Calculs d'ingénierie CHE0501 : fiche de révision

Le fil du chapitre

Une unité se traite comme un nombre : on l'écrit, on la multiplie par un facteur égal à 1, au carré ou au cube s'il le faut, et on la simplifie ; et un résultat ne dit jamais plus que la donnée la moins précise. Presque toutes les pertes de points du module viennent d'une unité qu'on n'a pas écrite ou d'un chiffre qu'on n'avait pas le droit de garder.

Notions couvertes

Analyse dimensionnelle
Unités SI et unités impériales
Facteur de conversion
Masse volumique et densité
Échelles de température
Incertitude de lecture
Chiffres significatifs
Règles d'arrondi
Propriétés intensives et extensives
Propriétés physiques et chimiques
Mélanges homogènes et hétérogènes

L'essentiel

Un facteur de conversion vaut 1, et il porte ses unités

• $\dfrac{453{,}593\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{lbm}}=1$ : multiplier par ce facteur ne change pas la grandeur, seulement son unité.
• On place la fraction pour que l'unité à faire disparaître soit du côté OPPOSÉ : en bas si elle est en haut dans la donnée, en haut si elle est en bas.
• Une unité au carré ou au cube demande le facteur au carré ou au cube : $\left(\dfrac{30{,}48\ \mathrm{cm}}{1\ \mathrm{pi}}\right)^{3}=28\,317\ \mathrm{cm^{3}/pi^{3}}$ .
• Un prix, un débit, une consommation, une masse volumique sont aussi des facteurs : $\dfrac{1{,}24\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{cm^{3}}}$ se retourne au besoin.
• Densité : $d=\dfrac{\rho}{\rho_{eau}}$ , sans unité ; une densité de $1{,}24$ donne $\rho=1{,}24\ \mathrm{g/cm^{3}}$ .

Un carré de 1 pi de côté contient 12 rangées de 12 carrés de 1 po :

1\ \mathrm{pi^{2}}=144\ \mathrm{po^{2}}

. Sans le carré du facteur, on n'en compte qu'une rangée.

Au contrôle, l'analyse dimensionnelle est EXIGÉE : un résultat juste sans les facteurs écrits perd une partie des points.

Ce que dit un nombre mesuré

• Instrument à graduations : incertitude = moitié de la plus petite graduation ; la lecture s'écrit jusqu'à la décimale de l'incertitude.
• Instrument numérique : c'est la fiche technique (précision, linéarité) qui dit jusqu'où le chiffre affiché est fiable, pas l'afficheur.
• Chiffres significatifs : on compte depuis le premier chiffre non nul ; les zéros de fin après la virgule comptent.
• Somme et différence : la décimale la moins précise. Produit et quotient : le plus petit nombre de CS.
• Opération mixte : la règle de chaque étape, les chiffres de la calculatrice gardés, un seul arrondi à la fin.
• Nombres exacts (définitions comme $1\ \mathrm{pi}=12\ \mathrm{po}$ , le $273{,}15$ , le $1{,}8$ , les comptages) : ils ne limitent rien.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier de mettre le facteur au cube

toute la conversion, et la suite du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $6{,}00\ \mathrm{po^{3}}\times\dfrac{2{,}54\ \mathrm{cm}}{1\ \mathrm{po}}=15{,}2\ \mathrm{cm^{3}}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $6{,}00\ \mathrm{po^{3}}\times\left(\dfrac{2{,}54\ \mathrm{cm}}{1\ \mathrm{po}}\right)^{3}=98{,}3\ \mathrm{cm^{3}}$ »

Pourquoi : Il reste des $\mathrm{po^{2}\cdot cm}$ dans le résultat faux : écrire les unités jusqu'au bout montre l'erreur avant tout calcul.

2. Arrondir un résultat intermédiaire

0,5 à 1 point : le dernier chiffre est faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{52{,}37+0{,}418}{3{,}14\times 2{,}6}=\dfrac{52{,}79}{8{,}2}=6{,}4$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{52{,}788}{8{,}164}=6{,}466$ , limité à 2 CS par $2{,}6$ : $6{,}5$ . »

Pourquoi : Les règles disent COMBIEN de chiffres garder à chaque étape ; l'arrondi lui-même se fait une seule fois, à la fin, sur la valeur de la calculatrice.

3. Recopier tous les chiffres de l'afficheur

0,5 point par lecture

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $m=25{,}384\ \mathrm{g}$ », sur une balance de résolution $0{,}001\ \mathrm{g}$ et de précision $\pm 0{,}01\ \mathrm{g}$ .

Ce qu'il faut écrire

« $m=25{,}38\pm 0{,}01\ \mathrm{g}$ , 4 CS : la fiche technique ne garantit pas le millième. »

Pourquoi : La résolution est ce que l'écran affiche ; la précision est ce que le fabricant garantit. Un chiffre n'est significatif que s'il est garanti.

4. Ajouter 32 à un écart de température

toute la question, et souvent la suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La température monte de $15{,}0\ ^{\circ}\mathrm{C}$ , soit $1{,}8\times 15{,}0+32=59{,}0\ ^{\circ}\mathrm{F}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un écart de $15{,}0\ ^{\circ}\mathrm{C}$ vaut $15{,}0\ \mathrm{K}$ et $1{,}8\times 15{,}0=27{,}0\ ^{\circ}\mathrm{F}$ . »

De 10 à 25 °C, l'écart vaut 15,0 °C sur une échelle et 27,0 °F (de 50 à 77) sur l'autre ; 59 °F est le point où il fait 15 °C, pas un écart.

Pourquoi : Le 32 et le 273,15 déplacent le ZÉRO des échelles ; ils s'annulent dans une différence. Seul le rapport des tailles de degré, 1,8, reste. Même règle pour une incertitude.

5. Lire le bord du ménisque, ou la graduation entière

0,5 point sur la lecture et 0,5 sur l'incertitude

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V=23\pm 1\ \mathrm{mL}$ » sur une éprouvette graduée au millilitre.

Ce qu'il faut écrire

« $V=23{,}0\pm 0{,}5\ \mathrm{mL}$ , lu au bas du ménisque, l'œil à sa hauteur. »

On lit au bas du ménisque, ligne verte :

23{,}0\ \mathrm{mL}

. Le bord relevé contre la paroi, ligne rouge, donnerait trop.

Pourquoi : L'incertitude est la MOITIÉ de la graduation, et la lecture s'écrit jusqu'à sa décimale. Le bord relevé contre la paroi surestime le volume.

6. Donner une unité à la densité

1 point dans un vrai ou faux, et une analyse dimensionnelle bancale

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La densité de l'éthanol vaut $0{,}789\ \mathrm{g/mL}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Densité $0{,}789$ , sans unité ; masse volumique $0{,}789\ \mathrm{g/mL}=789\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . »

Pourquoi : La densité est un rapport de deux masses volumiques : ses unités se simplifient. C'est la masse volumique qui entre dans l'analyse dimensionnelle.

7. Confondre livre-masse et livre-force

un facteur 32 sur la réponse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1\ \mathrm{lbf}=1\ \mathrm{lbm\cdot pi/s^{2}}$ , comme $1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\cdot m/s^{2}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $1\ \mathrm{lbf}=32{,}174\ \mathrm{lbm\cdot pi/s^{2}}=4{,}4482\ \mathrm{N}$ : une masse de $50{,}0\ \mathrm{lbm}$ pèse $50{,}0\ \mathrm{lbf}$ , soit $222\ \mathrm{N}$ . »

Pourquoi : La livre-force est définie comme le poids d'une livre-masse, accélérée par g = 32,174 pi/s². Le système impérial a deux livres ; le SI n'a qu'un kilogramme.

8. Garder trop de chiffres dans une différence en notation scientifique

0,5 à 1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $4{,}7\times 10^{-2}-3{,}82\times 10^{-3}=4{,}318\times 10^{-2}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}047-0{,}00382=0{,}043$ : le premier terme s'arrête au millième, donc $4{,}3\times 10^{-2}$ . »

Pourquoi : Dans une somme, on compare la position de la dernière décimale ; il faut donc écrire les deux termes avec le même exposant, ou en décimal, avant de décider.

Quelle méthode choisir

Quelle règle de chiffres significatifs appliquer

Regardez l'opération que vous venez de faire, pas le nombre de chiffres des données.

Si une somme ou une différence → le résultat s'arrête à la décimale la moins précise

Exemple : $8{,}31+120{,}6=128{,}9$
Si un produit ou un quotient → autant de CS que la donnée qui en a le moins

Exemple : $2{,}50\times 3{,}14159=7{,}85$
Si une opération mixte → la règle de chaque étape, un seul arrondi à la fin

Exemple : $\frac{52{,}37+0{,}418}{3{,}14\times 2{,}6}=6{,}5$
Si une conversion °C vers K → une somme : on garde les décimales de la température

Exemple : $21{,}4+273{,}15=294{,}6\ \mathrm{K}$
Si un nombre exact entre dans le calcul → il ne limite rien

Exemple : $3{,}2\ \mathrm{pi}\times 12\ \mathrm{po/pi}=38\ \mathrm{po}$

Une donnée sans indication, comme « 500 m », est ambiguë : en notation scientifique, $5{,}00\times 10^{2}$ m dit qu'elle a 3 CS.

Quelle incertitude donner à une lecture

Regardez l'instrument et ce que l'énoncé fournit.

Si instrument à graduations (cadran, éprouvette, thermomètre) → la moitié de la plus petite graduation

Exemple : graduation de $2\ \mathrm{psi}$ : $\pm 1\ \mathrm{psi}$
Si instrument numérique avec fiche technique → l'incertitude de la fiche, et la lecture arrondie à sa décimale

Exemple : $25{,}384\ \mathrm{g}$ , précision $\pm 0{,}01$ : $25{,}38\pm 0{,}01\ \mathrm{g}$
Si instrument numérique sans fiche → une unité du dernier chiffre affiché

Exemple : $7{,}46$ affiché : $\pm 0{,}01$
Si deux échelles sur un même cadran → convertir les deux incertitudes dans la même unité, puis comparer

Exemple : $\pm 0{,}5\ ^{\circ}\mathrm{C}=\pm 0{,}9\ ^{\circ}\mathrm{F}$ , meilleur que $\pm 1\ ^{\circ}\mathrm{F}$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une conversion composée au format du contrôle

Quand l'utiliser : « En utilisant l'analyse dimensionnelle, convertissez... » ou tout problème de coût, de temps ou de masse en unités mixtes.

1 Écrire la donnée avec son unité complète, numérateur et dénominateur séparés.
2 Poser un facteur par unité à changer, en fraction, l'unité à faire disparaître du côté opposé ; mettre au carré ou au cube s'il le faut.
3 Barrer les unités qui se simplifient et vérifier qu'il ne reste que l'unité demandée.
4 Calculer d'un seul trait à la calculatrice, puis arrondir au nombre de CS de la donnée la moins précise (les facteurs de définition sont exacts).

Phrase de conclusion

« $8{,}6\times 10^{2}\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^{2}\cdot h}}\times\frac{1000\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{kg}}\times\frac{1\ \mathrm{lbm}}{453{,}593\ \mathrm{g}}\times\left(\frac{0{,}3048\ \mathrm{m}}{1\ \mathrm{pi}}\right)^{2}\times\frac{1\ \mathrm{h}}{60\ \mathrm{min}}=2{,}9\ \mathrm{lbm/(pi^{2}\cdot min)}$ , 2 CS comme la donnée. »

Le piège : Donner le résultat seul. La consigne exige l'analyse dimensionnelle : sans les facteurs écrits, la réponse juste ne rapporte qu'une partie des points.

Barème : Sur 2 points, à titre indicatif : facteurs corrects 1, résultat 0,5, unités et CS 0,5.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le sens de la conversion

Passer à une unité plus GRANDE donne un nombre plus PETIT, et inversement. Un pied cube vaut 28 litres : un volume en litres est 28 fois plus grand qu'en pieds cubes.

$1\,666\ \mathrm{pi^{3}}$ ne peut pas valoir $59\ \mathrm{L}$ : on a divisé au lieu de multiplier, le bon résultat est $4{,}72\times 10^{4}\ \mathrm{L}$ .
Les unités qui restent

Après simplification, il ne doit rester que l'unité demandée. Une unité résiduelle (des $\mathrm{m\cdot pi}$ , des $\mathrm{po^{2}\cdot cm}$ ) signale un facteur oublié ou retourné.

Il reste des $\mathrm{mi^{2}/gal}$ : la consommation a été multipliée au lieu d'être retournée.
Le dernier chiffre

Comptez les CS de la donnée la moins précise et comparez au résultat écrit ; dans une somme, comparez les décimales.

Données à 3 CS et résultat $688{,}45\ \mathrm{kg}$ : il faut écrire $688\ \mathrm{kg}$ .
L'ordre de grandeur physique

Une masse volumique de solide entre 0,5 et 22 g/cm³, une bille de métal de quelques centimètres, une piscine de quelques dizaines de milliers de litres.

Une bille de platine de $300\ \mathrm{g}$ ne mesure pas $30\ \mathrm{cm}$ de diamètre : sa masse volumique serait mille fois trop faible, signe d'un facteur de volume oublié ( $1\ \mathrm{L}=1000\ \mathrm{cm^{3}}$ ).

L'exercice type décortiqué

La bobine de filament d'une imprimante 3D

Une bobine contient $2{,}20\ \mathrm{lbm}$ de filament de PLA, un plastique de densité $1{,}24$ , de diamètre $1{,}75\ \mathrm{mm}$ . Quelle longueur de filament, en mètres, la bobine contient-elle ? On donne $1\ \mathrm{lbm}=453{,}593\ \mathrm{g}$ et $\rho_{eau}=1{,}000\ \mathrm{g/cm^{3}}$ ; le filament est un cylindre, de volume $V=\pi r^{2}L$ .

La masse est donnée, le diamètre aussi : la longueur se cache dans le volume du cylindre.

Étape 1

Masse : $2{,}20\ \mathrm{lbm}\times\dfrac{453{,}593\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{lbm}}=997{,}9\ \mathrm{g}$ .

Pourquoi

On passe d'abord dans le système des données physiques (g, cm³) : la densité ne se lit qu'en g/cm³.

Étape 2

Volume : $997{,}9\ \mathrm{g}\times\dfrac{1\ \mathrm{cm^{3}}}{1{,}24\ \mathrm{g}}=804{,}8\ \mathrm{cm^{3}}$ .

Pourquoi

La densité 1,24 devient la masse volumique 1,24 g/cm³ ; on la RETOURNE pour que les grammes se simplifient.

Étape 3

Section : $r=\dfrac{1{,}75\ \mathrm{mm}}{2}\times\dfrac{1\ \mathrm{cm}}{10\ \mathrm{mm}}=0{,}0875\ \mathrm{cm}$ , $A=\pi r^{2}=0{,}02405\ \mathrm{cm^{2}}$ .

Pourquoi

Le rayon, pas le diamètre, et converti en cm AVANT de l'élever au carré : sinon le facteur 10 deviendrait 100 sans qu'on le voie.

Étape 4

Longueur : $L=\dfrac{V}{A}=\dfrac{804{,}8\ \mathrm{cm^{3}}}{0{,}02405\ \mathrm{cm^{2}}}=3{,}346\times 10^{4}\ \mathrm{cm}\times\dfrac{1\ \mathrm{m}}{100\ \mathrm{cm}}=334{,}6\ \mathrm{m}$ .

Pourquoi

Des cm³ divisés par des cm² donnent des cm : l'analyse dimensionnelle confirme qu'on a bien une longueur.

Étape 5

Chiffres significatifs : $2{,}20$ , $1{,}24$ et $1{,}75$ ont 3 CS, donc $L=335\ \mathrm{m}$ .

Pourquoi

Les valeurs de la calculatrice sont gardées jusqu'ici ; on n'arrondit qu'une fois. Ordre de grandeur : plus de trois cents mètres pour un kilo de fil fin, vraisemblable.

Conclusion rédigée

La bobine contient environ $335\ \mathrm{m}$ de filament.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $r=1{,}75\ \mathrm{mm}$ au lieu de $0{,}875\ \mathrm{mm}$ : la section est quatre fois trop grande et la longueur tombe à $83{,}7\ \mathrm{m}$ .

À savoir par cœur

• Un facteur de conversion vaut 1 ; il se met au carré ou au cube avec l'unité : $1\ \mathrm{pi^{3}}=1728\ \mathrm{po^{3}}=28{,}317\ \mathrm{L}$ .
• $1\ \mathrm{lbm}=453{,}593\ \mathrm{g}$ ; $1\ \mathrm{po}=2{,}54\ \mathrm{cm}$ ; $1\ \mathrm{pi}=0{,}3048\ \mathrm{m}$ ; $1\ \mathrm{gal\ US}=3{,}785\ \mathrm{L}$ ; $1\ \mathrm{mi}=1{,}609\ \mathrm{km}$ .
• $1\ \mathrm{lbf}=32{,}174\ \mathrm{lbm\cdot pi/s^{2}}=4{,}4482\ \mathrm{N}$ ; $1\ \mathrm{atm}=14{,}696\ \mathrm{psi}=101{,}325\ \mathrm{kPa}$ .
• $T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15$ ; $T(^{\circ}\mathrm{F})=1{,}8\,T(^{\circ}\mathrm{C})+32$ ; un ÉCART se convertit sans le 32 ni le 273,15.
• Incertitude de lecture : la MOITIÉ de la plus petite graduation ; numérique : la fiche technique.
• Somme : la décimale la moins précise. Produit : le plus petit nombre de CS. Un seul arrondi, à la fin.
• La densité n'a pas d'unité ; la masse volumique en a une.

Questions fréquentes

Comment faire une analyse dimensionnelle en chimie à Polytechnique ?

On écrit la donnée avec son unité, puis on la multiplie par des facteurs de conversion écrits en fraction, chacun égal à 1, en plaçant l'unité à faire disparaître du côté opposé. On barre les unités qui se simplifient jusqu'à ce qu'il ne reste que l'unité demandée. Une unité au carré ou au cube demande le facteur au carré ou au cube.

Comment trouver l'incertitude de lecture d'un instrument gradué ?

On repère la plus petite graduation de l'instrument et on en prend la moitié. Une éprouvette graduée au millilitre se lit à plus ou moins un demi-millilitre, et la lecture s'écrit jusqu'à la même décimale, par exemple 23,0 plus ou moins 0,5 mL. Pour un appareil numérique, on prend l'incertitude de sa fiche technique.

Combien de chiffres significatifs garder dans une addition et dans une multiplication ?

Dans une addition ou une soustraction, le résultat s'arrête à la décimale de la donnée la moins précise. Dans une multiplication ou une division, il garde autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins. Dans un calcul enchaîné, on applique la règle de chaque étape et on n'arrondit qu'une fois, à la fin.

Comment convertir un écart de température de Celsius en Fahrenheit ?

Un écart se multiplie seulement par 1,8 : une hausse de 15 degrés Celsius vaut une hausse de 27 degrés Fahrenheit et de 15 kelvins. Le 32 de la formule des températures sert à déplacer le zéro de l'échelle ; il disparaît dans une différence. Ajouter 32 à un écart est l'erreur la plus fréquente du module.

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Exercices corrigés : Les calculs d'ingénierie : unités, mesures et chiffres significatifs

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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La structure de la matière

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/che0501-calculs-ingenierie. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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8. Garder trop de chiffres dans une différence en notation scientifique

Quelle méthode choisir

Quelle règle de chiffres significatifs appliquer

Quelle incertitude donner à une lecture

La rédaction attendue

Une conversion composée au format du contrôle

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La bobine de filament d'une imprimante 3D

À savoir par cœur

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