Exercices corrigés : l'effet Doppler, source mobile, observateur mobile et composante radiale (203-SN3-RE)

a) La locomotive émet un front tous les $T=\dfrac{1}{500}=2{,}00$ ms. Au repos, chaque front a le temps de parcourir $vT$ avant le suivant : $\lambda_{0}=\dfrac{343}{500}=0{,}686$ m. Quand elle avance, elle se déplace de $v_{s}T$ pendant ce même intervalle, donc l'écart entre deux fronts DEVANT elle vaut $vT-v_{s}T$ : $\lambda_{M}=\dfrac{343-30}{500}=\dfrac{313}{500}=0{,}626$ m. Derrière, les deux déplacements s'ajoutent : $\lambda_{N}=\dfrac{343+30}{500}=\dfrac{373}{500}=0{,}746$ m. La figure le montre sans calcul : les cercles se serrent du côté où la source va.

b) Une fois le front lâché, l'air ne sait plus rien de la locomotive : chaque front avance à $343$ m/s dans les deux directions, en $M$ comme en $N$. C'est le point à tenir. La fréquence se lit alors directement : $f_{M}=\dfrac{v}{\lambda_{M}}=\dfrac{343}{0{,}626}=547{,}9$ Hz et $f_{N}=\dfrac{343}{0{,}746}=459{,}8$ Hz. Vérification de sens : la source vient vers $M$, donc $M$ doit entendre PLUS AIGU que $500$ Hz, et $547{,}9>500$ ; elle fuit $N$, qui doit entendre plus grave, et $459{,}8<500$. Les deux sens sont bons.

c) Rien ne bouge du côté de l'émission : les fronts sont ceux d'une source au repos, espacés de $\lambda_{0}=0{,}686$ m, et cette longueur d'onde ne change pas d'un iota parce qu'un microphone se promène dedans. Ce qui change, c'est la vitesse à laquelle le microphone les rencontre : $343+30=373$ m/s. Il en croise donc $f'=\dfrac{373}{0{,}686}=543{,}7$ Hz. Sens vérifié à nouveau : il fonce vers la source, donc plus aigu que $500$ Hz.

d) $547{,}9$ Hz contre $543{,}7$ Hz : un écart de $4{,}2$ Hz, soit $0{,}8$ pour cent, parfaitement audible pour une oreille musicale. Les deux situations ne sont pas équivalentes parce que l'air n'est pas un décor neutre, c'est le milieu qui porte l'onde et qui sert de référence. Source mobile : la longueur d'onde elle-même est fabriquée plus courte, et la vitesse de rencontre reste $343$ m/s. Observateur mobile : la longueur d'onde reste $0{,}686$ m et c'est la vitesse de rencontre qui monte à $373$ m/s. Deux mécanismes différents, donc deux formules différentes, $f\dfrac{v}{v-v_{s}}$ d'un côté et $f\dfrac{v+v_{o}}{v}$ de l'autre. L'élève qui retient une seule formule et bricole le signe se trompe ici de $4$ Hz, ce qui suffit à perdre la question ; pire, il perd la seule idée du chapitre. Retenez la phrase : devant une source qui avance, c'est la LONGUEUR D'ONDE qui est comprimée ; devant un observateur qui avance, c'est le TAUX DE RENCONTRE qui augmente.

a) Sens attendu : ils se rapprochent, donc plus aigu que $440$ Hz. L'axe va de $A$ vers $B$. $A$ avance vers $B$, donc $v_{s}=+25{,}0$ ; $B$ avance vers $A$, donc en sens inverse de l'axe, $v_{o}=-15{,}0$. $f'=440\times\dfrac{340+15}{340-25}=440\times\dfrac{355}{315}=495{,}9$ Hz. C'est bien plus aigu : le sens est respecté.

b) Sens attendu : ils s'éloignent, donc plus grave. On réoriente l'axe, toujours de la source vers l'observateur. $A$ recule par rapport à cet axe, $v_{s}=-25{,}0$ ; $B$ s'éloigne, $v_{o}=+15{,}0$. $f'=440\times\dfrac{340-15}{340+25}=440\times\dfrac{325}{365}=391{,}8$ Hz. Plus grave, sens respecté. Au croisement, le passager entend donc chuter de $495{,}9$ à $391{,}8$ Hz, soit $104{,}1$ Hz d'un coup.

c) Sens attendu : $A$ roule plus vite que $B$ et le rattrape, donc la distance diminue et la fréquence doit MONTER, mais moins qu'en a), puisque la vitesse d'approche n'est plus $40$ m/s mais $10$ m/s. Axe de $A$ vers $B$ : $A$ avance vers $B$, $v_{s}=+25{,}0$ ; $B$ avance dans le même sens que l'axe, donc il fuit, $v_{o}=+15{,}0$. $f'=440\times\dfrac{340-15}{340-25}=440\times\dfrac{325}{315}=454{,}0$ Hz. Entre $440$ et $495{,}9$ : conforme à l'attente.

d) Il faut $\dfrac{340-v_{o}}{340-25}=1$, donc $v_{o}=25{,}0$ m/s : $B$ doit rouler exactement à la vitesse de $A$. La distance entre eux ne varie plus, aucun front ne se comprime ni ne s'étire du point de vue de $B$, et il entend la fréquence d'émission, alors même que les deux trains foncent à $90$ km/h dans l'air. C'est une bonne façon de retenir que seul compte le mouvement RELATIF le long de la ligne qui joint les deux. Quant à $390{,}4$ Hz, c'est $440\times\dfrac{315}{355}$ : le camarade a inversé numérateur et dénominateur. Le contrôle de sens l'aurait sauvé en deux secondes, puisque $390{,}4$ Hz est plus GRAVE alors que les trains se rapprochent. Une question à $10$ points perdue pour une fraction retournée, et le pire est que le résultat faux ressemble au bon : les deux valeurs $495{,}9$ et $390{,}4$ encadrent $440$, seule la position par rapport à $440$ les distingue.

a) Les cercles de la figure sont décentrés : le front émis il y a $nT$ a pour rayon $vnT$ mais son centre a dérivé de $wnT$. Du côté de $M$ les fronts sont donc espacés de $(v+w)T$ et du côté de $N$ de $(v-w)T$. Numériquement $\lambda_{M}=\dfrac{360}{440}=0{,}818$ m, $\lambda_{N}=\dfrac{320}{440}=0{,}727$ m, contre $\dfrac{340}{440}=0{,}773$ m sans vent. Les longueurs d'onde SONT différentes, et pourtant les deux microphones entendent $440$ Hz : du côté de $M$ le front avance à $360$ m/s sur le sol, et $\dfrac{360}{0{,}818}=440$ ; du côté de $N$ il avance à $320$ m/s, et $\dfrac{320}{0{,}727}=440$. La vitesse et la longueur d'onde ont été multipliées par le MÊME facteur, leur rapport ne bouge pas. C'est la vérification de sens du chapitre : personne ne bouge par rapport à personne, donc aucun décalage, quoi que fasse le vent.

b) Dans le référentiel de l'air, la source a la vitesse $v_{s}-w$ et l'observateur $v_{o}-w$ sur l'axe orienté de la source vers l'observateur. La formule générale donne $f'=f_{0}\dfrac{v-(v_{o}-w)}{v-(v_{s}-w)}=f_{0}\dfrac{(v+w)-v_{o}}{(v+w)-v_{s}}$ : le vent se contente de remplacer $v$ par $v+w$ partout, $w$ étant compté positivement dans le sens source vers observateur. Ici $v+w=360$, $v_{o}=0$, $v_{s}=+30{,}0$, donc $f'=440\times\dfrac{360}{330}=480{,}0$ Hz.

c) Le vent change de signe : $w=-20{,}0$, donc $v+w=320$. $f'=440\times\dfrac{320}{320-30}=440\times\dfrac{320}{290}=485{,}5$ Hz.

d) Sans vent, $f'=440\times\dfrac{340}{310}=482{,}6$ Hz. Le classement est donc : vent portant $480{,}0$ Hz, pas de vent $482{,}6$ Hz, vent contraire $485{,}5$ Hz. La phrase répandue est doublement fausse. D'abord, quand personne ne bouge, le vent ne change RIEN à la hauteur du son, comme le a) vient de l'établir ; il change seulement le temps de trajet et l'intensité reçue, ce qui donne l'impression d'un son porté. Ensuite, quand la source bouge, un vent portant DIMINUE le décalage au lieu de l'augmenter, parce que ce qui compte est le rapport $\dfrac{v_{s}}{v+w}$ : en augmentant la vitesse de propagation sur le sol, le vent laisse moins de temps à la source pour rattraper ses propres fronts. L'écart reste modeste, $5{,}5$ Hz entre les deux vents extrêmes, mais le SENS de l'effet est l'inverse de l'intuition, et c'est exactement le genre de question à trois points que l'on perd en répondant au feeling.

a) Très loin, $\theta\to 0$ et $\cos\theta\to 1$ : la vitesse est entièrement radiale. $f'=450\times\dfrac{340}{340-70}=450\times\dfrac{340}{270}=566{,}7$ Hz. C'est la valeur MAXIMALE de tout le passage, et elle est atteinte quand le train est le plus loin, ce qui surprend toujours.

b) Au point le plus proche, la vitesse est perpendiculaire à la ligne de visée : $\theta=90°$, $\cos\theta=0$, $v_{r}=0$. Le train ne se rapproche plus ni ne s'éloigne de $O$ à cet instant, sa distance passe par un minimum et sa dérivée est nulle. Donc $f'=f_{0}=450$ Hz exactement. Aucun décalage au moment du passage : c'est le résultat le plus contre-intuitif du chapitre, et celui que l'examen aime poser.

c) La figure donne la géométrie : le train est à $60{,}0$ m du point le plus proche et $O$ est à $60{,}0$ m de la voie, donc la ligne de visée fait $45°$ avec la voie. $\cos\theta=\dfrac{60}{\sqrt{60^{2}+60^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0{,}7071$. La composante radiale vaut $v_{r}=70{,}0\times 0{,}7071=49{,}50$ m/s : le train fonce à $252$ km/h mais ne se rapproche de $O$ qu'à $49{,}5$ m/s. $f'=450\times\dfrac{340}{340-49{,}50}=\dfrac{153000}{290{,}50}=526{,}7$ Hz. Entre $450$ et $566{,}7$ : le sens est bon.

d) On résout $450\times\dfrac{340}{340-70\cos\theta}=500$, soit $340-70\cos\theta=\dfrac{450\times 340}{500}=306$, donc $70\cos\theta=34$ et $\cos\theta=0{,}4857$. D'où $\theta=60{,}9°$. La distance au point le plus proche se lit dans le triangle rectangle : $\tan\theta=\dfrac{d}{x}$, donc $x=\dfrac{60{,}0}{\tan 60{,}9°}=\dfrac{60{,}0}{1{,}800}=33{,}3$ m. Le train n'est donc plus qu'à une trentaine de mètres du point de croisement quand la fréquence est déjà retombée de $566{,}7$ à $500$ Hz : tout le glissement se joue sur les dernières centaines de mètres, ce qui explique pourquoi on l'entend comme une chute brusque et non comme une descente lente. Le piège classique consiste à écrire $\cos\theta=\dfrac{x}{d}$ au lieu de $\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+d^{2}}}$, ou à prendre l'angle au sommet $O$ plutôt qu'au sommet $T$ : les deux erreurs donnent un cosinus supérieur à $1$ dès que le train est loin, ce qui devrait alerter immédiatement.

a) Premier temps, le papillon est l'observateur et la chauve-souris la source. Axe de la chauve-souris vers le papillon : $v_{s}=+8{,}00$, $v_{o}=+3{,}00$ puisque le papillon fuit dans le sens de l'axe. $f_{1}=42000\times\dfrac{340-3}{340-8}=42000\times\dfrac{337}{332}=42632{,}5$ Hz. Deuxième temps, les rôles s'échangent : le papillon devient la source de $f_{1}$ et la chauve-souris l'observateur. Nouvel axe, du papillon vers la chauve-souris : le papillon s'éloigne donc $v_{s}=-3{,}00$, la chauve-souris s'approche donc $v_{o}=-8{,}00$. $f_{2}=42632{,}5\times\dfrac{340+8}{340+3}=42632{,}5\times\dfrac{348}{343}=43254{,}0$ Hz. Décalage total : $43254-42000=1254$ Hz, soit $1{,}25$ kHz.

b) En regroupant, $f_{2}=f_{0}\dfrac{(v-v_{p})(v+v_{c})}{(v-v_{c})(v+v_{p})}$. Pour $v_{c}$ et $v_{p}$ petits devant $v$, chaque facteur vaut $1$ plus un petit terme, et en ne gardant que le premier ordre il reste $f_{2}\approx f_{0}\left(1+\dfrac{2(v_{c}-v_{p})}{v}\right)$, donc $\Delta f\approx\dfrac{2\times 42000\times 5{,}00}{340}=1235$ Hz. Contre $1254$ Hz exactement : $1{,}5$ pour cent d'écart, ce qui est négligeable pour une estimation mais pas pour un calcul demandé au centième. Le facteur $2$ est la signature de l'aller-retour, et c'est lui qu'il faut retenir.

c) Les deux se rapprochent maintenant. Premier temps : $v_{s}=+8{,}00$, $v_{o}=-3{,}00$, $f_{1}=42000\times\dfrac{343}{332}=43391{,}6$ Hz. Deuxième temps : le papillon avance vers la chauve-souris, $v_{s}=+3{,}00$, et la chauve-souris avance vers lui, $v_{o}=-8{,}00$ : $f_{2}=43391{,}6\times\dfrac{348}{337}=44807{,}9$ Hz. Décalage $2808$ Hz, soit $2{,}81$ kHz, plus du double du a). La chauve-souris dispose donc d'une mesure très nette du SENS de fuite de sa proie, et c'est précisément l'information dont elle a besoin pour corriger sa trajectoire.

d) Avec une seule application, $42000\times\dfrac{340}{340-5}=42626{,}9$ Hz, soit un décalage de $627$ Hz. Il se trompe d'un facteur $2$ tout rond, puisque $2\times 627=1254$. L'erreur est invisible à la lecture, le résultat a la bonne taille et le bon signe, et elle coûte pourtant toute la question. La règle à tenir : dès qu'il y a RÉFLEXION sur une cible mobile, le décalage compte double, parce que la cible subit le Doppler une première fois en recevant et une seconde fois en réémettant. C'est ce même facteur $2$ que l'on retrouvera au débitmètre médical de l'exercice 9 et au radar routier de l'exercice 10, et il vaut pour toutes les ondes, sonores ou électromagnétiques.

a) La vitesse tangentielle vaut $u=2\pi Rn=2\pi\times 1{,}00\times 3{,}00=18{,}85$ m/s, soit $67{,}9$ km/h au bout d'une corde d'un mètre. C'est largement assez pour un décalage audible, et c'est pourquoi cette expérience se fait dans tous les laboratoires.

b) La fréquence est maximale quand la composante radiale vers $O$ est maximale, c'est-à-dire quand la vitesse pointe droit vers $O$ : $f_{max}=1200\times\dfrac{340}{340-18{,}85}=\dfrac{408000}{321{,}15}=1270{,}4$ Hz. Elle est minimale quand la vitesse pointe droit à l'opposé : $f_{min}=1200\times\dfrac{340}{358{,}85}=1137{,}0$ Hz. Le son oscille donc entre ces deux valeurs trois fois par seconde, et cette ondulation de hauteur est exactement ce qu'on entend quand on fait tourner un objet sonore au bout d'un fil.

c) Position 2 : la vitesse pointe vers $O$, c'est là que $f_{max}$ est atteinte. Position 4 : la vitesse pointe à l'opposé, c'est $f_{min}$. Aux positions 1 et 3, la vitesse est PERPENDICULAIRE à la ligne de visée, donc $v_{r}=0$ et $O$ entend exactement $f_{0}=1200$ Hz. Or la position 1 est le point du cercle le plus PROCHE de $O$ et la position 3 le plus LOIN : l'extremum de distance ne coïncide pas avec l'extremum de fréquence, il est décalé d'un quart de tour. C'est le même résultat qu'à l'exercice 4, transposé au mouvement circulaire, et c'est le piège favori de la question : on croit que le son est le plus aigu quand la source est le plus près, alors que c'est le moment où il n'est pas décalé du tout.

d) La moyenne arithmétique donne $\dfrac{1270{,}4+1137{,}0}{2}=1203{,}7$ Hz, et non $1200$ Hz : l'écart de $3{,}7$ Hz n'est pas une erreur d'arrondi, il est structurel. La raison est que $f_{max}$ et $f_{min}$ ne s'écartent pas symétriquement de $f_{0}$ : le dénominateur $v-u$ tire plus fort vers le haut que $v+u$ ne tire vers le bas. La bonne moyenne est la moyenne HARMONIQUE, $\dfrac{2f_{max}f_{min}}{f_{max}+f_{min}}$, qui redonne $f_{0}$ exactement. On le vérifie en remplaçant : $\dfrac{2\,f_{0}^{2}v^{2}}{(v^{2}-u^{2})}\times\dfrac{v^{2}-u^{2}}{2f_{0}v^{2}}=f_{0}$, sans aucune approximation. Retenir cette identité vaut de l'or en examen, parce qu'elle permet de retrouver à la fois $f_{0}$ et $u$ à partir de deux mesures seulement, sans jamais avoir eu accès à la source au repos.

a) Éloignement : $f'=1{,}00\times\sqrt{\dfrac{1-0{,}600}{1+0{,}600}}=\sqrt{\dfrac{0{,}400}{1{,}600}}=\sqrt{0{,}250}=0{,}500$ GHz. Vérification de sens : elle s'éloigne, donc décalage vers le bas, et $0{,}500<1{,}00$. Rapprochement : le radical se retourne, $f'=\sqrt{4{,}00}=2{,}00$ GHz. Le produit vaut $0{,}500\times 2{,}00=1{,}00=f_{0}^{2}$, ce qui n'est pas un hasard : les deux facteurs sont inverses l'un de l'autre, conséquence directe du fait que renverser le sens du mouvement revient à changer $\beta$ en $-\beta$. Notez au passage l'ampleur : à $0{,}6\,c$ la fréquence est divisée ou multipliée par deux, là où l'ambulance de l'exercice 1 jouait sur huit pour cent.

b) $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}360}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}640}}=\dfrac{1}{0{,}800}=1{,}25$, donc $f'=\dfrac{1{,}00}{1{,}25}=0{,}800$ GHz. Et c'est là que la lumière se sépare vraiment du son : en acoustique, au point le plus proche, la composante radiale est nulle et l'observateur entend EXACTEMENT $f_{0}$, comme l'exercice 4 l'a établi. Ici il reçoit $0{,}800$ GHz, soit un décalage vers le rouge de vingt pour cent alors que la sonde ne s'éloigne ni ne se rapproche à cet instant. Ce décalage transversal n'a aucun équivalent classique : il ne vient pas de la géométrie des fronts d'onde mais de la DILATATION DU TEMPS, l'horloge de la sonde battant plus lentement vue de la Terre. C'est d'ailleurs l'une des mesures qui ont confirmé la relativité restreinte.

c) Pour $\beta$ petit, $\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}\approx(1-\tfrac{\beta}{2})(1-\tfrac{\beta}{2})\approx 1-\beta$, et comme $\lambda$ varie en sens inverse de $f$, $\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}\approx\beta=\dfrac{v}{c}$. Ici $\beta=\dfrac{30{,}0}{3{,}00\times 10^{5}}=1{,}00\times 10^{-4}$, donc $\Delta\lambda=500{,}0\times 1{,}00\times 10^{-4}=0{,}0500$ nm. Un cinquantième de nanomètre : c'est minuscule, et c'est pourtant de cette mesure que sortent toutes les vitesses radiales d'étoiles et la détection des exoplanètes. La série sur la physique quantique de ce même cours applique exactement cette formule au décalage vers le rouge d'une galaxie et à la loi de Hubble.

d) Parce que l'asymétrie acoustique venait entièrement de l'existence d'un milieu. L'air fournit un référentiel privilégié, et il y a donc une différence physique réelle entre bouger par rapport à l'air et rester immobile dedans : dans un cas on fabrique une longueur d'onde différente, dans l'autre on rencontre les fronts plus vite. Pour la lumière, il n'y a pas d'éther, aucune expérience ne distingue une source qui avance d'un observateur qui recule, et le principe de relativité interdit même qu'une telle distinction existe. Il ne reste donc qu'une seule grandeur, la vitesse relative, et une seule formule. Corollaire pratique pour l'examen : dès qu'un énoncé parle de lumière, d'onde radar ou d'onde radio, cessez de chercher qui bouge par rapport à quoi et ne retenez que la vitesse d'approche ou d'éloignement.

a) Faux, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. La vitesse du son ne dépend que du milieu, essentiellement de sa nature et de sa température : $343$ m/s dans l'air à $20$ °C, quoi que fasse la source. Une fois le front lâché, il n'emporte aucune mémoire du mouvement de son émetteur. Ce qui est comprimé, c'est la LONGUEUR D'ONDE, parce que la source a avancé entre deux émissions successives. Énoncé correct : la vitesse du son est inchangée, la longueur d'onde devant la source est raccourcie, donc $f=\dfrac{v}{\lambda}$ augmente.

b) Faux en acoustique, vrai pour la lumière. L'exercice 1 donne les chiffres : source mobile à $30$ m/s vers l'observateur, $547{,}9$ Hz ; observateur mobile à $30$ m/s vers la source, $543{,}7$ Hz. L'écart de $4{,}2$ Hz vient de ce que l'air est un milieu porteur, donc un référentiel physiquement privilégié. Énoncé correct : en acoustique les deux cas donnent des formules différentes ; c'est seulement pour la lumière, faute de milieu, que seule la vitesse relative compte.

c) Faux. Les fronts d'onde sont ceux d'une source au repos, régulièrement espacés de $\lambda_{0}=\dfrac{v}{f_{0}}$ dans tout l'espace, et ils ne se resserrent pas parce que quelqu'un se met à courir. Ce qui change, c'est la VITESSE DE RENCONTRE, qui passe de $v$ à $v+v_{o}$. Énoncé correct : la longueur d'onde est inchangée, l'observateur en croise simplement davantage par seconde, d'où $f'=f_{0}\dfrac{v+v_{o}}{v}$.

d) Faux deux fois. Si personne ne bouge, le vent ne change rien du tout à la fréquence : il allonge la longueur d'onde au sol ET accélère la propagation au sol dans le même rapport, comme l'exercice 3 l'a montré, si bien que $f$ reste $440$ Hz. Et si la source bouge, un vent portant DIMINUE le décalage au lieu de l'augmenter, $480{,}0$ Hz contre $482{,}6$ Hz sans vent, parce que la grandeur qui compte est $\dfrac{v_{s}}{v+w}$. Énoncé correct : le vent modifie l'intensité reçue et le temps de trajet, pas la hauteur du son, sauf en changeant la vitesse effective de propagation quand une des deux parties se déplace.

e) Faux, et c'est le piège d'examen le plus rentable. Au moment du passage, la vitesse du train est perpendiculaire à la ligne de visée, la composante radiale est nulle, et l'observateur entend EXACTEMENT la fréquence d'émission, $450$ Hz dans l'exercice 4. Le maximum, $566{,}7$ Hz, a été atteint bien plus tôt, quand le train était encore loin et fonçait presque droit sur l'observateur. Énoncé correct : la fréquence décroît continûment de $f_{0}\dfrac{v}{v-v_{s}}$ à $f_{0}\dfrac{v}{v+v_{s}}$, elle passe par $f_{0}$ au moment du passage, et c'est la rapidité de cette traversée, non un saut, qui donne l'impression d'une chute brutale.

a) Le facteur $2$ est celui de l'exercice 5 : les globules rouges reçoivent d'abord l'onde en observateurs mobiles, puis la renvoient en sources mobiles, et le décalage se produit donc deux fois. Numériquement, $\Delta f=\dfrac{2\times 5{,}00\times 10^{6}\times 0{,}450\times 0{,}500}{1540}=\dfrac{2{,}25\times 10^{6}}{1540}=1{,}46\times 10^{3}$ Hz. Un décalage de $1461$ Hz sur une porteuse de $5$ MHz, soit trois dix-millièmes, mais surtout une valeur qui tombe en plein dans la bande audible.

b) L'appareil ne mesure que $\Delta f$ ; il en déduit $v$ en divisant par $\dfrac{2f_{0}\cos 60{,}0°}{c}$, c'est-à-dire avec le cosinus qu'on lui a donné. Le décalage réellement produit vaut $\dfrac{2\times 5{,}00\times 10^{6}\times 0{,}450\times\cos 65{,}0°}{1540}=1235$ Hz. La vitesse affichée est donc $v_{lue}=0{,}450\times\dfrac{\cos 65{,}0°}{\cos 60{,}0°}=0{,}450\times 0{,}845=0{,}380$ m/s, soit une SOUS-ESTIMATION de $15{,}5$ pour cent. Cinq degrés d'erreur sur un angle, et un sixième du débit disparaît : c'est pourquoi l'opérateur corrige l'angle à la main sur l'image, et non pas au jugé.

c) L'erreur relative sur $v$ vaut, au premier ordre, $\tan\theta\,\Delta\theta$. À $60°$, $\tan 60°=1{,}73$ et $\Delta\theta=5°=0{,}0873$ rad, ce qui donne bien $15$ pour cent. À $45°$, $\tan 45°=1{,}00$, donc environ $8{,}7$ pour cent, et le calcul exact, $1-\dfrac{\cos 50°}{\cos 45°}$, donne $9{,}10$ pour cent : deux fois moins cher pour la même maladresse. La tentation serait donc de descendre vers $0°$, où l'erreur d'angle ne coûterait presque rien. Deux raisons l'interdisent : un vaisseau est presque parallèle à la peau, donc un faisceau à $0°$ devrait entrer par le côté et ne traverserait jamais la bonne profondeur ; et la réflexion des globules est bien plus faible en incidence rasante. À l'autre bout, $90°$ est catastrophique : $\cos 90°=0$, le décalage est NUL et l'appareil n'affiche rien, quelle que soit la vitesse du sang. Un vaisseau vu perpendiculairement paraît donc thrombosé alors qu'il coule normalement, et c'est une erreur de diagnostic bien réelle. Entre $45°$ et $60°$ on garde un signal franc et une sensibilité à l'angle encore raisonnable.

d) Parce que $1461$ Hz est une note que l'oreille entend parfaitement. En envoyant le décalage directement sur un haut-parleur, on transforme la mesure en son, et le clinicien entend le flux : la hauteur donne la vitesse, le rythme donne le cycle cardiaque, et la qualité du son trahit immédiatement les turbulences d'une sténose ou l'inversion d'un flux. Aucun affichage numérique ne donne cette information aussi vite. Ce n'est pas un gadget, c'est le mode d'emploi normal de l'appareil, et c'est une conséquence directe du choix de $5$ MHz : une porteuse plus haute donnerait un décalage hors de la bande audible, une porteuse plus basse pénétrerait mieux mais résoudrait moins finement.

a) $v=\dfrac{108}{3{,}6}=30{,}0$ m/s. $\Delta f=\dfrac{2\times 34{,}70\times 10^{9}\times 30{,}0\times\cos 15{,}0°}{3{,}00\times 10^{8}}=\dfrac{2{,}011\times 10^{12}}{3{,}00\times 10^{8}}=6{,}70\times 10^{3}$ Hz. Comme pour le débitmètre, un décalage audible sorti d'une porteuse de plusieurs dizaines de gigahertz, et le facteur $2$ est toujours celui de la réflexion sur une cible mobile.

b) L'appareil divise $\Delta f$ par $\dfrac{2f_{0}}{c}$ sans corriger d'angle, donc il affiche $v_{lue}=v\cos\theta=30{,}0\times 0{,}966=28{,}98$ m/s, soit $104{,}3$ km/h. Il annonce $3{,}7$ km/h de MOINS que la vitesse réelle. Le sens de l'écart est la seule chose à retenir ici, et elle est rassurante : comme $\cos\theta\le 1$ toujours, un radar mal aligné sous-estime forcément la vitesse. Il ne peut jamais accuser un conducteur d'aller plus vite qu'il n'allait ; au pire il le laisse passer. C'est exactement l'inverse de la situation médicale de l'exercice 9, où la même sous-estimation est un défaut qu'il faut corriger, parce qu'un débit sous-évalué peut faire manquer une sténose. Même physique, même formule, mais l'enjeu décide si on corrige l'angle ou si on l'accepte.

c) Il faut $\cos\theta=0{,}900$, donc $\theta=25{,}8°$. Les appareils sont donc installés à quelques degrés seulement de l'axe de la voie, ce qui suffit à garder l'erreur sous deux pour cent.

d) Le radar mobile ne voit que la vitesse RELATIVE d'approche, ici $30{,}0-25{,}0=5{,}00$ m/s : $\Delta f=\dfrac{2\times 34{,}70\times 10^{9}\times 5{,}00}{3{,}00\times 10^{8}}=1{,}16\times 10^{3}$ Hz, six fois plus petit qu'au a) alors que la voiture roule à la même vitesse. Pour remonter à $30{,}0$ m/s, l'appareil a besoin de sa propre vitesse par rapport au sol, et il se la donne lui-même par une seconde mesure Doppler, cette fois sur le RETOUR DU SOL, qui est une cible fixe : le décalage du sol donne $25{,}0$ m/s, la somme donne $30{,}0$ m/s. C'est la raison pour laquelle un radar embarqué affiche toujours deux nombres, la vitesse patrouille et la vitesse cible, et pourquoi il refuse de mesurer quand le retour du sol est mauvais, sur une chaussée mouillée ou enneigée. La mesure du décalage lui-même, elle, se fait par battement et non par soustraction de deux grandes fréquences, comme l'établit la série sur les incertitudes au laboratoire de ce même cours.