Une question par chapitre, 6 en tout, tirées des exercices corrigés du cours. Réponds à celles que tu sais faire et passe celles d'un chapitre que tu n'as pas encore vu : chaque réponse se vérifie tout de suite, et la correction s'ouvre après.
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Ce que le cours suppose
Ces chapitres viennent d'une année précédente, et le cours s'appuie dessus dès les premières semaines.
Mathématiques · Secondaire 4 · Nuage de points, corrélation et régression
La méthode du rectangle permet d'estimer r sans aucun calcul statistique : on trace le plus petit rectangle qui contient le nuage, orienté selon son allongement, puis on applique r≈±(1−Ll).
Sur la figure, ce rectangle a une longueur L=15 unités et une largeur l=3 unités.
a) Estimez le coefficient de corrélation du nuage de la figure, signe compris.
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Réponse
a)r≈0,8
a) On applique la formule : 1−Ll=1−153=1−0,2=0,8. Le nuage monte de la gauche vers la droite, donc le signe est positif. On estime r≈0,8. Attention à ne pas inverser le quotient : c'est la largeur sur la longueur, et non l'inverse, sans quoi on obtiendrait 1−5=−4, une valeur impossible puisque r reste toujours entre −1 et 1.
Deux notes obtenues dans deux groupes différents ne se comparent pas directement. La cote z les ramène à une échelle commune, en mesurant l'écart à la moyenne en nombre d'écarts-types.
Anne obtient 78 dans un groupe de moyenne 70 et d'écart-type 8. Benoît obtient 85 dans un groupe de moyenne 80 et d'écart-type 10.
La figure ci-dessous représente la situation.
b) Lequel des deux a la meilleure performance RELATIVE ? Le résultat vous surprend-il ?
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Réponse
b)Anne, malgré une note brute plus basse : elle est un écart-type complet au-dessus de son groupe.
b) ANNE, avec une cote z de 1,00 contre 0,50. Le résultat surprend au premier abord puisque sa note brute, 78, est INFÉRIEURE aux 85 de Benoît. Mais Anne se situe un écart-type complet au-dessus de son groupe, alors que Benoît n'est qu'à un demi-écart-type du sien. Rapportée à la difficulté de l'épreuve et à la dispersion du groupe, la performance d'Anne est donc meilleure. C'est exactement le raisonnement qui fonde la cote R utilisée pour l'admission universitaire au Québec.
Un jeu de fête foraine : on mise 3 dollars, on lance un dé équilibré, et l'on reçoit 12 dollars si le 6 sort, 6 dollars si le 5 sort, rien sinon. On note X le GAIN NET du joueur, mise déduite.
a) Dressez la loi de probabilité de X : les valeurs possibles et leurs probabilités. Vérifiez que la somme des probabilités vaut 1.
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Réponse
a)X=+9 avec 61, X=+3 avec 61, X=−3 avec 64. Somme des probabilités : 1.
a) Trois issues possibles. Le 6 rapporte 12 dollars pour 3 misés, soit X=+9 avec probabilité 61. Le 5 rapporte 6 dollars, soit X=+3 avec probabilité 61. Les quatre autres faces ne rapportent rien, soit X=−3 avec probabilité 64. Vérification : 61+61+64=1.
On garde la barre d'acier de l'exercice 2 et sa densité f(x)=8x sur [0;4].
On appelle FONCTION DE RÉPARTITION la fonction F définie par F(x)=P(X≤x) : c'est l'aire accumulée sous la densité depuis la gauche jusqu'à l'abscisse x. Elle répond d'un coup à toutes les questions de probabilité du chapitre.
La figure ci-dessous représente la situation.
a) Montrez, par l'aire d'un triangle, que F(x)=16x2 pour 0≤x≤4. Donnez F(2) et F(4), et l'expression de F en dehors de [0;4].
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Réponse
a)F(x)=16x2 sur [0;4], avec F(2)=0,25 et F(4)=1 ; F=0 avant 0 et F=1 après 4.
a) Pour x entre 0 et 4, l'aire accumulée est celle du triangle rectangle de base x et de hauteur f(x)=8x, soit F(x)=21×x×8x=16x2. Aucune intégration : un triangle suffit. On obtient F(2)=164=0,25 et F(4)=1616=1, ce qui est la vérification obligatoire, la répartition doit atteindre 1 au bout du support. En dehors, F(x)=0 pour x<0, puisque aucune aire n'est encore accumulée, et F(x)=1 pour x>4, puisque toute l'aire l'est. Comparez avec le c de l'exercice 2 : F(2)=0,25 redonne bien P(X≤2).
Un test d'hypothèse ne démontre rien : il mesure à quel point les données seraient surprenantes si l'hypothèse par défaut était vraie, et compare cette surprise à un seuil fixé À L'AVANCE.
Un fabricant annonce des sacs de 500 g. Un inspecteur pèse 40 sacs et obtient une moyenne de 494 g. L'écart-type du procédé est connu, σ=15 g.
La figure ci-dessous représente la situation.
c) Calculez la valeur-p et énoncez sa signification exacte.
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Réponse
c)Valeur-p =2(0,0057)=0,0114 : la probabilité d'un tel écart SI les sacs pesaient vraiment 500 g.
c) Le test étant bilatéral, la valeur-p vaut 2×P(Z<−2,530)=2×0,0057=0,0114. Signification exacte : SI les sacs pesaient réellement 500 g en moyenne, alors un échantillon de 40 sacs s'écartant d'au moins 6 g de cette valeur, dans un sens ou dans l'autre, ne surviendrait que dans 1,14 % des cas. La valeur-p n'est PAS la probabilité que H0 soit vraie, confusion qui est l'erreur d'interprétation la plus répandue en statistique.
Le carré du coefficient de corrélation s'interprète directement comme un pourcentage : la part de la variation de y que le modèle explique. C'est l'indicateur que l'on cite pour juger de la qualité d'un ajustement.
On garde r=0,9985 et la droite y=20,77+6,67x, valable pour x entre 2 et 11 heures.
Le graphique ci-dessous représente les données.
a) Calculez le coefficient de détermination et énoncez son interprétation.
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Réponse
a)r2=0,9971 : 99,7 % de la variation des notes est expliquée par le temps d'étude.
a) r2=0,99852=0,9971, soit 99,7 %. Interprétation : 99,7 % de la variation observée des notes est EXPLIQUÉE par la relation linéaire avec le nombre d'heures d'étude. C'est un ajustement exceptionnellement bon.
Ton tableau de bord range chaque chapitre selon tes réponses et te dit par où commencer. Une date d'examen en tête ? Note-la sur la carte du cours : il en tire un plan, jour après jour.
