Bac 2026 de spécialité maths, Amérique du Nord jour 2 : sujet officiel et corrigé

A.1. On traduit chaque pourcentage de l'énoncé en se demandant à quelle POPULATION il se rapporte. « $60\,\%$ du stock provient de A » porte sur tout le stock : $P(A)=0{,}6$, et comme une tomate provient soit de A soit de B, $P(B)=1-0{,}6=0{,}4$. « Parmi les tomates provenant du fournisseur A, $95\,\%$ sont commercialisables » porte sur les seules tomates de A : c'est une probabilité conditionnelle, $P_{A}(C)=0{,}95$, d'où $P_{A}(\overline{C})=1-0{,}95=0{,}05$.

Les quatre pointillés valent donc $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}4$, $P_{A}(C)=0{,}95$ et $P_{A}(\overline{C})=0{,}05$. Contrôle : les probabilités issues d'un même nœud ont pour somme $1$.

Le piège : les $91\,\%$ de tomates commercialisables ne vont sur AUCUNE branche. C'est $P(C)$, une probabilité non conditionnelle qui ne se lit pas sur une seule branche mais sur la somme de deux chemins ; elle sert à la question A.2.b. Les branches issues de $B$ restent vides dans l'arbre de l'énoncé, c'est justement ce que A.2.b calcule. L'arbre complet figure en fin de corrigé.

A.2.a. On cherche la probabilité de l'intersection $A\cap C$. Formule des probabilités composées, lue sur le chemin de l'arbre qui passe par $A$ puis par $C$ : $P(A\cap C)=P(A)\times P_{A}(C)=0{,}6\times 0{,}95=0{,}57$.

La probabilité que la tomate choisie soit commercialisable ET provienne du fournisseur A vaut $0{,}57$. Contrôle : une intersection est plus petite que chacun des deux événements, et $0{,}57\leqslant P(A)=0{,}6$, $0{,}57\leqslant P(C)=0{,}91$. Erreur fréquente : répondre $0{,}95$, qui est la probabilité d'être commercialisable SACHANT que la tomate vient de A.

A.2.b. Formule des probabilités totales : $A$ et $B$ forment une partition de l'univers (une tomate vient d'un fournisseur et d'un seul), donc $P(C)=P(A\cap C)+P(B\cap C)$.

On en tire $P(B\cap C)=P(C)-P(A\cap C)=0{,}91-0{,}57=0{,}34$. Puis, par définition d'une probabilité conditionnelle, $P_{B}(C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(B)}=\dfrac{0{,}34}{0{,}4}=0{,}85$, ce qu'il fallait démontrer.

Vérification en sens inverse : avec $P_{B}(C)=0{,}85$, la formule des probabilités totales redonne $0{,}6\times 0{,}95+0{,}4\times 0{,}85=0{,}57+0{,}34=0{,}91$. Mais ce calcul n'est qu'une vérification : on ne peut pas « démontrer » le résultat en partant de lui, c'est le raisonnement circulaire que le correcteur sanctionne. Erreur fréquente : diviser $0{,}34$ par $0{,}91$, ce qui donne $P_{C}(B)$ et non $P_{B}(C)$.

A.2.c. La tomate est non commercialisable : on sait que $\overline{C}$ est réalisé, et l'on compare les deux probabilités conditionnées par $\overline{C}$, $P_{\overline{C}}(A)$ et $P_{\overline{C}}(B)$. « Deux fois moins de chance de provenir de A que de B » se traduit par $P_{\overline{C}}(A)=\dfrac{1}{2}P_{\overline{C}}(B)$.

Numérateurs, sur les chemins de l'arbre : $P(A\cap\overline{C})=0{,}6\times 0{,}05=0{,}03$ et $P(B\cap\overline{C})=0{,}4\times 0{,}15=0{,}06$, avec $P_{B}(\overline{C})=1-0{,}85=0{,}15$. Dénominateur : $P(\overline{C})=1-0{,}91=0{,}09$, et l'on vérifie que $0{,}03+0{,}06=0{,}09$.

D'où $P_{\overline{C}}(A)=\dfrac{0{,}03}{0{,}09}=\dfrac{1}{3}$ et $P_{\overline{C}}(B)=\dfrac{0{,}06}{0{,}09}=\dfrac{2}{3}$. On a bien $P_{\overline{C}}(A)=\dfrac{1}{2}P_{\overline{C}}(B)$ : le responsable des achats a raison. Une tomate non commercialisable a deux fois moins de chance de venir de A que de B.

Remarque : le même dénominateur $P(\overline{C})$ apparaît dans les deux quotients, donc il suffit en fait de comparer $P(A\cap\overline{C})=0{,}03$ et $P(B\cap\overline{C})=0{,}06$. Le piège est de comparer $P_{A}(\overline{C})=0{,}05$ et $P_{B}(\overline{C})=0{,}15$, qui donnerait « trois fois moins » : ce sont les probabilités qu'une tomate de A, ou de B, soit abîmée, pas la provenance d'une tomate abîmée. A fournit plus de tomates, ce qui compense en partie sa meilleure qualité.

B.1.a. On reconnaît un schéma de Bernoulli : on répète $15$ fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), la même épreuve à deux issues, dont le « succès » est « la tomate n'est pas commercialisable », de probabilité $p=0{,}09$ (rappel de la partie B). $X$ compte le nombre de succès : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0{,}09$.

Erreur fréquente : prendre $p=0{,}91$. Le succès est toujours ce que la variable COMPTE, ici les tomates non commercialisables.

B.1.b. Formule de la loi binomiale : $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. Avec $k=2$ : $P(X=2)=\dbinom{15}{2}\times 0{,}09^{2}\times 0{,}91^{13}$, où $\dbinom{15}{2}=\dfrac{15\times 14}{2}=105$. Donc $P(X=2)=105\times 0{,}0081\times 0{,}91^{13}\approx 0{,}249\,6$, soit $0{,}250$ arrondi au millième.

À la calculatrice, c'est la fonction de probabilité binomiale (binomFdp, ou Binomiale FdP selon le modèle) avec les arguments $15$, $0{,}09$ et $2$. Erreur fréquente : oublier le coefficient binomial $\dbinom{15}{2}$, ce qui donne la probabilité d'UN seul ordre (deux tomates abîmées en premier, puis treize bonnes), environ $0{,}002\,4$.

B.1.c. « Au plus deux » signifie $X\leqslant 2$, c'est-à-dire $X=0$, $X=1$ ou $X=2$, trois événements incompatibles : $P(X\leqslant 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$.

$P(X=0)=0{,}91^{15}\approx 0{,}243\,0$ et $P(X=1)=15\times 0{,}09\times 0{,}91^{14}\approx 0{,}360\,5$, donc $P(X\leqslant 2)\approx 0{,}243\,0+0{,}360\,5+0{,}249\,6\approx 0{,}853$ arrondi au millième. Directement à la calculatrice : fonction de répartition binomiale (binomFRép) avec $15$, $0{,}09$ et $2$.

Piège d'arrondi : on additionne les valeurs non arrondies (ou on utilise directement la répartition), sinon les erreurs d'arrondi des trois termes peuvent décaler le millième. Autre erreur : calculer $P(X<2)$, qui oublie le cas $X=2$, environ $0{,}604$.

B.2.a. Pour une variable qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ : $E(X_{n})=np$ et $V(X_{n})=np(1-p)$. Ici $E(X_{n})=0{,}09n$ et $V(X_{n})=n\times 0{,}09\times 0{,}91=0{,}081\,9n$.

Comme $F_{n}=\dfrac{1}{n}X_{n}$, par linéarité de l'espérance, $E(F_{n})=\dfrac{1}{n}E(X_{n})=\dfrac{0{,}09n}{n}=0{,}09$. Pour la variance, $V(aX)=a^{2}V(X)$ : $V(F_{n})=\dfrac{1}{n^{2}}V(X_{n})=\dfrac{0{,}081\,9n}{n^{2}}=\dfrac{0{,}081\,9}{n}$.

Lecture : en moyenne, la fréquence observée vaut la proportion $0{,}09$ du stock, et sa dispersion diminue quand l'échantillon grandit. Erreur fréquente : écrire $V(F_{n})=\dfrac{V(X_{n})}{n}=0{,}081\,9$, en sortant $\dfrac{1}{n}$ sans le carré.

B.2.b. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à $F_{n}$, d'espérance $0{,}09$ et de variance $\dfrac{0{,}081\,9}{n}$ : pour tout réel $\delta>0$, $P\left(\left|F_{n}-0{,}09\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(F_{n})}{\delta^{2}}$.

L'intervalle $]0{,}04\,;0{,}14[$ est centré en $0{,}09$, l'espérance, et de demi-largeur $0{,}05$ : $0{,}04<F_{n}<0{,}14\iff\left|F_{n}-0{,}09\right|<0{,}05$. On prend donc $\delta=0{,}05$, d'où $\delta^{2}=0{,}002\,5$ et $P\left(\left|F_{n}-0{,}09\right|\geqslant 0{,}05\right)\leqslant\dfrac{0{,}081\,9}{0{,}002\,5\,n}=\dfrac{32{,}76}{n}$.

L'événement $\left|F_{n}-0{,}09\right|<0{,}05$ est le contraire de $\left|F_{n}-0{,}09\right|\geqslant 0{,}05$, donc $P(0{,}04<F_{n}<0{,}14)=1-P\left(\left|F_{n}-0{,}09\right|\geqslant 0{,}05\right)\geqslant 1-\dfrac{32{,}76}{n}$ : en passant à l'opposé, l'inégalité change de sens. C'est le résultat demandé.

Les deux pièges : prendre pour $\delta$ la largeur $0{,}14-0{,}04=0{,}1$ au lieu de la DEMI-largeur $0{,}05$, qui donnerait $\dfrac{8{,}19}{n}$ ; et oublier de vérifier que l'intervalle est bien centré sur l'espérance, sans quoi l'inégalité ne s'applique pas sous cette forme.

B.2.c. On applique B.2.b avec $n=500$ : $P(0{,}04<F_{500}<0{,}14)\geqslant 1-\dfrac{32{,}76}{500}=1-0{,}065\,52=0{,}934\,48$. La fréquence de tomates non commercialisables dans un échantillon de $500$ tomates est donc strictement comprise entre $0{,}04$ et $0{,}14$ avec une probabilité d'au moins $0{,}934$, environ $93\,\%$.

La fréquence observée vaut $f=\dfrac{55}{500}=0{,}11$, et $0{,}04<0{,}11<0{,}14$. Le résultat observé appartient à l'intervalle dans lequel la fréquence tombe avec une probabilité d'au moins $93\,\%$ : il est conforme à ce que le responsable pouvait attendre, sans raison de soupçonner que la proportion de tomates non commercialisables du stock ait changé.

Vérification d'ordre de grandeur : sur $500$ tomates, on attend en moyenne $500\times 0{,}09=45$ tomates non commercialisables ; $55$ s'en écarte de $10$, alors que l'intervalle tolère jusqu'à $0{,}05\times 500=25$ d'écart. Erreur fréquente : conclure « non conforme » parce que $0{,}11\neq 0{,}09$. Une fréquence d'échantillon fluctue toujours autour de la proportion ; la question est seulement de savoir si l'écart est plausible, et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev y répond.

A.1. La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ car $1+x^{2}\geqslant 1>0$, et l'on résout $\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^{2}}}=x$. On ne divise pas par $x$, qui peut être nul : on factorise. L'équation équivaut à $x\left(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}-1\right)=0$, et un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

Premier cas, $x=0$. Second cas, $\dfrac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}=1$, c'est-à-dire $\sqrt{1+x^{2}}=2$ ; les deux membres étant positifs, cela équivaut à $1+x^{2}=4$, soit $x^{2}=3$, donc $x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$.

L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=\{-\sqrt{3}\,;0\,;\sqrt{3}\}$. Vérification : $f(\sqrt{3})=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\sqrt{3}$, et $f$ est impaire, donc $f(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}$. Ces trois réels sont les points fixes de $f$, et c'est parmi eux que la partie B cherchera la limite de la suite.

Erreur fréquente : diviser les deux membres par $x$ dès la première ligne, ce qui fait perdre la solution $x=0$, ou ne garder que $x=\sqrt{3}$ en oubliant que $x^{2}=3$ a deux solutions.

A.2.a. Dérivée d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$, avec $u(x)=2x$, $u'(x)=2$ et $v(x)=\sqrt{1+x^{2}}$. La fonction $v$ est la composée de $x\mapsto 1+x^{2}$, strictement positive, par la racine carrée : $\left(\sqrt{w}\right)'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ donne $v'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$. Enfin $v(x)^{2}=1+x^{2}$.

Donc $f'(x)=\dfrac{2\sqrt{1+x^{2}}-2x\times\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}$. On multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{1+x^{2}}$ pour chasser la fraction du numérateur : $f'(x)=\dfrac{2(1+x^{2})-2x^{2}}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}=\dfrac{2}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}$, l'expression annoncée.

Vérification en un point : en $x=0$, la formule donne $f'(0)=2$, et le taux d'accroissement $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{2}{\sqrt{1+h^{2}}}$ tend bien vers $2$. Piège : oublier la dérivée de l'intérieur, $2x$, dans la dérivée de la racine, ou écrire $v^{2}=\sqrt{1+x^{2}}^{\,2}$ sans le simplifier en $1+x^{2}$.

A.2.b. Pour tout réel $x$, $1+x^{2}>0$ et $\sqrt{1+x^{2}}>0$ : le dénominateur de $f'(x)$ est strictement positif, et le numérateur vaut $2>0$. Donc $f'(x)>0$ pour tout réel $x$, et la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Cohérence : $f(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}<f(0)=0<f(\sqrt{3})=\sqrt{3}$. Le mot « strictement » n'est pas décoratif : c'est lui qui donnera l'inégalité stricte $u_{n+1}<\sqrt{3}$ dans l'hérédité de la partie B.

B.1. Raisonnement par récurrence. Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété « $1\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}<\sqrt{3}$ ».

Initialisation, $n=0$ : $u_{0}=1$ et $u_{1}=f(1)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1{,}414$. On a bien $1\leqslant 1\leqslant\sqrt{2}<\sqrt{3}$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c'est-à-dire $1\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}<\sqrt{3}$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (A.2.b) : appliquer $f$ conserve les inégalités larges et les inégalités strictes. On obtient $f(1)\leqslant f(u_{n})\leqslant f(u_{n+1})<f(\sqrt{3})$, c'est-à-dire $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}<\sqrt{3}$, puisque $f(\sqrt{3})=\sqrt{3}$ (A.1). Comme $1\leqslant\sqrt{2}$, on a $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}<\sqrt{3}$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire ; par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}<\sqrt{3}$.

Les pièges de l'hérédité : appliquer $f$ en oubliant de citer sa CROISSANCE, sans laquelle les inégalités pourraient s'inverser ; et ne pas savoir que faire de $f(1)$ et de $f(\sqrt{3})$. C'est là que servent les deux questions de la partie A : $\sqrt{3}$ est un point fixe, et $f(1)=\sqrt{2}\geqslant 1$ rétablit la borne de gauche.

B.2. D'après B.1, pour tout $n$, $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_{n})$ est croissante. Et $u_{n}<\sqrt{3}$ : elle est majorée par $\sqrt{3}$. Par le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge : $(u_{n})$ converge vers un réel $\ell$.

Pour identifier $\ell$ : la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (elle y est dérivable) et $u_{n+1}=f(u_{n})$. En passant à la limite des deux côtés, $\ell=f(\ell)$ : $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$ résolue en A.1, donc $\ell\in\{-\sqrt{3}\,;0\,;\sqrt{3}\}$. Par ailleurs, $1\leqslant u_{n}<\sqrt{3}$ pour tout $n$, et les inégalités larges passent à la limite : $1\leqslant\ell\leqslant\sqrt{3}$. La seule possibilité est $\ell=\sqrt{3}$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n}=\sqrt{3}\approx 1{,}73$. Deux pièges : conclure « la suite converge vers $\sqrt{3}$ » parce qu'elle est majorée par $\sqrt{3}$, alors qu'un majorant n'est pas forcément la limite (la suite est aussi majorée par $10$) ; et oublier la CONTINUITÉ de $f$, seule justification du passage de $u_{n+1}=f(u_{n})$ à $\ell=f(\ell)$.

B.3.a. On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. D'abord $u_{n+1}^{2}=\dfrac{4u_{n}^{2}}{1+u_{n}^{2}}$, en élevant au carré $u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}}{\sqrt{1+u_{n}^{2}}}$. Ensuite, en réduisant au même dénominateur, $3-u_{n+1}^{2}=\dfrac{3(1+u_{n}^{2})-4u_{n}^{2}}{1+u_{n}^{2}}=\dfrac{3-u_{n}^{2}}{1+u_{n}^{2}}$.

D'où $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}^{2}}{3-u_{n+1}^{2}}=\dfrac{4u_{n}^{2}}{1+u_{n}^{2}}\times\dfrac{1+u_{n}^{2}}{3-u_{n}^{2}}=\dfrac{4u_{n}^{2}}{3-u_{n}^{2}}=4v_{n}$. Les facteurs $1+u_{n}^{2}$ se simplifient, ce qui est la raison d'être de cette suite auxiliaire.

Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=4v_{n}$ : la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $4$, de premier terme $v_{0}=\dfrac{u_{0}^{2}}{3-u_{0}^{2}}=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$. Vérification numérique : $v_{1}=\dfrac{u_{1}^{2}}{3-u_{1}^{2}}=\dfrac{2}{3-2}=2=4v_{0}$. Erreur fréquente : calculer $v_{1}\div v_{0}$ et $v_{2}\div v_{1}$ et conclure ; deux quotients égaux ne démontrent rien pour tout $n$.

B.3.b. Terme général d'une suite géométrique : $v_{n}=v_{0}\times q^{n}=0{,}5\times 4^{n}$ pour tout entier naturel $n$.

On isole ensuite $u_{n}^{2}$ dans la définition de $v_{n}$. De $v_{n}=\dfrac{u_{n}^{2}}{3-u_{n}^{2}}$, on tire $v_{n}(3-u_{n}^{2})=u_{n}^{2}$, puis $3v_{n}=u_{n}^{2}+v_{n}u_{n}^{2}=u_{n}^{2}(1+v_{n})$, et comme $1+v_{n}>0$, $u_{n}^{2}=\dfrac{3v_{n}}{1+v_{n}}=\dfrac{3\times 0{,}5\times 4^{n}}{1+0{,}5\times 4^{n}}=\dfrac{1{,}5\times 4^{n}}{1+0{,}5\times 4^{n}}$.

Enfin, $u_{n}\geqslant 1>0$ d'après B.1, donc $u_{n}$ est la racine carrée POSITIVE de $u_{n}^{2}$ : $u_{n}=\sqrt{\dfrac{1{,}5\times 4^{n}}{1+0{,}5\times 4^{n}}}$. Vérification : pour $n=0$, $\sqrt{\dfrac{1{,}5}{1{,}5}}=1=u_{0}$ ; pour $n=1$, $\sqrt{\dfrac{6}{3}}=\sqrt{2}=u_{1}$. Piège : oublier de justifier le signe de $u_{n}$ avant de prendre la racine, puisque $u_{n}^{2}=a$ donne aussi $u_{n}=-\sqrt{a}$ en général.

B.3.c. Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ sous la racine : on divise numérateur et dénominateur par $4^{n}$, le terme prépondérant. $\dfrac{1{,}5\times 4^{n}}{1+0{,}5\times 4^{n}}=\dfrac{1{,}5}{4^{-n}+0{,}5}=\dfrac{1{,}5}{\left(\frac{1}{4}\right)^{n}+0{,}5}$.

Comme $-1<\dfrac{1}{4}<1$, $\lim\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}=0$, donc l'expression sous la racine tend vers $\dfrac{1{,}5}{0{,}5}=3$. La fonction racine carrée étant continue en $3$, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n}=\sqrt{3}$, le résultat de B.2 retrouvé sans le théorème de convergence monotone. Erreur fréquente : écrire « $4^{n}\to+\infty$, donc le quotient tend vers $\dfrac{+\infty}{+\infty}=1$ », une forme indéterminée traitée comme un nombre.

C.1. La variable u doit contenir le terme courant de la suite, donc au départ u = 1, c'est-à-dire $u_{0}$. À chaque tour de boucle, on ajoute à S le carré du terme courant, S = S + u**2, PUIS on passe au terme suivant par la relation de récurrence, u = 2*u/sqrt(1 + u**2). La fonction sqrt vient du module math, déjà importé en première ligne.

Suivi de l'exécution : au premier tour, S prend la valeur $u_{0}^{2}=1=S_{1}$, et u devient $u_{1}=\sqrt{2}$ ; au deuxième tour, S vaut $1+2=3=S_{2}$ ; au troisième, $3+\dfrac{8}{3}=\dfrac{17}{3}=S_{3}$, puisque $u_{2}^{2}=\dfrac{1{,}5\times 16}{1+0{,}5\times 16}=\dfrac{8}{3}$. Après $p$ tours, la liste L contient $S_{1}$, $S_{2}$, ..., $S_{p}$, les $p$ premiers termes de $(S_{n})$. Le script complété figure en fin de corrigé ; la ligne de la boucle, sans deux-points dans l'énoncé reproduit, les retrouve : for i in range(p) :.

Le piège est l'ORDRE des deux affectations : si l'on calcule u avant S, la somme commence à $u_{1}^{2}$ et la liste renvoie $u_{1}^{2}+\ldots+u_{n}^{2}$, décalée d'un rang. Autre erreur : écrire S = u**2, qui écrase la somme au lieu de l'accumuler.

C.2. Pour tout entier naturel $k$, $1\leqslant u_{k}\leqslant\sqrt{3}$. Ces trois nombres sont positifs et la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $1\leqslant u_{k}^{2}\leqslant 3$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On écrit cet encadrement pour $k=0$, $1$, ..., $n-1$, soit $n$ inégalités, et on les additionne membre à membre : $\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{ termes}}\leqslant u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+\cdots+u_{n-1}^{2}\leqslant\underbrace{3+3+\cdots+3}_{n\text{ termes}}$, c'est-à-dire $n\leqslant S_{n}\leqslant 3n$.

Vérification avec les valeurs de C.1 : $S_{3}=\dfrac{17}{3}\approx 5{,}67$ est bien entre $3$ et $9$. Piège : élever au carré sans dire que les termes sont POSITIFS (le carré n'est pas croissant sur $\mathbb{R}$), ou compter $n+1$ termes au lieu de $n$, l'indice allant de $0$ à $n-1$.

C.3. Limite de $S_{n}$, par le théorème de comparaison : $S_{n}\geqslant n$ pour tout $n\geqslant 1$ et $\lim n=+\infty$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}S_{n}=+\infty$.

Limite de $\dfrac{S_{n}}{n^{2}}$, par le théorème des gendarmes : en divisant l'encadrement de C.2 par $n^{2}>0$, $\dfrac{1}{n}\leqslant\dfrac{S_{n}}{n^{2}}\leqslant\dfrac{3}{n}$. Les deux suites qui encadrent tendent vers $0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_{n}}{n^{2}}=0$.

Lecture : la somme grandit sans limite, mais à peu près comme $n$, et pas plus vite. Comme $u_{k}^{2}$ tend vers $3$, $S_{n}$ se comporte d'ailleurs comme $3n$ pour $n$ grand. Pièges : utiliser la majoration $S_{n}\leqslant 3n$ pour la limite infinie, alors qu'un majorant qui tend vers $+\infty$ ne dit rien ; c'est le MINORANT qui conclut. Et pour la seconde limite, invoquer les gendarmes sans écrire l'encadrement divisé par $n^{2}$.

from math import *

def termes(p) :
    u = 1
    S = 0
    L = [ ]
    for i in range(p) :
        S = S + u**2
        u = 2*u/sqrt(1 + u**2)
        L.append(S)
    return L