Exercice 0.1 : Calculer le troisième angle d'un triangle : dix calculs directs

Pour chaque ligne, calculez l'angle demandé, de tête ou à la main. Le geste est toujours le même : dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180°$ , donc on retire de $180°$ ce qu'on connaît.

Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux : on repère d'abord le sommet principal, celui d'où partent les deux côtés égaux, avant de faire le moindre calcul.

a) Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A}=73°$ et $\widehat{B}=38°$ . Calculez $\widehat{C}$ .
b) Dans le triangle $DEF$ , $\widehat{D}=104°$ et $\widehat{E}=29°$ . Calculez $\widehat{F}$ .
c) Le triangle $GHI$ est rectangle en $G$ et $\widehat{H}=26°$ . Calculez $\widehat{I}$ .
d) Le triangle $JKL$ est isocèle en $J$ et $\widehat{J}=48°$ . Calculez $\widehat{K}$ .
e) Le triangle $MNP$ est isocèle en $M$ et $\widehat{N}=67°$ . Calculez $\widehat{M}$ .
f) Le triangle $QRS$ est équilatéral. Donnez $\widehat{Q}$ .
g) Le triangle $TUV$ est isocèle et rectangle en $T$ . Calculez $\widehat{U}$ .
h) Le triangle $XYZ$ est isocèle en $X$ et $\widehat{X}=128°$ . Calculez $\widehat{Y}$ .
i) Dans le triangle $ABC$ , on sait que $AB=AC$ et que $\widehat{B}=57°$ . Calculez $\widehat{A}$ .
j) Un triangle peut-il avoir un angle de $96°$ et un angle de $87°$ ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

\widehat{C}

°

b)

\widehat{F}

°

c)

\widehat{I}

°

d)

\widehat{K}

°

e)

\widehat{M}

°

f)

\widehat{Q}

°

g)

\widehat{U}

°

h)

\widehat{Y}

°

i)

\widehat{A}

°

j)

Un tel triangle existe

Voir la correction

Réponses

a) $\widehat{C}=69°$
b) $\widehat{F}=47°$
c) $\widehat{I}=64°$
d) $\widehat{K}=66°$
e) $\widehat{M}=46°$
f) $\widehat{Q}=60°$
g) $\widehat{U}=45°$
h) $\widehat{Y}=26°$
i) $\widehat{A}=66°$
j) Non : $96°+87°=183°$ , déjà plus que $180°$

Une seule propriété pour toute la liste : la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ .

Le travail n'est pas le calcul, c'est de savoir quels angles sont égaux : ce sont les codages et les mots « isocèle en », « rectangle en » qui le disent.

a)

$\widehat{C}=180°-(73°+38°)=180°-111°=69°$ .

b)

$\widehat{F}=180°-(104°+29°)=180°-133°=47°$ .

c)

L'angle en $G$ est droit : $\widehat{I}=180°-(90°+26°)=64°$ .

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : $26°+64°=90°$ .

d)

Isocèle en $J$ : $J$ est le sommet principal, donc $\widehat{K}=\widehat{L}$ .

$\widehat{K}=(180°-48°)\div 2=132°\div 2=66°$ .

Piège : oublier la division par $2$ et répondre $132°$ . Les deux angles à la base se partagent ce qui reste.

e)

Isocèle en $M$ : les angles à la base sont $\widehat{N}$ et $\widehat{P}$ , donc $\widehat{P}=67°$ .

$\widehat{M}=180°-2\times 67°=180°-134°=46°$ .

Piège : calculer $(180°-67°)\div 2$ . On ne divise par $2$ que lorsqu'on connaît l'angle au sommet principal ; ici on connaît un angle à la base.

f)

Les trois angles sont égaux : $\widehat{Q}=180°\div 3=60°$ .

g)

L'angle en $T$ est droit et $U$ , $V$ sont les sommets de la base : $\widehat{U}=(180°-90°)\div 2=45°$ .

h)

$\widehat{Y}=(180°-128°)\div 2=52°\div 2=26°$ .

Un sommet principal peut être obtus : le triangle n'en est pas moins isocèle.

i)

$AB=AC$ : les deux côtés égaux partent de $A$ , donc $A$ est le sommet principal et $\widehat{C}=\widehat{B}=57°$ .

$\widehat{A}=180°-2\times 57°=66°$ .

j)

$96°+87°=183°$ , déjà plus que $180°$ : un tel triangle n'existe pas.

Piège : calculer $180°-183°$ et écrire un angle négatif. Un résultat négatif dit que le triangle n'existe pas.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 0.2 : Calculer une aire de triangle : dix calculs directs

L'aire d'un triangle vaut $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ , où la hauteur est la distance entre le sommet opposé et la droite qui porte la base. Elle est PERPENDICULAIRE à cette base.

Dans plusieurs lignes, une longueur est en trop : un côté oblique, qui ne sert à rien. Avant de calculer, désignez la base, puis la hauteur qui lui correspond.

a) Base $7$ cm, hauteur relative à cette base $6$ cm.
b) $BC=11$ cm, hauteur issue de $A$ : $AH=4$ cm, et $AB=6$ cm.
c) Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ : $AB=7$ cm, $AC=24$ cm, $BC=25$ cm.
d) Base $7{,}5$ cm, hauteur relative $4$ cm.
e) Base $13$ m, hauteur relative $6$ m, et un côté oblique de $7$ m.
f) Base $5$ cm, hauteur relative $30$ mm. Donnez l'aire en cm².
g) Le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$ , avec $AB=6$ cm.
h) Le triangle $ABC$ est obtus en $B$ : $BC=5$ cm, et la hauteur issue de $A$ , extérieure au triangle, mesure $AH=6$ cm. De plus, $AB=6{,}5$ cm.
i) Le triangle est isocèle : base $24$ cm, deux côtés de $13$ cm, hauteur relative à la base $5$ cm.
j) L'aire d'un triangle vaut $27$ cm² et sa base $6$ cm. Calculez la hauteur relative à cette base.

Voir la correction

Réponses

a) $21$ cm²
b) $22$ cm²
c) $84$ cm²
d) $15$ cm²
e) $39$ m²
f) $7{,}5$ cm²
g) $18$ cm²
h) $15$ cm²
i) $60$ cm²
j) $9$ cm

Une seule formule, un seul danger : prendre un côté oblique pour la hauteur.

La hauteur et la base doivent former un angle droit. Tout le reste est du calcul.

a)

$\dfrac{7\times 6}{2}=21$ cm².

b)

$\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{11\times 4}{2}=22$ cm².

$AB=6$ cm est oblique : il ne sert pas.

c)

Dans un triangle rectangle, chacun des deux côtés de l'angle droit est la hauteur relative à l'autre : $\dfrac{7\times 24}{2}=84$ cm².

Piège : prendre l'hypoténuse pour base et l'autre côté pour hauteur, $\dfrac{25\times 24}{2}$ . Ces deux côtés ne sont pas perpendiculaires.

d)

$\dfrac{7{,}5\times 4}{2}=15$ cm².

e)

$\dfrac{13\times 6}{2}=39$ m², sans utiliser le côté de $7$ m.

f)

On convertit d'abord : $30$ mm $=3$ cm. Puis $\dfrac{5\times 3}{2}=7{,}5$ cm².

Piège : calculer $\dfrac{5\times 30}{2}=75$ . La base et la hauteur doivent être dans la même unité.

g)

$AC=AB=6$ cm, et ces deux côtés sont perpendiculaires : $\dfrac{6\times 6}{2}=18$ cm².

h)

La base reste $[BC]$ , même si le pied de la hauteur est à l'extérieur du côté : $\dfrac{5\times 6}{2}=15$ cm².

$AB=6{,}5$ cm est en trop.

i)

$\dfrac{24\times 5}{2}=60$ cm² ; les côtés de $13$ cm ne servent pas.

j)

$\dfrac{6\times h}{2}=27$ , donc $6\times h=54$ , soit $h=9$ cm.

Piège : calculer $27\div 6$ . On a oublié que l'aire est la MOITIÉ du produit.

Exercice 1 : Reconnaître un triangle sur un schéma codé

Un schéma n'est pas une preuve : ce sont les CODAGES qui disent ce qu'on sait. Deux petits traits identiques signalent deux longueurs égales, un petit carré signale un angle droit. Ce qui n'est pas codé n'est pas acquis, même si l'œil le croit.

Voici six schémas, nommés de $T_{1}$ à $T_{6}$ .

a) Donnez la nature des triangles $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ et $T_{4}$ .
b) Le triangle $T_{1}$ est isocèle : donnez son sommet principal et sa base. Donnez aussi le sommet principal de $T_{4}$ .
c) Le triangle $T_{5}$ a l'air isocèle en $M$ . Que permet d'affirmer ce schéma ? Justifiez.
d) Le triangle $T_{6}$ a l'air rectangle en $R$ . On mesure au rapporteur et on lit $\widehat{SRT}=88°$ . Le triangle $T_{6}$ est-il rectangle ? Justifiez.
e) Un triangle a un angle de $33°$ et un angle de $57°$ . Calculez son troisième angle, puis déduisez-en sa nature.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

T_{1}

T_{2}

T_{3}

T_{4}

b)

Sommet principal de

T_{1}

Base de

T_{1}

Sommet principal de

T_{4}

c)

Le schéma permet d'affirmer

d)

T_{6}

est rectangle en

R

e)

Troisième angle °

Nature

Voir la correction

Réponses

a) $T_{1}$ isocèle, $T_{2}$ équilatéral, $T_{3}$ rectangle, $T_{4}$ isocèle rectangle
b) $T_{1}$ : sommet principal $A$ , base $[BC]$ ; $T_{4}$ : sommet principal $K$
c) Rien : aucun codage, donc on ne peut pas dire qu'il est isocèle
d) Non : un angle droit mesure exactement $90°$
e) $90°$ : le triangle est rectangle

a)

$T_{1}$ : deux côtés portent le même codage, $AB=AC$ , il est isocèle.

$T_{2}$ : les trois côtés portent le même codage, il est équilatéral.

$T_{3}$ : un petit carré en $H$ , il est rectangle en $H$ .

$T_{4}$ : un petit carré en $K$ ET $KJ=KL$ codés, il est isocèle rectangle en $K$ .

b)

Le sommet principal est celui d'où partent les deux côtés égaux : pour $T_{1}$ , c'est $A$ ; la base est le côté opposé, $[BC]$ .

Pour $T_{4}$ , les côtés égaux $[KJ]$ et $[KL]$ partent de $K$ : le sommet principal est $K$ .

Piège : chercher le sommet principal « en haut du dessin ». $T_{1}$ est couché et son sommet principal est à gauche.

c)

Le schéma ne permet rien d'affirmer : il ne porte aucun codage.

Le triangle a l'air isocèle, mais sur le dessin $[MP]$ est un peu plus long que $[MN]$ : l'œil se trompe de peu.

Piège : conclure sur l'apparence. En géométrie, on ne conclut que sur ce qui est donné ou démontré.

d)

On sait que $\widehat{SRT}=88°$ . Or un angle droit mesure exactement $90°$ . Donc l'angle n'est pas droit : le triangle $T_{6}$ n'est pas rectangle en $R$ .

Il n'a pas non plus de codage d'angle droit en $S$ ni en $T$ : ce schéma ne dit pas qu'il est rectangle.

e)

On sait que la somme des angles d'un triangle vaut $180°$ .

Donc le troisième angle vaut $180°-(33°+57°)=180°-90°=90°$ .

Le triangle a un angle droit : il est rectangle.

Exercice 2 : Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180°

La propriété que vous utilisez depuis la Sixième se démontre. Voici la preuve d'Euclide (Éléments, livre I, proposition 32). Elle repose sur ce que vous savez des angles formés par des parallèles et une sécante.

$ABC$ est un triangle. On prolonge le côté $[BC]$ au-delà de $C$ , jusqu'à un point $D$ . Par $C$ , on trace la droite parallèle à $(AB)$ , et on y place un point $E$ , du même côté de $(BC)$ que $A$ .

a) Les droites $(AB)$ et $(CE)$ sont coupées par la sécante $(AC)$ . Quelle est la paire d'angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACE}$ ? Déduisez-en une égalité, en la justifiant.
b) Les mêmes droites sont coupées par la sécante $(BC)$ . Quelle est la paire d'angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ECD}$ ? Déduisez-en une égalité, en la justifiant.
c) Les points $B$ , $C$ et $D$ sont alignés. Que vaut la somme $\widehat{BCA}+\widehat{ACE}+\widehat{ECD}$ ? Justifiez.
d) Démontrez que $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180°$ .
e) Sur la figure, on mesure $\widehat{BAC}=76°$ et $\widehat{ABC}=38°$ . Sans rapporteur, donnez $\widehat{ACE}$ et $\widehat{ECD}$ , puis calculez $\widehat{BCA}$ .
f) Démontrez que $\widehat{ACD}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}$ , puis calculez $\widehat{ACD}$ avec les mesures de la question e).
g) Dans un autre triangle construit de la même façon, $\widehat{ACD}=131°$ et $\widehat{BAC}=58°$ . Calculez $\widehat{ABC}$ , puis $\widehat{BCA}$ .

Voir la correction

Réponses

a) Alternes-internes, et $(AB)\parallel(CE)$ : $\widehat{BAC}=\widehat{ACE}$
b) Correspondants, et $(AB)\parallel(CE)$ : $\widehat{ABC}=\widehat{ECD}$
c) $180°$ : ces trois angles forment l'angle plat $\widehat{BCD}$
d) On remplace $\widehat{ACE}$ et $\widehat{ECD}$ dans la somme de c)
e) $\widehat{ACE}=76°$ , $\widehat{ECD}=38°$ , $\widehat{BCA}=66°$
f) $\widehat{ACD}=\widehat{ACE}+\widehat{ECD}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}=114°$
g) $\widehat{ABC}=73°$ , $\widehat{BCA}=49°$

a)

$\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACE}$ sont de part et d'autre de la sécante $(AC)$ et entre les droites $(AB)$ et $(CE)$ : ils sont alternes-internes.

On sait que $(AB)$ et $(CE)$ sont parallèles. Or deux angles alternes-internes formés par des droites parallèles sont égaux. Donc $\widehat{BAC}=\widehat{ACE}$ .

Piège : écrire l'égalité sans citer le parallélisme. Le mot « alternes-internes » ne donne pas l'égalité à lui seul : c'est la parallèle tracée qui la donne.

b)

$\widehat{ABC}$ et $\widehat{ECD}$ sont du même côté de la sécante $(BC)$ et à la même place par rapport à $(AB)$ et à $(CE)$ : ils sont correspondants.

On sait que $(AB)$ et $(CE)$ sont parallèles. Or deux angles correspondants formés par des droites parallèles sont égaux. Donc $\widehat{ABC}=\widehat{ECD}$ .

c)

Les trois angles sont côte à côte en $C$ , de la demi-droite $[CB)$ à la demi-droite $[CD)$ .

Comme $B$ , $C$ et $D$ sont alignés, ils forment un angle plat : $\widehat{BCA}+\widehat{ACE}+\widehat{ECD}=180°$ .

d)

D'après c), $\widehat{BCA}+\widehat{ACE}+\widehat{ECD}=180°$ .

Or, d'après a) et b), $\widehat{ACE}=\widehat{BAC}$ et $\widehat{ECD}=\widehat{ABC}$ .

Donc $\widehat{BCA}+\widehat{BAC}+\widehat{ABC}=180°$ .

Le raisonnement n'utilise aucune mesure : il vaut pour tout triangle. Vérifier sur un exemple au rapporteur aurait seulement montré que c'est vrai pour celui-là.

e)

D'après a), $\widehat{ACE}=\widehat{BAC}=76°$ . D'après b), $\widehat{ECD}=\widehat{ABC}=38°$ .

$\widehat{BCA}=180°-(76°+38°)=66°$ .

Sur la figure du corrigé, une même couleur marque deux angles égaux : les trois angles du triangle se retrouvent côte à côte en $C$ .

f)

$[CE)$ partage l'angle $\widehat{ACD}$ en deux : $\widehat{ACD}=\widehat{ACE}+\widehat{ECD}$ .

D'après a) et b), $\widehat{ACD}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}$ .

Avec les mesures de e) : $\widehat{ACD}=76°+38°=114°$ .

On vérifie avec l'angle plat : $\widehat{BCA}+\widehat{ACD}=66°+114°=180°$ .

g)

D'après f), $\widehat{ABC}=\widehat{ACD}-\widehat{BAC}=131°-58°=73°$ .

Comme $B$ , $C$ , $D$ sont alignés : $\widehat{BCA}=180°-131°=49°$ .

Vérification par la somme des angles : $58°+73°+49°=180°$ .

Exercice 3 : Les angles des triangles particuliers

Trois faits servent ici. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux. Réciproquement, un triangle qui a deux angles égaux est isocèle. Le sommet principal est celui d'où partent les deux côtés égaux.

La figure ci-dessous représente les triangles $RST$ , $UVW$ et $XYZ$ des trois premières questions.

a) Le triangle $RST$ est isocèle en $R$ et $\widehat{R}=42°$ . Calculez $\widehat{S}$ et $\widehat{T}$ , en citant les propriétés utilisées.
b) Le triangle $UVW$ est isocèle en $U$ et $\widehat{V}=66°$ . Calculez $\widehat{W}$ , puis $\widehat{U}$ .
c) Dans le triangle $XYZ$ , $\widehat{X}=54°$ et $\widehat{Y}=72°$ . Calculez $\widehat{Z}$ . Déduisez-en la nature du triangle et précisez quels côtés sont égaux.
d) Un triangle est isocèle et l'un de ses angles mesure $50°$ . Déterminez les deux possibilités pour les deux autres angles.
e) Un triangle est isocèle et l'un de ses angles mesure $100°$ . Montrez qu'il n'y a qu'une seule possibilité, et calculez les deux autres angles.
L'arc en ogive : arcs de cercle de centres $B$ et $C$ , de rayon $6$ m.
f) Un arc gothique en ogive se trace ainsi : deux arcs de cercle, de centres $B$ et $C$ , de rayon $BC=6$ m, se coupent en $A$ . Montrez que le triangle $ABC$ est équilatéral, puis donnez $\widehat{ABC}$ .
g) $ABC$ est un triangle équilatéral de côté $4$ cm et $H$ le milieu de $[BC]$ . On admet que $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ . Donnez les trois angles du triangle $ABH$ et la longueur $BH$ . Quelle équerre reconnaissez-vous ?
h) On coupe un carré $MNPQ$ selon sa diagonale $[MP]$ . Le triangle $MNP$ est donc isocèle et rectangle en $N$ . Calculez $\widehat{NMP}$ . Quelle équerre reconnaissez-vous ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/15

a)

\widehat{S}

°

\widehat{T}

°

b)

\widehat{W}

°

\widehat{U}

°

c)

\widehat{Z}

°

Côtés égaux

d)

Cas 1 : chaque angle à la base °

Cas 2 : angle au sommet principal °

e)

Chaque angle à la base °

f)

\widehat{ABC}

°

g)

\widehat{BAH}

°

BH

cm

Équerre

h)

\widehat{NMP}

°

Équerre

Voir la correction

Réponses

a) $\widehat{S}=\widehat{T}=69°$
b) $\widehat{W}=66°$ , $\widehat{U}=48°$
c) $\widehat{Z}=54°$ ; isocèle en $Y$ , $YX=YZ$
d) Soit $65°$ et $65°$ , soit $50°$ et $80°$
e) $100°$ ne peut être qu'au sommet principal ; $40°$ et $40°$
f) $AB=BC=AC=6$ m, donc équilatéral ; $\widehat{ABC}=60°$
g) $60°$ , $30°$ , $90°$ ; $BH=2$ cm ; l'équerre 30-60-90
h) $\widehat{NMP}=45°$ ; l'équerre 45-45-90

a)

On sait que $RST$ est isocèle en $R$ . Or les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. Donc $\widehat{S}=\widehat{T}$ .

La somme des angles vaut $180°$ : $\widehat{S}=\widehat{T}=(180°-42°)\div 2=138°\div 2=69°$ .

b)

Isocèle en $U$ : la base est $[VW]$ , donc $\widehat{W}=\widehat{V}=66°$ .

$\widehat{U}=180°-2\times 66°=48°$ .

Piège : prendre $\widehat{V}$ pour l'angle au sommet principal. Le mot « isocèle en $U$ » désigne $U$ : $V$ est à la base, même sur un dessin couché.

c)

$\widehat{Z}=180°-(54°+72°)=54°$ .

On sait que $\widehat{X}=\widehat{Z}$ . Or un triangle qui a deux angles égaux est isocèle, et son sommet principal est le troisième sommet. Donc $XYZ$ est isocèle en $Y$ : $YX=YZ$ .

Piège : écrire $XY=XZ$ parce que l'angle $\widehat{X}$ est cité. Les côtés égaux partent du sommet dont l'angle est différent.

d)

L'énoncé ne dit pas où est l'angle de $50°$ : il faut traiter les deux cas.

Cas 1 : $50°$ est au sommet principal. Les angles à la base valent $(180°-50°)\div 2=65°$ .

Cas 2 : $50°$ est à la base. L'autre angle à la base vaut aussi $50°$ , et le sommet principal $180°-2\times 50°=80°$ .

Les deux triangles existent, et ils n'ont pas la même forme.

e)

Si $100°$ était un angle à la base, il y en aurait deux : $100°+100°=200°$ , plus que $180°$ . C'est impossible.

Donc $100°$ est l'angle au sommet principal, et les angles à la base valent $(180°-100°)\div 2=40°$ .

Un angle obtus d'un triangle isocèle est toujours au sommet principal.

f)

$A$ est sur l'arc de centre $B$ et de rayon $BC$ : $BA=BC=6$ m.

$A$ est sur l'arc de centre $C$ et de même rayon : $CA=CB=6$ m.

Donc $AB=BC=CA$ : le triangle $ABC$ est équilatéral.

Ses trois angles sont égaux et leur somme vaut $180°$ : $\widehat{ABC}=180°\div 3=60°$ .

g)

Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ . L'angle $\widehat{ABH}$ est un angle du triangle équilatéral : il vaut $60°$ .

$\widehat{BAH}=180°-(90°+60°)=30°$ .

$H$ est le milieu de $[BC]$ : $BH=4\div 2=2$ cm.

Les angles $30°$ , $60°$ , $90°$ sont ceux d'une équerre : c'est un demi-triangle équilatéral. Le côté $[BH]$ , opposé à l'angle de $30°$ , mesure la moitié de $AB$ .

h)

Dans le triangle $MNP$ , isocèle et rectangle en $N$ , les angles à la base $\widehat{NMP}$ et $\widehat{NPM}$ sont égaux.

$\widehat{NMP}=(180°-90°)\div 2=45°$ .

Les angles $45°$ , $45°$ , $90°$ sont ceux de l'autre équerre : c'est un demi-carré.

Question d) : le même angle de

50°

, placé au sommet principal puis à la base.

Questions g) et h) : l'équerre 30-60-90 est un demi-triangle équilatéral, l'équerre 45-45-90 un demi-carré.

Exercice 4 : Construire un triangle à partir de données partielles

Avant de tracer, posez-vous la question qui compte : ces données fixent-elles UN triangle, plusieurs, ou aucun ? Un programme de construction est une suite d'étapes qu'un camarade pourrait suivre sans voir votre dessin.

Deux triangles que l'on peut superposer, éventuellement après les avoir retournés, comptent pour un seul. La figure ci-dessous montre le début de la construction de la question d).

a) Écrivez un programme de construction du triangle $PQR$ tel que $PQ=7$ cm, $PR=5$ cm et $QR=6$ cm, puis construisez-le. Combien de triangles ces données fixent-elles ?
b) Écrivez un programme de construction du triangle $LMN$ tel que $LM=6$ cm, $LN=4{,}5$ cm et $\widehat{MLN}=50°$ , puis construisez-le. Combien de triangles ces données fixent-elles ?
c) On veut construire le triangle $DEF$ tel que $DE=7$ cm, $\widehat{D}=38°$ et $\widehat{E}=67°$ . Calculez $\widehat{F}$ , puis construisez le triangle.
d) On veut construire le triangle $RST$ tel que $RS=7$ cm, $\widehat{R}=35°$ et $ST=5$ cm. L'angle donné n'est pas compris entre les deux côtés donnés. Terminez la construction de l'énoncé en traçant le cercle de centre $S$ et de rayon $5$ cm. Combien de triangles obtenez-vous ?
e) On demande un triangle dont les angles mesurent $50°$ , $60°$ et $70°$ , sans donner aucune longueur. Combien de triangles répondent à cette demande ? Justifiez.
f) On veut construire un triangle $ABC$ tel que $AB=10$ cm, $AC=3{,}5$ cm et $BC=5$ cm. Tracez $[AB]$ et les deux arcs. Que constatez-vous ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Rayon de l'arc de centre

P

cm

Rayon de l'arc de centre

Q

cm

Nombre de triangles

b)

Nombre de triangles

c)

\widehat{F}

°

Nombre de triangles

d)

Nombre de triangles

e)

Nombre de triangles

f)

Nombre de triangles

Voir la correction

Réponses

a) Arcs de rayons $5$ cm (centre $P$ ) et $6$ cm (centre $Q$ ) ; un seul triangle
b) Un seul triangle
c) $\widehat{F}=75°$ ; un seul triangle
d) Deux triangles, $RST_{1}$ et $RST_{2}$
e) Une infinité : même forme, tailles différentes
f) Aucun triangle : $3{,}5+5=8{,}5$ , moins que $10$

a)

Programme : 1. Tracer le segment $[PQ]$ de longueur $7$ cm.

2. Tracer un arc de cercle de centre $P$ et de rayon $5$ cm.

3. Tracer un arc de cercle de centre $Q$ et de rayon $6$ cm.

4. Nommer $R$ un point d'intersection des deux arcs, puis tracer $[PR]$ et $[QR]$ .

Les arcs se coupent en un second point, de l'autre côté de $[PQ]$ . Le triangle obtenu est superposable au premier, après l'avoir retourné : ces trois longueurs fixent un seul triangle.

Piège : échanger les rayons. L'arc centré en $P$ doit avoir pour rayon $PR$ , pas $QR$ .

b)

Programme : 1. Tracer le segment $[LM]$ de longueur $6$ cm.

2. Tracer la demi-droite d'origine $L$ qui fait un angle de $50°$ avec $[LM]$ .

3. Sur cette demi-droite, placer $N$ tel que $LN=4{,}5$ cm, puis tracer $[MN]$ .

Le point $N$ n'a qu'une place de ce côté de $[LM]$ : un seul triangle.

c)

La somme des angles vaut $180°$ : $\widehat{F}=180°-(38°+67°)=75°$ .

On trace $[DE]$ , puis une demi-droite à $38°$ en $D$ et une demi-droite à $67°$ en $E$ , du même côté. Elles se coupent en $F$ : un seul triangle.

Il faut que la somme des deux angles donnés reste sous $180°$ : sinon, les demi-droites ne se rencontrent pas.

d)

Le cercle de centre $S$ et de rayon $5$ cm coupe la demi-droite d'origine $R$ en deux points, $T_{1}$ et $T_{2}$ .

Les deux triangles $RST_{1}$ et $RST_{2}$ respectent les trois données, et ils ne sont pas superposables : l'un a un angle obtus en $T_{1}$ , l'autre non.

Piège : s'arrêter au premier point trouvé. Deux côtés et un angle NON compris entre eux peuvent donner deux triangles.

e)

Les trois angles ont bien pour somme $50°+60°+70°=180°$ , donc de tels triangles existent.

On peut choisir la longueur d'un côté comme on veut, puis reporter deux angles : chaque longueur donne un nouveau triangle.

Il y en a donc une infinité, de même forme et de tailles différentes. Les angles ne fixent pas la taille.

f)

L'arc centré en $A$ s'arrête à $3{,}5$ cm de $A$ sur $[AB]$ , et l'arc centré en $B$ à $5$ cm de $B$ : $3{,}5+5=8{,}5$ cm, moins que les $10$ cm de $[AB]$ .

Les arcs ne se rencontrent pas : ce triangle n'existe pas.

Au-delà du programme de Cinquième : la règle générale qui décrit ce cas, l'inégalité triangulaire, n'est pas à connaître ici ; on constate simplement sur la construction.

Question a) : les deux arcs se coupent en

R

.

Question b) : l'angle est compris entre les deux côtés donnés.

Question c) : les deux demi-droites se coupent en

F

.

Question d) : le cercle coupe la demi-droite en

T_{1}

et en

T_{2}

, donc deux triangles différents.

Question e) : mêmes angles, tailles différentes. Chaque couleur marque un même angle d'un triangle à l'autre.

Question f) : les deux arcs ne se rencontrent pas, le triangle n'existe pas.

Exercice 5 : Trois droites à ne pas confondre, puis les hauteurs

Trois droites se ressemblent, et chacune a sa recette à deux ingrédients. La hauteur issue d'un sommet part de ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé. La médiane part d'un sommet et passe par le milieu du côté opposé. La médiatrice d'un côté passe par son milieu et lui est perpendiculaire.

Sur la première figure, le même côté $[BC]$ porte trois droites codées. La seconde figure montre trois triangles : $ABC$ a ses trois angles aigus, $DEF$ est rectangle en $D$ , $GKL$ est obtus en $K$ .

a) Sur la première figure, donnez la nature de chacune des droites $(d_{1})$ , $(d_{2})$ et $(d_{3})$ , en vous appuyant sur les codages.
Les trois triangles des questions b) à f).
b) Dans le triangle $ABC$ , tracez les trois hauteurs. Où se situe leur point de concours ?
c) Dans le triangle $DEF$ , rectangle en $D$ , tracez les trois hauteurs. En quel point se coupent-elles ? Justifiez.
d) Dans le triangle $GKL$ , obtus en $K$ , tracez la hauteur issue de $G$ et donnez la position de son pied $P$ . Tracez les deux autres hauteurs, puis situez leur point de concours.
e) Dans le triangle $ABC$ , on note $P$ le pied de la hauteur issue de $A$ . Avec $\widehat{ABC}=48°$ et $\widehat{ACB}=72°$ , calculez $\widehat{BAP}$ , $\widehat{CAP}$ et $\widehat{BAC}$ .
f) Dans le triangle $GKL$ , $\widehat{GKL}=125°$ et $P$ est toujours le pied de la hauteur issue de $G$ . Calculez $\widehat{GKP}$ , puis $\widehat{KGP}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

(d_{1})

(d_{2})

(d_{3})

b)

Point de concours

c)

Point de concours

d)

Le pied P est

Point de concours

e)

\widehat{BAP}

°

\widehat{CAP}

°

\widehat{BAC}

°

f)

\widehat{GKP}

°

\widehat{KGP}

°

Voir la correction

Réponses

a) $(d_{1})$ médiatrice de $[BC]$ , $(d_{2})$ hauteur issue de $A$ , $(d_{3})$ médiane issue de $A$
b) À l'intérieur du triangle
c) En $D$ : les côtés $[DE]$ et $[DF]$ sont deux des hauteurs
d) $P$ est sur le prolongement de $[LK]$ au-delà de $K$ ; le point de concours est hors du triangle
e) $\widehat{BAP}=42°$ , $\widehat{CAP}=18°$ , $\widehat{BAC}=60°$
f) $\widehat{GKP}=55°$ , $\widehat{KGP}=35°$

a)

$(d_{1})$ passe par le milieu de $[BC]$ et lui est perpendiculaire, sans passer par $A$ : c'est la médiatrice de $[BC]$ .

$(d_{2})$ part de $A$ et est perpendiculaire à $(BC)$ , sans passer par le milieu : c'est la hauteur issue de $A$ .

$(d_{3})$ part de $A$ et passe par le milieu de $[BC]$ , sans angle droit : c'est la médiane issue de $A$ .

Piège : répondre « hauteur » dès qu'une droite descend d'un sommet. Il faut les DEUX ingrédients de la recette, et le codage les dit.

b)

À l'équerre, depuis chaque sommet, on trace la perpendiculaire au côté opposé.

Les trois hauteurs se coupent en un même point, et ici ce point est à l'intérieur du triangle : tous les angles sont aigus.

c)

La hauteur issue de $E$ est perpendiculaire à $(DF)$ et passe par $E$ : or $(DE)$ est perpendiculaire à $(DF)$ . C'est donc le côté $[DE]$ .

De même, la hauteur issue de $F$ est le côté $[DF]$ .

Ces deux hauteurs se coupent en $D$ . La hauteur issue de $D$ , perpendiculaire à $(EF)$ , part de $D$ : les trois hauteurs se coupent en $D$ .

d)

Il faut prolonger $[LK]$ au-delà de $K$ : la perpendiculaire à $(KL)$ passant par $G$ coupe cette droite en $P$ , à l'extérieur du segment $[KL]$ .

Même chose pour la hauteur issue de $L$ : son pied est sur le prolongement de $[GK]$ . Seule la hauteur issue de $K$ a son pied sur le côté opposé.

Les trois droites se coupent en un même point, situé à l'extérieur du triangle.

Piège : refuser de prolonger le côté et tracer une perpendiculaire qui s'arrête dans le triangle. Une hauteur n'a pas à rester à l'intérieur.

e)

Le triangle $ABP$ est rectangle en $P$ : $\widehat{BAP}=180°-(90°+48°)=42°$ .

Le triangle $ACP$ est rectangle en $P$ : $\widehat{CAP}=180°-(90°+72°)=18°$ .

$\widehat{BAC}=42°+18°=60°$ .

On vérifie dans le grand triangle : $48°+72°+60°=180°$ .

f)

$P$ , $K$ et $L$ sont alignés, donc $\widehat{GKP}$ et $\widehat{GKL}$ forment un angle plat : $\widehat{GKP}=180°-125°=55°$ .

Le triangle $GKP$ est rectangle en $P$ : $\widehat{KGP}=180°-(90°+55°)=35°$ .

Piège : chercher ces angles dans le triangle $GKL$ . La hauteur extérieure forme un AUTRE triangle rectangle, $GKP$ , qui contient le calcul.

Triangle aux trois angles aigus : les hauteurs se coupent à l'intérieur.

Triangle rectangle en

D

: deux hauteurs sont les côtés de l'angle droit, et les trois se coupent en

D

.

Triangle obtus en

K

: deux pieds sont sur les prolongements des côtés, et le point de concours est hors du triangle.

Question e) : la hauteur découpe

ABC

en deux triangles rectangles.

Exercice 6 : L'aire d'un triangle calculée par deux bases

Un triangle a trois bases possibles, et à chacune sa hauteur. L'aire, elle, ne change pas. On peut donc l'écrire de deux façons et en tirer une longueur inconnue : c'est un raisonnement qui revient très souvent.

Sur la première figure, le triangle $ABC$ a pour côtés $BC=21$ cm, $AB=13$ cm et $AC=20$ cm. Les droites $(AH)$ et $(BK)$ sont deux de ses hauteurs, et $AH=12$ cm.

a) Calculez l'aire du triangle $ABC$ , en précisant la base et la hauteur choisies.
b) Écrivez l'aire de $ABC$ avec la base $[AC]$ , puis déduisez-en la longueur $BK$ .
c) On note $L$ le pied de la hauteur issue de $C$ . Calculez $CL$ , arrondie au centième.
Le triangle $DEF$ , obtus en $E$ , et sa hauteur $[DH]$ , extérieure au triangle.
d) Calculez l'aire du triangle $DEF$ . Pourquoi le produit $HF\times DH$ ne convient-il pas ?
e) Déduisez-en la longueur de la hauteur issue de $E$ , relative au côté $[DF]$ .
Le foc d'un voilier, représenté par le triangle $ABC$ : $AB=9$ m, $AC=4{,}5$ m, $CH=3{,}2$ m.
f) Calculez l'aire de la voile.
g) On appelle $K$ le pied de la hauteur issue de $B$ , relative à la droite $(AC)$ . Calculez $BK$ , puis dites si le point $K$ est sur le segment $[AC]$ en vous appuyant sur l'angle en $C$ .

Voir la correction

Réponses

a) $126$ cm²
b) $BK=12{,}6$ cm
c) $CL\approx 19{,}38$ cm
d) $42$ cm² ; la base est $[EF]$ , pas $[HF]$
e) $4{,}2$ cm
f) $14{,}4$ m²
g) $BK=6{,}4$ m ; $K$ est hors du segment $[AC]$ , car l'angle en $C$ est obtus

a)

On choisit la base $[BC]$ , car on connaît sa hauteur $[AH]$ : elles sont perpendiculaires.

$\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{21\times 12}{2}=126$ cm².

Piège : utiliser $AB=13$ ou $AC=20$ à la place de la hauteur. Ces côtés ne sont pas perpendiculaires à $[BC]$ .

b)

Avec la base $[AC]$ , la hauteur est $[BK]$ : l'aire vaut $\dfrac{AC\times BK}{2}=\dfrac{20\times BK}{2}$ .

C'est la même aire : $\dfrac{20\times BK}{2}=126$ , donc $20\times BK=252$ et $BK=12{,}6$ cm.

On retient l'égalité des deux produits : $BC\times AH=AC\times BK$ , soit $21\times 12=20\times 12{,}6=252$ .

c)

Avec la base $[AB]$ , la hauteur est $[CL]$ : $13\times CL=252$ .

$CL=252\div 13\approx 19{,}38$ cm.

Plus la base est courte, plus la hauteur qui lui correspond est grande, puisque le produit reste $252$ .

d)

La base est le côté $[EF]$ , de longueur $7$ cm, et la hauteur relative à ce côté est $[DH]$ , de longueur $12$ cm.

$\dfrac{EF\times DH}{2}=\dfrac{7\times 12}{2}=42$ cm².

Le segment $[HF]$ n'est pas un côté du triangle : $H$ est à l'extérieur. Le calcul $\dfrac{16\times 12}{2}=96$ donne l'aire du grand triangle $DHF$ .

Piège : allonger la base jusqu'au pied de la hauteur. On prolonge le côté pour tracer la hauteur, mais la base reste le côté.

e)

Avec la base $[DF]$ , de longueur $20$ cm : $\dfrac{20\times h}{2}=42$ , donc $20\times h=84$ et $h=4{,}2$ cm.

f)

La base $[AB]$ mesure $9$ m et la hauteur relative à cette base est $[CH]$ , de longueur $3{,}2$ m.

$\dfrac{9\times 3{,}2}{2}=14{,}4$ m².

Piège : prendre $AC=4{,}5$ m comme hauteur. Ce côté n'est pas perpendiculaire au mât.

g)

Avec la base $[AC]$ : $\dfrac{4{,}5\times BK}{2}=14{,}4$ , donc $4{,}5\times BK=28{,}8$ et $BK=6{,}4$ m.

L'angle $\widehat{ACB}$ est obtus : la perpendiculaire à $(AC)$ passant par $B$ coupe cette droite au-delà de $C$ . Le pied $K$ est donc hors du segment $[AC]$ , comme sur la figure du corrigé.

Le calcul ne change pas : la hauteur reste la distance de $B$ à la droite $(AC)$ .

Exercice 7 : Les médianes : deux aires égales, deux formes différentes

La médiane issue d'un sommet part de ce sommet et passe par le milieu du côté opposé. Elle partage toujours le triangle en deux triangles de même aire, et cela se démontre avec la seule formule de l'aire.

Sur la figure, $BC=9$ cm, $M$ est le milieu de $[BC]$ , et $[AH]$ est la hauteur issue de $A$ , avec $AH=5$ cm. On donne aussi $AB\approx 5{,}1$ cm et $AC\approx 9{,}4$ cm.

a) Tracez les trois médianes du triangle $ABC$ . Par quel point passe la médiane issue de $A$ ?
b) Démontrez que les triangles $ABM$ et $ACM$ ont la même aire, en utilisant la hauteur $[AH]$ , puis calculez cette aire.
c) Les triangles $ABM$ et $ACM$ sont-ils superposables ? Justifiez.
d) On place sur $[BC]$ le point $N$ tel que $BN=3$ cm. Calculez les aires des triangles $ABN$ et $ACN$ . La droite $(AN)$ partage-t-elle le triangle en deux aires égales ?
La ferme de charpente : $AB=AC=5$ m, $BC=8$ m, et le poinçon $[AM]$ joint le faîtage au milieu de l'entrait, avec $AM=3$ m.
e) Dans une ferme de charpente, $ABC$ est isocèle en $A$ . Citez la propriété de la médiatrice pour montrer que le poinçon $(AM)$ est la médiatrice de l'entrait $[BC]$ , et donnez la mesure de $\widehat{AMB}$ .
f) Calculez l'aire de la ferme, puis l'aire de chacun des deux triangles $ABM$ et $ACM$ . Ces deux triangles sont-ils superposables ici ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

La médiane issue de A passe par

b)

BM

cm

Aire de

ABM

cm²

Aire de

ACM

cm²

c)

Superposables

d)

Aire de

ABN

cm²

Aire de

ACN

cm²

Deux aires égales

e)

\widehat{AMB}

°

f)

Aire de la ferme m²

Aire de

ABM

m²

Superposables ici

Voir la correction

Réponses

a) Par $M$ , le milieu de $[BC]$
b) Même hauteur $[AH]$ et $BM=MC=4{,}5$ cm ; aire $11{,}25$ cm² chacun
c) Non : $AB$ et $AC$ sont différents
d) $7{,}5$ cm² et $15$ cm² : non
e) $A$ et $M$ sont à égale distance de $B$ et $C$ ; $\widehat{AMB}=90°$
f) $12$ m² et $6$ m² chacun ; oui, cette fois

a)

Pour chaque côté, on place le milieu, puis on le joint au sommet opposé. La médiane issue de $A$ passe par $M$ , le milieu de $[BC]$ .

On observe que les trois médianes se coupent en un même point : ce fait sera démontré plus tard.

Piège : tracer une perpendiculaire. La médiane ne demande aucun angle droit, seulement un milieu.

b)

Les triangles $ABM$ et $ACM$ ont pour bases $[BM]$ et $[MC]$ , portées par la même droite $(BC)$ , et le même sommet opposé $A$ : ils ont donc la même hauteur $[AH]$ .

On sait que $M$ est le milieu de $[BC]$ . Donc $BM=MC=9\div 2=4{,}5$ cm.

Or l'aire d'un triangle vaut base fois hauteur divisé par deux. Donc aire de $ABM=\dfrac{BM\times AH}{2}$ et aire de $ACM=\dfrac{MC\times AH}{2}$ sont égales.

Chacune vaut $\dfrac{4{,}5\times 5}{2}=11{,}25$ cm², et $2\times 11{,}25=22{,}5$ cm² est bien l'aire de $ABC$ , $\dfrac{9\times 5}{2}$ .

La preuve ne dépend pas des nombres : elle vaut pour toute médiane de tout triangle.

c)

Deux triangles superposables ont les mêmes longueurs de côtés. Or $ABM$ et $ACM$ ont en commun le côté $[AM]$ , et $BM=MC$ : il reste à comparer leurs troisièmes côtés.

$AB\approx 5{,}1$ cm et $AC\approx 9{,}4$ cm sont différents : les deux triangles ne sont pas superposables.

Même aire ne veut pas dire même forme.

Piège : conclure l'inverse à partir de l'aire. C'est le contresens le plus fréquent sur la médiane.

d)

$N$ est sur $[BC]$ , donc $NC=9-3=6$ cm, et les deux triangles ont encore la hauteur $[AH]$ .

Aire de $ABN=\dfrac{3\times 5}{2}=7{,}5$ cm². Aire de $ACN=\dfrac{6\times 5}{2}=15$ cm².

Les aires sont différentes : $(AN)$ ne partage pas le triangle en deux aires égales. Seul le milieu le fait, puisque seules les bases changent.

e)

On sait que $AB=AC$ : $A$ est à égale distance de $B$ et de $C$ . Or un point à égale distance des extrémités d'un segment est sur sa médiatrice. Donc $A$ est sur la médiatrice de $[BC]$ .

De même, $M$ est le milieu de $[BC]$ : $MB=MC$ , donc $M$ est sur la médiatrice de $[BC]$ .

Une droite étant fixée par deux points, $(AM)$ est la médiatrice de $[BC]$ . Elle est donc perpendiculaire à $(BC)$ : $\widehat{AMB}=90°$ .

Dans ce triangle isocèle, la même droite est à la fois médiane issue de $A$ , hauteur issue de $A$ et médiatrice de $[BC]$ . Seul le triangle isocèle les confond.

f)

D'après e), $[AM]$ est la hauteur relative à $[BC]$ : l'aire vaut $\dfrac{8\times 3}{2}=12$ m².

$[AM]$ est aussi une médiane : chacune des deux parties vaut $12\div 2=6$ m².

Ici, les deux triangles ont les mêmes côtés, $5$ m, $4$ m et $3$ m : ils sont superposables. C'est un cas particulier, dû au triangle isocèle, pas une règle.

Question a) : les trois médianes, en orange ; chaque milieu porte son codage.

Questions b) et c) : même hauteur, bases égales, donc même aire ; mais les deux triangles n'ont pas la même forme.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Pour chacune, donnez un contre-exemple, expliquez l'erreur, puis écrivez l'énoncé correct.

a) « La hauteur issue de $A$ coupe toujours le segment $[BC]$ . »
b) « La médiane issue de $A$ est toujours perpendiculaire à $[BC]$ . »
c) « La médiatrice de $[BC]$ passe toujours par le sommet $A$ . » On examinera un triangle où $AB=6$ cm et $AC=9$ cm.
d) « Deux triangles de même aire sont superposables. » On comparera deux triangles isocèles : l'un a pour côtés $5$ cm, $5$ cm et $8$ cm, avec une hauteur de $3$ cm relative au côté de $8$ cm ; l'autre a pour côtés $5$ cm, $5$ cm et $6$ cm, avec une hauteur de $4$ cm relative au côté de $6$ cm.
e) « Dans un triangle où $BC=10$ cm, $AB=5$ cm et où la hauteur issue de $A$ mesure $3$ cm, l'aire vaut $\dfrac{10\times 5}{2}=25$ cm². »

Voir la correction

Réponses

a) Faux dans un triangle obtus en $B$ : le pied est sur le prolongement de $[BC]$
b) Vrai seulement si $AB=AC$
c) Non : $AB\ne AC$ , donc $A$ n'est pas sur la médiatrice
d) $12$ cm² et $12$ cm², sans être superposables
e) $15$ cm²

a)

Contre-exemple : un triangle obtus en $B$ , à gauche sur la figure du corrigé. La perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$ coupe la droite $(BC)$ à l'extérieur du segment $[BC]$ .

L'erreur est de confondre le côté et la droite qui le porte.

Énoncé correct : la hauteur issue de $A$ coupe la DROITE $(BC)$ en formant un angle droit ; son pied peut être hors du segment.

b)

Contre-exemple : le triangle $DEF$ , à droite sur la figure du corrigé. La médiane $[DM]$ en orange n'est pas perpendiculaire à $[EF]$ , et la médiatrice en vert ne passe pas par $D$ .

L'erreur mélange deux recettes : la médiane demande un milieu, la hauteur un angle droit.

Énoncé correct : la médiane issue de $A$ est perpendiculaire à $[BC]$ lorsque le triangle est isocèle en $A$ .

c)

On sait qu'un point de la médiatrice de $[BC]$ est à égale distance de $B$ et de $C$ . Or $AB=6$ cm et $AC=9$ cm. Donc $A$ n'est pas sur cette médiatrice.

L'erreur vient d'une confusion avec la médiane, qui part bien d'un sommet.

Énoncé correct : la médiatrice de $[BC]$ passe par $A$ si et seulement si $AB=AC$ .

d)

Les deux aires valent $\dfrac{8\times 3}{2}=12$ cm² et $\dfrac{6\times 4}{2}=12$ cm².

Pourtant ces deux triangles n'ont pas les mêmes côtés : l'un a un côté de $8$ cm et l'autre aucun. Ils ne sont pas superposables.

Énoncé correct : deux triangles superposables ont la même aire ; la réciproque est fausse.

e)

$[AB]$ n'est pas la hauteur relative à $[BC]$ : ce côté est oblique, de longueur $5$ cm alors que la hauteur mesure $3$ cm.

La bonne aire est $\dfrac{10\times 3}{2}=15$ cm².

Énoncé correct : l'aire vaut un côté multiplié par la hauteur relative à ce côté, divisé par deux. Le produit de deux côtés divisé par deux ne convient que pour les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle.

Exercice 9 : Problème : retrouver le centre d'une assiette brisée

Une assiette ronde s'est brisée, et il n'en reste qu'un morceau. Pour la refaire à l'identique, le potier doit retrouver son centre $O$ et son diamètre.

Propriété de la médiatrice : un point appartient à la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est à égale distance des extrémités de ce segment.

Le morceau est posé sur un quadrillage dont le carreau mesure $2$ cm de côté. Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont repérés sur son bord circulaire.

a) Justifiez que le centre $O$ de l'assiette appartient à la médiatrice de $[AB]$ , puis à celle de $[BC]$ .
b) Tracez ces deux médiatrices sur le quadrillage et lisez les coordonnées du point $O$ .
c) Donnez le rayon de l'assiette en carreaux, puis son diamètre réel en centimètres.
d) Le cercle retrouvé passe par les trois sommets du triangle $ABC$ . Comment l'appelle-t-on, et quelles droites du triangle se coupent en son centre ?
e) Sur une autre assiette, trois points $E$ , $F$ , $G$ forment un triangle isocèle en $E$ . Démontrez que la médiatrice de $[FG]$ passe par $E$ , puis précisez ce qu'elle est d'autre dans ce triangle.
Une rosace à trois lobes : $A$ , $B$ , $C$ sont les centres des lobes, sur un cercle de centre $O$ .
f) Dans la rosace ci-dessus, le triangle $ABC$ est équilatéral et $O$ est le centre de son cercle circonscrit. On note $H$ le milieu de $[BC]$ . Montrez que $(AO)$ est la médiatrice de $[BC]$ , puis calculez $\widehat{BAO}$ et $\widehat{AOB}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $OA=OB$ et $OB=OC$ : ce sont des rayons
b) $O(6\,;1)$
c) $5$ carreaux, donc un diamètre de $20$ cm
d) Le cercle circonscrit ; les médiatrices
e) $EF=EG$ ; elle est aussi hauteur issue de $E$ et médiane issue de $E$
f) $\widehat{BAO}=30°$ , $\widehat{AOB}=120°$

a)

On sait que $A$ et $B$ sont sur le cercle de centre $O$ : $OA=OB$ , car ce sont deux rayons.

Or un point à égale distance des extrémités d'un segment appartient à sa médiatrice.

Donc $O$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ .

De même, $OB=OC$ , donc $O$ appartient à la médiatrice de $[BC]$ .

b)

La médiatrice de $[BC]$ passe par le milieu $(6\,;5)$ de $[BC]$ et est perpendiculaire à $[BC]$ , qui suit le quadrillage : c'est la verticale d'abscisse $6$ .

La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu $(2\,;3)$ de $[AB]$ . Le segment $[AB]$ monte de $4$ carreaux pour $2$ vers la droite, donc sa médiatrice descend de $1$ carreau pour $2$ vers la droite.

Elles se coupent en $O(6\,;1)$ .

Deux médiatrices suffisent. On observe que la troisième, celle de $[AC]$ , passerait aussi par ce point.

c)

De $A(1\,;1)$ à $O(6\,;1)$ , on compte $5$ carreaux horizontaux : le rayon vaut $5$ carreaux, soit $5\times 2=10$ cm.

Le diamètre réel vaut $2\times 10=20$ cm.

Piège : répondre $5$ ou $10$ en oubliant soit l'échelle, soit le passage du rayon au diamètre.

d)

Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle s'appelle son cercle circonscrit.

Son centre est à égale distance des trois sommets : il est sur les médiatrices des côtés.

Ici, l'angle en $B$ est obtus et le centre est hors du triangle $ABC$ : c'est permis.

Au-delà du programme de Cinquième : la position exacte de ce centre dans un triangle rectangle est vue en Quatrième.

e)

On sait que $EFG$ est isocèle en $E$ : $EF=EG$ , donc $E$ est à égale distance de $F$ et de $G$ .

Or un point à égale distance des extrémités d'un segment appartient à sa médiatrice. Donc $E$ est sur la médiatrice de $[FG]$ .

Cette droite passe par $E$ et elle est perpendiculaire à $[FG]$ : c'est la hauteur issue de $E$ .

Elle passe par $E$ et par le milieu de $[FG]$ : c'est aussi la médiane issue de $E$ . Seul le triangle isocèle les confond.

f)

$AB=AC$ et $OB=OC$ : $A$ et $O$ sont tous deux à égale distance de $B$ et de $C$ , donc ils sont sur la médiatrice de $[BC]$ . Ainsi $(AO)$ est la médiatrice de $[BC]$ , et elle passe par $H$ .

Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ , et $\widehat{ABH}=60°$ car $ABC$ est équilatéral : $\widehat{BAH}=180°-(90°+60°)=30°$ . Comme $O$ est sur $[AH]$ , $\widehat{BAO}=30°$ .

$OA=OB$ : le triangle $AOB$ est isocèle en $O$ , donc $\widehat{ABO}=\widehat{BAO}=30°$ .

$\widehat{AOB}=180°-(30°+30°)=120°$ .

On vérifie : les trois angles autour de $O$ sont égaux et $3\times 120°=360°$ .

Questions a) et b) : les deux médiatrices se coupent en

O(6\,;1)

, centre du cercle en pointillé ; le rayon

[OA]

en orange mesure

5

carreaux.

Question f) :

(AO)

est la médiatrice de

[BC]

; les deux angles de

30°

sont égaux car

OA=OB

.

Exercice 10 : Problème : partager une parcelle triangulaire en parts égales

Une famille hérite d'une parcelle en forme de triangle $ABC$ , dessinée ci-dessous : $BC=120$ m et $AH=80$ m, où $[AH]$ est la hauteur issue de $A$ . Elle veut la partager en parts de même aire avec des clôtures droites.

a) Calculez l'aire de la parcelle.
b) Pour faire deux parts égales avec une seule clôture partant de $A$ , où faut-il la faire arriver sur $[BC]$ ? Justifiez, puis donnez la longueur $BM$ et l'aire de chaque part.
c) Sur le plan, on mesure $AB\approx 85$ m et $AC\approx 120$ m. Les deux parts ont-elles la même forme ? Justifiez.
d) Pour faire quatre parts, on garde $[AM]$ , on place $N$ au milieu de $[AM]$ , et on pose les clôtures $[BN]$ et $[CN]$ . Démontrez que les quatre triangles obtenus ont la même aire, et calculez cette aire.
e) Trois personnes préfèrent trois parts égales, avec deux clôtures partant de $A$ . Où placer les points $D$ et $E$ sur $[BC]$ ? Calculez $BD$ et l'aire de chaque part.
f) En partant de la parcelle entière et en coupant chaque fois une part en deux par une de ses médianes, combien de partages successifs faut-il pour obtenir une part de $300$ m² ?

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Réponses

a) $4\,800$ m²
b) Au milieu $M$ de $[BC]$ ; $BM=60$ m ; $2\,400$ m² chacune
c) Non : $AB\ne AC$
d) $1\,200$ m² chacun
e) $BD=DE=EC=40$ m ; $1\,600$ m² chacune
f) $4$ partages

a)

$\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{120\times 80}{2}=4\,800$ m².

b)

On sait qu'une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire. Donc la clôture doit être la médiane issue de $A$ : elle arrive au milieu $M$ de $[BC]$ .

$BM=120\div 2=60$ m, et chaque part vaut $4\,800\div 2=2\,400$ m².

Piège : poser la clôture sur la hauteur $[AH]$ . Elle donne deux triangles de bases $30$ m et $90$ m, dont les aires valent $1\,200$ m² et $3\,600$ m².

c)

Les deux parts ont en commun le côté $[AM]$ , et $BM=MC=60$ m. Leurs troisièmes côtés sont $[AB]$ et $[AC]$ , avec $AB\approx 85$ m et $AC\approx 120$ m.

Ces longueurs sont différentes : les deux parts n'ont pas la même forme.

Même aire ne veut pas dire superposables : il faudrait une parcelle isocèle en $A$ .

d)

Dans le triangle $ABM$ , $N$ est le milieu de $[AM]$ : $[BN]$ est la médiane issue de $B$ . Elle partage $ABM$ en deux triangles de même aire : $ABN$ et $NBM$ , chacun $2\,400\div 2=1\,200$ m².

Dans le triangle $ACM$ , $[CN]$ est de même la médiane issue de $C$ : $ACN$ et $NCM$ valent aussi $1\,200$ m² chacun.

Les quatre parts ont la même aire, sans avoir la même forme.

e)

Il faut trois bases égales sur $[BC]$ : $BD=DE=EC=120\div 3=40$ m. Les trois triangles $ABD$ , $ADE$ et $AEC$ ont alors la même hauteur $[AH]$ .

Chacun vaut $\dfrac{40\times 80}{2}=1\,600$ m², et $3\times 1\,600=4\,800$ m².

Ce ne sont plus des médianes, mais c'est le même raisonnement : même hauteur et bases égales donnent des aires égales.

f)

Chaque médiane divise la part par deux : $4\,800$ , puis $2\,400$ , puis $1\,200$ , puis $600$ , puis $300$ m².

Il faut donc $4$ partages successifs, puisque $4\,800\div 2^{4}=300$ .

Question b) : la médiane

[AM]

fait deux parts de même aire, de formes différentes.

Question d) : quatre parts de

1\,200

m² chacune, une couleur par part.

Question e) : trois bases égales et la même hauteur, donc trois aires égales.

Exercices corrigés : les triangles, hauteurs, médianes, médiatrices, aire (Cinquième)

Rappel de cours

Calculs : angles d'un triangle et aires

Exercice 0.1 : Calculer le troisième angle d'un triangle : dix calculs directs

Exercice 0.2 : Calculer une aire de triangle : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Reconnaître un triangle sur un schéma codé

Exercice 2 : Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180°

Exercice 3 : Les angles des triangles particuliers

Exercice 4 : Construire un triangle à partir de données partielles

Exercice 5 : Trois droites à ne pas confondre, puis les hauteurs

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : L'aire d'un triangle calculée par deux bases

Exercice 7 : Les médianes : deux aires égales, deux formes différentes

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : retrouver le centre d'une assiette brisée

Exercice 10 : Problème : partager une parcelle triangulaire en parts égales

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Les triangles bloquent en Cinquième à Montréal ?