Exercices corrigés : les gaz et la théorie cinétique (202-NYA)

a) Il faut d'abord convertir : $T=25+273=298$ K. Quantités de matière : $n(He)=\dfrac{2{,}00}{4{,}003}=0{,}4996$ mol et $n\left(O_{2}\right)=\dfrac{8{,}00}{32{,}00}=0{,}2500$ mol. Chaque gaz occupe seul les 5,00 L : $P(He)=\dfrac{0{,}4996\times 8{,}314\times 298}{5{,}00}=247{,}6$ kPa et $P\left(O_{2}\right)=\dfrac{0{,}2500\times 8{,}314\times 298}{5{,}00}=123{,}9$ kPa. La pression totale est leur somme : $P_{tot}=371{,}5$ kPa. Noter que l'hélium, deux fois plus léger, donne deux fois plus de pression à masse quatre fois plus faible : c'est la quantité de MATIÈRE qui compte, jamais la masse.

b) $x(He)=\dfrac{0{,}4996}{0{,}4996+0{,}2500}=\dfrac{0{,}4996}{0{,}7496}=0{,}6665$. Alors $P(He)=x(He)\times P_{tot}=0{,}6665\times 371{,}5=247{,}6$ kPa : on retrouve bien la valeur de a. Les deux chemins sont équivalents, et le second est plus rapide quand la composition est donnée en pourcentages.

c) Le gaz recueilli sur l'eau est saturé en vapeur : la pression mesurée est celle du mélange. Donc $P\left(H_{2}\right)=101{,}3-2{,}6=98{,}7$ kPa. Avec $T=22+273=295$ K et $V=0{,}250$ L : $n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{98{,}7\times 0{,}250}{8{,}314\times 295}=1{,}006\times 10^{-2}$ mol. La masse vaut $m=1{,}006\times 10^{-2}\times 2{,}016=2{,}03\times 10^{-2}$ g, soit environ 20 mg.

d) Sans la correction, il utiliserait 101,3 kPa et trouverait $n=1{,}033\times 10^{-2}$ mol, soit un écart de $+2{,}6$ %. L'erreur est difficile à détecter parce que le résultat reste parfaitement PLAUSIBLE : bon ordre de grandeur, bonnes unités, aucune valeur absurde. Seule la relecture de l'énoncé, où figurent les mots « recueilli sur l'eau » et une pression de vapeur donnée pour rien, peut la révéler. RÈGLE : si une pression de vapeur d'eau est fournie dans l'énoncé, c'est qu'elle doit servir.

a) $v_{rms}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$ avec $M$ en kg/mol. Pour l'hélium, $M=4{,}003\times 10^{-3}$ kg/mol : $v_{rms}=\sqrt{\dfrac{3\times 8{,}314\times 298}{4{,}003\times 10^{-3}}}=\sqrt{1{,}857\times 10^{6}}=1363$ m/s. Pour le dioxygène, $M=32{,}00\times 10^{-3}$ kg/mol : $v_{rms}=\sqrt{\dfrac{7433}{0{,}03200}}=482$ m/s. Une molécule de $O_{2}$ file donc à près de 1700 km/h à température ambiante.

b) $\dfrac{v(He)}{v\left(O_{2}\right)}=\dfrac{1363}{482}=2{,}83$. Par ailleurs, $\sqrt{\dfrac{M\left(O_{2}\right)}{M(He)}}=\sqrt{\dfrac{32{,}00}{4{,}003}}=\sqrt{7{,}99}=2{,}83$ : les deux coïncident. En effet, dans le rapport $\sqrt{3RT/M_{1}}\div\sqrt{3RT/M_{2}}$, le facteur $3RT$ se simplifie, et seules les masses molaires subsistent. C'est exactement la loi de Graham.

c) $\overline{E_{k}}=\dfrac{3}{2}RT=\dfrac{3}{2}\times 8{,}314\times 298=3716$ J/mol, soit 3,72 kJ/mol. Cette valeur est la MÊME pour les deux gaz, et pour tout gaz parfait : l'énergie cinétique moyenne ne dépend que de la température. C'est d'ailleurs la définition microscopique de la température. Les molécules légères compensent leur faible masse par une plus grande vitesse, de sorte que le produit $\frac{1}{2}mv^{2}$ reste identique.

d) Comme $v_{rms}\propto\sqrt{T}$, doubler la température absolue multiplie la vitesse par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$, et non par 2 : il faudrait QUADRUPLER $T$ pour doubler la vitesse. Doubler la pression à température constante ne change RIEN à la vitesse : $v_{rms}$ ne dépend que de $T$ et de $M$. Comprimer un gaz augmente la FRÉQUENCE des chocs, pas leur violence individuelle. C'est le contresens le plus fréquent du chapitre.

a) $\dfrac{v(He)}{v\left(SF_{6}\right)}=\sqrt{\dfrac{M\left(SF_{6}\right)}{M(He)}}=\sqrt{\dfrac{146{,}06}{4{,}003}}=\sqrt{36{,}49}=6{,}04$. L'hélium effuse donc environ six fois plus vite.

b) Deux effets se conjuguent, mais le principal est celui-ci : l'hélium, de masse molaire 4,003 g/mol, effuse $\sqrt{29{,}0/4{,}003}=2{,}69$ fois plus vite que l'air, dont la masse molaire moyenne est 29,0 g/mol. Il traverse donc les pores du latex bien plus rapidement. S'y ajoute le fait que l'atome d'hélium est monoatomique et très petit, ce qui facilite encore son passage. Un ballon à l'hélium perd ainsi sa portance en un jour environ.

c) « Effuser 2,92 fois plus lentement » signifie $\dfrac{v(He)}{v(X)}=2{,}92$, donc $\sqrt{\dfrac{M(X)}{4{,}003}}=2{,}92$ et $M(X)=4{,}003\times 2{,}92^{2}=4{,}003\times 8{,}53=34{,}1$ g/mol. Cette masse correspond au sulfure d'hydrogène $H_{2}S$, dont la masse molaire vaut 34,08 g/mol. Vérification : $\sqrt{34{,}08/4{,}003}=2{,}92$. Piège de lecture : « plus lentement » place la masse inconnue au NUMÉRATEUR sous la racine ; une inversion donnerait $M=0{,}47$ g/mol, valeur impossible puisque inférieure à celle de l'hydrogène.

d) $\dfrac{v\left(^{235}UF_{6}\right)}{v\left(^{238}UF_{6}\right)}=\sqrt{\dfrac{352{,}04}{349{,}03}}=\sqrt{1{,}00862}=1{,}00430$. L'écart n'est que de 0,43 % par passage. Pour enrichir l'uranium naturel, qui contient 0,7 % de $^{235}U$, jusqu'aux 3 à 5 % du combustible nucléaire, il faut donc enchaîner des MILLIERS d'étages d'effusion en cascade. C'est ce qui rend l'enrichissement techniquement lourd, énergivore et facile à détecter, un point qui a des conséquences géopolitiques directes. Les centrifugeuses modernes exploitent la même différence de masse, avec un rendement par étage meilleur.

a) $P=\dfrac{nRT}{V}=\dfrac{1{,}00\times 8{,}314\times 300}{0{,}500}=4988$ kPa, soit près de 49 atmosphères.

b) $P=\dfrac{nRT}{V-nb}-\dfrac{an^{2}}{V^{2}}=\dfrac{8{,}314\times 300}{0{,}500-0{,}0427}-\dfrac{364\times 1{,}00}{0{,}500^{2}}=\dfrac{2494}{0{,}4573}-1456=5454-1456=3998$ kPa. L'écart relatif vaut $\dfrac{3998-4988}{4988}=-19{,}9$ %. La loi des gaz parfaits SURESTIME donc la pression de près de 20 % dans ces conditions.

c) Le terme $nb$ retranché au volume représente le VOLUME PROPRE des molécules : le volume réellement disponible pour se déplacer est plus petit que le volume du récipient, ce qui AUGMENTE la pression. Le terme $\dfrac{an^{2}}{V^{2}}$ représente les FORCES ATTRACTIVES entre molécules : une molécule sur le point de frapper la paroi est retenue par ses voisines, elle frappe donc moins fort, ce qui DIMINUE la pression. Ici les deux corrections valent respectivement $+466$ kPa et $-1456$ kPa : c'est le terme attractif qui l'emporte largement, ce qui est logique pour le $CO_{2}$, molécule facilement liquéfiable donc à interactions fortes.

d) À BASSE pression et HAUTE température. À basse pression, le volume molaire $\dfrac{V}{n}$ est grand devant $b$, donc $V-nb\approx V$ ; et $\dfrac{an^{2}}{V^{2}}$ devient négligeable devant $\dfrac{nRT}{V}$ puisqu'il décroît comme $\dfrac{1}{V^{2}}$ alors que le terme principal ne décroît qu'en $\dfrac{1}{V}$. À haute température, l'énergie cinétique moyenne $\frac{3}{2}RT$ devient grande devant l'énergie d'attraction, et les molécules se croisent trop vite pour être retenues. En pratique, aux conditions ambiantes et jusqu'à quelques atmosphères, l'écart est inférieur à 1 % : c'est pourquoi le secondaire peut ignorer complètement cette correction.

a) De $PV=nRT$ et $n=\dfrac{m}{M}$, on tire $PV=\dfrac{m}{M}RT$, d'où $M=\dfrac{mRT}{PV}$. En divisant par le volume, la masse volumique $\rho=\dfrac{m}{V}$ vérifie $\rho=\dfrac{PM}{RT}$. Cette dernière relation montre que, pour un gaz donné, la masse volumique est proportionnelle à la pression et inversement proportionnelle à la température absolue.

b) $T=100+273=373$ K. D'abord $n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{98{,}0\times 0{,}500}{8{,}314\times 373}=1{,}580\times 10^{-2}$ mol. Puis $M=\dfrac{0{,}887}{1{,}580\times 10^{-2}}=56{,}1$ g/mol. Cette valeur correspond au butène $C_{4}H_{8}$, de masse molaire 56,11 g/mol. On pourrait aussi songer au fer, mais le fer n'est évidemment pas gazeux à 100 °C : l'état physique fait partie de l'identification.

c) $T=298$ K. Pour l'air : $\rho=\dfrac{101{,}3\times 29{,}0}{8{,}314\times 298}=1{,}186$ g/L. Pour l'hélium : $\rho=\dfrac{101{,}3\times 4{,}003}{8{,}314\times 298}=0{,}164$ g/L. Le rapport vaut 7,24, exactement celui des masses molaires : à même pression et même température, les masses volumiques sont proportionnelles aux masses molaires, ce qui est la traduction directe de la loi d'Avogadro.

d) La poussée d'Archimède correspond à la masse d'air déplacé, soit $1{,}186\times 10{,}0=11{,}86$ g. Le ballon contient déjà $0{,}164\times 10{,}0=1{,}64$ g d'hélium. La charge utile maximale est la différence : $11{,}86-1{,}64=10{,}2$ g. C'est peu : soulever un kilogramme exigerait près de 1000 L d'hélium, soit un ballon d'environ 1,2 m de diamètre.

e) Parce que ce qui compte pour la poussée n'est pas la composition mais la MASSE VOLUMIQUE. D'après $\rho=\dfrac{PM}{RT}$, à pression constante la masse volumique est inversement proportionnelle à la température absolue. En chauffant l'air de 20 °C à 100 °C, soit de 293 K à 373 K, on divise $\rho$ par $\dfrac{373}{293}=1{,}27$ : l'air intérieur devient 27 % moins dense que l'air extérieur, et la poussée l'emporte. C'est le même principe qu'avec l'hélium, obtenu non pas en changeant $M$ mais en changeant $T$.

a) À 30,0 m : $P=101{,}3\left(1+\dfrac{30{,}0}{10}\right)=101{,}3\times 4{,}00=405{,}2$ kPa, soit 4 atmosphères. La pression partielle du dioxygène vaut $P\left(O_{2}\right)=0{,}210\times 405{,}2=85{,}1$ kPa. On est encore loin des 160 kPa : la plongée loisir à 30 m est sûre de ce point de vue.

b) On cherche $d$ tel que $0{,}210\times 101{,}3\left(1+\dfrac{d}{10}\right)=160$. Alors $1+\dfrac{d}{10}=\dfrac{160}{0{,}210\times 101{,}3}=\dfrac{160}{21{,}27}=7{,}52$, donc $\dfrac{d}{10}=6{,}52$ et $d=65{,}2$ m. C'est bien au-delà de la limite de la plongée loisir, fixée à 40 m pour d'autres raisons.

c) Avec 32,0 % : $1+\dfrac{d}{10}=\dfrac{160}{0{,}320\times 101{,}3}=\dfrac{160}{32{,}42}=4{,}94$, donc $d=39{,}4$ m. La profondeur maximale est donc NETTEMENT PLUS FAIBLE qu'avec l'air ordinaire : 39 m au lieu de 65 m.

d) Non, il n'y a pas de contradiction, mais l'affirmation demande une précision. Le Nitrox est plus sûr vis-à-vis de l'AZOTE, pas de l'oxygène. En remplaçant une partie du $N_{2}$ par du $O_{2}$, on abaisse la pression partielle d'azote à toute profondeur, ce qui réduit la quantité d'azote dissous dans les tissus, donc le risque d'accident de décompression et de narcose. En contrepartie, on augmente la pression partielle d'oxygène, et donc le risque de toxicité, ce qui IMPOSE une profondeur maximale plus faible. Le Nitrox permet ainsi de rester plus longtemps, mais moins profond : c'est un déplacement du risque, pas une suppression.

e) Avantage : l'hélium est chimiquement inerte et surtout beaucoup moins soluble dans les tissus gras que l'azote, ce qui supprime la narcose et réduit la charge en gaz dissous. Inconvénient pratique lié à ce chapitre : sa très faible masse molaire, 4,003 g/mol, lui donne une conductivité thermique élevée et une vitesse moléculaire trois fois plus grande que celle de l'azote, ce qui refroidit fortement le plongeur et déforme la voix. À cela s'ajoute son coût, et le fait qu'il s'échappe des bouteilles par effusion plus vite que tout autre gaz, exactement comme dans le ballon de l'exercice 3.