Exercice 0.1 : Reconnaître un angle et une paire d'angles : dix reconnaissances directes

Pour a) à e), donnez la nature de l'angle d'après sa mesure.

Pour f) à j), regardez la figure et donnez le nom de la paire d'angles. Les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont PAS parallèles : le nom d'une paire ne parle que de la POSITION des deux angles, il ne dit rien de leurs mesures.

a) Un angle de $134°$ .
b) Un angle de $180°$ .
c) Un angle de $27°$ .
d) Un angle de $360°$ , un tour complet.
e) Un angle de $0°$ , dont les deux côtés sont confondus.
f) Les angles $1$ et $3$ .
g) Les angles $2$ et $3$ .
h) Les angles $3$ et $5$ .
i) Les angles $2$ et $6$ .
j) Les angles $4$ et $5$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

Nature

b)

Nature

c)

Nature

d)

Nature

e)

Nature

f)

Nom de la paire

g)

Nom de la paire

h)

Nom de la paire

i)

Nom de la paire

j)

Nom de la paire

Voir la correction

Réponses

a) obtus
b) plat
c) aigu
d) plein
e) nul
f) opposés par le sommet
g) adjacents
h) alternes-internes
i) correspondants
j) aucun de ces noms

Les mesures à savoir par cœur : nul $0°$ , aigu entre $0°$ et $90°$ , droit $90°$ , obtus entre $90°$ et $180°$ , plat $180°$ , plein $360°$ .

Pour une paire, on se pose deux questions dans l'ordre : même sommet ou non ? puis, si les sommets sont différents, où sont les deux angles par rapport aux droites et à la sécante ?

a)

$90°<134°<180°$ : l'angle est obtus.

b)

$180°$ : l'angle est plat, ses deux côtés forment une droite.

c)

$0°<27°<90°$ : l'angle est aigu.

d)

$360°$ : l'angle est plein.

e)

$0°$ : l'angle est nul.

f)

Même sommet, et les côtés de $1$ prolongent ceux de $3$ : ils sont opposés par le sommet.

g)

Même sommet, un côté commun, de part et d'autre de ce côté : ils sont adjacents.

h)

Sommets différents, tous deux entre $(d)$ et $(d')$ , de part et d'autre de $(s)$ : ils sont alternes-internes.

i)

Sommets différents, du même côté de $(s)$ , l'angle $2$ au-dessus de $(d)$ et l'angle $6$ au-dessus de $(d')$ , donc à la même place dans leur carrefour : ils sont correspondants.

j)

Sommets différents, tous deux entre les droites, mais du MÊME côté de $(s)$ .

Piège : les croire alternes-internes parce qu'ils sont intérieurs. Il manque « de part et d'autre de la sécante ». Ce couple n'a aucun des quatre noms du programme.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 0.2 : Calculer une mesure d'angle : dix calculs directs

Donnez chaque mesure en degrés, sans rapporteur. Avant de calculer, nommez la propriété : c'est elle qui donne le nombre, pas le dessin.

a) Le supplémentaire d'un angle de $38°$ .
b) Deux droites se coupent et l'un des angles mesure $76°$ . Son opposé par le sommet.
c) Deux droites se coupent et l'un des angles mesure $107°$ . Un angle qui lui est adjacent.
d) La bissectrice d'un angle de $86°$ le partage en deux. La mesure de chaque moitié.
e) La demi-droite $[Ot)$ est la bissectrice de $\widehat{xOy}$ et $\widehat{xOt}=27°$ . La mesure de $\widehat{xOy}$ .
f) Un angle plat est partagé en deux angles adjacents, dont l'un mesure $153°$ . L'autre.
g) Quatre angles remplissent un angle plein autour d'un point : $95°$ , $110°$ , $80°$ . Le quatrième.
h) Deux droites PARALLÈLES sont coupées par une sécante, et un angle mesure $74°$ . Son alterne-interne.
i) Deux droites PARALLÈLES sont coupées par une sécante, et un angle mesure $129°$ . Son correspondant.
j) Deux droites sont coupées par une sécante, et rien d'autre n'est dit. Un angle mesure $74°$ . Son alterne-interne.

Voir la correction

Réponses

a) $142°$
b) $76°$
c) $73°$
d) $43°$
e) $54°$
f) $27°$
g) $75°$
h) $74°$
i) $129°$
j) on ne peut pas savoir

Comparez h) et j) : mêmes mots, même nombre, deux réponses. La propriété exige des droites parallèles, et c'est l'énoncé qui doit le dire.

a)

Deux angles supplémentaires ont pour somme $180°$ : $180°-38°=142°$ .

b)

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure : $76°$ .

c)

Ces deux angles adjacents forment un angle plat : $180°-107°=73°$ .

d)

La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux : $86°\div 2=43°$ .

e)

L'angle entier vaut le double de sa moitié : $2\times 27°=54°$ .

f)

$180°-153°=27°$ .

g)

$360°-(95°+110°+80°)=360°-285°=75°$ .

h)

Droites parallèles, donc angles alternes-internes égaux : $74°$ .

i)

Droites parallèles, donc angles correspondants égaux : $129°$ .

j)

Rien ne dit que les droites sont parallèles : on ne peut pas savoir.

Piège : répondre $74°$ par habitude. C'est la faute la plus chère du chapitre.

Exercice 1 : Les mesures à connaître, avec vos deux équerres

Un angle droit mesure $90°$ et un angle plat $180°$ . Les équerres de la classe portent, elles aussi, des mesures à connaître par cœur : elles servent à contrôler un angle sans rapporteur.

La figure montre, à l'échelle, les deux modèles d'équerre. Sur une même équerre, deux angles de la même couleur ont la même mesure. Dans les questions, « poser côte à côte » veut dire : même sommet, un côté commun, sans chevauchement.

a) Donnez la mesure de chaque angle aigu des deux équerres.
b) On pose côte à côte l'angle de $60°$ et un angle de $45°$ . Calculez la mesure de l'angle obtenu et donnez sa nature.
c) On pose l'angle de $30°$ à l'intérieur d'un angle de $45°$ , avec le même sommet et un côté commun. Calculez la mesure de l'angle qui reste et donnez sa nature.
d) Calculez les mesures obtenues en posant côte à côte l'angle de $30°$ et un angle de $45°$ , puis l'angle droit et un angle de $45°$ .
e) Combien d'angles de $45°$ faut-il poser côte à côte pour obtenir un angle plat ? un angle plein ? Combien d'angles de $60°$ pour un angle plat ?
f) Un élève veut obtenir un angle de $50°$ avec ses seules équerres, par sommes et différences. Expliquez pourquoi il n'y arrivera pas.

Voir la correction

Réponses

a) équerre 1 : $30°$ et $60°$ ; équerre 2 : $45°$ et $45°$
b) $105°$ , obtus
c) $15°$ , aigu
d) $75°$ puis $135°$
e) $4$ ; $8$ ; $3$
f) $30$ , $45$ , $60$ , $90$ sont des multiples de $15$ , et pas $50$

a)

L'équerre 1 a pour angles $30°$ , $60°$ , $90°$ : le plus petit angle, en bleu, mesure $30°$ , et l'angle vert $60°$ .

L'équerre 2 a pour angles $45°$ , $45°$ , $90°$ : ses deux angles orange sont égaux.

Sur les deux équerres, l'angle droit se reconnaît à son petit carré.

b)

Les deux angles sont adjacents, donc leurs mesures s'ajoutent : $60°+45°=105°$ .

$90°<105°<180°$ : l'angle obtenu est obtus.

c)

L'angle de $30°$ est dans celui de $45°$ , donc on soustrait : $45°-30°=15°$ .

$0°<15°<90°$ : l'angle qui reste est aigu.

Si l'on superposait exactement deux angles de $45°$ , il ne resterait rien : un angle nul.

d)

$30°+45°=75°$ et $90°+45°=135°$ .

e)

$180°\div 45°=4$ : quatre angles de $45°$ font un angle plat.

$360°\div 45°=8$ : il en faut huit pour un angle plein.

$180°\div 60°=3$ : trois angles de $60°$ font un angle plat.

f)

Les seules mesures disponibles sont $30°$ , $45°$ , $60°$ et $90°$ , et chacune est un multiple de $15$ : $30=2\times 15$ , $45=3\times 15$ , $60=4\times 15$ , $90=6\times 15$ .

Or une somme ou une différence de multiples de $15$ est encore un multiple de $15$ .

Donc tout angle obtenu mesure un multiple de $15°$ . Comme $50=3\times 15+5$ , $50$ n'est pas un multiple de $15$ : l'angle de $50°$ est hors d'atteinte, et il faut le rapporteur.

Piège : conclure après trois essais ratés. Essayer ne prouve pas l'impossibilité, le multiple de $15$ la prouve pour toutes les combinaisons à la fois.

Exercice 2 : Adjacents, supplémentaires : un mot de position, un mot de mesure

Deux angles sont ADJACENTS quand ils ont le même sommet et un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté. Deux angles sont SUPPLÉMENTAIRES quand la somme de leurs mesures vaut $180°$ . Le premier mot parle de position, le second de mesure : l'un ne donne pas l'autre.

La figure ci-dessous montre quatre paires d'angles, marqués chacun par une couleur.

a) Pour chaque paire de la figure, dites si les deux angles sont adjacents.
b) Pour chaque paire qui n'est pas adjacente, indiquez la condition qui manque.
Les points $A$ , $O$ et $B$ sont alignés.
c) Sur la figure suivante, $A$ , $O$ et $B$ sont alignés, $\widehat{AOC}=38°$ et $\widehat{DOB}=67°$ . Calculez $\widehat{COD}$ en justifiant.
d) Sur une feuille, un angle de $53°$ est tracé en haut à gauche et un angle de $127°$ en bas à droite. Ces deux angles sont-ils supplémentaires ? Sont-ils adjacents ?
La figure est à l'échelle.
e) Sur la dernière figure, $\widehat{MOP}=88°$ et $\widehat{PON}=93°$ . Un élève affirme : « $M$ , $O$ et $N$ sont alignés, ça se voit. » Montrez qu'il a tort.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

Paire 1

Paire 2

Paire 3

Paire 4

b)

Paire 1

Paire 3

Paire 4

c)

\widehat{COD}

°

d)

Supplémentaires

Adjacents

e)

\widehat{MOP}+\widehat{PON}

°

M

,

O

,

N

alignés

Voir la correction

Réponses

a) paire 1 : non ; paire 2 : oui ; paire 3 : non ; paire 4 : non
b) paire 1 : de part et d'autre du côté commun ; paire 3 : le même sommet ; paire 4 : un côté commun
c) $\widehat{COD}=75°$
d) supplémentaires : oui ; adjacents : non
e) $88°+93°=181°\ne 180°$ : les points ne sont pas alignés

a)

Seule la paire 2 réunit les trois conditions : même sommet, un côté commun, de part et d'autre de ce côté.

Les paires 1, 3 et 4 échouent chacune sur une condition.

b)

Paire 1 : le côté commun existe, mais les deux angles sont du même côté et l'un est dans l'autre.

Paire 3 : les deux angles ont un segment en commun, mais pas le même sommet.

Paire 4 : même sommet, mais aucun côté commun.

c)

On sait que $A$ , $O$ et $B$ sont alignés, donc $\widehat{AOB}$ est un angle plat.

Or les trois angles $\widehat{AOC}$ , $\widehat{COD}$ et $\widehat{DOB}$ sont côte à côte dans cet angle plat.

Donc $\widehat{COD}=180°-38°-67°=75°$ .

d)

$53°+127°=180°$ : ils sont supplémentaires.

Ils n'ont pas le même sommet : ils ne sont pas adjacents.

Piège : croire que « supplémentaires » veut dire « qui forment un angle plat ». Deux angles supplémentaires peuvent être très loin l'un de l'autre ; seule leur somme compte.

e)

Si $M$ , $O$ et $N$ étaient alignés, $\widehat{MON}$ serait un angle plat, et $\widehat{MOP}$ et $\widehat{PON}$ , adjacents, auraient pour somme $180°$ .

Or $88°+93°=181°$ .

Donc $M$ , $O$ et $N$ ne sont pas alignés.

Piège : se fier au dessin. Un écart de $1°$ ne se voit pas à l'œil ; il se voit dans le calcul. Un angle plat ne se regarde pas, il se démontre.

Exercice 3 : Angles opposés par le sommet : la démonstration, puis le calcul

Deux angles sont OPPOSÉS PAR LE SOMMET quand ils ont le même sommet et que les côtés de l'un prolongent les côtés de l'autre : ils sont donc portés par deux droites sécantes.

Sur la figure, $(AB)$ et $(CD)$ sont deux droites sécantes en $O$ . Les deux angles bleus sont $\widehat{AOC}$ et $\widehat{BOD}$ , l'angle orange est $\widehat{BOC}$ .

a) Démontrez que $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$ , à l'aide de l'angle $\widehat{BOC}$ .
Les droites $(AB)$ , $(CD)$ et $(EF)$ passent toutes par $O$ .
b) Trois droites passent par $O$ , avec $\widehat{AOC}=49°$ et $\widehat{COE}=77°$ . Calculez $\widehat{EOB}$ , $\widehat{BOD}$ , $\widehat{DOF}$ et $\widehat{FOA}$ en justifiant chaque résultat.
c) Deux droites se coupent. Un angle mesure $87°$ , et l'angle qui lui est opposé par le sommet mesure $3x$ degrés. Calculez $x$ .
d) Sur cette même figure, un angle adjacent à l'angle de $87°$ mesure $y+38$ degrés. Calculez $y$ .
Les points $C$ , $O$ et $D$ sont alignés.
e) Sur la dernière figure, $C$ , $O$ et $D$ sont alignés, $\widehat{AOC}=66°$ et $\widehat{BOD}=72°$ . Un élève écrit : « ces deux angles sont opposés par le sommet ». Montrez qu'il se trompe, puis dites ce que cela prouve pour les points $A$ , $O$ et $B$ .

Voir la correction

Réponses

a) chacun des deux angles vaut $180°-\widehat{BOC}$
b) $\widehat{EOB}=54°$ ; $\widehat{BOD}=49°$ ; $\widehat{DOF}=77°$ ; $\widehat{FOA}=54°$
c) $x=29$
d) $y=55$
e) $66°\ne 72°$ , donc pas opposés par le sommet ; $A$ , $O$ et $B$ ne sont pas alignés

a)

On sait que $A$ , $O$ et $B$ sont alignés, donc $\widehat{AOC}+\widehat{BOC}=180°$ .

On sait aussi que $C$ , $O$ et $D$ sont alignés, donc $\widehat{BOC}+\widehat{BOD}=180°$ .

Donc $\widehat{AOC}=180°-\widehat{BOC}$ et $\widehat{BOD}=180°-\widehat{BOC}$ : ces deux angles sont égaux.

Ce raisonnement n'utilise aucune mesure : il vaut pour toutes les droites sécantes. C'est désormais une propriété, qu'on peut citer.

b)

$A$ , $O$ et $B$ sont alignés, donc $\widehat{EOB}=180°-49°-77°=54°$ .

$\widehat{BOD}$ et $\widehat{AOC}$ sont opposés par le sommet, donc $\widehat{BOD}=49°$ .

$\widehat{DOF}$ et $\widehat{COE}$ sont opposés par le sommet, donc $\widehat{DOF}=77°$ .

$\widehat{FOA}$ et $\widehat{EOB}$ sont opposés par le sommet, donc $\widehat{FOA}=54°$ .

Vérification : $49+77+54+49+77+54=360$ , un angle plein.

c)

Deux angles opposés par le sommet sont égaux, donc $3x=87$ .

$x=87\div 3=29$ .

Contrôle : $3\times 29=87$ .

d)

Cet angle et l'angle de $87°$ sont adjacents et forment un angle plat : il mesure $180°-87°=93°$ .

Donc $y+38=93$ , soit $y=93-38=55$ .

Contrôle : $55+38=93$ et $93+87=180$ .

Piège : écrire $y+38=87$ en croyant que l'angle adjacent est égal à l'angle donné. Égaux, ce sont les opposés ; adjacents, ils sont supplémentaires.

e)

Si ces deux angles étaient opposés par le sommet, ils seraient égaux.

Or $66°\ne 72°$ .

Donc ils ne sont pas opposés par le sommet. Comme les côtés $[OC)$ et $[OD)$ sont bien en prolongement, ce sont $[OA)$ et $[OB)$ qui ne le sont pas : $A$ , $O$ et $B$ ne sont pas alignés.

Piège : lire une droite qui n'en est pas une. Sur la figure, les deux traits ont presque l'air d'une seule droite, et seul le calcul tranche.

Question b) : les angles de même couleur sont opposés par le sommet, donc égaux.

Exercice 4 : La bissectrice se reconnaît au codage, pas au dessin

La BISSECTRICE d'un angle est la demi-droite issue de son sommet qui le partage en deux angles adjacents de même mesure. Sur une figure, on le lit à un codage (mêmes arcs de part et d'autre) ou à des mesures écrites, jamais à l'allure.

Les trois figures ci-dessous montrent chacune un angle partagé par une demi-droite.

a) Pour chaque figure, dites si la demi-droite tracée est la bissectrice de l'angle.
b) $[Ot)$ est la bissectrice de $\widehat{xOy}$ et $\widehat{xOy}=134°$ . Calculez $\widehat{xOt}$ .
c) $[Ot)$ est la bissectrice de $\widehat{xOy}$ et $\widehat{tOy}=46°$ . Calculez $\widehat{xOy}$ et donnez sa nature.
Les points $A$ , $O$ et $B$ sont alignés. $[OM)$ partage $\widehat{AOC}$ en deux angles bleus égaux, $[ON)$ partage $\widehat{COB}$ en deux angles orange égaux.
d) Sur la figure suivante, $\widehat{AOC}=76°$ . Calculez $\widehat{MOC}$ , $\widehat{CON}$ et $\widehat{MON}$ .
e) Démontrez que $\widehat{MON}=90°$ quelle que soit la position de la demi-droite $[OC)$ : les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires sont perpendiculaires.
f) Construisez au rapporteur un angle $\widehat{xOy}$ de $112°$ et sa bissectrice $[Ot)$ . Quelle mesure reportez-vous à partir de $[Ox)$ ?

Voir la correction

Réponses

a) figure 1 : oui ; figure 2 : non ; figure 3 : on ne peut pas savoir
b) $\widehat{xOt}=67°$
c) $\widehat{xOy}=92°$ , obtus
d) $\widehat{MOC}=38°$ ; $\widehat{CON}=52°$ ; $\widehat{MON}=90°$
e) $\widehat{MON}=\frac{\widehat{AOC}+\widehat{COB}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$
f) $56°$

a)

Figure 1 : les mêmes arcs de part et d'autre disent que les deux angles sont égaux. C'est la bissectrice.

Figure 2 : les mesures écrites sont $33°$ et $31°$ . Elles sont différentes : ce n'est pas la bissectrice, même si le dessin s'en approche.

Figure 3 : rien n'est codé, rien n'est mesuré. On ne peut pas savoir.

Piège : répondre « oui » à la figure 3 parce que la demi-droite a l'air au milieu. Une figure ne prouve rien sans codage.

b)

La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux : $\widehat{xOt}=134°\div 2=67°$ .

c)

$\widehat{xOt}=\widehat{tOy}=46°$ , donc $\widehat{xOy}=2\times 46°=92°$ .

$90°<92°<180°$ : l'angle est obtus, alors que chacune de ses moitiés est aiguë.

d)

$[OM)$ est la bissectrice de $\widehat{AOC}$ : $\widehat{MOC}=76°\div 2=38°$ .

$A$ , $O$ et $B$ sont alignés : $\widehat{COB}=180°-76°=104°$ .

$[ON)$ est la bissectrice de $\widehat{COB}$ : $\widehat{CON}=104°\div 2=52°$ .

$\widehat{MOC}$ et $\widehat{CON}$ sont adjacents : $\widehat{MON}=38°+52°=90°$ .

e)

On sait que $[OM)$ et $[ON)$ sont des bissectrices, donc $\widehat{MOC}=\frac{\widehat{AOC}}{2}$ et $\widehat{CON}=\frac{\widehat{COB}}{2}$ .

Or $\widehat{AOC}$ et $\widehat{COB}$ sont adjacents, et ils forment l'angle plat $\widehat{AOB}$ : $\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180°$ .

Donc $\widehat{MON}=\frac{\widehat{AOC}}{2}+\frac{\widehat{COB}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$ .

On n'a utilisé aucune valeur de $\widehat{AOC}$ : le résultat vaut pour toute position de $[OC)$ .

Piège : refaire le calcul de d) avec d'autres nombres et croire avoir démontré. Un exemple vérifie, seul le calcul en lettres démontre.

f)

On trace $[Ox)$ , puis $[Oy)$ à $112°$ de $[Ox)$ . On reporte ensuite la moitié, $112°\div 2=56°$ , à partir de $[Ox)$ et du même côté, pour tracer $[Ot)$ .

Contrôle : $\widehat{tOy}$ doit se mesurer à $56°$ .

Questions d) et e) :

38°+52°=90°

, la moitié de l'angle plat.

Question f) : on trace

[Ox)

, on reporte

112°

pour placer

[Oy)

, puis

56°

pour placer

[Ot)

.

Exercice 5 : Nommer les angles sur des droites qui ne sont pas parallèles

Deux droites $(d)$ et $(d')$ sont coupées par une sécante. La zone située entre les deux droites est dite INTÉRIEURE, le reste est extérieur. Deux angles de sommets différents sont :

ALTERNES-INTERNES s'ils sont tous deux dans la zone intérieure et de part et d'autre de la sécante ;

CORRESPONDANTS s'ils sont du même côté de la sécante, l'un dans la zone intérieure et l'autre à l'extérieur, à la même place dans leur carrefour.

Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles, et cela n'empêche aucun de ces deux noms.

a) Citez les deux angles de sommet $E$ qui sont dans la zone intérieure.
b) Nommez l'angle alterne-interne de $\widehat{AEF}$ .
c) Nommez l'angle alterne-interne de $\widehat{BEF}$ .
d) Nommez l'angle correspondant de $\widehat{GEB}$ , puis celui de $\widehat{AEF}$ .
e) On mesure $\widehat{AEF}=56°$ et $\widehat{EFD}=74°$ . Ces deux angles sont-ils alternes-internes ? Sont-ils égaux ?
$ABCD$ est un quadrilatère quelconque et $[AC]$ l'une de ses diagonales.
f) Sur la figure suivante, on regarde les droites $(AB)$ et $(CD)$ coupées par la sécante $(AC)$ . Nommez l'angle alterne-interne de $\widehat{BAC}$ . On regarde ensuite les droites $(AD)$ et $(BC)$ , avec la même sécante : nommez l'angle alterne-interne de $\widehat{DAC}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Angles intérieurs en

E

b)

Alterne-interne de

\widehat{AEF}

c)

Alterne-interne de

\widehat{BEF}

d)

Correspondant de

\widehat{GEB}

Correspondant de

\widehat{AEF}

e)

Alternes-internes

Égaux

f)

Alterne-interne de

\widehat{BAC}

Alterne-interne de

\widehat{DAC}

Voir la correction

Réponses

a) $\widehat{AEF}$ et $\widehat{BEF}$
b) $\widehat{EFD}$
c) $\widehat{EFC}$
d) $\widehat{EFD}$ puis $\widehat{CFH}$
e) alternes-internes : oui ; égaux : non
f) $\widehat{ACD}$ puis $\widehat{ACB}$

a)

Un angle en $E$ est intérieur s'il est du côté de $(d')$ par rapport à $(d)$ : c'est le cas de $\widehat{AEF}$ et de $\widehat{BEF}$ , qui ont tous deux le côté $[EF)$ .

$\widehat{AEG}$ et $\widehat{BEG}$ sont au-dessus de $(d)$ : ils sont extérieurs.

b)

$\widehat{AEF}$ est intérieur, à gauche de la sécante. Son alterne-interne est intérieur, de sommet $F$ , à droite de la sécante : $\widehat{EFD}$ .

On reconnaît le Z formé par $[EA)$ , $[EF]$ et $[FD)$ .

c)

$\widehat{BEF}$ est intérieur, à droite de la sécante. Son alterne-interne est intérieur, à gauche : $\widehat{EFC}$ . Le Z est ici retourné, formé par $[EB)$ , $[EF]$ et $[FC)$ .

d)

$\widehat{GEB}$ est au-dessus de $(d)$ , à droite de la sécante. Son correspondant est à la même place autour de $F$ : au-dessus de $(d')$ , à droite, c'est $\widehat{EFD}$ .

$\widehat{AEF}$ est au-dessous de $(d)$ , à gauche. Son correspondant est au-dessous de $(d')$ , à gauche : $\widehat{CFH}$ .

On reconnaît un F, couché ou à l'envers, tracé par la sécante et les deux droites.

e)

La position n'a pas changé : $\widehat{AEF}$ et $\widehat{EFD}$ sont alternes-internes (question b).

Or $56°\ne 74°$ : ils ne sont pas égaux.

Piège : croire que le mot « alternes-internes » contient l'égalité. Le mot dit où sont les angles ; l'égalité demande des droites parallèles, et c'est l'objet des deux exercices suivants.

f)

Pour $(AB)$ , $(CD)$ et la sécante $(AC)$ : $\widehat{BAC}$ est entre $(AB)$ et $(CD)$ , d'un côté de $(AC)$ . L'angle de sommet $C$ , entre les mêmes droites et de l'autre côté de $(AC)$ , est $\widehat{ACD}$ .

Pour $(AD)$ , $(BC)$ et la même sécante : l'alterne-interne de $\widehat{DAC}$ est $\widehat{ACB}$ .

Piège : chercher deux droites horizontales. Il faut d'abord dire quelles sont les deux droites et quelle est la sécante ; la même diagonale sert ici à deux lectures.

Exercice 6 : Des parallèles aux angles : toute la figure, justifiée

PREMIER SENS DE LA PROPRIÉTÉ. Si deux droites PARALLÈLES sont coupées par une sécante, alors leurs angles alternes-internes sont égaux et leurs angles correspondants sont égaux.

Sur la figure, on SAIT que $(d)$ et $(d')$ sont parallèles : c'est une donnée de l'énoncé, ce n'est pas lu sur le dessin. De plus, $\widehat{BEG}=69°$ . Rédigez chaque réponse avec la propriété citée AVANT le nombre.

a) Calculez $\widehat{AEF}$ et nommez la propriété utilisée.
b) Calculez $\widehat{EFD}$ de deux façons : comme alterne-interne de $\widehat{AEF}$ , puis comme correspondant de $\widehat{BEG}$ .
c) Calculez $\widehat{BEF}$ , puis $\widehat{EFC}$ , en justifiant.
d) Calculez $\widehat{BEF}+\widehat{EFD}$ , puis démontrez que cette somme ne dépend pas de la valeur $69°$ .
e) Une droite $(p)$ est perpendiculaire à $(d)$ en $K$ et coupe $(d')$ en $L$ . Démontrez que $(p)$ est aussi perpendiculaire à $(d')$ .
Le cordon est droit et les trois lamelles sont parallèles.
f) Dans ce store, le cordon coupe les trois lamelles parallèles. L'angle marqué sur la lamelle $L_{1}$ vaut $74°$ . Calculez l'angle qui lui correspond sur $L_{3}$ , puis l'angle adjacent à ce dernier, au-dessus de $L_{3}$ et à gauche du cordon.

Voir la correction

Réponses

a) $\widehat{AEF}=69°$ (opposés par le sommet)
b) $\widehat{EFD}=69°$ par les deux chemins
c) $\widehat{BEF}=111°$ ; $\widehat{EFC}=111°$
d) $180°$ pour toute valeur $a$ : $(180°-a)+a=180°$
e) $(p)$ fait un angle de $90°$ avec $(d')$ : les angles correspondants sont égaux
f) $74°$ puis $106°$

a)

On sait que $\widehat{AEF}$ et $\widehat{BEG}$ sont opposés par le sommet.

Or deux angles opposés par le sommet sont égaux.

Donc $\widehat{AEF}=69°$ . La propriété n'a pas besoin des parallèles : il n'y a ici qu'un seul carrefour.

b)

Premier chemin. On sait que $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et que $\widehat{AEF}$ et $\widehat{EFD}$ sont alternes-internes.

Or des droites parallèles forment des angles alternes-internes égaux.

Donc $\widehat{EFD}=\widehat{AEF}=69°$ .

Second chemin. $\widehat{BEG}$ et $\widehat{EFD}$ sont correspondants pour les mêmes droites, donc égaux : $\widehat{EFD}=69°$ . Les deux chemins se confirment.

c)

$A$ , $E$ et $B$ sont alignés, donc $\widehat{BEF}=180°-\widehat{AEF}=180°-69°=111°$ .

$\widehat{EFC}$ et $\widehat{BEF}$ sont alternes-internes, et $(d)$ et $(d')$ sont parallèles, donc $\widehat{EFC}=111°$ .

Sur toute la figure, il n'y a que deux mesures : l'angle aigu et son supplémentaire.

d)

$\widehat{BEF}+\widehat{EFD}=111°+69°=180°$ .

Notons $a$ la mesure de $\widehat{AEF}$ , sans lui donner de valeur. Alors $\widehat{BEF}=180°-a$ car $A$ , $E$ , $B$ sont alignés, et $\widehat{EFD}=a$ car les angles alternes-internes sont égaux.

Donc la somme vaut $(180°-a)+a=180°$ , pour toute valeur de $a$ .

Ce n'est pas une nouvelle propriété à citer : c'est une conséquence, qu'on redémontre en deux lignes.

e)

La droite $(p)$ est une sécante de $(d)$ et de $(d')$ . On sait que $(d)$ et $(d')$ sont parallèles, donc les angles correspondants en $K$ et en $L$ sont égaux.

Or l'angle en $K$ vaut $90°$ , car $(p)$ est perpendiculaire à $(d)$ .

Donc l'angle en $L$ vaut $90°$ : $(p)$ est perpendiculaire à $(d')$ .

f)

Le cordon est une sécante. Les lamelles $L_{1}$ et $L_{3}$ sont parallèles, donc les angles correspondants sont égaux : l'angle à la même place sur $L_{3}$ mesure $74°$ .

L'angle au-dessus de $L_{3}$ et à gauche du cordon est adjacent à celui-ci, et les deux forment un angle plat le long de $L_{3}$ : $180°-74°=106°$ .

La lamelle $L_{2}$ n'intervient pas : la propriété vaut pour deux parallèles quelconques.

Question c) : deux mesures seulement sur toute la figure,

69°

en bleu et

111°

en orange.

Question f) : la même mesure à la même place sur chaque lamelle.

Exercice 7 : Des angles aux parallèles : décider, pas regarder

SECOND SENS DE LA PROPRIÉTÉ. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux, ou deux angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles. Euclide démontre déjà ce résultat, il y a plus de deux mille ans, au Livre I de ses Éléments (propositions 27 et 28).

Le premier sens sert aussi à prouver le contraire : si deux angles alternes-internes sont DIFFÉRENTS, les droites ne sont pas parallèles, puisque parallèles, elles donneraient des angles égaux.

Les deux figures ci-dessous sont à l'échelle. Les points $A$ , $E$ , $B$ sont alignés, de même que $C$ , $F$ , $D$ .

a) Sur la figure 1, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifiez.
b) Sur la figure 2, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifiez.
Figure 3. Les points $A$ , $E$ , $B$ sont alignés, de même que $C$ , $F$ , $D$ .
c) Sur la figure 3, $\widehat{BEF}=107°$ et $\widehat{EFD}=73°$ . Calculez $\widehat{AEF}$ , puis déterminez si $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Le parking vu du dessus : les trois lignes peintes partent de la bordure.
d) Pour peindre un parking en épi, on trace chaque ligne à partir de la bordure $(d)$ avec le même gabarit de $72°$ . Démontrez que $(PQ)$ et $(RS)$ sont parallèles. Puis on lit par erreur $74°$ en $T$ au lieu de $72°$ : la ligne $(TU)$ serait-elle encore parallèle à $(PQ)$ ?
La droite $(d)$ , le point $M$ , et une droite $(s)$ passant par $M$ qui coupe $(d)$ en $P$ .
e) Construisez au rapporteur la parallèle à $(d)$ passant par $M$ , en sachant que l'angle marqué en $P$ vaut $64°$ . Quelle mesure reportez-vous en $M$ ? Justifiez que la droite obtenue convient.

Voir la correction

Réponses

a) oui : alternes-internes égaux ( $73°$ et $73°$ )
b) non : alternes-internes différents ( $73°$ et $74°$ )
c) $\widehat{AEF}=73°$ ; oui, parallèles
d) $(PQ)$ et $(RS)$ parallèles ; $(TU)$ non
e) $64°$ , en position correspondante

a)

On sait que $\widehat{AEF}$ et $\widehat{EFD}$ sont alternes-internes pour les droites $(AB)$ et $(CD)$ et la sécante $(EF)$ , et qu'ils mesurent tous les deux $73°$ .

Or si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Donc $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

b)

Si $(AB)$ et $(CD)$ étaient parallèles, les angles alternes-internes $\widehat{AEF}$ et $\widehat{EFD}$ seraient égaux.

Or $73°\ne 74°$ .

Donc $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.

Piège : répondre « oui » parce que les deux figures se ressemblent. Elles sont à l'échelle et l'écart de $1°$ ne se voit pas : les droites de la figure 2 finissent par se couper, loin hors du dessin. Le dessin ne décide jamais.

c)

$A$ , $E$ et $B$ sont alignés, donc $\widehat{AEF}=180°-\widehat{BEF}=180°-107°=73°$ .

Les angles $\widehat{AEF}$ et $\widehat{EFD}$ sont alternes-internes et mesurent tous deux $73°$ .

Donc $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Piège : comparer directement $107°$ et $73°$ et conclure « différents, donc pas parallèles ». Ces deux angles ne sont pas alternes-internes : la comparaison n'a de sens qu'après avoir nommé la paire.

d)

La bordure $(d)$ est une sécante des droites $(PQ)$ et $(RS)$ . Les angles marqués en $P$ et en $R$ sont correspondants et mesurent tous les deux $72°$ .

Or si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Donc $(PQ)$ et $(RS)$ sont parallèles. C'est tout l'intérêt du gabarit : on ne trace pas des parallèles à l'œil.

En $T$ , l'angle lu est $74°$ , différent de $72°$ . Si $(TU)$ et $(PQ)$ étaient parallèles, les angles correspondants seraient égaux : elles ne le sont pas, et une place se resserrerait d'un bout à l'autre.

e)

En $P$ , l'angle entre $(d)$ et $(s)$ vaut $64°$ . On pose le rapporteur en $M$ , sur $(s)$ , et on reporte $64°$ du même côté de $(s)$ et à la même place dans le carrefour, puis on trace la droite $(d')$ : c'est le dessin du corrigé.

Justification : les angles marqués en $P$ et en $M$ sont correspondants pour $(d)$ , $(d')$ et la sécante $(s)$ , et ils sont égaux. Donc $(d')$ est parallèle à $(d)$ .

Piège : reporter $64°$ à l'autre place, de l'autre côté de $(s)$ . On obtient une droite qui fait le même angle, mais dans l'autre sens : elle coupe $(d)$ .

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Pour chacune, expliquez l'erreur en vous appuyant sur un exemple, puis écrivez l'énoncé correct.

a) « Deux angles supplémentaires sont toujours adjacents. »
b) « Deux angles qui ont le même sommet et un côté commun sont adjacents. »
c) « Sur ma figure, les deux droites ont l'air parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux. »
d) « Deux angles situés entre les deux droites sont forcément alternes-internes. »
e) « Deux angles alternes-internes mesurent $81°$ et $82°$ . Un degré ne se voit pas, donc les droites sont parallèles. »

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/7

a)

101°+79°

°

Ces deux angles sont forcément adjacents

b)

La condition qui manque

c)

Ce qui permet d'affirmer le parallélisme

d)

La condition qui manque

Entre parallèles, le voisin de

61°

°

e)

Droites parallèles

Voir la correction

Réponses

a) $101°+79°=180°$ , et ces angles peuvent être loin l'un de l'autre : supplémentaires ne dit rien de la position
b) il faut aussi qu'ils soient de part et d'autre du côté commun
c) le parallélisme se lit dans l'énoncé ou se démontre, jamais sur le dessin
d) il faut aussi qu'ils soient de part et d'autre de la sécante ; entre parallèles, $61°$ a pour voisin $119°$
e) $81°\ne 82°$ : les droites ne sont pas parallèles

a)

Un angle de $101°$ et un angle de $79°$ ont pour somme $180°$ , même tracés aux deux bouts d'une feuille : ils sont supplémentaires sans être adjacents.

Énoncé correct : deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite sont supplémentaires. La réciproque de l'affirmation n'est pas vraie non plus : deux angles adjacents ne sont pas toujours supplémentaires.

b)

Prenons $\widehat{xOy}=70°$ et $\widehat{xOz}=30°$ , avec $[Oz)$ à l'intérieur de $\widehat{xOy}$ . Même sommet, côté commun $[Ox)$ , et pourtant l'un est dans l'autre.

Énoncé correct : deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et s'ils sont de part et d'autre de ce côté.

c)

L'allure du dessin n'est pas une donnée : à l'exercice 7, deux droites à $1°$ d'écart ne se distinguent pas de deux parallèles.

Énoncé correct : si l'énoncé dit que les droites sont parallèles, ou si on l'a démontré, alors les angles alternes-internes sont égaux.

d)

Il manque une condition : les deux angles doivent être de part et d'autre de la sécante, comme sur la figure du corrigé. Deux angles intérieurs du même côté, en rouge, ne sont pas alternes-internes.

Entre deux droites parallèles, ils ne sont d'ailleurs pas égaux : si l'un mesure $61°$ , le voisin du même côté mesure $180°-61°=119°$ , car c'est le supplémentaire de son alterne-interne.

Énoncé correct : deux angles sont alternes-internes s'ils ont des sommets différents, s'ils sont entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante.

e)

Si les droites étaient parallèles, leurs angles alternes-internes seraient égaux. Or $81°\ne 82°$ .

Énoncé correct : ces droites ne sont pas parallèles. Elles se coupent, peut-être très loin, et ce qu'on voit ne change rien à ce qu'on calcule.

Exercice 9 : Problème : le pliage d'une bande de papier

On plie une bande de papier dont les deux longs bords, portés par $(AB)$ et $(DC)$ , sont parallèles. Le pli est le segment $[EF]$ , avec $E$ sur $[AB]$ et $F$ sur $[DC]$ . Le morceau de droite se rabat : $C$ vient en $C'$ et $B$ vient en $B'$ . Le bord $[FC']$ coupe $[AE]$ en $G$ .

Un pliage ne change ni les longueurs ni les angles. On donne $\widehat{AEF}=33°$ . La figure montre la bande avant et après le pliage, à l'échelle.

a) Démontrez que $\widehat{EFC}=33°$ .
b) Le pliage conserve les angles : déduisez-en $\widehat{EFC'}$ , puis $\widehat{CFC'}$ . Que représente la demi-droite $[FE)$ pour l'angle $\widehat{CFC'}$ ?
c) Calculez $\widehat{AGF}$ , puis $\widehat{FGE}$ , en justifiant.
d) Montrez que $\widehat{GEF}=\widehat{GFE}$ .
e) Sur une autre bande, on veut que le bord replié fasse un angle $\widehat{AGF}$ de $86°$ avec le bord de la bande. Déterminez la mesure à donner à l'angle de pli $\widehat{AEF}$ .
f) À quel angle de pli faut-il plier pour que le bord replié soit perpendiculaire au bord de la bande ?

Voir la correction

Réponses

a) $\widehat{EFC}=33°$ , alternes-internes entre $(AB)$ et $(DC)$ parallèles
b) $\widehat{EFC'}=33°$ ; $\widehat{CFC'}=66°$ ; $[FE)$ est sa bissectrice
c) $\widehat{AGF}=66°$ ; $\widehat{FGE}=114°$
d) les deux angles mesurent $33°$
e) $43°$
f) $45°$

a)

On sait que $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles et que $(EF)$ les coupe.

Or $\widehat{AEF}$ et $\widehat{EFC}$ sont alternes-internes : $A$ et $C$ sont de part et d'autre de $(EF)$ , et les deux angles sont entre les bords.

Donc $\widehat{EFC}=\widehat{AEF}=33°$ .

b)

Le pliage envoie $C$ sur $C'$ et laisse $E$ et $F$ en place, donc $\widehat{EFC'}=\widehat{EFC}=33°$ .

Ces deux angles sont adjacents, de côté commun $[FE)$ : $\widehat{CFC'}=33°+33°=66°$ .

$[FE)$ partage $\widehat{CFC'}$ en deux angles adjacents égaux : c'est sa bissectrice. Un pli est toujours la bissectrice de l'angle formé par un bord et son image.

c)

$G$ est sur $[FC']$ , donc $\widehat{GFC}=\widehat{CFC'}=66°$ .

On sait que $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles, et $\widehat{AGF}$ et $\widehat{GFC}$ sont alternes-internes pour la sécante $(FG)$ .

Donc $\widehat{AGF}=66°$ .

$A$ , $G$ et $E$ sont alignés : $\widehat{FGE}=180°-66°=114°$ .

Piège : chercher $\widehat{AGF}$ avec le pli $(EF)$ et répondre $33°$ . Ici la sécante est le bord replié, et l'angle à reporter est le double du pli.

d)

$G$ est sur $[EA]$ , donc $\widehat{GEF}=\widehat{AEF}=33°$ .

$G$ est sur $[FC']$ , donc $\widehat{GFE}=\widehat{C'FE}=33°$ d'après b).

Les deux angles sont égaux. Le chapitre sur les triangles donnera le nom d'un triangle qui a deux angles égaux : cela explique pourquoi $GE=GF$ quand on mesure sur la bande pliée.

e)

On a établi que le bord replié fait avec le bord un angle égal au double de l'angle de pli.

Avec $x$ l'angle de pli : $2x=86$ , donc $x=86\div 2=43$ .

Il faut plier à $43°$ .

f)

Le bord replié est perpendiculaire si $\widehat{AGF}=90°$ .

$2x=90$ , donc $x=45$ : un pli à $45°$ fait tourner la bande d'un angle droit. C'est le geste de celui qui fait un angle droit avec un ruban, et l'on retrouve l'angle de l'équerre 2 de l'exercice 1.

Exercice 10 : Problème : les rebonds d'une bille de billard

Une bille part de $A$ , rebondit en $B$ sur la bande $(d)$ , puis en $C$ sur la bande $(d')$ , puis en $D$ sur $(d)$ . Les deux longues bandes sont parallèles : $U$ , $B$ , $D$ , $V$ sont alignés sur $(d)$ et $R$ , $C$ , $S$ sur $(d')$ .

On néglige l'effet donné à la bille et les frottements. La règle du rebond est alors simple : à chaque rebond, le trajet fait le même angle avec la bande à l'arrivée et au départ. On donne $\widehat{ABU}=54°$ .

a) Déterminez $\widehat{CBV}$ à l'aide de la règle du rebond.
b) Calculez $\widehat{ABC}$ .
c) Démontrez que $\widehat{BCR}=54°$ .
d) Déterminez $\widehat{DCS}$ , puis $\widehat{CDU}$ , en justifiant.
e) Démontrez que les trajets $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
f) On rejoue le coup pour que la bille reparte à angle droit de son trajet d'arrivée en $B$ . Déterminez la mesure que doit avoir $\widehat{ABU}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\widehat{CBV}=54°$
b) $\widehat{ABC}=72°$
c) $\widehat{BCR}=54°$ , alternes-internes entre bandes parallèles
d) $\widehat{DCS}=54°$ ; $\widehat{CDU}=54°$
e) angles correspondants égaux, donc droites parallèles
f) $45°$

Le fil de la série est ici au complet : la question c) va des parallèles aux angles, la question e) va des angles aux parallèles. Dites toujours dans quel sens vous l'utilisez.

a)

La règle du rebond dit que le trajet fait le même angle avec la bande à l'arrivée et au départ.

Donc $\widehat{CBV}=\widehat{ABU}=54°$ .

b)

$U$ , $B$ et $V$ sont alignés, et $\widehat{ABU}$ , $\widehat{ABC}$ , $\widehat{CBV}$ sont côte à côte dans l'angle plat.

$\widehat{ABC}=180°-54°-54°=72°$ .

c)

On sait que $(d)$ et $(d')$ sont parallèles, coupées par la sécante $(BC)$ .

Or $\widehat{CBV}$ et $\widehat{BCR}$ sont alternes-internes : $V$ et $R$ sont de part et d'autre de $(BC)$ .

Donc $\widehat{BCR}=\widehat{CBV}=54°$ . C'est le sens « parallèles, donc angles égaux ».

d)

La règle du rebond en $C$ donne $\widehat{DCS}=\widehat{BCR}=54°$ .

$(d)$ et $(d')$ sont parallèles, coupées par $(CD)$ , et $\widehat{CDU}$ et $\widehat{DCS}$ sont alternes-internes.

Donc $\widehat{CDU}=54°$ .

e)

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont coupées par la sécante $(d)$ .

$\widehat{ABU}$ et $\widehat{CDU}$ sont correspondants : sommets $B$ et $D$ sur la sécante, à la même place dans chaque carrefour, et ils mesurent tous les deux $54°$ .

Or si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Donc $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. C'est le sens « angles égaux, donc parallèles ». De la même façon, le trajet suivant, après $D$ , sera parallèle à $(BC)$ : la bille n'a que deux directions tant qu'elle reste entre ces deux bandes.

Piège : écrire « on voit que les trajets sont parallèles ». Il faut citer la paire d'angles et la sécante, qui n'est pas $(BC)$ mais la bande $(d)$ .

f)

On veut $\widehat{ABC}=90°$ . Les deux angles avec la bande sont égaux et remplissent, avec $\widehat{ABC}$ , un angle plat : ensemble, ils valent $180°-90°=90°$ .

Chacun vaut donc $90°\div 2=45°$ .

Contrôle : $45°+90°+45°=180°$ .

Exercices corrigés : angles et parallélisme (Cinquième)

Rappel de cours

Calculs : reconnaître un angle

Exercice 0.1 : Reconnaître un angle et une paire d'angles : dix reconnaissances directes

Calculs : mesures d'angles

Exercice 0.2 : Calculer une mesure d'angle : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Les mesures à connaître, avec vos deux équerres

Exercice 2 : Adjacents, supplémentaires : un mot de position, un mot de mesure

Exercice 3 : Angles opposés par le sommet : la démonstration, puis le calcul

Exercice 4 : La bissectrice se reconnaît au codage, pas au dessin

Exercice 5 : Nommer les angles sur des droites qui ne sont pas parallèles

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Des parallèles aux angles : toute la figure, justifiée

Exercice 7 : Des angles aux parallèles : décider, pas regarder

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : le pliage d'une bande de papier

Exercice 10 : Problème : les rebonds d'une bille de billard

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