Maths Cinquième, programme français • Fiche de révision à Montréal
Cette fiche de révision accompagne le chapitre sur les angles du programme de Cinquième de 2026 : angles adjacents, supplémentaires, opposés par le sommet, bissectrice, mesures des équerres, puis angles alternes-internes et correspondants, pour caractériser le parallélisme.
Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.
Le fil du chapitre
La propriété marche dans les deux sens, et il faut dire lequel : « parallèles, donc angles égaux » ou « angles égaux, donc parallèles ». Le dessin ne donne ni l'un ni l'autre, et le mot alternes-internes ne contient aucune égalité : il dit seulement où sont les angles.
Le tableau du chapitre
Quatre paires, quatre lignes de lecture. Les deux premières colonnes vivent dans un seul carrefour et n'ont pas besoin de parallèles ; les deux dernières vivent dans deux carrefours et en ont besoin pour donner une égalité.
| Critère | Opposés par le sommet un carrefour, face à face | Adjacents supplémentaires un carrefour, côte à côte | Alternes-internes deux carrefours, le Z | Correspondants deux carrefours, le F |
|---|---|---|---|---|
| Ce qu'il faut pour le dire | même sommet, côtés en prolongement | même sommet, un côté commun, de part et d'autre, côtés extérieurs alignés | sommets différents, entre les droites, de part et d'autre de la sécante | sommets différents, même côté de la sécante, même place dans chaque carrefour |
| Où sont les angles | autour d'un seul point, séparés par les deux autres | autour d'un seul point, séparés par un côté | un en haut, un en bas, chacun d'un côté | un en haut, un en bas, du même côté |
| Ce qu'on en tire | angles égaux | somme égale à | angles égaux | angles égaux |
| L'hypothèse requise | deux droites sécantes, rien d'autre | trois points alignés | droites parallèles, donnée ou démontrée | droites parallèles, donnée ou démontrée |
| Si la conclusion est fausse | les côtés ne sont pas en prolongement | les points ne sont pas alignés | les droites ne sont pas parallèles | les droites ne sont pas parallèles |
Une paire se nomme AVANT de se calculer : on dit d'abord quelles sont les deux droites et quelle est la sécante.
Supplémentaires parle de mesure, adjacents parle de position : deux angles supplémentaires peuvent être très loin l'un de l'autre.
Euclide démontre déjà le second sens au Livre I de ses Éléments (propositions 27 et 28).
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Ces angles sont alternes-internes, donc ils sont égaux : l'angle du bas mesure . »
Ce qu'il faut écrire
« Rien ne dit que les droites sont parallèles : on ne peut pas conclure à l'égalité. »
Pourquoi : Le nom dit la POSITION, seule l'hypothèse de parallélisme donne l'égalité. Sur des droites quelconques, les deux angles alternes-internes peuvent mesurer et .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« On voit que les droites sont parallèles. »
Ce qu'il faut écrire
« Si les droites étaient parallèles, ces angles alternes-internes seraient égaux. Or , donc les droites ne sont pas parallèles. »
Pourquoi : Un écart de ne se voit pas à l'œil. Le parallélisme se lit dans l'énoncé ou se démontre par une paire d'angles ; le dessin ne sert qu'à repérer la paire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Ils sont tous les deux entre les droites, donc ils sont alternes-internes et égaux. »
Ce qu'il faut écrire
« Ils sont du même côté de la sécante : ils ne sont pas alternes-internes. Le voisin de mesure . »
Pourquoi : Il faut les deux conditions : entre les droites ET de part et d'autre de la sécante. Entre parallèles, ce faux couple a pour somme : cela se déduit, en passant par le vrai alterne-interne.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« et : ils sont différents, donc et ne sont pas parallèles. »
Ce qu'il faut écrire
« , , sont alignés, donc . et sont alternes-internes et égaux, donc les droites sont parallèles. »
Pourquoi : La propriété ne parle que d'une paire nommée. On commence donc par trouver l'angle qui forme un Z ou un F avec l'angle donné, quitte à passer par un supplémentaire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Même sommet, un côté commun : ces deux angles sont adjacents, donc j'additionne. »
Ce qu'il faut écrire
« Ils sont du même côté du côté commun, et l'un est dans l'autre : ils ne sont pas adjacents, je soustrais. »
Pourquoi : La troisième condition est celle qu'on oublie : de part et d'autre du côté commun. Si l'un des angles est dans l'autre, leurs mesures se retranchent.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux côtés extérieurs forment une droite, on le voit bien, donc la somme vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« . Si les deux côtés extérieurs formaient une droite, la somme vaudrait : ils n'en forment pas une. »
Pourquoi : Trois points alignés se donnent dans l'énoncé ou se démontrent. La somme des deux angles adjacents est le contrôle : exactement , sinon pas de droite.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La demi-droite est au milieu, donc c'est la bissectrice. »
Ce qu'il faut écrire
« Les deux angles portent le même codage : la demi-droite est la bissectrice. »
Pourquoi : Une bissectrice se lit à un codage ou à deux mesures égales. Sans l'un ni l'autre, la seule réponse juste est : on ne peut pas savoir.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'angle voisin de mesure lui aussi . »
Ce qu'il faut écrire
« Le voisin de forme avec lui un angle plat : il mesure . C'est l'angle opposé qui mesure . »
Pourquoi : Face à face, égaux ; côte à côte, somme . Un seul coup d'œil : un angle aigu et son voisin ne peuvent pas être égaux, sauf s'ils sont droits.
Deux angles repérés sur la figure, dont on veut relier les mesures
Si même sommet, face à face → opposés par le sommet : égaux, sans autre condition
Exemple : et
Si même sommet, côte à côte sur une droite → adjacents supplémentaires : somme égale à 180 degrés
Exemple : et
Si sommets différents, dessin en Z → alternes-internes : égaux seulement si les droites sont parallèles
Exemple : entre parallèles, et
Si sommets différents, dessin en F → correspondants : égaux seulement si les droites sont parallèles
Exemple : entre parallèles, et
Si sommets différents, ni Z ni F → aucune propriété directe : passer par un angle voisin ou opposé
Exemple : devient par l'angle plat
Si deux angles ne forment ni un Z ni un F, aucune propriété ne les relie directement : on passe par un angle voisin ou opposé.
Le verbe et les données de l'énoncé
Si l'énoncé dit que les droites sont parallèles et demande une mesure → premier sens : parallèles, donc angles égaux
Exemple : parallèle à : alterne-interne de ,
Si l'énoncé demande si les droites sont parallèles, et une paire a deux mesures égales → second sens : angles égaux, donc parallèles
Exemple : et : oui
Si l'énoncé demande si les droites sont parallèles, et une paire a deux mesures différentes → parallèles, elles donneraient des angles égaux : donc non
Exemple : et : non
Si aucune mesure, aucune donnée, seulement l'allure du dessin → on ne peut pas conclure, et on l'écrit
Exemple : ni oui ni non
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : « Les droites sont parallèles. Calculer l'angle... Justifier. »
Phrase de conclusion
« On sait que et sont parallèles, coupées par , et que et sont alternes-internes. Or des droites parallèles forment des angles alternes-internes égaux. Donc . »
Le piège : Écrire le nombre sans la paire : le correcteur ne peut pas savoir quelle propriété vous avez utilisée, et le point de justification est perdu.
Barème : 1 point pour la paire nommée, 1 point pour la propriété citée, 1 point pour la mesure.
Quand l'utiliser : « Démontrer que les droites sont parallèles » ou « Les droites sont-elles parallèles ? »
Phrase de conclusion
« et sont correspondants pour , et la sécante , et ils mesurent tous les deux . Or si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles. Donc et sont parallèles. »
Le piège : Citer la propriété dans le mauvais sens : « des droites parallèles forment des angles égaux » n'a pas le droit de servir ici, puisque c'est le parallélisme qu'on cherche.
Quand l'utiliser : Une paire d'angles a deux mesures différentes.
Phrase de conclusion
« Si et étaient parallèles, les angles alternes-internes seraient égaux. Or . Donc et ne sont pas parallèles. »
Le piège : Écrire « les angles sont différents, donc on ne sait pas » : on sait, et la conclusion est nette.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Deux mesures, pas une de plus
Entre deux parallèles coupées par une sécante, les huit angles ne prennent que deux valeurs, un angle et son supplémentaire.
Avec , on ne doit lire que et . Un sur cette figure signale une erreur de paire.
L'aigu contre l'obtus
Sur la figure, si les droites ne sont pas perpendiculaires à la sécante, un angle aigu ne peut pas être égal à un angle obtus.
Si vous écrivez qu'un angle visiblement obtus mesure , vous avez pris l'angle voisin : c'est .
Le tour complet
Autour d'un carrefour, additionner les quatre angles trouvés : la somme doit valoir un angle plein.
. Une somme de dit qu'un angle est faux.
Le mot parallèle est-il écrit ?
Avant d'écrire une égalité d'alternes-internes ou de correspondants, chercher le mot parallèle dans l'énoncé ou dans une question déjà démontrée.
Sans ce mot, la ligne est fausse même si le nombre est juste, et le correcteur le voit.
Deux voies ferrées, portées par les droites et , sont parallèles. Une traversée les relie, avec sur et sur . Plus loin, une seconde traversée relie aussi les deux voies. On donne et .
Calculer et , puis démontrer que les deux traversées sont parallèles.
Étape 1
On sait que et sont parallèles et que les coupe.
Pourquoi
On pose d'abord les droites et la sécante : tant qu'elles ne sont pas dites, aucune paire n'a de sens.
Étape 2
et sont alternes-internes, donc .
Pourquoi
Premier sens : l'énoncé donne le parallélisme. Le Z formé par , et est retourné, et il reste un Z.
Étape 3
, et sont alignés, donc .
Pourquoi
Un seul carrefour, celui de : ici, aucun besoin de parallèles, seul l'angle plat sert.
Étape 4
et sont correspondants pour , et la sécante , et tous deux mesurent .
Pourquoi
La sécante a changé : c'est maintenant la voie du haut qui coupe les deux traversées. C'est le geste qui fait basculer dans l'autre sens.
Étape 5
Donc et sont parallèles.
Pourquoi
Second sens : les angles égaux donnent le parallélisme. La conclusion porte sur les droites, et c'est elle qui rapporte le point.
Étape 6
Vérification : on ne lit que et sur la figure, et .
Pourquoi
Entre parallèles, deux mesures seulement : un angle et son supplémentaire. Le contrôle coûte cinq secondes.
Conclusion rédigée
, , et les deux traversées sont parallèles : la même figure a servi la propriété dans ses deux sens.
L'erreur classique sur cet exercice : Écrire « les traversées ont l'air parallèles, donc » : c'est le raisonnement à l'envers. L'égalité est donnée, et c'est le parallélisme qu'on démontre.
On cherche deux angles de sommets différents, tous les deux situés entre les deux droites, et de part et d'autre de la droite qui les coupe, appelée sécante. En traçant les trois traits concernés, on obtient un dessin en Z, parfois retourné. Le nom ne dit rien des mesures : les deux angles ne sont égaux que si les droites sont parallèles.
Les angles alternes-internes sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante, en forme de Z. Les angles correspondants sont du même côté de la sécante, à la même place dans chaque carrefour, en forme de F : l'un est entre les droites, l'autre non. Dans les deux cas, ils sont égaux seulement quand les droites sont parallèles.
On trouve une paire d'angles alternes-internes ou correspondants pour ces deux droites et une sécante, on justifie leurs deux mesures, et l'on constate qu'elles sont égales. On cite alors la propriété : si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles. Si les mesures diffèrent, les droites ne sont pas parallèles.
Non. Supplémentaires veut seulement dire que la somme des deux mesures vaut 180 degrés, où que soient les angles. Adjacents parle de position : même sommet, un côté commun, de part et d'autre de ce côté. Deux angles peuvent donc être supplémentaires et tracés à deux endroits différents d'une feuille, sans aucun point commun.
Il faut une preuve, pas une impression : soit un codage identique sur les deux angles qu'elle sépare, soit deux mesures égales écrites, soit une phrase de l'énoncé. Si la demi-droite a seulement l'air d'être au milieu, on ne peut pas l'affirmer. Une fois la bissectrice connue, chaque moitié vaut la moitié de l'angle entier.
© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/5eme-angles-parallelisme. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).
