Physique, secondaire 5 à Montréal • Dynamique

Fiche de révision : les forces à angle et l'équilibre (physique, secondaire 5)

Ce chapitre ne demande aucune formule nouvelle : ce sont les lois de Newton, appliquées quand les forces ne sont plus alignées avec les axes. Toute la difficulté est de projeter proprement, puis de résoudre l'axe qui livre la force normale avant celui qui livre le mouvement. Cette fiche donne cet ordre, et les huit erreurs qui reviennent sur chaque copie.

Elle s'adresse aux élèves de physique de secondaire 5. Le mouvement circulaire y est traité à part, parce qu'il est la source d'une confusion tenace : la force centripète n'est pas une force de plus dans le diagramme, c'est le nom de la résultante. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Mis à jour le 11 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Rien ne se décide avant d'avoir PROJETÉ sur les deux axes. La force normale, le frottement et la tension valent tous ce que l'équilibre leur impose, jamais ce que l'intuition suggère, et la force centrifuge qu'on croit sentir dans un virage n'apparaît dans aucun diagramme.

Ce chapitre fait partie de Physique de cinquième secondaire

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
3La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4
4Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4
5Les fonctions quadratiquesMathématiques
6Cinématique et le MRUA
7Dynamique et les lois de Newton

Notions couvertes

Décomposition d'une force
Projection sur deux axes
Équilibre d'un point matériel
Force normale
Coefficient de frottement
Plan incliné
Tension d'un câble
Mouvement circulaire uniforme
Force centripète
Virage relevé
Cercle vertical
Angle de traction optimal

L'essentiel

Projeter, puis résoudre dans le bon ordre

• Force à l'angle $\theta$ de l'horizontale : $F_{x}=F\cos\theta$ et $F_{y}=F\sin\theta$ . Recomposition : $F=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}$ et $\tan\theta=\frac{F_{y}}{F_{x}}$ .
• Deuxième loi AXE PAR AXE : $\Sigma F_{x}=ma_{x}$ et $\Sigma F_{y}=ma_{y}$ . À l'équilibre, les deux sommes sont nulles.
• Résolvez toujours l'axe PERPENDICULAIRE au mouvement en premier : c'est lui qui donne $F_{N}$ , donc le frottement de l'autre axe.
• Choix des axes : sur une pente, l'axe des $x$ suit le plan et l'axe des $y$ lui est perpendiculaire. C'est le seul choix qui évite de décomposer l'accélération.
• Sur une pente d'angle $\theta$ : $mg\sin\theta$ le long du plan, $mg\cos\theta$ perpendiculairement.

La force oblique et ses deux composantes en tireté :

F\cos 30°

le long de l'axe des

x

F\sin 30°

le long de l'axe des

y

. Les deux ensemble REMPLACENT la force, elles ne s'y ajoutent pas.

Le réflexe qui évite l'inversion sinus-cosinus : testez $\theta=0$ . Sur un plan horizontal, rien ne doit faire glisser, or $\sin 0=0$ : c'est bien le sinus qui accompagne le mouvement.

La somme des forces, composante par composante

• On n'additionne jamais des grandeurs : on additionne les composantes, $\Sigma F_{x}$ d'un côté, $\Sigma F_{y}$ de l'autre, chacune avec son signe.
• Puis on recompose : $F_{R}=\sqrt{(\Sigma F_{x})^{2}+(\Sigma F_{y})^{2}}$ et $\tan\theta=\frac{\Sigma F_{y}}{\Sigma F_{x}}$ .
• Exemple : $40$ N à $0°$ et $30$ N à $120°$ donnent $\Sigma F_{x}=40-15=25$ N et $\Sigma F_{y}=26{,}0$ N, donc $F_{R}=36{,}1$ N à $46{,}1°$ , et non $70$ N.
• L'équilibrante a la grandeur de $F_{R}$ et pointe exactement à l'opposé.

Mises bout à bout, les deux forces donnent la résultante en noir :

36{,}1

N, bien moins que

40+30

. Les tirets donnent ses deux composantes,

25

N et

26{,}0

Une résultante égale à la somme des grandeurs n'est possible que si toutes les forces pointent dans la même direction : c'est le contrôle le plus rapide.

La force normale vaut ce qu'on lui impose

• $F_{N}$ n'est jamais une donnée : elle sort de l'équation de l'axe perpendiculaire, à chaque fois.
• Traction à angle VERS LE HAUT : $F_{N}=mg-F\sin\theta$ , donc plus petite que le poids, et le frottement diminue d'autant.
• Poussée à angle VERS LE BAS : $F_{N}=mg+F\sin\theta$ , donc plus grande. Pousser une tondeuse est plus dur que la tirer.
• L'angle de traction le plus économique vérifie $\tan\theta=\mu$ : on perd un peu de composante horizontale, on gagne davantage sur le frottement.
• Si le calcul rend $F_{N}$ négative, l'objet a décollé du support : le problème change de nature.

Tirer à plat n'est pas le plus économique : incliner la traction de

21{,}8°

soulage la normale et fait tomber la force nécessaire de

78{,}4

N à

72{,}8

Écrire l'équation verticale même quand elle paraît triviale rapporte le point de méthode, et c'est elle qui empêche de recopier $F_{N}=mg$ par habitude.

L'objet suspendu à deux câbles

• On isole le point d'attache : trois forces, le poids et les deux tensions, dirigées le long des câbles.
• Deux équations, $\Sigma F_{x}=0$ et $\Sigma F_{y}=0$ , pour deux tensions inconnues.
• Cas symétrique : $2T\sin\theta=F_{g}$ , donc $T=\frac{F_{g}}{2\sin\theta}$ , avec $\theta$ mesuré depuis l'HORIZONTALE.
• À $30°$ , chaque câble porte déjà autant que le poids entier ; plus bas, il porte davantage.

30°

de l'horizontale, chaque câble est tendu à

500

N, autant que le poids de la lampe : seules les composantes verticales,

250

N chacune, la portent.

Vérifiez toujours que la somme des composantes verticales redonne le poids : c'est la ligne que les correcteurs regardent en premier.

Le mouvement circulaire, sans force centrifuge

• $F_{c}=\frac{mv^{2}}{r}$ n'est PAS une force de plus : c'est la valeur que doit atteindre la RÉSULTANTE des forces réelles, dirigée vers le centre.
• Le travail consiste donc à écrire la résultante avec les vraies forces, puis à l'égaler à $\frac{mv^{2}}{r}$ .
• Virage à plat : c'est le frottement qui fournit tout, d'où $v_{max}=\sqrt{\mu_{s}g\,r}$ , indépendante de la masse.
• Virage relevé sans frottement : c'est la composante horizontale de la normale, d'où $\tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}$ .
• Cercle vertical : au sommet $mg$ AIDE, d'où $v_{min}=\sqrt{g\,r}$ quand la tension s'annule ; en bas $mg$ s'oppose, et la tension y est maximale.

Virage relevé sans frottement : le poids et la normale ne s'annulent pas. Leur somme (en noir) est horizontale, tournée vers le centre : c'est elle qu'on égale à

\frac{mv^{2}}{r}

Aucune force centrifuge n'existe dans un diagramme de corps libre. La sensation d'être projeté vers l'extérieur est l'inertie du passager, pas une force exercée sur lui.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Garder la force normale égale au poids alors qu'on tire à angle vers le haut

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La caisse de $20$ kg est tirée à $30°$ avec $80$ N, donc $F_{N}=196$ N et $f=0{,}4\times 196=78{,}4$ N. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur l'axe vertical : $F_{N}+80\sin 30°-196=0$ , donc $F_{N}=156$ N et $f=0{,}4\times 156=62{,}4$ N. »

La normale (bleue) s'arrête sous le trait rouge qui marque

mg

: la composante verticale de la traction porte

40

N à la place du plancher, d'où

F_{N}=156

N et non

196

Pourquoi : La traction oblique soulage partiellement la caisse : le support n'a plus à porter tout le poids. C'est exactement pourquoi on tire une valise plutôt que de la pousser.

2. Ajouter une force centrifuge au diagramme

toute la question, 6 points, et l'équation devient

0=\frac{mv^{2}}{r}

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans le virage, la force centrifuge pousse la voiture vers l'extérieur et le frottement la retient : les deux s'équilibrent. »

Ce qu'il faut écrire

« Une seule force horizontale s'exerce sur la voiture, le frottement, dirigé vers le CENTRE. Il ne s'équilibre avec rien : c'est lui la résultante, et il vaut $\frac{mv^{2}}{r}$ . »

Le diagramme complet de la voiture dans un virage à plat : trois forces, et une seule horizontale, le frottement, tourné vers le CENTRE. Rien ne pousse vers l'extérieur.

Pourquoi : Si les forces s'équilibraient, la voiture irait tout droit. Un mouvement circulaire exige justement une résultante NON nulle, tournée vers le centre. Ce qu'on ressent dans le virage est son inertie, pas une force.

3. Compter la force centripète comme une force supplémentaire

3 points, et la même force comptée deux fois

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur le diagramme : le poids, la normale, le frottement et la force centripète. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur le diagramme : le poids, la normale et le frottement. La force centripète n'est pas une force de plus, c'est le NOM de la résultante : $f=\frac{mv^{2}}{r}$ . »

Pourquoi : Ajouter $F_{c}$ au diagramme revient à compter deux fois la force qui la produit. Le mot centripète décrit une direction, pas une interaction physique.

4. Croire que la tension diminue quand les câbles s'aplatissent

toute la question de raisonnement, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En écartant les deux câbles vers l'horizontale, on répartit mieux la charge, donc la tension baisse. »

Ce qu'il faut écrire

« $2T\sin\theta=P$ , donc $T=\frac{P}{2\sin\theta}$ : plus $\theta$ est petit, plus $T$ est GRANDE. À $15°$ , deux câbles supportant $500$ N sont tendus à $966$ N chacun. »

Deux câbles soutenant

500

N : à

60°

ils ne sont tendus qu'à

289

N, mais à

15°

chacun subit

966

N, soit près du double de la charge portée.

Pourquoi : Seule la composante VERTICALE de chaque tension porte la charge. Quand le câble s'approche de l'horizontale, cette composante devient minuscule et la tension doit exploser pour compenser. C'est pourquoi une corde à linge tendue casse.

5. Garder le frottement dans le même sens à la montée et à la descente

la moitié de la question, 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour retenir le bloc puis pour le hisser, la tension vaut dans les deux cas $mg\sin\theta+\mu mg\cos\theta$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour RETENIR, le bloc tend à descendre, le frottement monte : $T=mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta=23{,}5$ N. Pour HISSER, il descend : $T=mg\sin\theta+\mu mg\cos\theta=74{,}5$ N. »

Même bloc, même pente : pour RETENIR, le frottement remonte la pente avec la corde ; pour HISSER, il la descend et s'ajoute au poids. La tension passe de

23{,}5

N à

74{,}5

Pourquoi : Le frottement s'oppose au mouvement, ou au mouvement qui se produirait sans lui : il change donc de sens avec la situation. Un rapport de un à trois entre les deux réponses n'a rien d'anormal.

6. Faire dépendre la vitesse maximale en virage de la masse du véhicule

3 points de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le camion est plus lourd, donc il peut prendre le virage plus vite : sa force de frottement est plus grande. »

Ce qu'il faut écrire

« $\mu_{s}mg=\frac{mv^{2}}{r}$ : la masse se simplifie et $v_{max}=\sqrt{\mu_{s}g\,r}$ . Camion ou voiture, la vitesse limite est la même. »

Pourquoi : La masse augmente bien le frottement disponible, mais elle augmente aussi, dans la même proportion, la force nécessaire pour tourner. Les deux effets se compensent exactement.

7. Oublier que le poids participe à la force centripète au sommet d'un cercle

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au sommet du looping, la tension du fil vaut $\frac{mv^{2}}{r}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Au sommet, le poids et la tension pointent tous deux vers le centre : $T+mg=\frac{mv^{2}}{r}$ , donc $T=\frac{mv^{2}}{r}-mg=3{,}1$ N. »

Sur le même tour, la tension passe de

3{,}1

N en haut à

32{,}5

N en bas : en haut le poids AIDE la force centripète, en bas il la contrarie et la corde doit tout fournir.

Pourquoi : C'est ce terme qui explique la vitesse minimale : quand $T$ s'annule, le poids fournit à lui seul toute la force centripète, et $v_{min}=\sqrt{gr}$ . En dessous, l'objet quitte le cercle.

8. Intervertir le sinus et le cosinus sur un plan incliné

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur la pente à $30°$ , ce qui fait glisser le bloc vaut $mg\cos 30°=84{,}9$ N. »

Ce qu'il faut écrire

« La composante le long du plan vaut $mg\sin 30°=49$ N, et la perpendiculaire $mg\cos 30°=84{,}9$ N. »

Le long du plan, c'est le SINUS :

49

N. Perpendiculairement, le COSINUS :

84{,}9

N, que la normale équilibre. À

\theta=0

le sinus s'annule, et rien ne glisse.

Pourquoi : Le test qui tranche : à $\theta=0$ le plan est horizontal et rien ne doit glisser. Or $\sin 0=0$ , donc c'est le sinus qui accompagne le mouvement, et le cosinus qui accompagne la normale.

9. Décomposer une force en projetant sur un seul axe

4 points, par ricochet sur tout le reste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La force de $80$ N à $30°$ donne $F_{x}=80\cos 30°=69{,}3$ N, et j'oublie la composante verticale puisque le mouvement est horizontal. »

Ce qu'il faut écrire

« $F_{x}=69{,}3$ N ET $F_{y}=80\sin 30°=40$ N. La composante verticale ne produit aucun déplacement, mais elle change $F_{N}$ , donc le frottement. »

Pourquoi : Une composante perpendiculaire au mouvement ne travaille pas, mais elle agit quand même : c'est elle qui modifie la normale. Confondre « ne déplace pas » et « ne compte pas » est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

Quelle méthode choisir

Quels axes choisir, et lequel résoudre en premier

Regardez la géométrie de la scène : c'est elle qui impose les axes, jamais le dessin de l'énoncé.

Si surface HORIZONTALE avec une force oblique → axes horizontal et vertical ; résoudre le VERTICAL d'abord pour obtenir $F_{N}$

Exemple : $F_{N}=mg-F\sin\theta=156$ N, puis $f=\mu F_{N}$
Si PLAN INCLINÉ → axe le long du plan et axe perpendiculaire ; décomposer le POIDS, pas l'accélération

Exemple : $mg\sin 30°=49$ N le long, $mg\cos 30°=84{,}9$ N perpendiculairement

ce choix garde $a$ sur un seul axe, ce qui divise le travail par deux
Si ÉQUILIBRE à trois forces, câbles ou enseigne → axes horizontal et vertical, et DEUX équations $\Sigma F_{x}=0$ et $\Sigma F_{y}=0$

Exemple : $T_{1}\cos\alpha=T_{2}\cos\beta$ et $T_{1}\sin\alpha+T_{2}\sin\beta=P$
Si MOUVEMENT CIRCULAIRE → un axe vers le CENTRE du cercle, un axe perpendiculaire ; sur l'axe radial, la résultante vaut $\frac{mv^{2}}{r}$

Exemple : virage à plat : $\mu_{s}mg=\frac{mv^{2}}{r}$

l'axe radial change de direction à chaque point du cercle, d'où l'étude séparée du haut et du bas

Dans les quatre cas, la règle d'ordre est la même : l'axe où l'accélération est NULLE se résout en premier, parce qu'il livre une inconnue gratuitement.

Mouvement circulaire : qui fournit la force centripète

Demandez-vous quelle force réelle, ou quelle composante, pointe vers le centre du cercle. C'est elle qu'on égale à $\frac{mv^{2}}{r}$ .

Si virage à PLAT → le frottement, et lui seul : $\mu_{s}mg=\frac{mv^{2}}{r}$ donne $v_{max}=\sqrt{\mu_{s}g\,r}$

Exemple : $\mu_{s}=0{,}7$ et $r=50$ m : $v_{max}=18{,}5$ m/s, soit $67$ km/h

la masse se simplifie : la limite est la même pour tous les véhicules
Si virage RELEVÉ sans frottement → la composante horizontale de la normale : $\tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}$

Exemple : $v=18{,}5$ m/s et $r=50$ m : $\theta=35°$
Si SOMMET d'un cercle vertical → le poids AIDE : $T+mg=\frac{mv^{2}}{r}$ , et $v_{min}=\sqrt{g\,r}$ quand $T=0$

Exemple : $r=1$ m : $v_{min}=3{,}13$ m/s, en dessous l'objet décroche
Si BAS d'un cercle vertical → le poids S'OPPOSE : $T-mg=\frac{mv^{2}}{r}$ , la tension y est maximale

Exemple : $m=0{,}5$ kg et $v=7{,}4$ m/s : $T=32{,}5$ N
Si objet suspendu qui tourne, chaises volantes → la composante horizontale de la TENSION : $\tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}$ , avec $r$ le rayon du cercle décrit

Aucune branche ne fait apparaître une force centrifuge, et aucune n'ajoute $F_{c}$ au diagramme. Si votre équation contient les deux membres du même côté, c'est que la force a été comptée deux fois.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un équilibre à plusieurs forces obliques

Quand l'utiliser : L'énoncé parle d'une enseigne, d'un lustre, de câbles, ou dit « le système est en équilibre ».

1 Isoler le point d'attache et dessiner toutes les forces qui y aboutissent, chacune avec son angle marqué par rapport à l'HORIZONTALE.
2 Écrire explicitement « le système est en équilibre, donc $\Sigma F_{x}=0$ et $\Sigma F_{y}=0$ ».
3 Projeter chaque force sur les deux axes, en ligne, sans en sauter une.
4 Résoudre le système de deux équations à deux inconnues, en éliminant d'abord la tension la moins demandée.
5 Conclure en donnant les deux tensions avec leur unité, et en vérifiant que la plus REDRESSÉE est la plus grande.

Phrase de conclusion

« À l'équilibre, le câble incliné à $60°$ supporte $289$ N et le câble horizontal $144$ N. »

Le piège : Mesurer un angle par rapport au mur ou au plafond au lieu de l'horizontale, sans le dire. Le sinus et le cosinus s'échangent alors silencieusement.

Barème : 1 point pour le diagramme et les angles repérés, 2 points pour les deux équations projetées, 2 points pour la résolution, 1 point pour la phrase.

Un problème de mouvement circulaire

Quand l'utiliser : L'énoncé parle de virage, de looping, de manège, de satellite ou de tout objet qui décrit un cercle à vitesse constante.

1 Dessiner l'objet à l'endroit précis du cercle demandé, et tracer la flèche du rayon vers le CENTRE.
2 Lister les forces RÉELLES qui s'exercent sur lui, sans jamais y ajouter $F_{c}$ ni une force centrifuge.
3 Écrire la somme de leurs composantes RADIALES, comptées positivement vers le centre, et l'égaler à $\frac{mv^{2}}{r}$ .
4 Écrire aussi l'équation de l'axe perpendiculaire si une inconnue y vit, par exemple la normale d'un virage relevé.
5 Résoudre, puis vérifier que la masse s'est bien simplifiée quand la question dit qu'elle ne devrait pas intervenir.

Phrase de conclusion

« La voiture peut aborder ce virage de $50$ m à $18{,}5$ m/s au maximum, soit $67$ km/h, quelle que soit sa masse. »

Le piège : Écrire $\Sigma F=0$ par réflexe. Un mouvement circulaire uniforme n'est PAS un équilibre : la vitesse change de direction, donc l'accélération n'est pas nulle.

Barème : 1 point pour le schéma avec le rayon orienté, 1 point pour l'absence de force inventée, 2 points pour l'équation radiale, 1 point pour la résolution, 1 point pour la phrase.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La normale a-t-elle bougé dans le bon sens

Une traction vers le haut doit DIMINUER $F_{N}$ , une poussée vers le bas doit l'AUGMENTER. Comparez au poids en une seconde.

Une $F_{N}$ de $230$ N pour une caisse de $196$ N tirée obliquement vers le haut est fausse : le signe du terme $F\sin\theta$ a été inversé.
Le câble le plus redressé est-il le plus tendu

Dans tout montage à deux câbles, celui qui se rapproche le plus de la verticale porte davantage. Si votre calcul dit l'inverse, une projection est fausse.

Un câble à $70°$ tendu à $150$ N et un câble à $20°$ tendu à $400$ N : c'est cohérent, le presque horizontal souffre le plus.
La masse s'est-elle simplifiée

Dans un virage, sur un angle de décrochage ou pour une vitesse minimale au sommet d'un cercle, la masse DOIT disparaître. Si elle survit, une force a été mal écrite.

Une $v_{max}$ qui dépendrait de $m$ signale que le frottement a été écrit sans la normale, ou que $mg$ a été oublié quelque part.
L'ordre de grandeur du virage

Un virage urbain de $50$ m se prend autour de $60$ à $70$ km/h sur route sèche. Convertissez systématiquement en km/h pour juger.

Une $v_{max}$ de $60$ m/s, soit $216$ km/h, sur un virage de quartier signale un $r$ en kilomètres ou un $\mu$ hors de $[0;1]$ .
Le coefficient est-il physique

Un coefficient de frottement dépasse rarement $1$ et n'est jamais négatif. S'il sort à $3{,}4$ , c'est la normale qui a été sous-estimée.

Un $\mu$ calculé à $2{,}1$ vient presque toujours d'avoir divisé par $mg$ au lieu de $mg\cos\theta$ sur une pente.

L'exercice type décortiqué

Le virage, à plat puis relevé

Une voiture aborde un virage horizontal de $50$ m de rayon. Le coefficient de frottement statique entre les pneus et la chaussée sèche vaut $0{,}70$ .

Calculez la vitesse maximale possible, en m/s puis en km/h, et montrez qu'elle ne dépend pas de la masse.

On veut ensuite que cette même vitesse soit tenable sans aucun frottement, sur chaussée verglacée. Quel angle de relèvement faut-il donner au virage ?

La vitesse limite ne dépend ni de la masse ni du véhicule, seulement du rayon et de l'adhérence : sous la pluie, le même virage de

50

m ne se prend plus qu'à

12{,}1

m/s.

Étape 1

Diagramme de corps libre : le poids $mg$ vers le bas, la normale $F_{N}$ vers le haut, le frottement $f$ HORIZONTAL et dirigé vers le centre du virage.

Pourquoi

Aucune force centrifuge, et pas de force centripète ajoutée : le frottement est la seule force horizontale, c'est donc lui, et lui seul, la résultante qui fait tourner.

Étape 2

Axe vertical, sans accélération : $F_{N}-mg=0$ , donc $F_{N}=mg$ . Le virage est plat, donc ici seulement, la normale égale le poids.

Pourquoi

On résout d'abord l'axe où l'accélération est nulle : il livre $F_{N}$ gratuitement, et c'est $F_{N}$ qui plafonne le frottement disponible.

Étape 3

Axe radial : $f_{max}=\mu_{s}F_{N}=\mu_{s}mg$ et cette résultante vaut $\frac{mv^{2}}{r}$ , d'où $\mu_{s}mg=\frac{mv^{2}}{r}$ .

Pourquoi

On prend le frottement à son PLAFOND parce que la question demande la vitesse maximale, c'est-à-dire la limite juste avant le dérapage. À vitesse plus faible, le frottement vaudrait moins.

Étape 4

La masse se simplifie : $v^{2}=\mu_{s}g\,r=0{,}70\times 9{,}8\times 50=343$ , donc $v=18{,}5$ m/s.

Pourquoi

La simplification de $m$ est le résultat le plus important de la question : elle doit être signalée par écrit, car c'est elle qui répond à la deuxième partie de l'énoncé.

Étape 5

Conversion : $18{,}5\times 3{,}6=66{,}7$ km/h.

Pourquoi

Convertir n'est pas de la coquetterie : c'est le seul moyen de juger l'ordre de grandeur. Une limite de $67$ km/h sur un virage serré de $50$ m est parfaitement plausible.

Étape 6

Virage relevé, sans frottement : les deux forces sont $mg$ et $F_{N}$ , perpendiculaire à la chaussée inclinée. Vertical : $F_{N}\cos\theta=mg$ . Radial : $F_{N}\sin\theta=\frac{mv^{2}}{r}$ .

Pourquoi

Ici les axes restent horizontal et vertical, et non alignés sur la pente : l'accélération est horizontale, dirigée vers le centre, donc c'est elle qui commande le choix des axes.

Étape 7

En divisant les deux équations : $\tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}=\frac{343}{50\times 9{,}8}=0{,}70$ , donc $\theta=35{,}0°$ .

Pourquoi

La division élimine $F_{N}$ ET la masse d'un seul coup. Le résultat $\tan\theta=\mu_{s}$ n'est pas un hasard : à cette vitesse, la géométrie remplace exactement l'adhérence.

Étape 8

Vérification : sur chaussée mouillée avec $\mu_{s}=0{,}30$ , le virage plat ne tiendrait qu'à $v=\sqrt{0{,}30\times 9{,}8\times 50}=12{,}1$ m/s, soit $44$ km/h.

Pourquoi

Ce contrôle montre que la formule répond bien à ce qu'on attend d'elle : diviser $\mu$ par plus de deux divise la vitesse limite par un peu plus de $1{,}5$ , puisque c'est une racine carrée.

Conclusion rédigée

« Sur chaussée sèche, le virage se prend à $18{,}5$ m/s au maximum, soit $66{,}7$ km/h, quelle que soit la masse du véhicule. Relevé de $35{,}0°$ , il tient la même vitesse sans aucun frottement. »

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique sur ce problème est d'écrire $\Sigma F=0$ en croyant que le mouvement circulaire uniforme est un équilibre. La vitesse est constante en grandeur, mais elle change de DIRECTION à chaque instant : l'accélération vaut $\frac{v^{2}}{r}$ et pointe vers le centre.

À savoir par cœur

• $F_{x}=F\cos\theta$ et $F_{y}=F\sin\theta$ , avec $\theta$ mesuré depuis l'HORIZONTALE. Toujours vérifier depuis quoi l'énoncé mesure.
• Résoudre d'abord l'axe où l'accélération est nulle : il livre $F_{N}$ , donc le frottement.
• $F_{N}=mg-F\sin\theta$ si on tire vers le haut, $mg+F\sin\theta$ si on pousse vers le bas, $mg\cos\theta$ sur une pente.
• Angle de traction le plus économique : $\tan\theta=\mu$ .
• Deux câbles : $T=\frac{P}{2\sin\theta}$ . Plus ils s'aplatissent, plus ils souffrent.
• $F_{c}=\frac{mv^{2}}{r}$ est la valeur de la RÉSULTANTE, jamais une force à ajouter au diagramme. La force centrifuge n'existe pas.
• Virage à plat : $v_{max}=\sqrt{\mu_{s}g\,r}$ . Virage relevé sans frottement : $\tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}$ . Sans la masse, dans les deux cas.
• Cercle vertical : au sommet $T+mg=\frac{mv^{2}}{r}$ et $v_{min}=\sqrt{gr}$ ; en bas $T-mg=\frac{mv^{2}}{r}$ , la tension y est maximale.
• Le frottement change de sens avec le mouvement : il monte quand on retient, il descend quand on hisse.

Questions fréquentes

Pourquoi la force normale n'est-elle pas égale au poids quand on tire à angle ?

Parce que la traction oblique a une composante verticale qui soulage le support. La normale vaut alors le poids moins cette composante, donc moins que le poids. C'est exactement pourquoi il est plus facile de tirer une caisse que de la pousser vers le bas : le frottement, proportionnel à la normale, diminue en même temps.

Est-ce que la force centrifuge existe vraiment ?

Non, pas dans un diagramme de corps libre au secondaire. La seule force horizontale sur une voiture qui tourne est le frottement, dirigé vers le centre. La sensation d'être plaqué vers l'extérieur vient de votre propre inertie : votre corps continue tout droit pendant que la portière tourne et vient à votre rencontre.

Faut-il ajouter la force centripète au diagramme de corps libre ?

Jamais. La force centripète n'est pas une interaction supplémentaire, c'est le nom donné à la résultante des forces réelles quand elle pointe vers le centre du cercle. On dessine les vraies forces, on calcule leur résultante radiale, puis on l'égale à la masse fois la vitesse au carré divisée par le rayon.

Pourquoi la tension augmente-t-elle quand les câbles deviennent horizontaux ?

Parce que seule la composante verticale de chaque tension soutient la charge. Quand le câble s'approche de l'horizontale, cette composante devient très petite et la tension doit devenir énorme pour que le total continue de porter le poids. À quinze degrés, deux câbles portant cinq cents newtons sont tendus à près de mille newtons chacun.

Est-ce qu'un camion peut prendre un virage plus vite qu'une voiture ?

Non, pas pour cette raison. La masse plus grande donne bien plus de frottement disponible, mais elle exige aussi proportionnellement plus de force pour tourner. Les deux effets se compensent exactement et la masse disparaît du calcul. La vitesse limite ne dépend que du rayon du virage et de l'adhérence des pneus.

Pourquoi la corde est-elle plus tendue en bas d'un looping qu'en haut ?

En haut, le poids pointe déjà vers le centre du cercle et aide donc à faire tourner l'objet : la corde n'a que le reste à fournir. En bas, le poids pointe à l'opposé du centre et la corde doit à la fois le compenser et fournir toute la force qui fait tourner. L'objet va aussi plus vite en bas, ce qui aggrave l'écart.

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Exercices corrigés : Forces à angle et équilibre

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Énergie : pendules et plans inclinés

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/phys5-dynamique-forces-angles. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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