7}=128$ parties ; on retire la partie vide ( $\binom{7}{0}=1$ ) et les sept parties à un élément ( $\binom{7}{1}=7$ ) : $128-1-7=120$ équipes. Additionner $\binom{7}{2}+\cdots+\binom{7}{7}=21+35+35+21+7+1$ donne aussi $120$ , en six calculs au lieu d'un : passer par le complémentaire est le réflexe que la somme $2^{n}$ rend possible.

Exercice 6 : De l'aire à la primitive, puis l'intégration par parties

Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur $[a\,;b]$ . Pour $x\in[a\,;b]$ , on note $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ , l'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $x$ . Le programme demande de démontrer que $F$ est une primitive de $f$ , d'en déduire le calcul d'une intégrale par une primitive, puis de démontrer la formule d'intégration par parties.

La figure illustre le cas $f(t)=t^{2}+1$ : la bande grisée, entre $x=1$ et $x+h=1{,}5$ , est encadrée par un petit rectangle en trait plein et un grand rectangle en pointillés, tous deux de largeur $h$ . On donne $\pi\approx 3{,}1416$ .

a) Pour $x=1$ et $h=0{,}5$ , calculez l'aire du petit rectangle, $h\,f(x)$ , et celle du grand, $h\,f(x+h)$ . Justifiez, dans le cas général ( $h>0$ et $x+h\leq b$ ), l'encadrement $h\,f(x)\leq F(x+h)-F(x)\leq h\,f(x+h)$ .
b) Démonstration. Divisez par $h$ et faites tendre $h$ vers $0$ par valeurs positives. Quel théorème conclut, et quelle propriété de $f$ fait tendre $f(x+h)$ vers $f(x)$ ? Concluez que $F'(x)=f(x)$ (le cas $h<0$ se traite de même), et donnez $F(a)$ .
c) Démonstration. Soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a\,;b]$ . À l'aide de l'exercice 4, démontrez que $\int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm{d}t=G(b)-G(a)$ . Applications avec $G(t)=\frac{t^{3}}{3}+t+7$ : calculez $\int_{0}^{3}(t^{2}+1)\,\mathrm{d}t$ , puis l'aire exacte de la bande de la figure, au centième.
d) Démonstration. Soit $u$ et $v$ dérivables sur $[a\,;b]$ , de dérivées continues. En intégrant $(uv)'$ , démontrez que $\int_{a}^{b}u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t=\left[u(t)v(t)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t$ . Application : calculez $\int_{0}^{\pi/2}t\cos t\,\mathrm{d}t$ en valeur exacte, puis au centième.

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Réponses

a) $0{,}5\times 2=1$ et $0{,}5\times 3{,}25=1{,}625$ ; $f$ croissante : $f(x)\leq f(t)\leq f(x+h)$ sur la bande
b) $f(x)\leq\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\leq f(x+h)$ , gendarmes et continuité de $f$ : $F'=f$ ; $F(a)=0$
c) $G=F+C$ donc $G(b)-G(a)=F(b)-F(a)=F(b)$ ; $\int_{0}^{3}(t^{2}+1)\,\mathrm{d}t=12$ ; bande : $\frac{31}{24}\approx 1{,}29$
d) $\int_{a}^{b}(uv)'=[uv]_{a}^{b}=\int_{a}^{b}u'v+\int_{a}^{b}uv'$ ; $\int_{0}^{\pi/2}t\cos t\,\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}-1\approx 0{,}57$

a) $f(1)=2$ et $f(1{,}5)=3{,}25$ : le petit rectangle a pour aire $0{,}5\times 2=1$ , le grand $0{,}5\times 3{,}25=1{,}625$ . Cas général : $F(x+h)-F(x)$ est l'aire de la bande sous la courbe entre $x$ et $x+h$ (relation de Chasles sur les aires). Comme $f$ est croissante, pour tout $t\in[x\,;x+h]$ , $f(x)\leq f(t)\leq f(x+h)$ : la bande contient le rectangle de hauteur $f(x)$ et est contenue dans celui de hauteur $f(x+h)$ , d'où l'encadrement. L'hypothèse « croissante » sert exactement ici, et nulle part ailleurs ; le cas d'une fonction continue quelconque est admis par le programme.

b) Démonstration rédigée. Pour $h>0$ , on divise par $h>0$ : $f(x)\leq\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\leq f(x+h)$ . Quand $h$ tend vers $0$ , $f(x+h)$ tend vers $f(x)$ parce que $f$ est CONTINUE en $x$ . Le taux d'accroissement est coincé entre deux quantités qui tendent vers $f(x)$ : par le théorème des gendarmes, il tend vers $f(x)$ . Avec le cas $h<0$ , symétrique, $F$ est dérivable en $x$ et $F'(x)=f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$ . Enfin $F(a)=\int_{a}^{a}f=0$ , aire d'une bande de largeur nulle. Sur l'exemple, le taux vaut $\frac{31/24}{0{,}5}\approx 2{,}58$ , bien entre $2$ et $3{,}25$ .

c) Démonstration rédigée. $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur l'intervalle $[a\,;b]$ ; d'après l'exercice 4 a), il existe $C$ tel que $G=F+C$ . Alors $G(b)-G(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a)=F(b)$ puisque $F(a)=0$ , et $F(b)=\int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm{d}t$ . La constante se simplifie : n'importe quelle primitive convient. Application : $G(3)-G(0)=(9+3+7)-7=12$ ; la constante $7$ disparaît, comme annoncé. Bande : $G(1{,}5)-G(1)=(1{,}125+1{,}5)-\left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{31}{24}\approx 1{,}29$ , bien compris entre $1$ et $1{,}625$ .

d) Démonstration rédigée. $uv$ est dérivable et $(uv)'=u'v+uv'$ , continue. D'après c), $uv$ étant une primitive de $(uv)'$ , $\int_{a}^{b}(uv)'(t)\,\mathrm{d}t=\left[u(t)v(t)\right]_{a}^{b}$ . Par linéarité, $\int_{a}^{b}u'v+\int_{a}^{b}uv'=\left[uv\right]_{a}^{b}$ , d'où la formule en isolant $\int_{a}^{b}uv'$ . Application : $u(t)=t$ , $v'(t)=\cos t$ , donc $u'(t)=1$ et $v(t)=\sin t$ . On choisit $u=t$ parce que sa dérivée est plus simple ; l'autre choix ferait apparaître $t^{2}$ . Il vient $\left[t\sin t\right]_{0}^{\pi/2}-\int_{0}^{\pi/2}\sin t\,\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}-\left[-\cos t\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}-1\approx 0{,}57$ .

Exercice 7 : Au-dessus de ses tangentes : ce que la dérivée seconde garantit

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , avec $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ : $f$ est convexe sur $I$ . Soit $a\in I$ et $T_{a}$ la tangente au point d'abscisse $a$ , d'équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ . Le programme demande de démontrer que la courbe de $f$ est au-dessus de $T_{a}$ sur $I$ .

La figure représente $f(x)=x^{3}$ et sa tangente $T$ au point d'abscisse $2$ .

a) Démonstration. On pose $g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$ sur $I$ . Calculez $g(a)$ et $g'(x)$ . Que dit $f''\geq 0$ sur les variations de $f'$ ? Déduisez-en le signe de $g'$ de part et d'autre de $a$ , puis le signe de $g$ , et concluez.
b) Exemple : $f(x)=x^{3}$ et $a=2$ . Donnez l'équation de $T$ , vérifiez que $g(x)=x^{3}-12x+16=(x-2)^{2}(x+4)$ , précisez sur quel intervalle la démonstration de a) s'applique, et calculez $g(0)$ .
c) Calculez $g(-5)$ et concluez sur la position de la courbe et de $T$ en $x=-5$ . Pourquoi cela ne contredit-il pas a) ? Sur $[-4\,;0]$ , la courbe est pourtant au-dessus de $T$ alors que $f$ n'y est pas convexe : la propriété démontrée est-elle une condition nécessaire ou suffisante ?
d) Application. Soit $\varphi(x)=x\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$ . Montrez que $\varphi$ est convexe, donnez l'équation de sa tangente au point d'abscisse $1$ , et déduisez-en que $\ln x\geq 1-\frac{1}{x}$ pour tout $x>0$ .

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Réponses

a) $g(a)=0$ , $g'(x)=f'(x)-f'(a)$ ; $f'$ croissante donc $g'\leq 0$ avant $a$ , $g'\geq 0$ après : minimum $0$ , $g\geq 0$
b) $T : y=12x-16$ ; convexité sur $[0\,;+\infty[$ ; $g(0)=16$
c) $g(-5)=-49<0$ : courbe sous $T$ , hors de l'intervalle de convexité ; condition suffisante, pas nécessaire
d) $\varphi''(x)=\frac{1}{x}>0$ ; tangente $y=x-1$ ; $x\ln x\geq x-1$ , on divise par $x>0$

a) Démonstration rédigée. $g$ est dérivable sur $I$ , $g(a)=f(a)-f(a)-0=0$ et $g'(x)=f'(x)-f'(a)$ . Comme $f''=(f')'\geq 0$ sur l'intervalle $I$ , $f'$ est croissante sur $I$ . Pour $x\leq a$ , $f'(x)\leq f'(a)$ donc $g'(x)\leq 0$ ; pour $x\geq a$ , $g'(x)\geq 0$ . Ainsi $g$ décroît puis croît, et atteint son minimum en $a$ , où il vaut $0$ : $g(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ , c'est-à-dire $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ . La courbe est au-dessus de $T_{a}$ sur $I$ . On n'a jamais dit « la courbe tourne vers le haut » : on a étudié le signe d'une différence, seul argument recevable.

b) $f(2)=8$ et $f'(x)=3x^{2}$ , $f'(2)=12$ : $T : y=8+12(x-2)=12x-16$ . Alors $g(x)=x^{3}-12x+16$ et $(x-2)^{2}(x+4)=(x^{2}-4x+4)(x+4)=x^{3}-12x+16$ . Ici $f''(x)=6x\geq 0$ si et seulement si $x\geq 0$ : la démonstration s'applique sur $I=[0\,;+\infty[$ , qui contient $a=2$ . $g(0)=16>0$ : en $0$ , la courbe passe $16$ unités au-dessus de $T$ ; la forme factorisée le confirme, $(0-2)^{2}(0+4)=16$ .

c) $g(-5)=-125+60+16=-49<0$ , et $(-7)^{2}\times(-1)=-49$ : en $x=-5$ la courbe est SOUS la tangente. Pas de contradiction : $-5$ n'est pas dans $[0\,;+\infty[$ , où $f''<0$ , et a) ne dit rien hors de l'intervalle. La forme factorisée montre que $g\geq 0$ exactement sur $[-4\,;+\infty[$ : sur $[-4\,;0[$ , la courbe reste au-dessus de $T$ alors que $f$ y est concave. Être au-dessus d'UNE tangente n'entraîne donc pas la convexité : la propriété démontrée est une condition suffisante, pas nécessaire. La convexité, elle, garantit d'être au-dessus de TOUTES les tangentes.

d) $\varphi'(x)=\ln x+x\times\frac{1}{x}=\ln x+1$ et $\varphi''(x)=\frac{1}{x}>0$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ : $\varphi$ y est convexe. En $1$ : $\varphi(1)=0$ , $\varphi'(1)=1$ , tangente $y=x-1$ . D'après a), $x\ln x\geq x-1$ pour tout $x>0$ , et en divisant par $x>0$ : $\ln x\geq 1-\frac{1}{x}$ . Contrôle en $x=\mathrm{e}^{-1}$ : $\ln x=-1$ et $1-\mathrm{e}\approx-1{,}72$ , l'inégalité tient. Avec $\ln x\leq x-1$ , on encadre le logarithme entre deux fonctions simples.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacun des cinq élèves ci-dessous croit avoir démontré un résultat du programme. Chaque rédaction contient UNE faute : le résultat utilisé pour se prouver lui-même, une constante prise pour zéro, une conclusion tirée d'exemples, une hypothèse oubliée.

Pour chacune, nommez la faute, donnez le calcul qui la démasque, et écrivez l'énoncé ou la démonstration justes. On donne $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39$ .

a) « Démontrons que $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ . On sait que $\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t$ , et une fonction définie par une intégrale a pour dérivée la fonction intégrée. Donc $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ . »
b) « Résolvons $y'=2y$ . Si $y$ est solution, $z(x)=y(x)\mathrm{e}^{-2x}$ vérifie $z'=0$ , donc $z=0$ , donc $y=0$ : la seule solution est la fonction nulle. »
c) « Pour tout entier $n\geq 1$ et tout $x\geq 0$ , $\mathrm{e}^{x}\geq x^{n}$ . En effet, c'est l'exercice 1 pour $n=1$ , et pour $n=2$ on vérifie : $\mathrm{e}^{1}\geq 1$ , $\mathrm{e}^{2}\geq 4$ , $\mathrm{e}^{3}\geq 9$ . »
d) « La fonction inverse vérifie $f''(x)=\frac{2}{x^{3}}$ . Donc sa courbe est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $1$ , d'équation $y=2-x$ , pour tout réel $x\neq 0$ . »
e) « Tout ensemble de points de l'espace d'équation $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ . »

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Réponses

a) Cercle vicieux : $\int_{1}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x$ suppose déjà $\ln'=\frac{1}{x}$ ; $\ln'(5)=0{,}2$ se démontre par $\mathrm{e}^{\ln x}=x$
b) $z'=0$ donne $z$ CONSTANTE : $y=C\mathrm{e}^{2x}$ ; contre-exemple $y=5\mathrm{e}^{2x}$ , $y'(0)=10=2y(0)$
c) Conclusion sur des exemples : pour $n=3$ et $x=2$ , $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39<8=2^{3}$
d) Hypothèse oubliée : $f''>0$ seulement sur $]0\,;+\infty[$ ; en $-1$ , $f(-1)=-1$ sous la tangente, qui vaut $3$
e) Hypothèse oubliée : $(a\,;b\,;c)$ non nul ; $0x+0y+0z+5=0$ est l'ensemble vide

a) Faute : cercle vicieux. L'égalité $\ln x=\int_{1}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{t}$ se démontre en sachant que $\ln$ est la primitive de $\frac{1}{x}$ nulle en $1$ , c'est-à-dire en utilisant $\ln'=\frac{1}{x}$ , le résultat à prouver. Une démonstration n'utilise que ce qui est établi AVANT : ici, la définition de $\ln$ comme réciproque de l'exponentielle. Démonstration juste (exercice 3) : on dérive $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ , d'où $\ln'(x)\times x=1$ ; par exemple $\ln'(5)=\frac{1}{5}=0{,}2$ .

b) Faute : une dérivée nulle donne une fonction CONSTANTE, pas une fonction nulle. De $z'=0$ sur l'intervalle $\mathbb{R}$ , on tire $z=C$ , d'où $y(x)=C\mathrm{e}^{2x}$ pour un réel $C$ quelconque. Contre-exemple à la conclusion : $y=5\mathrm{e}^{2x}$ vérifie $y'=10\mathrm{e}^{2x}=2y$ , et en $0$ , $y'(0)=10=2\times 5$ . L'élève a perdu toutes les solutions sauf une ; en pratique, c'est la condition initiale qui fixe $C$ , et elle n'aurait plus rien à fixer.

c) Faute : conclusion tirée d'exemples, et généralisée à tous les $n$ à partir de $n=1$ et $n=2$ . Le contre-exemple est tout proche : $n=3$ et $x=2$ donnent $2^{3}=8$ alors que $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39<8$ . Ce que le programme démontre, c'est une LIMITE (exercice 2) : $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}\to+\infty$ , donc $\mathrm{e}^{x}>x^{n}$ pour $x$ ASSEZ GRAND, pas pour tout $x\geq 0$ . Même pour $n=2$ , trois valeurs ne prouvent rien ; l'énoncé est vrai pour $n=2$ , mais il se démontre par l'étude de $\mathrm{e}^{x}-x^{2}$ , pas par trois essais.

d) Faute : hypothèse oubliée. La propriété de l'exercice 7 exige $f''\geq 0$ sur un INTERVALLE contenant le point de tangence. Or $\frac{2}{x^{3}}>0$ seulement sur $]0\,;+\infty[$ ; sur $]-\infty\,;0[$ , la fonction inverse est concave. Contre-exemple : en $x=-1$ , la tangente vaut $2-(-1)=3$ et la courbe $f(-1)=-1$ , EN DESSOUS. Énoncé juste : « pour tout $x>0$ , $\frac{1}{x}\geq 2-x$ », qui équivaut à $(x-1)^{2}\geq 0$ après multiplication par $x>0$ .

e) Faute : hypothèse oubliée, $(a\,;b\,;c)\neq(0\,;0\,;0)$ . Avec $a=b=c=0$ , l'équation $0x+0y+0z+5=0$ n'a aucune solution, c'est l'ensemble vide, et $0x+0y+0z+0=0$ est vérifiée par tout l'espace : ni l'un ni l'autre n'est un plan, et $\vec{0}$ n'est pas un vecteur normal. La démonstration juste (exercice 10) utilise cette hypothèse pour trouver un point du plan, par exemple $\left(-\frac{d}{a}\,;0\,;0\right)$ lorsque $a\neq 0$ .

Exercice 9 : Des graines qui germent : P(X = k), puis espérance et variance par une somme

Une jardinière sème des graines d'une même variété. Chaque graine germe avec la probabilité $p=0{,}8$ , indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de graines qui germent parmi $n$ graines semées : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ .

Le programme demande de démontrer l'expression de $P(X=k)$ , puis l'espérance et la variance de la loi binomiale. La figure est l'arbre du cas $n=3$ : G signifie « la graine germe », N « elle ne germe pas », et chaque issue est écrite au bout de son chemin.

a) Cas $n=3$ . Combien de chemins de l'arbre comportent exactement deux G ? Quelle est la probabilité de chacun ? Déduisez-en $P(X=2)$ .
b) Démonstration. Pour $n$ quelconque et $0\leq k\leq n$ , justifiez que chaque chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k}(1-p)^{n-k}$ , et que ces chemins sont au nombre de $\binom{n}{k}$ . Concluez. Pour $n=10$ et $k=7$ , combien y a-t-il de chemins, et quel exposant porte $1-p$ ?
c) Démonstration. Pour $i$ de $1$ à $n$ , soit $X_{i}$ la variable qui vaut $1$ si la $i$ -ème graine germe et $0$ sinon, de sorte que $X=X_{1}+\cdots+X_{n}$ . Calculez $E(X_{i})$ et $V(X_{i})$ . Par linéarité de l'espérance, et additivité de la variance pour des variables INDÉPENDANTES, déduisez-en $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ . Donnez $E(X)$ et $V(X)$ pour un godet de $10$ graines.
d) Contrôle direct avec $n=2$ : donnez la loi de $Y$ , nombre de graines qui germent parmi deux, calculez $E(Y)$ et $V(Y)$ à partir des définitions, et comparez aux formules de c).

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Réponses

a) $3$ chemins (GGN, GNG, NGG), chacun de probabilité $0{,}8^{2}\times 0{,}2=0{,}128$ : $P(X=2)=0{,}384$
b) Produit le long du chemin par indépendance, positions des succès choisies de $\binom{n}{k}$ façons : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ ; $120$ chemins, exposant $3$
c) $E(X_{i})=0{,}8$ , $V(X_{i})=0{,}8-0{,}64=0{,}16$ ; $E(X)=8$ , $V(X)=1{,}6$
d) $P(Y=0)=0{,}04$ , $P(Y=1)=0{,}32$ , $P(Y=2)=0{,}64$ ; $E(Y)=1{,}6=2\times 0{,}8$ , $V(Y)=0{,}32=2\times 0{,}16$

a) Les chemins à deux G sont GGN, GNG et NGG : il y en a $3$ , autant que de façons de placer l'unique N parmi trois rangs, soit $\binom{3}{2}=3$ . Par indépendance, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches, et chacun porte deux fois $0{,}8$ et une fois $0{,}2$ , quel que soit l'ordre : $0{,}8^{2}\times 0{,}2=0{,}128$ . Ces trois chemins sont des issues incompatibles, donc $P(X=2)=3\times 0{,}128=0{,}384$ .

b) Démonstration rédigée. On représente les $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes par un arbre à $n$ niveaux. Un chemin réalisant $\{X=k\}$ comporte $k$ branches de probabilité $p$ et $n-k$ branches de probabilité $1-p$ ; par indépendance, sa probabilité est le produit $p^{k}(1-p)^{n-k}$ , la même pour tous ces chemins. Un tel chemin est déterminé par l'ensemble des $k$ rangs de succès, partie à $k$ éléments de $\{1\,;\ldots\,;n\}$ : il y en a $\binom{n}{k}$ . Les chemins étant incompatibles, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ . Pour $n=10$ et $k=7$ : $\binom{10}{7}=120$ chemins, et l'exposant de $1-p$ est $10-7=3$ .

c) Démonstration rédigée. $X_{i}$ prend la valeur $1$ avec la probabilité $p$ et $0$ avec la probabilité $1-p$ : $E(X_{i})=p$ , et comme $X_{i}^{2}=X_{i}$ , $E(X_{i}^{2})=p$ , d'où $V(X_{i})=E(X_{i}^{2})-E(X_{i})^{2}=p-p^{2}=p(1-p)$ . Par linéarité de l'espérance, VRAIE SANS hypothèse, $E(X)=E(X_{1})+\cdots+E(X_{n})=np$ . Les $X_{i}$ sont indépendantes, parce que les graines germent indépendamment : la variance de la somme est la somme des variances, $V(X)=np(1-p)$ . Sans l'indépendance, cette dernière égalité serait fausse. Pour $n=10$ et $p=0{,}8$ : $E(X_{i})=0{,}8$ , $V(X_{i})=0{,}16$ , $E(X)=8$ et $V(X)=1{,}6$ , soit en moyenne huit plants par godet.

d) $P(Y=0)=0{,}2^{2}=0{,}04$ , $P(Y=1)=2\times 0{,}8\times 0{,}2=0{,}32$ et $P(Y=2)=0{,}8^{2}=0{,}64$ , de somme $1$ . $E(Y)=0\times 0{,}04+1\times 0{,}32+2\times 0{,}64=1{,}6$ , et $E(Y^{2})=0{,}32+4\times 0{,}64=2{,}88$ , d'où $V(Y)=2{,}88-1{,}6^{2}=2{,}88-2{,}56=0{,}32$ . Les formules donnent $2\times 0{,}8=1{,}6$ et $2\times 0{,}8\times 0{,}2=0{,}32$ : accord parfait. Ce contrôle sur un cas n'est pas une preuve, il vérifie la preuve de c).

Exercice 10 : Le point du toit le plus proche : équation d'un plan et projeté orthogonal

Dans un repère orthonormé de l'espace, d'unité le mètre, un pan de toit est porté par le plan $\mathcal{P}$ passant par $A(4\,;0\,;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1\,;2\,;2)$ . Le sommet d'une antenne est au point $M(3\,;6\,;8)$ ; on veut le relier au toit par le câble le plus court.

Le programme demande deux démonstrations : l'équation cartésienne d'un plan dans le cas général, et le fait que le projeté orthogonal d'un point sur un plan est le point de ce plan le plus proche. La formule donnant directement la distance d'un point à un plan n'est pas au programme : on ne l'utilise pas. La figure est un schéma, sans échelle.

a) Démonstration. Soit un plan passant par $A(x_{A}\,;y_{A}\,;z_{A})$ , de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ non nul. Démontrez qu'un point $N(x\,;y\,;z)$ lui appartient si et seulement si $ax+by+cz+d=0$ , avec un réel $d$ à exprimer. Réciproquement, démontrez que si $(a\,;b\,;c)\neq(0\,;0\,;0)$ , l'ensemble des points vérifiant $ax+by+cz+d=0$ est un plan. Application : donnez $d$ pour $\mathcal{P}$ , puis l'abscisse du point où $\mathcal{P}$ coupe l'axe des abscisses.
b) On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$ . Donnez une représentation paramétrique de la droite passant par $M$ et dirigée par $\vec{n}$ , déterminez le paramètre $t$ de son point d'intersection avec $\mathcal{P}$ , puis les coordonnées de $H$ et la longueur $MH$ .
c) Démonstration. Soit $N$ un point de $\mathcal{P}$ distinct de $H$ . Démontrez que $MN^{2}=MH^{2}+HN^{2}$ , et concluez que $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ . Contrôle avec $N=A$ : calculez $MA^{2}$ et $HA^{2}$ .
d) Le câble disponible mesure $\sqrt{74}$ mètres et doit être tendu en ligne droite. Démontrez que les points de $\mathcal{P}$ où l'on peut l'attacher forment un cercle, dont vous donnerez le centre et le rayon.

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Réponses

a) $\overrightarrow{AN}\cdot\vec{n}=0$ donne $d=-(ax_{A}+by_{A}+cz_{A})$ ; $\mathcal{P} : x+2y+2z-10=0$ , $d=-10$ , point $(10\,;0\,;0)$
b) $(3+t\,;6+2t\,;8+2t)$ , $9t+21=0$ , $t=-\frac{7}{3}$ ; $H\left(\frac{2}{3}\,;\frac{4}{3}\,;\frac{10}{3}\right)$ , $MH=7$ m
c) $\overrightarrow{HN}\perp\overrightarrow{MH}$ : Pythagore, $MN^{2}=MH^{2}+HN^{2}>MH^{2}$ ; $MA^{2}=62=49+13$
d) $HN^{2}=74-49=25$ : cercle de centre $H$ et de rayon $5$ m dans $\mathcal{P}$

a) Démonstration rédigée. $N$ appartient au plan si et seulement si $\overrightarrow{AN}$ est orthogonal à $\vec{n}$ , soit $a(x-x_{A})+b(y-y_{A})+c(z-z_{A})=0$ , c'est-à-dire $ax+by+cz+d=0$ avec $d=-(ax_{A}+by_{A}+cz_{A})$ . Réciproque : si $(a\,;b\,;c)\neq(0\,;0\,;0)$ , supposons par exemple $a\neq 0$ ; le point $B\left(-\frac{d}{a}\,;0\,;0\right)$ vérifie l'équation, et pour tout $N$ , $ax+by+cz+d=a\left(x+\frac{d}{a}\right)+by+cz=\overrightarrow{BN}\cdot\vec{n}$ . L'ensemble est donc le plan passant par $B$ de vecteur normal $\vec{n}$ ; les cas $b\neq 0$ ou $c\neq 0$ sont identiques. Application : $d=-(4+0+6)=-10$ , $\mathcal{P} : x+2y+2z-10=0$ , qui coupe l'axe des abscisses en $(10\,;0\,;0)$ , et l'on retrouve $A$ : $4+0+6-10=0$ .

b) La droite passant par $M$ dirigée par $\vec{n}$ a pour représentation $x=3+t$ , $y=6+2t$ , $z=8+2t$ , $t\in\mathbb{R}$ . On remplace dans l'équation : $3+t+2(6+2t)+2(8+2t)-10=0$ , soit $9t+21=0$ et $t=-\frac{7}{3}$ . D'où $H\left(3-\frac{7}{3}\,;6-\frac{14}{3}\,;8-\frac{14}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\,;\frac{4}{3}\,;\frac{10}{3}\right)$ , et $\frac{2}{3}+\frac{8}{3}+\frac{20}{3}-10=0$ confirme $H\in\mathcal{P}$ . $\overrightarrow{MH}=-\frac{7}{3}\vec{n}$ et $\|\vec{n}\|=\sqrt{1+4+4}=3$ , donc $MH=\frac{7}{3}\times 3=7$ m.

c) Démonstration rédigée. $H$ et $N$ sont dans $\mathcal{P}$ , donc $\overrightarrow{HN}$ est orthogonal à $\vec{n}$ , donc à $\overrightarrow{MH}$ qui lui est colinéaire. Alors $MN^{2}=\left\|\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HN}\right\|^{2}=MH^{2}+2\,\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{HN}+HN^{2}=MH^{2}+HN^{2}$ . Comme $N\neq H$ , $HN^{2}>0$ et $MN>MH$ : $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ , et le seul. Contrôle : $MA^{2}=1+36+25=62$ et $HA^{2}=\left(\frac{10}{3}\right)^{2}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{117}{9}=13$ , avec $49+13=62$ . La distance de $M$ au toit, $7$ m, est donc une démonstration, pas une formule.

d) Un point $N$ de $\mathcal{P}$ convient si et seulement si $MN=\sqrt{74}$ , soit $MN^{2}=74$ . D'après c), $MN^{2}=49+HN^{2}$ (vrai aussi pour $N=H$ ), donc la condition équivaut à $HN^{2}=25$ , soit $HN=5$ . Les points d'attache sont les points du plan $\mathcal{P}$ situés à $5$ m de $H$ : le cercle de $\mathcal{P}$ de centre $H$ et de rayon $5$ m. Un câble plus court que $7$ m n'atteint pas le toit ; un câble d'exactement $7$ m ne s'attache qu'en $H$ .

Exercices corrigés : les démonstrations du programme (Terminale spécialité)

Rappel de cours

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Pourquoi l'exponentielle tend vers l'infini : ses limites en plus et moins l'infini

Exercice 2 : Croissance comparée : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance

Exercice 3 : Le logarithme, réciproque de l'exponentielle : sa dérivée et la limite de x ln x en 0

Exercice 4 : Une dérivée nulle sur un intervalle : primitives à une constante près et équation y' = ay

Exercice 5 : Coefficients binomiaux : Pascal par le calcul, la somme 2 puissance n par dénombrement

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : De l'aire à la primitive, puis l'intégration par parties

Exercice 7 : Au-dessus de ses tangentes : ce que la dérivée seconde garantit

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Des graines qui germent : P(X = k), puis espérance et variance par une somme

Exercice 10 : Le point du toit le plus proche : équation d'un plan et projeté orthogonal

Voir aussi

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