Exercices corrigés de Seconde : lumière blanche, lumière colorée et spectres

On reconnaît chaque spectre à sa FORME, pas à sa couleur :

le spectre D ne porte qu'une raie fine, à $650\ \mathrm{nm}$ : c'est le laser ;

le spectre A est une bande étroite, de $612$ à $648\ \mathrm{nm}$ environ : c'est la LED ;

le spectre C couvre tout le visible sans interruption : c'est la lampe à incandescence ;

le spectre B est fait de raies séparées, violettes, verte et jaunes : c'est la lampe à vapeur de mercure.

C est continu : toutes les radiations du visible y sont présentes.

B et D sont des spectres de raies : seules quelques radiations sont émises. A est une bande continue mais étroite.

Le spectre continu d'origine thermique est celui de la lampe à incandescence : son filament est un corps chaud et dense, qui émet parce qu'il est chauffé.

Le gaz de mercure, chaud et peu dense, émet au contraire des raies propres à l'élément.

Le laser émet une seule radiation, une seule raie : sa lumière est monochromatique.

Piège : $650\ \mathrm{nm}$ ne vaut pas $6{,}50\times 10^{-9}\ \mathrm{m}$. On écrit d'abord $650\times 10^{-9}$, puis on déplace la virgule de deux rangs : l'exposant gagne $2$.

Non. La LED émet toutes les radiations de $612$ à $648\ \mathrm{nm}$, soit une bande de largeur $648-612=36\ \mathrm{nm}$ : sa lumière est polychromatique, même si elle paraît d'une seule couleur.

C'est le fil de tout le chapitre : une couleur perçue ne dit pas combien de radiations arrivent. Seul le spectre le dit.

Une lumière colorée peut donc être monochromatique (le laser) ou polychromatique (la LED).

$254\ \mathrm{nm}<400\ \mathrm{nm}$ : c'est l'ultraviolet.

$1{,}064\ \mathrm{\mu m}=1{,}064\times 10^{-6}\ \mathrm{m}=1\,064\ \mathrm{nm}>800\ \mathrm{nm}$ : c'est l'infrarouge.

Les quatre spectres sont tracés de $380$ à $780\ \mathrm{nm}$, donc sur le seul domaine visible : ces deux radiations sont en dehors de la fenêtre, et l'œil ne les voit pas.

Méthode : on convertit TOUJOURS en nanomètres avant de comparer aux bornes $400$ et $800\ \mathrm{nm}$.

Deuxième loi de Snell-Descartes sur la face d'entrée : $1{,}00\times\sin i=n\sin r$.

Rouge : $\sin r=\dfrac{\sin 45^{\circ}}{1{,}615}=\dfrac{0{,}7071}{1{,}615}=0{,}4378$, donc $r=25{,}97^{\circ}$.

Bleu : $\sin r=\dfrac{0{,}7071}{1{,}632}=0{,}4333$, donc $r=25{,}68^{\circ}$.

Piège : écrire $r=\dfrac{45}{1{,}615}=27{,}9^{\circ}$. La loi relie les SINUS des angles, jamais les angles eux-mêmes.

Le bleu : son angle de réfraction est le plus petit, il se rapproche davantage de la normale.

Les deux rayons arrivent avec le même angle, mais l'indice n'est pas le même pour les deux radiations : la loi de Descartes donne donc deux angles de réfraction différents.

C'est la dispersion : l'indice d'un verre dépend de la longueur d'onde, plus grand pour le bleu et le violet que pour le rouge. Le prisme ne fabrique aucune couleur, il sépare des radiations déjà présentes dans la lumière blanche.

Rouge : $r'=60-25{,}97=34{,}03^{\circ}$.

$\sin i'=1{,}615\times\sin 34{,}03^{\circ}=1{,}615\times 0{,}5597=0{,}904$, donc $i'=64{,}7^{\circ}$.

Bleu : $r'=60-25{,}68=34{,}32^{\circ}$.

$\sin i'=1{,}632\times\sin 34{,}32^{\circ}=1{,}632\times 0{,}5639=0{,}920$, donc $i'=67{,}0^{\circ}$.

À la sortie, le verre est le milieu le plus réfringent : la loi s'écrit $n\sin r'=1{,}00\times\sin i'$, et le rayon s'écarte de la normale.

Rouge : $D=45+64{,}7-60=49{,}7^{\circ}$.

Bleu : $D=45+67{,}0-60=52{,}0^{\circ}$.

Écart : $52{,}0-49{,}7=2{,}3^{\circ}$.

Le petit écart d'indice ($0{,}017$) devient un écart de plus de deux degrés, parce que la lumière est réfractée DEUX fois dans le même sens : sur un écran placé à $2\ \mathrm{m}$, le rouge et le bleu sont séparés de près de $8\ \mathrm{cm}$.

Non, pas de façon visible.

Dans une vitre, les deux faces sont parallèles : la réfraction de sortie défait exactement celle d'entrée, et chaque couleur ressort sous $45^{\circ}$, parallèle au rayon incident.

Les couleurs ressortent parallèles entre elles, à peine décalées : elles se superposent et la lumière reste blanche.

Dans le prisme, les deux faces font un angle de $60^{\circ}$ : la seconde réfraction accentue l'écart au lieu de l'annuler. C'est l'angle entre les faces qui fait le prisme.

Les trois spectres sont continus : chaque courbe est d'un seul tenant, sans trou ni pic isolé.

Ces trois objets sont des corps denses (solide, liquide) portés à haute température : ils émettent parce qu'ils sont chauds. C'est un spectre continu d'origine thermique, dont l'allure ne dépend que de la température, pas de la nature du corps.

On lit l'abscisse du sommet de chaque courbe :

four à $1\,200\ \mathrm{K}$ : $\lambda_{\max}\approx 2\,400\ \mathrm{nm}$ ;

acier à $1\,800\ \mathrm{K}$ : $\lambda_{\max}\approx 1\,600\ \mathrm{nm}$ ;

filament à $2\,700\ \mathrm{K}$ : $\lambda_{\max}\approx 1\,100\ \mathrm{nm}$.

Les trois valeurs dépassent $800\ \mathrm{nm}$ : les trois maxima sont dans l'infrarouge. Ces corps émettent surtout un rayonnement invisible, qu'on ressent comme de la chaleur ; un filament de lampe éclaire beaucoup moins qu'il ne chauffe.

Quand la température augmente, le maximum se déplace vers les petites longueurs d'onde, donc vers le visible et vers le violet : $2\,400$, puis $1\,600$, puis $1\,100\ \mathrm{nm}$.

Piège : dire que le spectre « se décale vers le rouge » quand le corps chauffe. C'est l'inverse : plus chaud, plus bleu.

Dans le visible, on ne voit que le pied de chaque courbe, du côté des petites longueurs d'onde.

Pour le four, le rouge l'emporte sur le bleu d'un facteur $1\,500$ : le bleu est absent en pratique, et la faible lumière visible est rouge, d'où le rouge sombre.

Pour le filament, le facteur n'est plus que $7{,}5$ : toutes les couleurs du visible sont présentes en quantités comparables, avec un excès de rouge et de jaune. L'œil voit une lumière blanche un peu jaune.

Quand la température monte, le spectre s'enrichit vers le violet : la couleur passe du rouge sombre à l'orangé, puis au blanc.

$2\,400\times 1\,200=2{,}88\times 10^{6}\ \mathrm{nm\cdot K}$ ; $1\,600\times 1\,800=2{,}88\times 10^{6}$ ; $1\,100\times 2\,700=2{,}97\times 10^{6}$.

Aux erreurs de lecture près, le produit vaut environ $2{,}9\times 10^{6}\ \mathrm{nm\cdot K}$.

Pour le Soleil : $\lambda_{\max}\approx\dfrac{2{,}9\times 10^{6}}{5\,800}=500\ \mathrm{nm}$, au milieu du visible. Le rapport rouge sur bleu proche de $1$ le confirme : la lumière du Soleil est blanche.

Cette relation, la loi de Wien, n'est pas au programme de Seconde : elle sera étudiée en enseignement scientifique de Première. Ici, on la constate seulement sur des lectures.

$\dfrac{50{,}6}{405}=0{,}1249$ ; $\dfrac{54{,}5}{436}=0{,}1250$ ; $\dfrac{68{,}2}{546}=0{,}1249$ ; $\dfrac{72{,}1}{577}=0{,}1250$.

Le rapport est constant : $k\approx 0{,}125\ \mathrm{mm/nm}$. La position sur l'écran est proportionnelle à la longueur d'onde, $x=0{,}125\times\lambda$ : c'est la droite d'étalonnage, qui passe par l'origine.

Étalonner, c'est exactement cela : apprendre à l'appareil, avec des raies connues, à traduire une position en longueur d'onde.

$\lambda=\dfrac{x}{k}=\dfrac{x}{0{,}125}$ :

$\dfrac{58{,}5}{0{,}125}=468\ \mathrm{nm}$ ; $\dfrac{60{,}0}{0{,}125}=480\ \mathrm{nm}$ ; $\dfrac{63{,}6}{0{,}125}=509\ \mathrm{nm}$ (exactement $508{,}8$) ; $\dfrac{80{,}5}{0{,}125}=644\ \mathrm{nm}$.

Piège : multiplier par $0{,}125$ au lieu de diviser. On trouverait $7{,}3\ \mathrm{nm}$, absurde pour une raie visible : un ordre de grandeur suffit à repérer l'erreur.

Les quatre raies de X, $468$, $480$, $509$ et $644\ \mathrm{nm}$, sont exactement celles du cadmium : la lampe contient du cadmium.

Le zinc a bien des raies à $468$ et $481\ \mathrm{nm}$, mais aussi $472$ et $636\ \mathrm{nm}$, qui n'apparaissent pas dans X, et il n'a pas de raie à $509$ ni à $644\ \mathrm{nm}$.

Règle de lecture : un élément est présent si TOUTES ses raies principales apparaissent ; deux raies communes ne prouvent rien.

$x=0{,}125\times 671=83{,}9\ \mathrm{mm}$ (exactement $83{,}875$).

La raie rouge du lithium tomberait à droite de la raie rouge du cadmium, à $80{,}5\ \mathrm{mm}$ : les deux rouges sont bien séparés, de $3{,}4\ \mathrm{mm}$.

Écart : $0{,}125\times(579-577)=0{,}125\times 2=0{,}25\ \mathrm{mm}$.

$0{,}25\ \mathrm{mm}<0{,}5\ \mathrm{mm}$ : l'élève voit un seul trait jaune.

Un spectroscope a donc une limite : deux raies trop proches se confondent. Il faut un appareil plus dispersif, qui étale davantage le spectre, pour les séparer.

C'est un spectre de raies : quelques traits colorés séparés sur un fond noir.

Chaque élément émet un ensemble de longueurs d'onde qui n'appartient qu'à lui, toujours le même. Retrouver cet ensemble dans un spectre prouve la présence de l'élément, comme une signature identifie une personne.

Les quatre raies du mercure, $405$, $436$, $546$ et $577\ \mathrm{nm}$, sont toutes présentes : le tube contient du mercure.

Les quatre raies du néon, $585$, $614$, $640$ et $703\ \mathrm{nm}$, sont toutes présentes : il contient du néon.

Toutes les raies de l'enseigne sont ainsi expliquées : le tube contient un mélange de mercure et de néon. Le spectre d'un mélange est la réunion des spectres de ses constituants.

Écart : $589-585=4\ \mathrm{nm}$.

Une raie se compare à la précision des données, pas à l'œil : $585$ n'est pas $589$. Il n'y a aucune raie à $589\ \mathrm{nm}$ dans l'enseigne, donc pas de sodium.

La raie à $585\ \mathrm{nm}$ est déjà expliquée : c'est la première raie du néon.

Piège : conclure sur la COULEUR d'une raie. Le mercure à $577$, le néon à $585$ et le sodium à $589\ \mathrm{nm}$ donnent trois raies jaunes ; seules leurs longueurs d'onde les distinguent.

$703\ \mathrm{nm}=703\times 10^{-9}\ \mathrm{m}=7{,}03\times 10^{-7}\ \mathrm{m}$.

$400<703<800$ : la raie est dans le visible, du côté du rouge profond, là où l'œil est déjà peu sensible.

Les quatre raies du néon sont toutes entre $585$ et $703\ \mathrm{nm}$ : du jaune, de l'orangé et du rouge, aucune raie verte, bleue ou violette.

L'œil reçoit ensemble ces radiations et perçoit un rouge orangé.

Dans l'enseigne, les raies violettes, bleue et verte du mercure s'y ajoutent : le mélange paraît d'une autre couleur, alors que le néon émet exactement les mêmes raies.

La lampe à sodium : son spectre ne porte qu'une raie, à $589\ \mathrm{nm}$. Sa lumière ne contient qu'une radiation, elle est monochromatique.

En réalité la raie est double, $589{,}0$ et $589{,}6\ \mathrm{nm}$, mais les deux sont si proches qu'un spectroscope de lycée n'en montre qu'une.

La bande verte va de $518$ à $542\ \mathrm{nm}$ environ : milieu $530\ \mathrm{nm}$.

La bande rouge va de $615$ à $637\ \mathrm{nm}$ environ : milieu $626\ \mathrm{nm}$.

Entre $542$ et $615\ \mathrm{nm}$, le spectre de l'écran est noir : la radiation de $589\ \mathrm{nm}$ n'en fait PAS partie. L'écran n'émet aucune radiation jaune, et pourtant on voit du jaune.

Lumière du sodium : une seule radiation, donc une seule direction après le prisme ; on observe un seul trait jaune. Le prisme ne la décompose pas.

Lumière de l'écran : deux groupes de radiations, déviés différemment ; on observe deux taches séparées, une verte et une rouge, et plus aucun jaune.

Le prisme trie les radiations : il révèle ce que la lumière contient vraiment.

Non. Les deux lumières donnent la même sensation de jaune et n'ont aucune radiation en commun.

L'œil additionne la lumière verte et la lumière rouge et perçoit du jaune ; ce mécanisme, la synthèse additive, sera étudié en Première.

C'est le fil du chapitre : une couleur ne dit pas quelle lumière arrive, seul le spectre, lu sur l'axe des longueurs d'onde, le dit.

Elle n'est vraie que pour la lampe à sodium.

Phrase juste : « la lumière du sodium est monochromatique, de longueur d'onde $589\ \mathrm{nm}$ ; une lumière qui paraît jaune peut aussi être un mélange de radiations vertes et rouges ».

Une longueur d'onde caractérise une RADIATION monochromatique, jamais une couleur perçue.

Non. La couleur jaune prouve seulement qu'il y a du sodium, ou une trace de sodium : sa raie, très intense, domine tout le reste.

Elle ne prouve pas l'absence d'autres éléments, dont les raies peuvent être cachées à l'œil mais pas au spectroscope.

Piège : conclure sur la couleur de la flamme. Seule la liste des raies permet de conclure.

Raie à $589\ \mathrm{nm}$ : sodium.

Raies à $610$ et $671\ \mathrm{nm}$ : ce sont les deux raies du lithium, toutes deux présentes, donc lithium.

Aucune raie à $404$, $766$ ni $770\ \mathrm{nm}$ : pas de potassium.

Le sel 1 contient du lithium et du sodium. Seul, le lithium donnerait une flamme rouge, masquée ici par le jaune du sodium.

Raies à $404$, $766$ et $770\ \mathrm{nm}$ : les trois raies du potassium, donc potassium.

Raie à $589\ \mathrm{nm}$ : sodium, sans doute une simple trace.

Aucune raie à $610$ ni $671\ \mathrm{nm}$ : pas de lithium.

Le sel 2 contient du potassium et du sodium.

$400<766<800$ et $400<770<800$ : les deux raies sont dans le visible, tout près de sa limite rouge, là où l'œil est très peu sensible.

Écart : $770-766=4\ \mathrm{nm}$.

Sur la figure, ces deux raies sont si proches qu'elles se touchent presque : un spectroscope peu dispersif les montre comme un seul trait rouge sombre.

Le verre au cobalt arrête la raie à $589\ \mathrm{nm}$ ; passent les raies à $404$, $766$ et $770\ \mathrm{nm}$, soit $3$ raies.

L'œil reçoit un peu de violet et un peu de rouge profond : la flamme paraît lilas, la couleur caractéristique du potassium.

Le verre au cobalt fait à la main ce que fait le spectroscope : il enlève la raie qui masquait les autres.

Faux. Une lumière colorée peut être monochromatique, comme celle d'un laser rouge, ou polychromatique, comme celle d'une LED rouge, dont le spectre est une bande de plusieurs dizaines de nanomètres (exercice 1).

Énoncé correct : une lumière est monochromatique quand son spectre ne contient qu'une seule radiation, quelle que soit sa couleur.

Faux, c'est l'inverse. Quand la température augmente, le maximum se déplace vers les petites longueurs d'onde, et le spectre s'enrichit vers le violet (exercice 3).

Énoncé correct : plus un corps chaud est chaud, plus son spectre s'étend vers le violet ; rouge sombre, puis orangé, puis blanc.

Faux. Toutes les radiations sont déjà dans la lumière blanche ; le prisme les sépare, parce que son indice, donc la déviation, dépend de la longueur d'onde.

Preuve : un laser monochromatique ressort du prisme sans aucune couleur nouvelle.

Énoncé correct : le prisme disperse la lumière blanche, il sépare les radiations qu'elle contient.

Faux. L'indice du verre est plus grand pour le violet que pour le rouge : c'est le violet qui est le plus dévié (exercice 2, le bleu à $52{,}0^{\circ}$ contre $49{,}7^{\circ}$ pour le rouge).

Énoncé correct : plus la longueur d'onde est petite, plus la radiation est déviée par le prisme.

Faux. $600\ \mathrm{nm}=600\times 10^{-9}\ \mathrm{m}=6{,}00\times 10^{-7}\ \mathrm{m}$.

L'erreur est d'avoir gardé l'exposant $-9$ en déplaçant la virgule : une valeur cent fois trop petite.

Énoncé correct : $600\ \mathrm{nm}=6{,}00\times 10^{-7}\ \mathrm{m}$.

Le lampadaire au sodium émet un spectre de raies, réduit pratiquement à une seule raie à $589\ \mathrm{nm}$.

La LED blanche émet un spectre continu, qui couvre presque tout le visible.

Tout le problème vient de cette différence : une raie se filtre, une bande large ne se filtre pas.

Le filtre en arrête $98\ \%$ : il en laisse passer $100-98=2\ \%$.

La raie de $589\ \mathrm{nm}$ tombe en plein dans la bande arrêtée, de $585$ à $595\ \mathrm{nm}$ ; les $2\ \%$ qui passent sont la faible émission de la lampe en dehors de sa raie.

La LED émet uniformément sur $720-420=300\ \mathrm{nm}$.

Le filtre arrête une bande de $595-585=10\ \mathrm{nm}$, entièrement comprise dans l'émission de la LED.

Part arrêtée : $\dfrac{10}{300}\approx 0{,}033$, soit environ $3{,}3\ \%$.

Part qui traverse : $100-3{,}3=96{,}7\ \%$.

Piège : croire qu'un filtre « jaune » arrête toute lumière qui paraît jaune ou blanche. Il n'arrête que les radiations de sa bande.

Avant : $2\ \%$ de la lumière traverse ; après : $96{,}7\ \%$, pour la même puissance émise.

$\dfrac{96{,}7}{2}\approx 48$ : la lumière parasite est multipliée par environ $48$.

Le changement d'éclairage, pourtant économe en énergie, est une catastrophe pour l'observatoire : c'est la forme du SPECTRE, pas la puissance, qui décide.

Les LED ambrées émettent sur $600-580=20\ \mathrm{nm}$, dont $10\ \mathrm{nm}$ dans la bande du filtre : $\dfrac{10}{20}=0{,}5$, soit $50\ \%$ arrêtés.

C'est beaucoup mieux que $3{,}3\ \%$ : plus le spectre est étroit, mieux il se filtre.

Un filtre qui arrêterait toute la lumière d'une LED blanche devrait arrêter de $420$ à $720\ \mathrm{nm}$, c'est-à-dire presque tout le visible. Or la lumière des étoiles et des galaxies a elle aussi un spectre étendu sur tout le visible : on ne verrait plus rien. Une lumière à spectre continu ne se sépare pas de celle du ciel.

Lampe 1 : des pics très fins, aux longueurs d'onde du mercure ($405$, $436$, $546$, $577\ \mathrm{nm}$), plus un pic vers $611\ \mathrm{nm}$ : c'est le tube fluorescent.