Bac 2025 de spécialité physique-chimie, Nouvelle-Calédonie jour 1 : sujet officiel et corrigé

1. Le groupe A est un groupe ester : un atome de carbone doublement lié à un oxygène et lié à un second oxygène, lui-même lié à un atome de carbone (ici celui du cycle). L'aspirine est l'ester de l'acide éthanoïque et du phénol que porte l'acide salicylique, d'où son nom d'acide acétylsalicylique.

Le groupe B est un groupe carboxyle $\mathrm{{-}COOH}$ : un carbone doublement lié à un oxygène et lié à un groupe $\mathrm{{-}OH}$. Il fait de l'aspirine un acide carboxylique, ce qui explique les questions acide-base qui suivent. Erreur fréquente : prendre A pour une cétone en regardant seulement le $\mathrm{C{=}O}$, ou B pour un alcool en regardant seulement le $\mathrm{{-}OH}$ : un groupe caractéristique se lit en entier, avec tous les voisins du carbone fonctionnel.

2. L'aspirine est l'acide $\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}}$ du couple $\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}/C_{9}H_{7}O_{4}^{-}}$ ; elle cède un proton $\mathrm{H^{+}}$ à l'eau, qui joue le rôle de base du couple $\mathrm{H_{3}O^{+}/H_{2}O}$ : $\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}(aq)+H_{2}O(\ell)\rightleftharpoons C_{9}H_{7}O_{4}^{-}(aq)+H_{3}O^{+}(aq)}$.

On écrit une double flèche : l'aspirine est un acide faible ($\mathrm{p}K_{A}=3{,}5$), sa réaction avec l'eau n'est pas totale et conduit à un équilibre. Le proton cédé est celui du groupe carboxyle B ; l'ion formé, $\mathrm{C_{9}H_{7}O_{4}^{-}}$, porte un groupe carboxylate $\mathrm{{-}COO^{-}}$. Vérification : les éléments et les charges se conservent (une charge $-$ et une charge $+$ à droite, aucune à gauche).

3. Diagramme de prédominance du couple : sur un axe gradué en pH, l'acide $\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}}$ prédomine pour $\mathrm{pH}<\mathrm{p}K_{A}=3{,}5$, la base $\mathrm{C_{9}H_{7}O_{4}^{-}}$ pour $\mathrm{pH}>3{,}5$ ; à $\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_{A}$, les deux formes sont en concentrations égales. Cela découle de $\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_{A}+\log\dfrac{[\mathrm{C_{9}H_{7}O_{4}^{-}}]}{[\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}}]}$.

Dans l'estomac, $1\leq\mathrm{pH}\leq 3$, donc $\mathrm{pH}<3{,}5$ sur tout l'intervalle : la forme prédominante est la forme acide, l'aspirine $\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}}$ elle-même. À $\mathrm{pH}=3$, le rapport $[\mathrm{C_{9}H_{7}O_{4}^{-}}]/[\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}}]=10^{3-3{,}5}\approx 0{,}3$ : la forme acide reste la plus abondante même au haut de l'intervalle.

4. Un comprimé sans enrobage se délite dans l'estomac : l'aspirine y est libérée sous sa forme acide, qui prédomine à ce pH (question 3), et elle est au contact direct de la paroi de l'estomac, sur laquelle elle a des effets irritants (texte introductif). Pour une prise unique en urgence, cet inconvénient est acceptable ; pour un traitement de longue durée, l'irritation se répète jour après jour et peut abîmer la muqueuse.

L'enrobage gastro-résistant, comme son nom l'indique, résiste au milieu acide de l'estomac : le comprimé le traverse sans se dissoudre et ne libère l'aspirine que plus loin, dans l'intestin, où le milieu est moins acide. L'estomac est ainsi protégé pendant toute la durée du traitement. L'enrobage retarde en revanche l'effet, d'où le choix d'une aspirine sans enrobage pour la dose de charge d'un AIT, où l'on veut agir vite.

5. Démarche : repérer l'équivalence sur la figure 2, en déduire la quantité d'aspirine titrée dans $V_{A}$, puis remonter au comprimé entier, dissous dans $V=500{,}0$ mL.

Repérage de l'équivalence : le volume équivalent correspond au saut de pH, et plus précisément à l'abscisse du maximum de la dérivée $\dfrac{\mathrm{dpH}}{\mathrm{d}V}$. Le pic de la dérivée est à $V_{E}=9{,}5$ mL ; la méthode des tangentes parallèles sur la courbe de pH donne la même valeur, au milieu du saut qui va d'environ 5 à 9 de pH.

Relation à l'équivalence : les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques de l'équation support, un ion $\mathrm{HO^{-}}$ pour une molécule d'aspirine, donc $n_{A}=C_{B}\times V_{E}=1{,}0\times 10^{-2}\times 9{,}5\times 10^{-3}=9{,}5\times 10^{-5}$ mol d'aspirine dans les $20{,}0$ mL prélevés.

Comprimé entier : la solution $S$ est homogène et son volume, $500{,}0$ mL, vaut $\dfrac{500{,}0}{20{,}0}=25$ fois le prélèvement. Le comprimé contenait donc $n=25\times 9{,}5\times 10^{-5}=2{,}375\times 10^{-3}$ mol d'aspirine, soit $m_{A}=n\times M=2{,}375\times 10^{-3}\times 180=0{,}43$ g, c'est-à-dire $m_{A}\approx 4{,}3\times 10^{2}$ mg ($427{,}5$ mg avant arrondi). Deux chiffres significatifs, comme $C_{B}$ et la lecture de $V_{E}$.

Vérification : une lecture de $V_{E}$ à $\pm 0{,}1$ mL près donne $m_{A}$ entre $423$ et $432$ mg, la conclusion de la question suivante ne dépend pas de cette incertitude. Erreur fréquente : oublier le facteur $25$ et annoncer $17$ mg, la masse d'aspirine contenue dans le seul prélèvement de $20$ mL ; un comprimé d'aspirine dosé à quelques milligrammes devrait alerter.

6. La dose de charge recommandée pour une prise urgente lors d'un AIT est comprise entre $160$ et $300$ mg. Le comprimé testé en contient $m_{A}\approx 4{,}3\times 10^{2}$ mg, au-dessus de la borne haute même en tenant compte de l'incertitude de lecture ($423$ mg au plus bas). Ce comprimé est donc surdosé pour cet usage : pris entier, il dépasse la dose de charge. Il faudrait en prendre une fraction, environ la moitié pour rester dans l'intervalle.

7. La vitesse volumique de disparition de l'aspirine à la date $t$ est l'opposé de la dérivée par rapport au temps de sa concentration : $v_{\text{disp}}(t)=-\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}(t)$, avec $C=[\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}}]$. Elle s'exprime ici en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}$. Le signe moins la rend positive, puisque $C$ diminue. Graphiquement, c'est l'opposé du coefficient directeur de la tangente à la courbe $C(t)$ à la date $t$.

8. Construction : on trace sur la figure 3 la tangente à la courbe au point d'abscisse $t=0$. La courbe étant presque rectiligne sur les premières heures, la tangente la suit de près ; elle passe par les points $(0\,;\,5{,}6\times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}})$ et coupe l'axe des temps vers $t=10$ h.

Coefficient directeur : $\dfrac{0-5{,}6\times 10^{-3}}{10-0}=-5{,}6\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}$, d'où $v_{\text{disp}}(0)=5{,}6\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}$. Une lecture entre $5$ et $6\times 10^{-4}$ est acceptée, selon le tracé.

Vérification avec les listes du code Python de la figure 4 : entre $t=0$ et $t=1{,}0$ h, $C$ passe de $0{,}00562$ à $0{,}00506\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, soit une diminution de $5{,}6\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ en une heure : même valeur. Erreur fréquente : prendre deux points de la COURBE éloignés (par exemple à $0$ et $15$ h), ce qui donne une vitesse moyenne et non la vitesse à $t=0$.

9. La vitesse de disparition est l'opposé de la pente de la tangente à la courbe. Sur la figure 3, la courbe est d'abord très pentue, puis s'aplatit peu à peu et devient pratiquement horizontale au-delà de $20$ h : les tangentes successives sont de moins en moins inclinées. La vitesse volumique de disparition de l'aspirine diminue au cours du temps et tend vers zéro quand l'aspirine est entièrement consommée. Interprétation : la concentration du réactif, qui est un facteur cinétique, diminue au cours de la transformation.

10. D'après l'énoncé, la vitesse à la date $t_{i}$ est assimilée à la vitesse moyenne de disparition entre $t_{i}$ et $t_{i+1}$ : $v_{i}=-\dfrac{C_{i+1}-C_{i}}{t_{i+1}-t_{i}}=\dfrac{C_{i}-C_{i+1}}{t_{i+1}-t_{i}}$. C'est la version discrète de $-\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}$. En Python, avec les listes C et t, la ligne 13 devient : v.append((C[i] - C[i+1]) / (t[i+1] - t[i])) (code complet ci-dessous).

La boucle s'arrête à l'avant-dernier indice, car C[i+1] n'existe pas pour le dernier, ce qu'explique le commentaire de la ligne 11. Premier terme calculé : $\dfrac{0{,}00562-0{,}00553}{0{,}167}=5{,}4\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}$, cohérent avec la question 8. Erreur fréquente : écrire C[i+1] - C[i] sans changer le signe, ce qui donne des vitesses négatives, ou diviser par t[i] au lieu de l'écart t[i+1] - t[i].

11. Une loi de vitesse d'ordre 1 par rapport à l'aspirine s'écrit $v=k\times C$, avec $k$ constante à température donnée : la vitesse serait proportionnelle à la concentration, et les points de la figure 5 seraient alignés sur une droite passant par l'origine.

Ce n'est pas le cas : les points montent vite pour les faibles concentrations, puis de moins en moins, et dessinent une courbe incurvée. Le rapport $v/C$ n'est pas constant : pour $C\approx 5{,}7\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, on lit $v\approx 1{,}7\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}$, soit $v/C\approx 0{,}30\ \mathrm{h^{-1}}$ ; pour $C\approx 2{,}85\times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, on lit $v\approx 5{,}05\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}$, soit $v/C\approx 0{,}18\ \mathrm{h^{-1}}$. La vitesse n'est donc pas proportionnelle à la concentration : la réaction ne suit pas une loi de vitesse d'ordre 1.

La figure 3 le confirmait déjà : pour un ordre 1, la concentration décroîtrait de façon exponentielle, avec un temps de demi-réaction constant. Ici $C$ passe de $5{,}6$ à $2{,}8\times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ en $5$ h, puis de $2{,}8$ à $1{,}4\times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ en un peu plus de $3$ h seulement. Erreur fréquente : conclure à l'ordre 1 parce que « $v$ augmente avec $C$ » ; c'est la PROPORTIONNALITÉ qu'il faut tester, pas le sens de variation.

12. Site donneur de doublet d'électrons : l'atome d'oxygène de la molécule d'eau. Il porte deux doublets non liants et, plus électronégatif que l'hydrogène, il porte une charge partielle $\delta-$ : il peut engager un de ses doublets dans une nouvelle liaison.

Site accepteur de doublet d'électrons : l'atome de carbone du groupe ester, celui qui est doublement lié à un oxygène et lié au méthyle. Lié à deux atomes d'oxygène, plus électronégatifs que lui, il porte une charge partielle $\delta+$ marquée : il est pauvre en électrons. L'intermédiaire de la figure 6 le confirme : c'est ce carbone qui se lie à l'oxygène de l'eau, devenu $\mathrm{O^{+}}$. On les entoure tous les deux sur l'annexe, avec leur nom.

13. Une flèche courbe part toujours d'un doublet d'électrons (non liant ou liant) et pointe vers l'atome ou la liaison qui le reçoit. Deux flèches sont nécessaires.

Première flèche : elle part d'un doublet non liant de l'oxygène de l'eau et pointe vers l'atome de carbone du groupe ester ; elle crée la liaison $\mathrm{C{-}O}$ entre ce carbone et l'oxygène de l'eau. Cet oxygène, désormais engagé dans trois liaisons avec un seul doublet non liant, porte la charge $+$.

Seconde flèche : elle part du doublet de la double liaison $\mathrm{C{=}O}$ (la seconde liaison) et pointe vers l'atome d'oxygène de ce groupe ; la double liaison devient simple, et cet oxygène, qui porte maintenant trois doublets non liants, prend la charge $-$. Elle est indispensable : sans elle, le carbone aurait cinq liaisons. Vérification des charges : aucune charge à gauche, un $+$ et un $-$ à droite.

14. On compare les réactifs et les produits de l'équation de l'hydrolyse : $\mathrm{C_{9}H_{8}O_{4}+H_{2}O\longrightarrow C_{7}H_{6}O_{3}+C_{2}H_{4}O_{2}}$. Sur le carbone du groupe ester, le groupe $\mathrm{{-}O{-}C_{6}H_{4}{-}COOH}$ (qui part avec un H pour donner l'acide salicylique) est remplacé par un groupe $\mathrm{{-}OH}$ venu de l'eau (l'acide éthanoïque $\mathrm{CH_{3}COOH}$ se forme) : un atome ou groupe d'atomes est remplacé par un autre, c'est une substitution.

Ce n'est ni une oxydoréduction (aucun transfert d'électrons entre couples oxydant-réducteur), ni une réaction acide-base (aucun échange d'un simple proton entre deux couples), ni une élimination (pas de formation de liaison multiple au bilan). Piège : la seule PREMIÈRE étape de la figure 6 est une addition, l'eau s'additionnant sur la double liaison $\mathrm{C{=}O}$ pour donner un seul produit ; mais la question porte sur la transformation, c'est-à-dire sur le bilan de l'hydrolyse, que les étapes suivantes, non représentées, complètent en éliminant l'acide salicylique.

15. La température est un facteur cinétique : on peut augmenter la température du milieu réactionnel, par exemple en chauffant le mélange au bain-marie ; les chocs efficaces entre les entités réactives sont plus nombreux et la transformation est plus rapide. On peut aussi ajouter un catalyseur de l'hydrolyse des esters, par exemple des ions $\mathrm{H^{+}}$ en milieu acide. Erreur fréquente : proposer d'ajouter de l'eau, qui est déjà en large excès et dont l'ajout diluerait l'aspirine.

for i in range(len(t) - 1):
    v.append((C[i] - C[i+1]) / (t[i+1] - t[i]))

1. Relation de Bernoulli en statique des fluides : avec $v_{A}=v_{B}=0$, les termes cinétiques disparaissent et il reste $P_{A}+\rho\,g\,z_{A}=P_{B}+\rho\,g\,z_{B}$, soit $P_{A}-P_{B}=\rho\,g\,(z_{B}-z_{A})$ : c'est la loi fondamentale de la statique des fluides. Le point le plus bas est à la pression la plus élevée.

Pour une colonne de mercure immobile et deux points séparés de $z_{B}-z_{A}=1{,}00$ mm $=1{,}00\times 10^{-3}$ m : $\Delta P=\rho(\text{Hg})\times g\times(z_{B}-z_{A})=13{,}6\times 10^{3}\times 9{,}81\times 1{,}00\times 10^{-3}=133{,}4$ Pa, soit $133$ Pa avec trois chiffres significatifs. Erreur fréquente : prendre la masse volumique du sang ; on obtiendrait $10{,}3$ Pa, alors que le millimètre de mercure est défini par une colonne de MERCURE.

2. Relation de Bernoulli entre A et B, sur une même ligne de courant, pour le sang supposé parfait, incompressible et en écoulement permanent. L'écoulement est horizontal : $z_{A}=z_{B}$ et les termes de pesanteur se simplifient. Il reste $P_{A}+\dfrac{1}{2}\rho\,v_{A}^{2}=P_{B}+\dfrac{1}{2}\rho\,v_{B}^{2}$, d'où $P_{A}-P_{B}=\dfrac{1}{2}\,\rho(\text{sang})\,(v_{B}^{2}-v_{A}^{2})$.

Application numérique : $P_{A}-P_{B}=\dfrac{1}{2}\times 1{,}05\times 10^{3}\times(4{,}2^{2}-1{,}0^{2})=0{,}525\times 10^{3}\times 16{,}64=8{,}7\times 10^{3}$ Pa ($8\,736$ Pa avant arrondi, deux chiffres significatifs comme les vitesses).

Conversion avec la question 1 : $\dfrac{8\,736}{133}=65{,}7$, soit $P_{A}-P_{B}\approx 66$ mmHg. Vérification : la différence est positive, la pression baisse là où la vitesse augmente (effet Venturi), ce qui est cohérent avec un rétrécissement en B. Erreur fréquente : écrire $\dfrac{1}{2}\rho\,(v_{B}-v_{A})^{2}$, ce qui donne $5{,}4\times 10^{3}$ Pa ; ce sont les CARRÉS des vitesses qu'on soustrait.

3. Démarche : un rétrécissement serré exige les trois critères à la fois. Deux sont déjà vérifiables : $v_{B}=4{,}2\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}>4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, et $P_{A}-P_{B}\approx 66$ mmHg $>50$ mmHg (question 2). Il reste à calculer la surface $S_{B}$ de la section au point B.

Conservation du débit volumique : le sang est incompressible et l'écoulement permanent, donc le débit volumique est le même à travers toute section de la conduite : $D_{v}=S_{A}\,v_{A}=S_{B}\,v_{B}$, d'où $S_{B}=S_{A}\times\dfrac{v_{A}}{v_{B}}$.

Section d'entrée : $S_{A}=\pi\times\left(\dfrac{d_{A}}{2}\right)^{2}=\pi\times(10{,}1\times 10^{-3})^{2}=3{,}20\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}=3{,}20\ \mathrm{cm^{2}}$. Section au rétrécissement : $S_{B}=3{,}20\times\dfrac{1{,}0}{4{,}2}=0{,}76\ \mathrm{cm^{2}}$, inférieure à $1\ \mathrm{cm^{2}}$.

Les trois critères sont réunis : vitesse en sortie supérieure à $4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, différence de pression supérieure à 50 mmHg, section inférieure à $1\ \mathrm{cm^{2}}$. Le patient présente bien un rétrécissement aortique serré. Vérification : le diamètre correspondant est $d_{B}=d_{A}\sqrt{v_{A}/v_{B}}\approx 9{,}9$ mm, à peu près la moitié de $d_{A}$, ce que montre la figure 2. Erreur fréquente : utiliser le diamètre au lieu du rayon dans $\pi r^{2}$, ce qui quadruple les surfaces et donne $3{,}1\ \mathrm{cm^{2}}$, critère faussement non rempli ; ou oublier la conversion $1\ \mathrm{m^{2}}=10^{4}\ \mathrm{cm^{2}}$.

4. D'après la loi de Poiseuille, $R=\dfrac{64\,L\,\eta}{\pi\,d^{4}}$ : la résistance est inversement proportionnelle à la PUISSANCE QUATRIÈME du diamètre. Un capillaire a un diamètre de l'ordre de quelques micromètres, une artère ou une veine de l'ordre du millimètre au centimètre, soit un rapport des diamètres de l'ordre de $10^{3}$ et plus.

Le rapport des résistances est alors de l'ordre de $(10^{3})^{4}=10^{12}$ en faveur de l'artère ou de la veine, à longueur et viscosité égales. Le capillaire est certes beaucoup plus court, mais $R$ n'est que proportionnelle à $L$ : un facteur de longueur de quelques centaines ou milliers ne compense pas un facteur $10^{12}$. La résistance d'un capillaire est donc très supérieure à celle d'une artère ou d'une veine, ce qui justifie l'hypothèse de l'énoncé.

5. Toute la résistance est due aux capillaires : chaque capillaire relie l'artère, à la pression $P_{1}$, à la veine, à la pression $P_{2}$, et il est donc soumis à la différence de pression $|\Delta P|=P_{1}-P_{2}=16{,}0\times 10^{3}-1{,}3\times 10^{3}=14{,}7\times 10^{3}$ Pa.

Loi de Poiseuille pour un capillaire : $D_{v,C}=\dfrac{|\Delta P|}{R}=\dfrac{14{,}7\times 10^{3}}{1{,}0\times 10^{16}}=1{,}5\times 10^{-12}\ \mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}$ ($1{,}47\times 10^{-12}$ avant arrondi). Vérification d'unité : des pascals divisés par des $\mathrm{Pa\cdot s\cdot m^{-3}}$, l'unité S.I. de $R$, donnent bien des $\mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}$. C'est environ $1{,}5\times 10^{-3}\ \mathrm{mm^{3}}$ par seconde : un débit minuscule, cohérent avec la taille d'un capillaire.

6. Le sang est incompressible et l'écoulement permanent : le débit volumique se conserve, et le débit de l'artère se répartit entre les $N_{C}$ capillaires identiques, montés en parallèle entre l'artère et la veine. Donc $D_{v,\text{artère}}=N_{C}\times D_{v,C}$, d'où $N_{C}=\dfrac{D_{v,\text{artère}}}{D_{v,C}}=\dfrac{5\times 10^{-6}}{1{,}47\times 10^{-12}}=3{,}4\times 10^{6}$.

Le sang traverse environ $3\times 10^{6}$ capillaires, soit quelques millions : c'est en accord avec « un réseau de plusieurs millions de capillaires ». Erreur fréquente : faire passer tout le débit de l'artère dans chaque capillaire ; montés en parallèle, les capillaires se PARTAGENT ce débit, chacun recevant la même différence de pression $P_{1}-P_{2}$.

1. Schéma (voir la figure ci-dessous) : Jupiter au centre J de l'orbite, cercle de rayon $r$ sur lequel se trouve Métis, au point M. Le repère de Frenet est attaché à Métis et se déplace avec lui : $\vec{u}_{t}$ est tangent à l'orbite en M et orienté dans le sens du mouvement ; $\vec{u}_{n}$ lui est perpendiculaire et orienté de M vers le centre J de la trajectoire. Les deux vecteurs ont pour norme 1. Erreur fréquente : orienter $\vec{u}_{n}$ vers l'extérieur, ce qui change le signe de toutes les expressions qui suivent.

2. Loi de la gravitation universelle : la force exercée par Jupiter, de masse $M_{J}$, sur Métis, de masse $m$, à la distance $r$ entre leurs centres, est attractive, donc dirigée de Métis vers le centre de Jupiter, c'est-à-dire selon $+\vec{u}_{n}$ : $\vec{F}=\dfrac{G\,M_{J}\,m}{r^{2}}\,\vec{u}_{n}$. Le signe $+$ vient de l'orientation de $\vec{u}_{n}$ vers le centre ; avec un vecteur unitaire orienté de Jupiter vers Métis, on écrirait un signe $-$.

3. On représente $\vec{F}$ avec son origine au point M, dirigée vers le centre de Jupiter, donc colinéaire à $\vec{u}_{n}$ et de même sens. Sans souci d'échelle, seule sa direction et son sens comptent ; elle n'a aucune composante selon $\vec{u}_{t}$.

4. Système : Métis, de masse $m$ constante. Référentiel : jovien, supposé galiléen. Seule force (les autres attractions sont négligées) : $\vec{F}$. Deuxième loi de Newton : $m\,\vec{a}=\vec{F}$, d'où $\vec{a}=\dfrac{G\,M_{J}}{r^{2}}\,\vec{u}_{n}$.

Dans le repère de Frenet, l'accélération d'un mouvement circulaire de rayon $r$ s'écrit $\vec{a}=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_{t}+\dfrac{v^{2}}{r}\,\vec{u}_{n}$. On identifie les composantes selon $\vec{u}_{t}$ : $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$. La valeur de la vitesse est constante au cours du temps : le mouvement circulaire de Métis est uniforme. C'est le fait que la force soit centripète, sans composante tangentielle, qui rend le mouvement uniforme.

5. Composantes selon $\vec{u}_{n}$ : $\dfrac{v^{2}}{r}=\dfrac{G\,M_{J}}{r^{2}}$, donc $v^{2}=\dfrac{G\,M_{J}}{r}$ et, $v$ étant positive, $v=\sqrt{\dfrac{G\times M_{J}}{r}}$. La vitesse ne dépend pas de la masse $m$ du satellite, qui s'est simplifiée, et elle est d'autant plus grande que l'orbite est basse.

6. Pendant une période $T_{M}$, Métis parcourt une fois le périmètre $2\pi r$ de son orbite à la vitesse constante $v$ : $T_{M}=\dfrac{2\pi r}{v}=2\pi r\sqrt{\dfrac{r}{G\,M_{J}}}$, soit $T_{M}=2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G\,M_{J}}}$.

7. En élevant au carré : $T_{M}^{2}=\dfrac{4\pi^{2}\,r^{3}}{G\,M_{J}}$, d'où $\dfrac{T_{M}^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{G\,M_{J}}$. Le rapport du carré de la période au cube du rayon de l'orbite ne dépend que de la masse de l'astre attracteur : il est le même pour tous les satellites de Jupiter. C'est la troisième loi de Kepler, le rayon de l'orbite circulaire jouant le rôle du demi-grand axe. Pour Jupiter, $\dfrac{4\pi^{2}}{G\,M_{J}}=3{,}12\times 10^{-16}\ \mathrm{s^{2}\cdot m^{-3}}$.

8. On isole $r$ : $r^{3}=\dfrac{G\,M_{J}\,T_{M}^{2}}{4\pi^{2}}$, soit $r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_{J}\,T_{M}^{2}}{4\pi^{2}}}$. La période doit être en secondes : $T_{M}=7\times 3\,600+4\times 60+30=25\,470$ s.

Application numérique : $r=\left(\dfrac{6{,}67\times 10^{-11}\times 1{,}899\times 10^{27}\times 25\,470^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}=1{,}28\times 10^{8}$ m. Vérification : $r\approx 1{,}83\,R_{J}$, Métis orbite donc à moins d'un rayon de Jupiter au-dessus de ses nuages, et sa vitesse $v=\dfrac{2\pi r}{T_{M}}\approx 3{,}15\times 10^{4}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, environ $31{,}5$ km/s. Erreur fréquente : garder $T_{M}$ en heures, ou lire « 7 h 4 min 30 s » comme $7{,}45$ h ; en heures décimales, c'est $7{,}075$ h, et le plus sûr est de tout convertir en secondes.

9. Jupiter étant assimilée à une sphère homogène de rayon $R_{J}=69\,911$ km $=6{,}9911\times 10^{7}$ m, son volume est $V_{J}=\dfrac{4}{3}\pi R_{J}^{3}=1{,}431\times 10^{24}\ \mathrm{m^{3}}$. Sa masse volumique moyenne vaut $\rho_{J}=\dfrac{M_{J}}{V_{J}}=\dfrac{1{,}899\times 10^{27}}{1{,}431\times 10^{24}}=1\,327\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, la valeur annoncée. Erreur fréquente : laisser $R_{J}$ en kilomètres, ce qui donne une masse volumique $10^{9}$ fois trop grande.

10. Rapport des masses volumiques : $\dfrac{\rho_{J}}{\rho_{M}}=\dfrac{1\,327}{860}=1{,}543$, et $\sqrt[3]{1{,}543}=1{,}543^{1/3}=1{,}156$.

Limite « fluide » : $D_{\text{fluide}}=2{,}42\times 6{,}9911\times 10^{7}\times 1{,}156=1{,}96\times 10^{8}$ m. Limite « rigide » : $D_{\text{rigide}}=1{,}26\times 6{,}9911\times 10^{7}\times 1{,}156=1{,}02\times 10^{8}$ m. Exprimées en rayons de Jupiter : environ $2{,}80\,R_{J}$ et $1{,}46\,R_{J}$. Ce sont, comme le dit l'énoncé, des distances comparables au rayon de l'orbite, donc comptées depuis le centre de Jupiter.

11. On compare le rayon de l'orbite de Métis aux deux limites : $D_{\text{rigide}}=1{,}02\times 10^{8}\ \mathrm{m}<r=1{,}28\times 10^{8}\ \mathrm{m}<D_{\text{fluide}}=1{,}96\times 10^{8}$ m.

Métis orbite en dessous de la limite de Roche « fluide » : comme le décrit l'énoncé, il peut encore orbiter, mais les forces de marées de Jupiter lui arrachent petit à petit de la matière en surface. Ces particules peuvent alimenter l'anneau principal, ce qui conforte l'hypothèse de l'introduction. Il se déforme et perd peu à peu de l'altitude : sa fin de vie est programmée. Il est en revanche encore au-dessus de la limite « rigide » : il n'est pas détruit aujourd'hui. Quand son orbite sera descendue sous $1{,}02\times 10^{8}$ m, il ne pourra plus conserver sa structure et sera disloqué. Métis est bien un satellite « en sursis ».

Remarque : l'énoncé dit que ces satellites perdent de l'altitude « en ralentissant ». C'est un freinage qui les fait descendre ; mais sur l'orbite circulaire plus basse, la question 5 montre que la vitesse orbitale $v=\sqrt{G\,M_{J}/r}$ est plus GRANDE, pas plus petite.