Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC) • Exercices corrigés de cégep à Montréal

Fiche de révision : l'effet Doppler, le choix des signes et la composante radiale (203-SN3-RE)

Q: Comment savoir s'il faut additionner ou soustraire dans la formule de l'effet Doppler ?

On décide du sens avant de poser le signe. Demandez-vous si la distance entre la source et l'observateur diminue ou augmente. Si elle diminue, la fréquence perçue doit monter, donc choisissez le signe qui rend la fraction plus grande que un. Le plus sûr reste d'orienter un axe de la source vers l'observateur et d'y porter les deux vitesses avec leur signe.

Q: Est-ce que la vitesse du son change quand la source se déplace ?

Non, jamais. La vitesse du son ne dépend que du milieu et de sa température, environ 343 mètres par seconde dans l'air à 20 degrés Celsius, devant comme derrière la source. Ce qui change, c'est la longueur d'onde : la source avance entre deux émissions, donc les fronts sont plus serrés devant elle et plus écartés derrière.

Q: Pourquoi la fréquence n'est-elle pas maximale au moment où le train passe devant moi ?

Parce que seule la composante de la vitesse dirigée vers vous décale la fréquence. Au moment du passage, le train se déplace perpendiculairement à votre ligne de visée : il ne se rapproche plus et ne s'éloigne pas encore, donc vous entendez exactement la fréquence d'émission. Le maximum a été atteint plus tôt, quand le train fonçait presque droit sur vous.

Q: Pourquoi le décalage Doppler compte-t-il double dans un radar ou une échographie ?

Parce que la cible subit l'effet deux fois. Elle reçoit d'abord l'onde en observateur mobile, donc déjà décalée, puis elle la renvoie en source mobile, ce qui décale une seconde fois la fréquence qu'elle vient de recevoir. C'est de là que vient le facteur deux de la formule, valable pour le son comme pour les ondes électromagnétiques.

Q: Le vent change-t-il la hauteur du son que j'entends ?

Non, tant que ni la source ni vous ne bougez. Le vent allonge la longueur d'onde au sol et accélère la propagation au sol dans le même rapport, si bien que la fréquence ne bouge pas. Il modifie l'intensité reçue et le temps de trajet, ce qui donne l'impression d'un son porté. Si la source bouge, un vent portant diminue même légèrement le décalage.

Q: Une erreur de quelques degrés sur l'angle a-t-elle vraiment de l'importance ?

Oui, et beaucoup plus qu'on ne le croit. L'erreur relative sur la vitesse vaut à peu près la tangente de l'angle multipliée par l'erreur exprimée en radians : cinq degrés d'erreur coûtent 15 pour cent à 60 degrés, contre 9 pour cent à 45 degrés. À 90 degrés le décalage est nul et l'appareil n'affiche plus rien du tout.

Presque toutes les pertes de points de ce chapitre sont des pertes de SIGNE, et elles viennent toutes du même geste manquant : l'élève récite une formule au lieu de décider d'abord du sens. Cette fiche installe le geste inverse, elle range les quatre cas simples dans une grille où le sens attendu précède le signe, puis elle passe aux quatre situations où la formule de base ne suffit plus, la source hors axe, le milieu en mouvement, l'écho sur une cible mobile et la lumière.

Chaque piège est chiffré, parce qu'ils ne coûtent pas la même chose : croire que la vitesse du son change quand la source avance coûte deux points et tout le raisonnement qui suit, oublier le facteur $2$ d'un écho coûte la question entière, et annoncer la fréquence maximale au moment où le train passe devant vous coûte la question favorite de l'examen.

Le fil du chapitre

Ce qui change n'est JAMAIS la vitesse de l'onde dans le milieu : c'est la longueur d'onde fabriquée devant une source qui avance, et le taux de rencontre d'un observateur qui court. Deux mécanismes différents, donc deux formules différentes, et un signe qui se choisit en décidant D'ABORD si la fréquence doit monter ou descendre.

Ce chapitre fait partie de Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Le son et les ondes stationnaires Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 SN5, Mathématiques
2Le cercle trigonométriqueSecondaire 5 SN5, Mathématiques
3Les fonctions trigonométriquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
4Transformation de l'énergieSecondaire 5 SN5
5Dynamique : lois de Newton et frottementMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
6Travail, énergie et puissanceMécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)
7MHS et ondes mécaniques
8Le son et les ondes stationnaires

Notions couvertes

Effet Doppler acoustique
Longueur d'onde reçue
Formule générale à deux mobiles
Vitesses algébriques
Composante radiale de la vitesse
Milieu en mouvement
Double décalage par réflexion
Débitmètre Doppler
Erreur de cosinus
Moyenne harmonique des fréquences extrêmes
Décalage Doppler transversal

L'essentiel

Ce qui change, et ce qui ne change jamais

• La vitesse de l'onde ne dépend QUE du milieu et de sa température : $343$ m/s dans l'air à $20$ °C, $1540$ m/s dans les tissus, $1500$ m/s dans l'eau. Une fois lâché, un front n'a plus aucune mémoire de sa source.
• Source mobile : entre deux émissions, la source avance de $v_{s}T$ , donc la longueur d'onde vaut $\lambda=\dfrac{v-v_{s}}{f_{0}}$ devant et $\dfrac{v+v_{s}}{f_{0}}$ derrière. C'est la LONGUEUR D'ONDE qui est fabriquée différente.
• Observateur mobile : les fronts sont intacts, espacés de $\lambda_{0}=\dfrac{v}{f_{0}}$ partout. C'est la VITESSE DE RENCONTRE qui passe de $v$ à $v\pm v_{o}$ .
• Conséquence directe : les deux cas ne sont PAS symétriques. À $30$ m/s dans l'air, source mobile donne $547{,}9$ Hz et observateur mobile $543{,}7$ Hz pour un même $f_{0}=500$ Hz.

Les deux fronts avancent à la même vitesse dans les deux directions ; seul leur ESPACEMENT change, trois fois plus serré devant la source qu'en arrière.

L'air n'est pas un décor neutre, c'est le milieu porteur et donc un référentiel physiquement privilégié. Toute l'asymétrie du chapitre vient de là, et elle disparaît pour la lumière, qui n'a pas de milieu.

La formule générale : un axe, deux vitesses algébriques

• Orientez un axe de la SOURCE vers l'OBSERVATEUR. Notez $v_{s}$ et $v_{o}$ les vitesses algébriques sur cet axe, positives dans le sens de l'axe.
• Alors $f'=f_{0}\,\dfrac{v-v_{o}}{v-v_{s}}$ , et il n'y a plus un seul signe à deviner : les signes sont ceux des vitesses.
• Contrôle intégré : si $v_{o}=v_{s}$ , la fraction vaut $1$ et $f'=f_{0}$ . Deux mobiles qui gardent la même distance n'entendent aucun décalage, même à $90$ km/h dans l'air.
• Les quatre cas simples du tableau ci-dessous sont cette même formule avec l'une des deux vitesses nulle. Rien à mémoriser de plus.

Écrire la phrase de sens attendu AVANT la formule rapporte souvent un demi-point de rigueur, et surtout elle rend l'erreur de signe impossible à rendre sur la copie.

Les quatre extensions de la formule de base

• Hors axe : seule la composante RADIALE compte, $f'=f_{0}\dfrac{v}{v-v_{s}\cos\theta}$ , où $\theta$ est l'angle entre la vitesse et la ligne de visée.
• Milieu en mouvement : un vent $w$ compté positivement de la source vers l'observateur remplace simplement $v$ par $v+w$ dans la formule générale.
• Réflexion sur une cible mobile : la cible est d'abord observateur, puis source. Le décalage compte DOUBLE, et pour des vitesses faibles $\Delta f\approx\dfrac{2f_{0}v\cos\theta}{c}$ .
• Lumière : aucun milieu, donc une seule formule et aucune asymétrie, $f'=f_{0}\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}$ en éloignement avec $\beta=\dfrac{v}{c}$ . Purement transversal, $f'=\dfrac{f_{0}}{\gamma}$ , alors que l'acoustique donnerait exactement $f_{0}$ .

Le décalage transversal est le seul effet du chapitre sans équivalent classique : il ne vient pas de la géométrie des fronts mais de la dilatation du temps.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les quatre cas simples : le sens décide du signe

Se lit de gauche à droite, jamais de droite à gauche : on lit la colonne du milieu, on la dit à voix haute, et seulement ensuite on recopie la formule. Une case rouge signale une ligne qui n'existe pas et qu'il faut remplacer par une vraie question.

Qui bouge, par rapport à l'air	La fréquence doit	La formule, signe compris
Source vers vous	monter	$f'=f_{0}\dfrac{v}{v-v_{s}}$
Exemple : $500\times\dfrac{343}{343-30}=547{,}9$ Hz
Source qui fuit	descendre	$f'=f_{0}\dfrac{v}{v+v_{s}}$
Exemple : $500\times\dfrac{343}{373}=459{,}8$ Hz
Vous vers la source	monter	$f'=f_{0}\dfrac{v+v_{o}}{v}$
Exemple : $500\times\dfrac{373}{343}=543{,}7$ Hz, et non $547{,}9$ Hz
Vous qui fuyez	descendre	$f'=f_{0}\dfrac{v-v_{o}}{v}$
Exemple : $500\times\dfrac{313}{343}=456{,}3$ Hz
Vitesse RELATIVE de $30$ m/s	monter	ne décide de rien règle inexistante
Exemple : même $30$ m/s, deux réponses : $547{,}9$ Hz si c'est la source qui bouge, $543{,}7$ Hz si c'est vous. Ce qu'il faut faire : Demander QUI bouge par rapport à l'air, puis prendre l'une des quatre lignes au-dessus.

En acoustique, la vitesse relative ne suffit jamais. Elle suffit pour la lumière, et seulement pour elle, faute de milieu porteur.

Quand la formule de base ne suffit plus

Trois mots de l'énoncé déclenchent chacun une modification, et une seule. On les repère avant de calculer.

Ce que dit l'énoncé	Le geste	La formule modifiée
un vent $w$	remplacer $v$ par $v+w$	$f'=f_{0}\dfrac{(v+w)-v_{o}}{(v+w)-v_{s}}$
Exemple : vent de $20$ m/s, source à $30$ m/s : $440\times\dfrac{360}{330}=480{,}0$ Hz, contre $482{,}6$ Hz sans vent.
une distance à la voie	projeter, $v_{s}\cos\theta$	$f'=f_{0}\dfrac{v}{v-v_{s}\cos\theta}$
Exemple : à $45°$ , $70{,}0\times 0{,}707=49{,}5$ m/s : $450\times\dfrac{340}{290{,}5}=526{,}7$ Hz.
un écho, un retour	appliquer DEUX fois	$\Delta f\approx\dfrac{2f_{0}v\cos\theta}{c}$
Exemple : $5{,}00$ MHz, sang à $0{,}450$ m/s sous $60{,}0°$ dans $1540$ m/s : $\Delta f=1461$ Hz.
de la lumière	une seule formule	$f'=f_{0}\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}$
Exemple : $\beta=0{,}600$ en éloignement : $1{,}00$ GHz devient $0{,}500$ GHz.

Les modifications se cumulent sans interférer : un écho hors axe dans un milieu en mouvement porte les trois à la fois.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Poser les signes de tête, sans avoir décidé du sens

la moitié des points de la question, et cela se reproduit à chaque question du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux trains se rapprochent, $f'=440\times\dfrac{340-15}{340+25}=391{,}8$ Hz. »

Ce qu'il faut écrire

« Ils se rapprochent, donc $f'$ doit être SUPÉRIEURE à $440$ Hz. Axe de la source vers l'observateur : $v_{s}=+25{,}0$ m/s, $v_{o}=-15{,}0$ m/s, donc $f'=440\times\dfrac{340+15}{340-25}=495{,}9$ Hz. »

Pourquoi : Une fraction retournée donne un résultat qui a la bonne taille et la bonne allure : $391{,}8$ et $495{,}9$ encadrent $440$ , et seule la position par rapport à $440$ les distingue. Le contrôle de sens est la seule chose qui les sépare, et il prend deux secondes.

2. Croire que la vitesse du son change quand la source avance

2 points, et tout le raisonnement qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La locomotive avance à $30$ m/s, donc devant elle le son se propage à $343+30=373$ m/s : voilà pourquoi le sifflet est plus aigu. »

Ce qu'il faut écrire

« La vitesse du son ne dépend que de l'air et de sa température, $343$ m/s devant comme derrière. C'est la longueur d'onde qui vaut $\dfrac{343-30}{500}=0{,}626$ m au lieu de $0{,}686$ m, d'où $f=\dfrac{343}{0{,}626}=547{,}9$ Hz. »

Pourquoi : C'est l'erreur de modèle du chapitre : elle donne parfois le bon ordre de grandeur, et elle rend impossible toute la suite, le vent, la composante radiale et l'écho reposant sur le fait que $v$ est une propriété du MILIEU.

3. Traiter source mobile et observateur mobile comme symétriques

3 points, et la seule idée du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Seule la vitesse relative compte, $30$ m/s dans les deux cas, donc $547{,}9$ Hz que ce soit la source ou moi qui bouge. »

Ce qu'il faut écrire

« En acoustique les deux formules sont différentes : source mobile $500\times\dfrac{343}{313}=547{,}9$ Hz, observateur mobile $500\times\dfrac{373}{343}=543{,}7$ Hz. L'écart de $4{,}2$ Hz vient de ce que l'air est le milieu porteur. »

Pourquoi : Le mécanisme n'est pas le même : d'un côté la longueur d'onde est fabriquée plus courte, de l'autre elle est intacte et c'est la vitesse de rencontre qui monte. Deux mécanismes, deux formules, et un écart parfaitement audible.

4. Prendre la vitesse totale quand la source ne va pas droit sur vous

toute la question, et c'est la question favorite de l'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au moment où le train passe devant moi, j'entends le maximum, $450\times\dfrac{340}{340-70}=566{,}7$ Hz. »

Ce qu'il faut écrire

« Au moment du passage, la vitesse est perpendiculaire à la ligne de visée : $\cos\theta=0$ , $v_{r}=0$ et j'entends EXACTEMENT $450$ Hz. Le maximum $566{,}7$ Hz a été atteint bien avant, quand le train était encore loin et fonçait presque droit sur moi. »

La fréquence vaut déjà

538{,}7

Hz sous

37°

, puis exactement

450

Hz au passage, où l'angle droit annule la composante radiale, puis

386{,}4

Hz.

Pourquoi : La distance passe par un minimum au moment du passage, donc sa dérivée s'annule : à cet instant le train ne se rapproche plus et ne s'éloigne pas encore. L'extremum de distance et l'extremum de fréquence ne coïncident jamais.

5. Oublier que le décalage compte DOUBLE sur un écho

un facteur 2, donc toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La chauve-souris se rapproche du papillon à $5{,}00$ m/s, donc l'écho revient à $42\,000\times\dfrac{340}{335}=42\,627$ Hz, soit $627$ Hz de décalage. »

Ce qu'il faut écrire

« La cible subit le Doppler deux fois, une fois en recevant comme observateur mobile, une fois en réémettant comme source mobile : $f_{1}=42\,632$ Hz puis $f_{2}=43\,254$ Hz, soit $1254$ Hz de décalage, exactement le double. »

Pourquoi : L'erreur est invisible à la relecture, le résultat ayant la bonne taille et le bon signe. Le mot déclencheur est dans l'énoncé : écho, retour, radar, sonar, échographie, chauve-souris. Dès qu'il y a réflexion sur une cible mobile, le facteur $2$ est là.

6. Croire qu'un vent portant rend le son plus aigu

3 points sur la question de discussion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le vent porte le son de la sirène vers moi, donc la fréquence perçue monte. »

Ce qu'il faut écrire

« Personne ne bouge : le vent allonge la longueur d'onde au sol ET accélère la propagation au sol dans le MÊME rapport, donc $\dfrac{360}{0{,}818}=440$ Hz, inchangée. Et si la source avance, un vent portant DIMINUE le décalage, $480{,}0$ Hz contre $482{,}6$ Hz sans vent. »

Pourquoi : Le vent change le temps de trajet et l'intensité reçue, ce qui donne l'impression d'un son porté, mais pas la hauteur. Quand la source bouge, la grandeur qui décide est $\dfrac{v_{s}}{v+w}$ : un vent portant laisse moins de temps à la source pour rattraper ses propres fronts.

7. Faire la moyenne arithmétique des deux fréquences extrêmes

2 points, pour un résultat faux de $3{,}7$ Hz qui ressemble au bon

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f_{max}=1270{,}4$ Hz et $f_{min}=1137{,}0$ Hz, donc $f_{0}=\dfrac{1270{,}4+1137{,}0}{2}=1203{,}7$ Hz. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux extrêmes ne s'écartent pas symétriquement de $f_{0}$ : c'est la moyenne HARMONIQUE qui la redonne, $\dfrac{2f_{max}f_{min}}{f_{max}+f_{min}}=1200{,}0$ Hz. »

Les extrêmes tombent en bas et en haut du cercle ; aux deux points marqués d'un angle droit, les plus proche et les plus loin de

O

, on entend exactement

1200

Hz.

Pourquoi : Le dénominateur $v-u$ tire plus fort vers le haut que $v+u$ ne tire vers le bas. L'identité harmonique est exacte, sans aucune approximation, et elle permet de retrouver $f_{0}$ ET la vitesse à partir de deux mesures seulement, sans jamais accéder à la source au repos.

8. Juger négligeable une erreur de cinq degrés sur l'angle

3 points, et en clinique un diagnostic manqué

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cinq degrés sur soixante, c'est huit pour cent d'écart sur l'angle, donc moins de dix pour cent sur la vitesse : négligeable. »

Ce qu'il faut écrire

« L'erreur relative sur la vitesse vaut $\tan\theta\,\Delta\theta$ : à $60{,}0°$ elle atteint $15{,}5$ pour cent, à $45{,}0°$ seulement $9{,}1$ pour cent. À $90°$ , $\cos\theta=0$ , le décalage est NUL et l'appareil n'affiche rien du tout. »

Pourquoi : La sensibilité à l'angle est en $\tan\theta$ , donc elle explose quand on approche de $90°$ . C'est pour cela que les protocoles imposent un faisceau entre $45°$ et $60°$ et jamais perpendiculaire : un vaisseau vu de travers paraît bouché alors qu'il coule normalement.

9. Croire qu'un radar mal aligné peut sur-estimer une vitesse

2 points, et le sens de l'écart est la seule chose que la question demande

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le faisceau fait $15{,}0°$ avec la route, donc l'appareil se trompe, et il a pu m'attribuer plus que les $108$ km/h réels. »

Ce qu'il faut écrire

« L'appareil affiche $v\cos\theta$ , et $\cos\theta\le 1$ TOUJOURS : il lit $30{,}0\times 0{,}966=28{,}98$ m/s, soit $104{,}3$ km/h, donc $3{,}7$ km/h de MOINS. Un radar mal aligné sous-estime, jamais l'inverse. »

Pourquoi : Même formule qu'au débitmètre, mais l'enjeu inverse : en clinique la sous-estimation est un défaut qu'il faut corriger, sur la route elle joue en faveur du conducteur et personne ne la corrige. La physique ne décide pas, l'usage décide.

Quelle méthode choisir

Quelle formule, selon ce que l'énoncé décrit

On ne regarde pas le thème, on regarde QUI bouge et par rapport à quoi.

Si un seul mobile, sur la droite qui joint les deux → l'une des quatre lignes du tableau, choisie par le sens attendu

Exemple : sirène à $30$ m/s vers vous : $500\times\dfrac{343}{313}=547{,}9$ Hz

vérifier que la source bouge par rapport à l'AIR, pas par rapport à vous
Si les deux bougent → axe orienté de la source vers l'observateur, puis $f'=f_{0}\dfrac{v-v_{o}}{v-v_{s}}$

Exemple : deux trains face à face, $495{,}9$ Hz

les signes sont ceux des vitesses, il n'y a plus de $\pm$ à choisir
Si l'énoncé donne une distance à la voie, un angle ou un mouvement circulaire → ne garder que la composante radiale, $v_{s}\cos\theta$

Exemple : train à $60$ m de la voie, vu sous $45°$ : $526{,}7$ Hz

au point le plus proche, $\cos\theta=0$ et on entend exactement $f_{0}$
Si l'énoncé parle de vent, de courant d'air ou d'un milieu qui dérive → remplacer $v$ par $v+w$ dans la formule générale, $w$ compté de la source vers l'observateur

Exemple : $440\times\dfrac{360}{330}=480{,}0$ Hz

si personne ne bouge, le vent ne change AUCUNE fréquence
Si le mot écho, retour, radar, sonar ou échographie apparaît → appliquer la formule deux fois, ou $\Delta f\approx\dfrac{2f_{0}v\cos\theta}{c}$

Exemple : $5{,}00$ MHz sur du sang à $0{,}450$ m/s sous $60{,}0°$ : $1461$ Hz

la cible est d'abord observateur mobile, puis source mobile
Si il s'agit de lumière, d'onde radio ou d'une raie spectrale → une seule formule, $f'=f_{0}\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}$ , et seule la vitesse relative compte

Exemple : $\beta=0{,}600$ en éloignement : $1{,}00$ GHz donne $0{,}500$ GHz

cessez de chercher qui bouge par rapport à quoi, il n'y a pas de milieu

Si aucune branche ne s'applique, c'est presque toujours que l'énoncé décrit un mouvement transversal : en acoustique la réponse est alors $f_{0}$ tel quel, et en relativité c'est $\dfrac{f_{0}}{\gamma}$ .

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un calcul Doppler qui ne perd pas le point de signe

Quand l'utiliser : Dès qu'un énoncé donne une fréquence d'émission et au moins une vitesse.

1 Annoncer le sens attendu en une phrase, AVANT d'écrire la moindre formule : la distance entre les deux diminue, donc la fréquence perçue doit être plus haute.
2 Orienter un axe de la source vers l'observateur et écrire les deux vitesses algébriques avec leur signe sur cet axe, en disant à chaque fois pourquoi le signe est celui-là.
3 Poser la formule générale littérale $f'=f_{0}\dfrac{v-v_{o}}{v-v_{s}}$ , puis substituer avec les unités.
4 Donner le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs et son unité.
5 Confronter au sens annoncé à l'étape 1, et l'écrire : c'est la seule ligne qui prouve au correcteur que le signe n'est pas un hasard.

Phrase de conclusion

« Les deux trains se rapprochent, donc la fréquence perçue doit être supérieure à $440$ Hz. En orientant l'axe de la source vers l'observateur, $v_{s}=+25{,}0$ m/s et $v_{o}=-15{,}0$ m/s, d'où $f'=f_{0}\dfrac{v-v_{o}}{v-v_{s}}=440\times\dfrac{340+15}{340-25}=495{,}9$ Hz, bien supérieure à $440$ Hz comme attendu. »

Le piège : Sauter l'étape 1 et la remplacer par un commentaire après coup. Un sens annoncé APRÈS le calcul ne vaut rien : il se contente de décrire le résultat obtenu, juste ou faux.

Barème : 1 point le sens annoncé, 2 points les deux vitesses algébriques justifiées, 2 points la formule et la substitution, 1 point la confrontation finale.

Une mesure de vitesse par écho, rédigée jusqu'au sens de l'erreur

Quand l'utiliser : Radar, sonar, débitmètre, échographie Doppler : tout énoncé où l'onde repart de la cible.

1 Dire explicitement que la cible subit le décalage DEUX fois, d'abord comme observateur mobile, puis comme source mobile, et en déduire le facteur $2$ .
2 Projeter la vitesse de la cible sur l'axe du faisceau, $v\cos\theta$ , en nommant l'angle sur le schéma.
3 Écrire $\Delta f=\dfrac{2f_{0}v\cos\theta}{c}$ et préciser quelle vitesse $c$ on utilise, celle du son dans le milieu traversé ou celle de la lumière.
4 Isoler la grandeur demandée et calculer, en gardant les chiffres significatifs des données.
5 Discuter le sens de l'erreur d'angle : puisque $\cos$ décroît sur $[0°;90°]$ , un angle réel plus grand que l'angle réglé fait toujours AFFICHER une vitesse trop petite.

Phrase de conclusion

« Les globules reçoivent l'onde en observateurs mobiles puis la renvoient en sources mobiles, d'où $\Delta f=\dfrac{2f_{0}v\cos\theta}{c}=\dfrac{2\times 5{,}00\times 10^{6}\times 0{,}450\times\cos 60{,}0°}{1540}=1{,}46\times 10^{3}$ Hz. »

Le piège : Écrire $c$ sans dire de quoi il s'agit. Dans un débitmètre c'est $1540$ m/s, la vitesse des ultrasons dans les tissus ; dans un radar c'est $3{,}00\times 10^{8}$ m/s. Une confusion entre les deux donne un résultat faux d'un facteur $2\times 10^{5}$ .

Barème : 2 points le facteur 2 justifié, 1 point la projection, 2 points le calcul, 1 point le sens de l'erreur d'angle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le sens, en une seconde

Relisez votre phrase d'annonce et comparez votre résultat à $f_{0}$ . Rapprochement, il doit être plus grand ; éloignement, plus petit. Aucune exception en acoustique comme en optique.

Un résultat de $391{,}8$ Hz sous une phrase qui dit « ils se rapprochent » est faux : la fraction a été retournée, il fallait $495{,}9$ Hz.
Mettre les deux vitesses égales

Dans votre formule générale, remplacez mentalement $v_{o}$ par $v_{s}$ . Elle doit rendre exactement $f_{0}$ , puisque deux mobiles qui gardent la même distance n'entendent aucun décalage.

$f_{0}\dfrac{v-v_{o}}{v-v_{s}}$ donne bien $f_{0}$ ; $f_{0}\dfrac{v+v_{o}}{v-v_{s}}$ donne $440\times\dfrac{365}{315}=509{,}8$ Hz, donc un signe est faux.
L'ordre de grandeur du décalage

Le décalage relatif vaut à peu près $\dfrac{v_{s}}{v}$ pour un trajet simple, et le double pour un écho. Comparez-le au vôtre avant de rendre.

$30$ m/s dans $343$ m/s donne $9$ pour cent : sur $500$ Hz, on attend une cinquantaine de hertz. Un décalage annoncé de $200$ Hz signale une erreur d'unité ou un facteur oublié.
Le mode de la calculatrice, et $\cos 90°$

Dès qu'un $\cos\theta$ apparaît, vérifiez le mode DEGRÉ, puis testez $\theta=90°$ dans votre expression : elle doit donner un décalage NUL, jamais un maximum.

En mode radian, $\cos 60$ vaut $-0{,}952$ et la vitesse sortirait négative : le signe absurde est le seul avertissement que vous aurez.
Le produit des deux sens, pour la lumière

Calculez la fréquence en approche et en éloignement à la même vitesse : leur produit doit valoir $f_{0}^{2}$ , les deux facteurs étant inverses l'un de l'autre.

À $\beta=0{,}600$ : $0{,}500\times 2{,}00=1{,}00=f_{0}^{2}$ avec $f_{0}=1{,}00$ GHz. Un produit différent dénonce une racine mal retournée.

L'exercice type décortiqué

Le débitmètre Doppler, du facteur 2 jusqu'au sens de l'erreur d'angle

Une sonde posée sur la peau émet des ultrasons à $f_{0}=5{,}00$ MHz vers un vaisseau sanguin où le sang circule à $v=0{,}450$ m/s. Les ultrasons se propagent à $c=1540$ m/s dans les tissus et l'opérateur règle l'appareil sur $\theta=60{,}0°$ .

Calculez le décalage mesuré. Puis, l'angle réel étant en fait $65{,}0°$ , donnez la vitesse que l'appareil affiche et l'erreur relative commise.

Le faisceau fait l'aller ET le retour, et c'est de là que vient le facteur

2

; l'angle

\theta

se mesure entre la direction du faisceau et celle de l'écoulement, jamais entre le faisceau et la peau.

Étape 1

Sens attendu : le sang remonte le faisceau vers la sonde, donc l'écho revient PLUS HAUT que $5{,}00$ MHz et $\Delta f>0$ .

Pourquoi

C'est l'étape qui verrouille tous les signes de la suite. Ici elle rapporte peu de points directement, mais elle rend impossible la faute qui coûte le plus cher, et elle prend une ligne.

Étape 2

Compter les décalages : il y en a DEUX. Les globules reçoivent l'onde en observateurs mobiles, puis la renvoient en sources mobiles. D'où $\Delta f=\dfrac{2f_{0}v\cos\theta}{c}$ .

Pourquoi

Le facteur $2$ ne se devine pas dans la formule, il se justifie par le mécanisme. Un correcteur donne les points à la phrase qui nomme les deux rôles successifs de la cible, pas au $2$ recopié.

Étape 3

Projeter la vitesse du sang sur le faisceau : $v\cos 60{,}0°=0{,}450\times 0{,}500=0{,}225$ m/s.

Pourquoi

Seule la composante le long du faisceau rapproche ou éloigne la cible de la sonde. C'est la même projection qu'au train qui passe à côté, et elle se lit sur la figure, pas dans la formule.

Étape 4

$\Delta f=\dfrac{2\times 5{,}00\times 10^{6}\times 0{,}225}{1540}=\dfrac{2{,}25\times 10^{6}}{1540}=1{,}46\times 10^{3}$ Hz.

Pourquoi

Trois chiffres significatifs, comme les données. Le résultat tombe en pleine bande audible : c'est la raison pour laquelle ces appareils ont un haut-parleur, et cette remarque vaut souvent un point de discussion.

Étape 5

Angle réel $65{,}0°$ : l'appareil divise le décalage réellement produit par $\dfrac{2f_{0}\cos 60{,}0°}{c}$ , donc il affiche $v_{lue}=0{,}450\times\dfrac{\cos 65{,}0°}{\cos 60{,}0°}=0{,}450\times 0{,}845=0{,}380$ m/s.

Pourquoi

L'appareil ne mesure que $\Delta f$ : tout le reste est un calcul fait avec l'angle qu'on lui a donné. Écrire le rapport des deux cosinus évite de recalculer deux décalages et supprime une occasion d'erreur.

Étape 6

Vérification et conclusion : $\cos$ décroît sur $[0°;90°]$ , donc $\cos 65{,}0°<\cos 60{,}0°$ et la vitesse affichée DOIT être plus petite que la vraie. Erreur relative $\dfrac{0{,}450-0{,}380}{0{,}450}=15{,}5$ pour cent.

Pourquoi

Le sens de l'erreur est ce que la question demande vraiment, et il se prédit sans calcul. La valeur confirme l'estimation $\tan 60°\times 5°$ en radians, soit $1{,}73\times 0{,}0873=15$ pour cent.

Conclusion rédigée

Le décalage vaut $1{,}46\times 10^{3}$ Hz. Avec cinq degrés d'erreur sur l'angle, l'appareil affiche $0{,}380$ m/s au lieu de $0{,}450$ m/s, soit une sous-estimation de $15{,}5$ pour cent : un sixième du débit disparaît pour cinq degrés.

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier le facteur $2$ et annoncer $730$ Hz, ou se tromper de sens sur l'erreur d'angle en croyant qu'un angle réel plus grand fait sur-estimer la vitesse.

À savoir par cœur

• Formule générale, axe orienté de la SOURCE vers l'OBSERVATEUR : $f'=f_{0}\dfrac{v-v_{o}}{v-v_{s}}$ , les signes étant ceux des vitesses.
• Le sens AVANT les signes : tout rapprochement monte la fréquence, tout éloignement la baisse, sans exception.
• La vitesse de l'onde ne dépend que du milieu : $343$ m/s dans l'air à $20$ °C, $1540$ m/s dans les tissus, $1500$ m/s dans l'eau.
• Source mobile, c'est la LONGUEUR D'ONDE qui est comprimée ; observateur mobile, c'est le TAUX DE RENCONTRE qui monte. Les deux cas ne sont PAS symétriques.
• Hors axe : seule $v_{s}\cos\theta$ compte, et au point le plus proche on entend EXACTEMENT $f_{0}$ .
• Vent $w$ compté de la source vers l'observateur : $v$ devient $v+w$ . Si personne ne bouge, le vent ne change AUCUNE fréquence.
• Écho sur une cible mobile : décalage DOUBLE, $\Delta f\approx\dfrac{2f_{0}v\cos\theta}{c}$ , et l'appareil sous-estime toujours quand l'angle est mal réglé.
• Source en rotation : $f_{0}$ est la moyenne HARMONIQUE de $f_{max}$ et $f_{min}$ , jamais l'arithmétique.
• Lumière : aucun milieu, donc $f'=f_{0}\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}$ en éloignement, et un décalage transversal $\dfrac{f_{0}}{\gamma}$ sans équivalent acoustique.

Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut additionner ou soustraire dans la formule de l'effet Doppler ?

On décide du sens avant de poser le signe. Demandez-vous si la distance entre la source et l'observateur diminue ou augmente. Si elle diminue, la fréquence perçue doit monter, donc choisissez le signe qui rend la fraction plus grande que un. Le plus sûr reste d'orienter un axe de la source vers l'observateur et d'y porter les deux vitesses avec leur signe.

Est-ce que la vitesse du son change quand la source se déplace ?

Non, jamais. La vitesse du son ne dépend que du milieu et de sa température, environ 343 mètres par seconde dans l'air à 20 degrés Celsius, devant comme derrière la source. Ce qui change, c'est la longueur d'onde : la source avance entre deux émissions, donc les fronts sont plus serrés devant elle et plus écartés derrière.

Pourquoi la fréquence n'est-elle pas maximale au moment où le train passe devant moi ?

Parce que seule la composante de la vitesse dirigée vers vous décale la fréquence. Au moment du passage, le train se déplace perpendiculairement à votre ligne de visée : il ne se rapproche plus et ne s'éloigne pas encore, donc vous entendez exactement la fréquence d'émission. Le maximum a été atteint plus tôt, quand le train fonçait presque droit sur vous.

Pourquoi le décalage Doppler compte-t-il double dans un radar ou une échographie ?

Parce que la cible subit l'effet deux fois. Elle reçoit d'abord l'onde en observateur mobile, donc déjà décalée, puis elle la renvoie en source mobile, ce qui décale une seconde fois la fréquence qu'elle vient de recevoir. C'est de là que vient le facteur deux de la formule, valable pour le son comme pour les ondes électromagnétiques.

Le vent change-t-il la hauteur du son que j'entends ?

Non, tant que ni la source ni vous ne bougez. Le vent allonge la longueur d'onde au sol et accélère la propagation au sol dans le même rapport, si bien que la fréquence ne bouge pas. Il modifie l'intensité reçue et le temps de trajet, ce qui donne l'impression d'un son porté. Si la source bouge, un vent portant diminue même légèrement le décalage.

Une erreur de quelques degrés sur l'angle a-t-elle vraiment de l'importance ?

Oui, et beaucoup plus qu'on ne le croit. L'erreur relative sur la vitesse vaut à peu près la tangente de l'angle multipliée par l'erreur exprimée en radians : cinq degrés d'erreur coûtent 15 pour cent à 60 degrés, contre 9 pour cent à 45 degrés. À 90 degrés le décalage est nul et l'appareil n'affiche plus rien du tout.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'effet Doppler : source mobile, observateur mobile et composante radiale

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
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