Physique, secondaire 5 à Montréal • Cinématique

Fiche de révision : le mouvement des projectiles (physique, secondaire 5)

Le mouvement des projectiles n'ajoute aucune formule nouvelle : ce sont les équations du MRUA, appliquées deux fois. Toute la difficulté est d'organisation, et c'est là que les points se perdent. Cette fiche donne la méthode des deux colonnes, l'endroit exact où le temps fait le lien entre elles, et les huit erreurs qui reviennent sur chaque copie.

Elle s'adresse aux élèves de physique de secondaire 5. Le chapitre est celui où l'examen aime poser un problème long, en trois questions enchaînées : une erreur de colonne à la première question coûte les trois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Les deux mouvements sont INDÉPENDANTS : l'horizontale ignore la gravité, la verticale ignore la vitesse horizontale. Le seul pont entre les deux colonnes est le TEMPS, et presque tout ce qui se perd dans ce chapitre vient d'avoir mélangé les deux.

Ce chapitre fait partie de Physique de cinquième secondaire

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
3Les paramètres et les propriétés des fonctionsSecondaire 4 SN4
4La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4
5Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
6Les fonctions quadratiquesMathématiques
7Cinématique et le MRUA

Notions couvertes

Mouvement des projectiles
Indépendance des mouvements
Décomposition du vecteur vitesse
Composante horizontale de la vitesse
Composante verticale de la vitesse
Portée d'un projectile
Équation de la trajectoire
Sommet de la trajectoire
Temps de vol
Vitesse d'impact
Angles complémentaires
Chute libre

L'essentiel

Deux colonnes, un seul pont

• HORIZONTALE : aucune force, donc MRU. $v_{x}=v_{0}\cos\theta$ ne change JAMAIS, et $x=v_{x}\,t$ .
• VERTICALE : la gravité seule, donc MRUA avec $a=-g$ . $v_{y}(t)=v_{0}\sin\theta-g\,t$ et $y(t)=y_{0}+v_{0}\sin\theta\,t-\frac{1}{2}g\,t^{2}$ .
• Le TEMPS est la seule grandeur commune aux deux colonnes. Toute question horizontale se résout donc en cherchant d'abord un temps dans la verticale.
• Recomposition à un instant : $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ et $\tan\alpha=\frac{|v_{y}|}{v_{x}}$ .
• La masse n'apparaît nulle part : une bille de plomb et une balle de tennis lancées pareil suivent la même trajectoire.

Lâchée sans vitesse ou lancée à

10

m/s, les deux billes sont à la MÊME hauteur au même instant : ce qui se passe à l'horizontale n'a aucun effet sur la chute.

Tracez physiquement deux colonnes sur la copie avant le premier calcul. Un correcteur qui voit les deux colonnes donne les points de méthode même quand le calcul final se trompe.

Les repères du vol, sur sol horizontal

• Au sommet : $v_{y}=0$ , jamais $v$ . Le vecteur vitesse y est horizontal et vaut $v_{x}$ .
• Temps de montée $t_{m}=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}$ ; temps de vol $=2t_{m}$ si le départ et l'arrivée sont à la même hauteur.
• Hauteur maximale $h=\frac{(v_{0}\sin\theta)^{2}}{2g}$ , mesurée AU-DESSUS du point de départ.
• Portée $R=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$ , maximale à $45°$ , et identique pour deux angles complémentaires.
• Ces quatre formules supposent le sol horizontal. Dès que l'arrivée est plus basse ou plus haute que le départ, aucune ne s'applique.

Retenez laquelle des formules est conditionnelle : celles du sommet valent toujours, celles du temps de vol et de la portée seulement à hauteur égale.

Les deux outils qui font gagner du temps

• Équation de la trajectoire, le temps éliminé : $y(x)=x\tan\theta-\frac{g\,x^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}$ .
• Elle répond directement aux questions de FORME, franchir un mur ou atteindre un panier, sans jamais calculer d'instant.
• Vitesse d'impact quand l'arrivée est $h$ plus bas : $v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$ , INDÉPENDANTE de l'angle de tir.
• Cette dernière ne donne que la grandeur. Pour la direction, il faut revenir aux deux composantes.

Un énoncé qui donne une abscisse et demande une hauteur, ou l'inverse, appelle l'équation de la trajectoire. Un énoncé qui parle d'un instant appelle les deux colonnes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Glisser la gravité dans l'équation horizontale

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=v_{0}\cos\theta\,t-\frac{1}{2}g\,t^{2}$ »

Ce qu'il faut écrire

« Horizontalement aucune force n'agit, donc $a_{x}=0$ et $x=v_{0}\cos\theta\,t$ . La gravité n'apparaît que dans la colonne verticale. »

Pourquoi : C'est l'erreur qui définit le chapitre. La gravité est verticale, elle ne peut donc rien changer à une composante horizontale : c'est cela, l'indépendance des mouvements.

2. Déclarer la vitesse nulle au sommet de la trajectoire

3 points, et toute la question d'énergie derrière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au point le plus haut le projectile s'arrête, donc $v=0$ et son énergie cinétique est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« Au sommet, seule la composante verticale s'annule : $v_{y}=0$ , mais $v=v_{x}=14{,}1$ m/s, horizontale. »

Au sommet la composante verticale s'annule, mais le vecteur vitesse ne s'annule pas : il vaut

14{,}1

m/s, horizontal, exactement comme au départ.

Pourquoi : Seul un tir strictement vertical annule vraiment la vitesse au sommet. Dès qu'il y a un angle, $v_{x}$ subsiste inchangée pendant tout le vol.

3. Croire qu'un colis largué tombe à la verticale du point de largage

toute la question de raisonnement, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'avion largue le colis, donc le colis tombe droit en dessous du point de largage. »

Ce qu'il faut écrire

« Le colis CONSERVE la vitesse horizontale de l'avion. Vu du sol il décrit une parabole et touche le sol bien en avant ; vu de l'avion il tombe à la verticale, et l'avion reste juste au-dessus de lui. »

Pourquoi : Rien ne freine le colis horizontalement à l'instant du largage : sa vitesse horizontale est celle de l'avion et elle ne change plus. C'est le même énoncé que la bille lancée, vu depuis un autre repère.

4. Appliquer la formule de la portée depuis une hauteur

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le tir part d'une falaise de $45$ m à $25$ m/s et $30°$ , donc $R=\frac{25^{2}\sin 60°}{9{,}8}=55{,}2$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« Le départ et l'arrivée ne sont pas à la même hauteur : la formule ne s'applique pas. Je résous $45+12{,}5t-4{,}9t^{2}=0$ , je trouve $t=4{,}56$ s, puis $x=21{,}65\times 4{,}56=98{,}8$ m. »

Pourquoi : La formule de la portée est démontrée en posant $y=0$ au départ ET à l'arrivée. Depuis une falaise, la vraie portée est presque le double, et l'écart saute aux yeux sur un dessin.

5. Confondre le temps de MONTÉE et le temps de VOL

toute la question, et la réponse est exactement moitié trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $t=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}=\frac{14{,}1}{9{,}8}=1{,}44$ s, donc la portée vaut $14{,}1\times 1{,}44=20{,}4$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« $1{,}44$ s est le temps de MONTÉE. Sur sol horizontal, le vol dure le double, $2{,}89$ s, et la portée vaut $14{,}1\times 2{,}89=40{,}8$ m. »

Pourquoi : La trajectoire est symétrique quand le sol est horizontal : la descente dure aussi longtemps que la montée. Une portée qui tombe pile à la moitié de la réponse attendue signale toujours cette erreur.

6. Croire qu'un seul angle permet d'atteindre une cible

2 points sur 4, la moitié de la réponse manque

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La portée demandée est $35{,}4$ m avec $v_{0}=20$ m/s : je trouve $\theta=30°$ , c'est la réponse. »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin(2\theta)=\frac{35{,}4\times 9{,}8}{400}=0{,}866$ donne $2\theta=60°$ ou $2\theta=120°$ , donc $\theta=30°$ OU $\theta=60°$ . Les deux angles atteignent la cible ; le tir à $60°$ monte plus haut et met plus de temps. »

Même vitesse initiale, deux angles complémentaires, la MÊME portée de

35{,}4

m : le tir à

60°

monte trois fois plus haut et reste bien plus longtemps en l'air.

Pourquoi : Le sinus prend la même valeur pour un angle et son supplémentaire, donc deux angles complémentaires donnent la même portée. Seul $45°$ est solution unique, parce que c'est le maximum.

7. Recomposer une vitesse en additionnant ses composantes

2 points, et l'énergie cinétique fausse derrière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $v_{x}=14{,}1$ m/s et $v_{y}=-7$ m/s, donc $v=14{,}1+7=21{,}1$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« Les composantes sont perpendiculaires : $v=\sqrt{14{,}1^{2}+7^{2}}=15{,}7$ m/s, à $26{,}4°$ sous l'horizontale. »

Pourquoi : Deux vecteurs perpendiculaires se composent par Pythagore, jamais par addition. Un résultat plus grand que la somme des carrés doit alerter : $v$ est toujours plus petit que $v_{x}+v_{y}$ .

8. Laisser la calculatrice en radians

toute la question, plusieurs fois dans le même problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos 30=0{,}154$ , donc $v_{x}=25\times 0{,}154=3{,}85$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« $\cos 30°=0{,}866$ , donc $v_{x}=25\times 0{,}866=21{,}7$ m/s. »

Pourquoi : Un cosinus d'angle aigu est toujours compris entre $0{,}5$ et $1$ pour les angles usuels de tir : une valeur en dessous de $0{,}5$ pour $30°$ trahit le mode radians. Vérifiez le mode une fois, en début d'épreuve.

9. Faire intervenir la masse du projectile

2 points de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La balle de $200$ g ira moins loin que celle de $50$ g lancée pareil. »

Ce qu'il faut écrire

« Aucune équation du chapitre ne contient la masse : à même vitesse initiale et même angle, les deux suivent exactement la même trajectoire. »

Pourquoi : La masse s'élimine entre le poids et la deuxième loi de Newton, ce qui laisse $a=g$ pour tous les corps. Elle ne réapparaît qu'avec la résistance de l'air, hors programme ici.

Quelle méthode choisir

Quelle colonne ouvrir

Lisez la grandeur demandée, puis choisissez la colonne. Le temps est toujours l'intermédiaire quand la question est horizontale.

Si on demande une DISTANCE horizontale ou la portée → chercher d'abord le temps dans la VERTICALE, puis $x=v_{x}\,t$

Exemple : $t=4{,}56$ s trouvé par $y(t)=0$ , puis $x=21{,}65\times 4{,}56=98{,}8$ m
Si on demande une HAUTEUR, le sommet ou une durée → colonne VERTICALE seule, avec $a=-g$

Exemple : $h=\frac{(v_{0}\sin\theta)^{2}}{2g}$ pour la hauteur maximale

l'horizontale n'entre jamais dans ces questions, ne la calculez pas
Si on demande la VITESSE à un instant, en grandeur et direction → les deux colonnes, puis $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$

Exemple : $v_{x}=14{,}1$ et $v_{y}=-7$ donnent $15{,}7$ m/s à $26{,}4°$ sous l'horizontale
Si on demande si le projectile FRANCHIT un obstacle à une abscisse donnée → équation de la trajectoire $y(x)$ , sans passer par le temps

Exemple : mur de $3$ m à $x=12$ m : calculer $y(12)$ et comparer

c'est aussi la voie pour remonter à $v_{0}$ quand on connaît un point de passage
Si on demande seulement la GRANDEUR de la vitesse d'impact → $v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$ , sans l'angle

Exemple : $\sqrt{25^{2}+2(9{,}8)(45)}=38{,}8$ m/s

Si aucune branche ne s'applique, c'est que la question porte sur deux projectiles à la fois : écrivez les deux jeux d'équations avec le décalage de temps dans l'équation, puis égalez les positions.

Le sol est-il horizontal

Comparez la hauteur du point de départ et celle du point d'arrivée. C'est ce seul point qui autorise ou interdit les formules symétriques.

Si départ et arrivée à la MÊME hauteur → formules symétriques autorisées : $t_{vol}=\frac{2v_{0}\sin\theta}{g}$ et $R=\frac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{g}$

Exemple : $v_{0}=20$ m/s à $45°$ donne $R=40{,}8$ m

la portée est alors maximale à $45°$ et deux angles complémentaires se valent
Si arrivée PLUS BASSE que le départ → aucune formule de portée : résoudre $y(t)=-h$ , second degré, garder la racine positive

Exemple : falaise de $45$ m : $4{,}9t^{2}-12{,}5t-45=0$ donne $t=4{,}56$ s

l'angle qui maximise la portée devient alors INFÉRIEUR à $45°$
Si lancement HORIZONTAL depuis une hauteur → $\theta=0$ , donc $v_{y0}=0$ : $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ puis $x=v_{0}t$

Exemple : table de $1{,}2$ m : $t=0{,}49$ s, indépendante de $v_{0}$
Si arrivée PLUS HAUTE que le départ, panier ou fenêtre → équation de la trajectoire avec $x$ connu et $y$ imposé

Exemple : panier à $3{,}05$ m et $4{,}5$ m : une seule inconnue reste, $v_{0}$

Le réflexe qui sauve : dessiner la scène avec le point de départ et le point d'arrivée à leur hauteur respective, AVANT de choisir une formule. Le dessin décide de la branche en une seconde.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un tir balistique

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une vitesse initiale et un angle, et demande une portée, une hauteur, une durée ou une vitesse.

1 Poser la convention : origine au point de lancement, vers le haut positif, vers l'avant positif.
2 Décomposer une seule fois : $v_{x}=v_{0}\cos\theta$ et $v_{y0}=v_{0}\sin\theta$ , avec les valeurs numériques.
3 Dresser deux colonnes, HORIZONTALE avec $a_{x}=0$ et VERTICALE avec $a_{y}=-9{,}8$ m/s², et y ranger les données.
4 Chercher le TEMPS dans la colonne verticale, en justifiant la condition utilisée ( $y=0$ au sol, $v_{y}=0$ au sommet).
5 Reporter ce temps dans la colonne horizontale pour la distance demandée.
6 Conclure par une phrase avec la valeur, l'unité et le sens.

Phrase de conclusion

« Le projectile touche le sol $4{,}56$ s après le tir, à $98{,}8$ m du pied de la falaise. »

Le piège : L'étape sautée est la troisième : sans les deux colonnes écrites, la gravité finit un jour ou l'autre dans l'équation horizontale.

Barème : 1 point pour la décomposition, 1 point pour les deux colonnes avec $a_{x}=0$ écrit, 2 points pour le temps et sa condition, 1 point pour la distance, 1 point pour la phrase.

Donner la vitesse d'impact, grandeur et direction

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « avec quelle vitesse » ou « sous quel angle » le projectile arrive.

1 Rappeler que $v_{x}$ n'a pas changé depuis le départ, en le disant explicitement.
2 Calculer $v_{y}$ à l'instant d'impact par $v_{y}=v_{0}\sin\theta-g\,t$ , en gardant son signe négatif.
3 Composer par Pythagore : $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ .
4 Calculer l'angle par $\tan\alpha=\frac{|v_{y}|}{v_{x}}$ et préciser qu'il est mesuré SOUS l'horizontale.
5 Vérifier avec $v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$ , qui doit redonner la même grandeur.

Phrase de conclusion

« Le projectile arrive à $38{,}8$ m/s, dirigée à $56{,}1°$ sous l'horizontale. »

Le piège : Oublier le signe de $v_{y}$ dans la description : la grandeur est juste, mais dire « au-dessus de l'horizontale » coûte le point de direction.

Barème : 1 point pour $v_{x}$ inchangée, 1 point pour $v_{y}$ signée, 1 point pour la composition, 1 point pour l'angle et son sens.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La composante horizontale a-t-elle bougé

Comparez le $v_{x}$ écrit à la fin du problème avec celui du début. Ils doivent être identiques au chiffre près.

Un $v_{x}$ qui vaut $21{,}7$ m/s au départ et $18$ m/s à l'arrivée signale que la gravité s'est glissée dans la colonne horizontale.
La symétrie du sol horizontal

Si le départ et l'arrivée sont à la même hauteur, la vitesse d'impact doit avoir exactement la même GRANDEUR que la vitesse initiale, et l'angle doit être l'opposé.

Un tir à $20$ m/s qui retomberait à $17$ m/s sur un sol horizontal est faux : sans frottement l'énergie se conserve.
Le temps reporté dans la verticale

Réinjectez le temps trouvé dans $y(t)$ : vous devez retomber sur la hauteur d'arrivée annoncée, $0$ au sol ou $-h$ au pied d'une falaise.

$t=4{,}56$ s dans $y(t)=45+12{,}5t-4{,}9t^{2}$ doit donner environ $0$ . Un résultat de $12$ m signale une racine mal choisie.
L'ordre de grandeur du lancer

Un humain lance à $20$ à $30$ m/s au maximum, ce qui plafonne la portée autour de $90$ m et la hauteur autour de $25$ m sur terrain plat.

Une portée de $400$ m pour un ballon signale des degrés lus en radians ou un $g$ oublié.
Le mode de la calculatrice

Tapez $\cos 60$ avant de commencer : la machine doit afficher $0{,}5$ . Si elle affiche $-0{,}95$ , elle est en radians.

Un $v_{x}$ plus grand que $v_{0}$ , ou négatif pour un angle aigu, trahit toujours ce réglage.

L'exercice type décortiqué

Le tir depuis une falaise

Depuis le sommet d'une falaise de $45$ m, une pierre est lancée à $25$ m/s selon un angle de $30°$ au-dessus de l'horizontale.

Calculez le temps de vol, la distance horizontale parcourue et la vitesse d'impact, en grandeur et en direction.

On prend $g=9{,}8$ m/s² et on néglige la résistance de l'air.

Le tir part de

45

m au-dessus du sol : la trajectoire n'est plus symétrique, et la pierre retombe à

98{,}8

m, bien au-delà du double de l'abscisse du sommet.

Étape 1

Origine au point de lancement, vers le haut positif. $v_{x}=25\cos 30°=21{,}65$ m/s et $v_{y0}=25\sin 30°=12{,}5$ m/s.

Pourquoi

La décomposition se fait une seule fois, au début. Placer l'origine au lancement, et non au sol, évite d'ajouter $45$ partout : le sol devient simplement $y=-45$ .

Étape 2

Colonne horizontale : $a_{x}=0$ , $v_{x}=21{,}65$ m/s constante, $x=21{,}65\,t$ . Colonne verticale : $a_{y}=-9{,}8$ m/s², $v_{y}=12{,}5-9{,}8t$ , $y=12{,}5t-4{,}9t^{2}$ .

Pourquoi

Écrire les deux colonnes AVANT de chercher quoi que ce soit est le geste qui rapporte le point de méthode et qui empêche la gravité de migrer vers l'horizontale.

Étape 3

Le sol est en $y=-45$ : $12{,}5t-4{,}9t^{2}=-45$ , soit $4{,}9t^{2}-12{,}5t-45=0$ .

Pourquoi

La formule de la portée est inutilisable ici puisque l'arrivée est plus basse que le départ. On revient donc à l'équation horaire verticale et on impose la condition d'arrivée.

Étape 4

$t=\frac{12{,}5\pm\sqrt{156{,}25+882}}{9{,}8}=\frac{12{,}5\pm 32{,}22}{9{,}8}$ , donc $t=4{,}56$ s ou $t=-2{,}01$ s. On garde $t=4{,}56$ s.

Pourquoi

La racine négative correspondrait à un instant avant le lancer : elle existe mathématiquement, pas physiquement. La rejeter EN LE DISANT vaut un point de rigueur sur presque tous les barèmes.

Étape 5

$x=21{,}65\times 4{,}56=98{,}8$ m.

Pourquoi

C'est le pont entre les deux colonnes : le temps calculé dans la verticale est reporté tel quel dans l'horizontale. La formule de la portée aurait donné $55{,}2$ m, presque deux fois trop peu.

Étape 6

$v_{y}=12{,}5-9{,}8\times 4{,}56=-32{,}2$ m/s, et $v_{x}=21{,}65$ m/s toujours.

Pourquoi

Le signe négatif dit que la pierre descend à l'impact. Rappeler que $v_{x}$ n'a pas bougé est ce qui distingue une copie qui a compris le chapitre d'une copie qui applique des formules.

Étape 7

$v=\sqrt{21{,}65^{2}+32{,}2^{2}}=38{,}8$ m/s et $\tan\alpha=\frac{32{,}2}{21{,}65}$ donne $\alpha=56{,}1°$ sous l'horizontale.

Pourquoi

Les deux composantes sont perpendiculaires, donc Pythagore. L'angle se donne toujours avec sa référence : sous l'horizontale, sinon la direction est ambiguë.

Étape 8

Vérification : $\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}=\sqrt{625+882}=38{,}8$ m/s, identique.

Pourquoi

Cette formule vient de la conservation de l'énergie et ne dépend pas de l'angle. Quand elle confirme la composition par Pythagore, les deux colonnes sont justes.

Conclusion rédigée

« La pierre reste $4{,}56$ s en l'air, touche le sol à $98{,}8$ m du pied de la falaise, et arrive à $38{,}8$ m/s dirigée à $56{,}1°$ sous l'horizontale. »

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique sur ce problème est d'appliquer $R=\frac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{g}$ et de répondre $55{,}2$ m. Elle passe inaperçue parce que le nombre est plausible, alors qu'un simple dessin de la falaise montre que la pierre va bien plus loin.

À savoir par cœur

• HORIZONTALE : $a_{x}=0$ et $v_{x}=v_{0}\cos\theta$ CONSTANTE tout le vol. VERTICALE : $a_{y}=-g$ .
• Le TEMPS est le seul pont entre les deux colonnes : toute question horizontale commence par un calcul vertical.
• Au sommet $v_{y}=0$ , jamais $v$ : la vitesse y vaut $v_{x}$ , horizontale.
• $R=\frac{v_{0}^{2}\sin 2\theta}{g}$ et $t_{vol}=\frac{2v_{0}\sin\theta}{g}$ EXIGENT un départ et une arrivée à la même hauteur.
• Deux angles complémentaires donnent la même portée ; $45°$ est le maximum sur sol horizontal, moins depuis une hauteur.
• Vitesse d'impact depuis une hauteur $h$ : $v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$ , indépendante de l'angle de tir.
• Composantes perpendiculaires : $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ , JAMAIS $v_{x}+v_{y}$ .
• La masse n'apparaît dans aucune équation du chapitre.

Questions fréquentes

Pourquoi la gravité n'agit-elle pas sur le mouvement horizontal d'un projectile ?

Parce que la gravité est une force verticale. Elle ne peut modifier que la composante verticale de la vitesse. Horizontalement, aucune force n'agit une fois le projectile lancé, donc la vitesse horizontale reste exactement la même du départ à l'arrivée. C'est ce qu'on appelle l'indépendance des deux mouvements, et c'est tout le chapitre.

Est-ce que la vitesse est nulle au sommet de la trajectoire ?

Non, sauf pour un tir strictement vertical. Au sommet, seule la composante verticale de la vitesse s'annule, le temps d'un instant. La composante horizontale, elle, n'a pas changé depuis le lancement. La vitesse au sommet vaut donc la vitesse horizontale, et le vecteur y est horizontal. L'énergie cinétique n'y est jamais nulle.

Comment calculer la portée d'un projectile lancé depuis une falaise ?

La formule habituelle de la portée ne s'applique pas, car elle suppose un départ et une arrivée à la même hauteur. Écrivez l'équation horaire verticale, posez la hauteur d'arrivée, résolvez l'équation du second degré en gardant la racine positive, puis reportez ce temps dans l'équation horizontale. La portée réelle est nettement plus grande.

Pourquoi deux angles différents donnent-ils la même portée ?

Parce que la portée dépend du sinus du double de l'angle, et qu'un sinus prend la même valeur pour un angle et son supplémentaire. Trente degrés et soixante degrés, ou vingt et soixante-dix, envoient donc le projectile au même endroit. Le tir le plus incliné monte plus haut et reste plus longtemps en l'air. Seul quarante-cinq degrés est une solution unique, parce que c'est le maximum.

Un objet lâché depuis un avion tombe-t-il à la verticale ?

Non, pas pour un observateur au sol. L'objet conserve la vitesse horizontale de l'avion au moment du largage, donc il décrit une parabole et touche le sol loin en avant. Pour le pilote, en revanche, l'objet semble descendre droit sous l'appareil, car les deux avancent à la même vitesse horizontale. Les deux descriptions sont justes.

Est-ce que la masse d'un projectile change sa trajectoire ?

Non, tant qu'on néglige la résistance de l'air. La masse disparaît du calcul parce qu'elle intervient à la fois dans le poids et dans la deuxième loi de Newton, et qu'elle se simplifie. Une bille de plomb et une balle de tennis lancées à la même vitesse et sous le même angle suivent exactement la même parabole et retombent au même endroit.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Le mouvement des projectiles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Voir aussi

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