Exercice 1 : Étude d'un lave-linge

11 points Le dipôle RC : charge, décharge et constante de temps Transferts thermiques Décrire un fluide au repos

La maitrise de la durée des différentes étapes du cycle de lavage d'un lave-linge permet de garantir un nettoyage efficace tout en préservant les vêtements. Chaque phase, lavage, rinçage, essorage, est ainsi optimisée, en fonction du type de linge, en termes de consommation d'eau, d'énergie consommée et de durabilité de la machine.

L'objectif de cet exercice est d'étudier les premières phases du fonctionnement d'un lave-linge, le remplissage de la cuve et le chauffage de l'eau, lors de tests effectués en l'absence de linge.

1. Remplissage de la cuve

Le lave-linge peut être assimilé à un tambour tournant dans une cuve de forme cubique et de côté $a$ . Pour réguler le niveau d'eau dans la cuve d'un lave-linge, un pressostat mesure la pression de l'air dans une chambre de compression cylindrique reliée au bas de la cuve : lorsque le niveau d'eau monte dans la cuve, une partie de cette eau entre dans la chambre de compression et l'air enfermé à l'intérieur est comprimé. Quand la pression atteint une valeur seuil, le pressostat envoie un signal et interrompt le remplissage.

Dans cette partie, on s'intéresse à un test de la machine : le pressostat est alors réglé pour permettre le remplissage de la moitié de la cuve.

Schéma en coupe de la cuve cubique, à pression P0, remplie d'eau jusqu'à la hauteur a/2 sous une couche d'air, avec le tambour en pointillés. Le point A est à la surface libre de l'eau de la cuve. À gauche, la chambre de compression (pression P), reliée au bas de la cuve, contient de l'eau sur une hauteur h ; le point B est à la surface de cette eau ; le pressostat est en haut de la chambre. — Figure 1. Schéma de la cuve et du pressostat d'un lave-linge

Données :
• volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $H$ : $V=\pi\cdot R^{2}\cdot H$ ;
• intensité de la pesanteur : $g=9{,}81\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}$ ;
• masse volumique de l'eau : $\rho_{\text{eau}}=1{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ;
• paramètres associés au lave-linge étudié :
◦ la cuve est un cube de côté $a=60{,}0$ cm et de volume $V_{c}=a^{3}$ ;
◦ la chambre de compression est assimilée à un cylindre de rayon $r=3{,}0$ cm ;
◦ la pression de l'air dans la cuve reste constamment égale à la pression atmosphérique $P_{0}=1{,}01\times 10^{5}$ Pa ;
◦ durant le remplissage, l'air et l'eau sont supposés à la même température $\theta_{0}=20$ °C ;
◦ le débit volumique $D_{v}$ d'arrivée d'eau dans le lave-linge vaut $12\times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}\cdot min^{-1}}$ .
Q1. Exprimer la durée $\Delta t_{1}$ permettant de remplir à moitié la cuve en fonction du débit volumique de l'eau $D_{v}$ et de la longueur $a$ du côté du cube. Calculer numériquement $\Delta t_{1}$ , exprimé en minutes.
La quantité d'air présente dans la chambre de compression reste constante, ainsi que sa température. Avant le remplissage, l'air occupe un volume $V_{0}=0{,}50$ L et la pression dans le pressostat est telle que $P=P_{0}$ . Après le remplissage, la hauteur d'eau dans la chambre de compression est $h=5{,}0$ mm et la pression dans le pressostat est telle que $P=P_{2}$ . On considère que l'air se comporte comme un gaz parfait.
Q2. Justifier que la pression augmente dans la chambre de compression lors du remplissage.
Q3. Exprimer le volume $V_{2}$ occupé par l'air dans la chambre de compression à l'arrêt du remplissage, en fonction de $V_{0}$ , $r$ et $h$ .
Q4. Exprimer $P_{2}$ en fonction des données, puis montrer que la surpression $\Delta P=P_{2}-P_{0}$ entre la pression qui a provoqué l'arrêt du remplissage et la pression initiale, peut s'écrire : $\Delta P=P_{0}\times\dfrac{\pi\cdot r^{2}\cdot h}{V_{0}-\pi\cdot r^{2}\cdot h}$
On rappelle que, dans les conditions du test, la hauteur d'eau dans la chambre de compression est $h=5{,}0$ mm.
Q5. Calculer la valeur de la surpression $\Delta P$ lors du test dans lequel le remplissage s'arrête lorsque la machine est à moitié remplie. Commenter la valeur obtenue par rapport à celle d'un cycle normal hors test, pour lequel $\Delta P=150$ Pa.
On rappelle la loi fondamentale de la statique des fluides : dans un fluide incompressible au repos de masse volumique $\rho$ , la pression $P$ à l'altitude $z$ , $P(z)$ , vérifie la relation $P(z)+\rho\cdot g\cdot z=\text{constante}$ .
Q6. Retrouver la valeur de la surpression $\Delta P$ lors du test à l'aide de la loi fondamentale de la statique des fluides appliquée entre les points A et B de la figure 1.
Lorsque la machine n'est plus en phase de test mais en fonctionnement normal et sans linge, la surpression $\Delta P$ vaut 150 Pa. On considère alors que la hauteur d'eau dans la chambre de compression, $h$ , est négligeable devant la hauteur d'eau dans la cuve.
Q7. Déterminer le volume d'eau contenu dans la cuve en fonctionnement normal et sans linge.
2. Durée de temporisation
La minuterie d'un lave-linge utilise des circuits électroniques pour activer et désactiver les différentes fonctions du lave-linge. Il est nécessaire d'ajouter une durée de temporisation entre deux étapes d'un cycle pour laisser le temps à la machine de se stabiliser, éviter les chocs mécaniques et garantir que chaque phase démarre dans de bonnes conditions.
L'objectif de cette partie est d'étudier une modélisation simple d'un temporisateur de lave-linge à l'aide du montage de la figure 2.
Figure 2. Schéma du montage modélisant un temporisateur
Le montage est constitué :
• d'un générateur de tension idéal de force électromotrice $E=4{,}5$ V ;
• d'un conducteur ohmique de résistance $R$ ;
• d'un condensateur de capacité $C$ ;
• d'un interrupteur K ayant deux positions : position 1 pour la charge du condensateur et position 2 pour la décharge du condensateur ;
• d'un comparateur configuré pour envoyer un signal mettant fin à la temporisation à l'instant $t_{\text{seuil}}$ pour lequel la tension $u_{R}$ aux bornes de la résistance atteint un tiers de la tension d'alimentation : $u_{R}(t_{\text{seuil}})=\dfrac{E}{3}$
On admet que le comparateur ne perturbe pas le fonctionnement du circuit. Celui-ci peut donc être étudié comme si le comparateur était absent.
À l'instant initial ( $t=0$ ), le condensateur étant déchargé, on place l'interrupteur K en position 1.
Q8. Montrer que l'équation différentielle donnant les variations de la tension $u_{C}(t)$ aux bornes du condensateur en fonction du temps est de la forme : $u_{C}(t)+R\cdot C\cdot\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}(t)=E$
Les solutions de l'équation différentielle précédente sont des fonctions du temps de la forme $u_{C}(t)=A\,(1-e^{-t/\tau})$ , avec $\tau=R\cdot C$ .
Q9. Déterminer l'expression de la constante A dans la situation étudiée.
Q10. En déduire que l'expression de la tension aux bornes du conducteur ohmique au cours du temps est $u_{R}(t)=E\cdot e^{-t/\tau}$ .
Q11. Montrer que la date de fin de temporisation $t_{\text{seuil}}$ , date à laquelle le comparateur envoie un signal, s'exprime comme $t_{\text{seuil}}=\tau\cdot\ln 3$ .
La durée de temporisation, notée $\Delta t_{2}$ , est définie par $\Delta t_{2}=t_{\text{seuil}}$ . Pour étudier expérimentalement cette durée de temporisation, on réalise au laboratoire le circuit précédent en remplaçant le comparateur par un système d'acquisition. On souhaite obtenir une durée de temporisation $\Delta t_{2}$ voisine de 30 s. On utilise un condensateur de capacité $C=4{,}70$ mF alimenté par un générateur de tension $E=4{,}5$ V. On dispose par ailleurs de plusieurs conducteurs ohmiques de résistances $R_{1}=470\ \Omega$ , $R_{2}=5{,}0\ \mathrm{k\Omega}$ et $R_{3}=100\ \mathrm{k\Omega}$ .
Q12. Parmi les valeurs proposées, déterminer la valeur de la résistance du conducteur ohmique à utiliser pour obtenir une durée de temporisation voisine de celle souhaitée.
On réalise le circuit électrique avec la valeur de la résistance trouvée à la question Q12. On charge le condensateur et on bascule l'interrupteur en position 2, puis on suit l'évolution de la tension aux bornes de la résistance lors de la décharge. Le graphique correspondant est présenté sur la figure 3.
Figure 3. Évolution de la tension $u_{R}(t)$ aux bornes de la résistance en fonction du temps
Q13. Déterminer graphiquement la valeur initiale $u_{R}(t=0)$ de la tension aux bornes du conducteur ohmique après avoir basculé l'interrupteur en position 2 et vérifier qu'elle est en accord avec la valeur de $u_{R}(t=0)$ obtenue en appliquant la loi des mailles.
Q14. Déterminer, à l'aide du graphique de la figure 3, la valeur expérimentale $\tau_{\text{exp}}$ de la constante de temps du circuit RC. Commenter.
3. Chauffage de l'eau
Après le remplissage de la cuve et un temps de temporisation, l'eau est chauffée par une résistance électrique, appelée thermoplongeur, parcourue par un courant électrique. On s'intéresse, dans cette partie, au chauffage de l'eau contenue dans la cuve, de la température ambiante $\theta_{0}=20$ °C jusqu'à la température $\theta_{f}=30$ °C.
Afin de modéliser les échanges thermiques ayant lieu lors du chauffage, on considère que :
• la cuve est isolée thermiquement du milieu extérieur ;
• la température de l'eau est uniforme.
Données :
• volume d'eau dans la cuve : $V_{\text{eau}}=5{,}7$ L ;
• masse volumique de l'eau : $\rho_{\text{eau}}=1{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ;
• capacité thermique massique de l'eau : $c_{\text{eau}}=4{,}18\times 10^{3}\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$ ;
• puissance électrique fournie au thermoplongeur : $P_{\text{él}}=2$ kW, supposée constante.
Q15. Nommer les trois modes possibles de transferts thermiques et indiquer celui qui peut être négligé lors du chauffage de l'eau.
Q16. Montrer que la valeur du transfert thermique $Q$ nécessaire pour chauffer l'eau de $\theta_{0}$ à $\theta_{f}$ est d'environ 0,24 MJ.
On fait l'hypothèse que la puissance électrique fournie au thermoplongeur est intégralement transmise à l'eau sous la forme d'un flux thermique $\Phi$ de valeur constante : $P_{\text{él}}=\Phi$ .
Q17. Calculer la durée nécessaire de fonctionnement du thermoplongeur $\Delta t_{3}$ , en minutes, pour que l'eau contenue dans la cuve passe de la température $\theta_{0}=20$ °C à la température $\theta_{f}=30$ °C.
On peut modéliser le flux thermique $\Phi$ du thermoplongeur vers l'eau par la relation $\Phi=h_{c}\cdot S\cdot(\theta_{\text{thermo}}-\theta_{\text{eau}})$ , avec :
• $h_{c}$ : coefficient de transfert thermique entre le thermoplongeur et l'eau ;
• $S$ : surface du thermoplongeur ;
• $\theta_{\text{thermo}}$ et $\theta_{\text{eau}}$ : températures respectives du thermoplongeur et de l'eau.
Données :
• coefficients de transfert thermique typiques entre le thermoplongeur et l'eau :
◦ sans brassage de l'eau : $h_{c,0}=1{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}$ ;
◦ avec brassage de l'eau : $h_{c,0}'=4{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}$ ;
• surface de contact thermoplongeur-eau : $S=0{,}020\ \mathrm{m^{2}}$ .
Q18. Déterminer les températures du thermoplongeur avec et sans brassage de l'eau quand l'eau a atteint la température $\theta_{f}$ .
Lors de l'utilisation du lave-linge, une mince couche de tartre peut se déposer sur le thermoplongeur. Afin d'étudier son impact sur le chauffage, une modélisation plus poussée simule l'évolution de la température de l'eau et du thermoplongeur en fonction du temps de chauffage.
La modélisation est réalisée en considérant un brassage efficace de l'eau. Les résultats de cette modélisation sont donnés en figures 4 et 5 ci-dessous.
Figure 4. Simulation de la température de l'eau pendant le chauffage
Figure 5. Simulation de la température du thermoplongeur pendant le chauffage. D'après Pezzin A., Giansetti M., Ferri A., Comsol Conference Proceedings, 2013
Q19. En utilisant les figures 4 et 5, déterminer la durée nécessaire au chauffage de l'eau dans le cas où il n'y a pas de tartre sur le thermoplongeur et en déduire la température atteinte par le thermoplongeur à la fin du chauffage. Comparer à la valeur obtenue à la question Q18.
L'ADEME (Agence De l'Environnement et de la Maitrise de l'Énergie) recommande de détartrer régulièrement son lave-linge pour éviter une surconsommation énergétique.
Q20. En utilisant la figure 4, montrer que la présence de tartre sur le thermoplongeur augmente la consommation énergétique d'environ 15 % lors du cycle de chauffage de l'eau, par rapport à une situation où le tartre est absent.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/14

\Delta t_{1}

min

\Delta P

\Delta P

par la statique Pa

Volume d'eau L

Q12

Résistance choisie

Q13

u_{R}(t=0)

lue sur la figure 3 V

Q14

\tau_{\text{exp}}

Q15

Mode négligeable

Q16

Q

Q17

\Delta t_{3}

min

Q18

Avec brassage °C

Sans brassage °C

Q19

Durée de chauffage s

Température du thermoplongeur °C

Voir la correction

Réponses

Q1 $\Delta t_{1}=\dfrac{a^{3}}{2D_{v}}=9{,}0$ min
Q2 Volume d'air réduit à $n$ et $T$ constants : $PV$ constant, donc $P$ augmente
Q3 $V_{2}=V_{0}-\pi r^{2}h$
Q4 $P_{2}=\dfrac{P_{0}V_{0}}{V_{0}-\pi r^{2}h}$ , puis $\Delta P=P_{0}\dfrac{\pi r^{2}h}{V_{0}-\pi r^{2}h}$
Q5 $\Delta P=2{,}9\times 10^{3}$ Pa, environ 19 fois les 150 Pa d'un cycle normal
Q6 $\Delta P=\rho g\,(a/2-h)=2{,}9\times 10^{3}$ Pa
Q7 $V=a^{2}\,\dfrac{\Delta P}{\rho g}=5{,}5$ L
Q8 Mailles $E=u_{R}+u_{C}$ , $u_{R}=RC\,\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}$
Q9 $A=E$
Q10 $u_{R}=E-u_{C}=E\,e^{-t/\tau}$
Q11 $e^{-t_{\text{seuil}}/\tau}=\dfrac{1}{3}$ , donc $t_{\text{seuil}}=\tau\ln 3$
Q12 $R_{2}=5{,}0$ k $\Omega$ : $\Delta t_{2}=26$ s (contre $2{,}4$ s et $5{,}2\times 10^{2}$ s)
Q13 $4{,}5$ V lu ; mailles : $|u_{R}(0)|=u_{C}(0)=E=4{,}5$ V, accord
Q14 $\tau_{\text{exp}}\approx 24$ s, proche de $RC=23{,}5$ s (2 %)
Q15 Conduction, convection, rayonnement ; le rayonnement est négligeable
Q16 $Q=\rho V c\,\Delta\theta=2{,}38\times 10^{5}$ J $\approx 0{,}24$ MJ
Q17 $\Delta t_{3}=Q/P_{\text{él}}=1{,}2\times 10^{2}$ s $=2{,}0$ min
Q18 Avec brassage $55$ °C ; sans brassage $130$ °C
Q19 $120$ s ; $\theta_{\text{thermo}}\approx 57$ °C, proche des $55$ °C de Q18 avec brassage
Q20 $30$ °C à $120$ s sans tartre, vers $136$ s avec : $+13$ à $15$ % d'énergie

Q1. Le débit volumique est le volume d'eau écoulé par unité de temps, $D_{v}=\dfrac{V}{\Delta t}$ . Le volume à introduire est la moitié du volume de la cuve, $\dfrac{V_{c}}{2}=\dfrac{a^{3}}{2}$ , donc $\Delta t_{1}=\dfrac{a^{3}}{2\,D_{v}}$ .

Application numérique, le côté converti en mètres d'abord : $a=60{,}0\ \mathrm{cm}=0{,}600\ \mathrm{m}$ , $a^{3}=0{,}216\ \mathrm{m^{3}}$ , et $\Delta t_{1}=\dfrac{0{,}216}{2\times 12\times 10^{-3}}=9{,}0\ \mathrm{min}$ . Le débit étant donné en $\mathrm{m^{3}\cdot min^{-1}}$ , le résultat sort directement en minutes ; on garde deux chiffres significatifs, comme le débit. Vérification : la demi-cuve contient $108$ L, et $108$ L à $12$ L par minute font bien neuf minutes. Erreur fréquente : calculer $a^{3}$ en centimètres cubes ( $216\,000\ \mathrm{cm^{3}}$ ) sans convertir, ou oublier le facteur $2$ de la moitié de cuve.

Q2. Pendant le remplissage, l'eau monte dans la chambre de compression et y occupe une partie du volume : le volume offert à l'air enfermé diminue. Or la quantité de matière d'air $n$ et la température $T$ restent constantes, et l'air est un gaz parfait : $P\,V=n\,R\,T$ impose $P\times V=\text{constante}$ , c'est la loi de Boyle-Mariotte. Quand $V$ diminue, $P$ augmente. Lecture microscopique : les mêmes molécules, avec la même agitation thermique, heurtent plus souvent les parois d'un volume plus petit.

Q3. L'eau occupe dans la chambre, cylindre de rayon $r$ , une hauteur $h$ : son volume est $\pi\cdot r^{2}\cdot h$ (formule du cylindre donnée). L'air occupe le reste du volume initial : $V_{2}=V_{0}-\pi\cdot r^{2}\cdot h$ .

Q4. Loi de Boyle-Mariotte entre l'état initial $(P_{0},V_{0})$ et l'état à l'arrêt du remplissage $(P_{2},V_{2})$ , à quantité de matière et température constantes : $P_{0}\,V_{0}=P_{2}\,V_{2}$ , d'où $P_{2}=\dfrac{P_{0}\,V_{0}}{V_{0}-\pi\cdot r^{2}\cdot h}$ .

La surpression s'obtient en mettant au même dénominateur : $\Delta P=P_{2}-P_{0}=P_{0}\left(\dfrac{V_{0}}{V_{0}-\pi r^{2}h}-1\right)=P_{0}\times\dfrac{V_{0}-(V_{0}-\pi r^{2}h)}{V_{0}-\pi r^{2}h}=P_{0}\times\dfrac{\pi\cdot r^{2}\cdot h}{V_{0}-\pi\cdot r^{2}\cdot h}$ , l'expression annoncée. Le « $-1$ » écrit $\dfrac{V_{0}-\pi r^{2}h}{V_{0}-\pi r^{2}h}$ est la seule étape qui demande de l'attention : c'est elle que le correcteur cherche sur la copie.

Q5. Tout en unités SI : $V_{0}=0{,}50\ \mathrm{L}=5{,}0\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}$ , $r=3{,}0\times 10^{-2}\ \mathrm{m}$ , $h=5{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{m}$ . Le volume d'eau entré dans la chambre vaut $\pi r^{2}h=\pi\times(3{,}0\times 10^{-2})^{2}\times 5{,}0\times 10^{-3}=1{,}41\times 10^{-5}\ \mathrm{m^{3}}$ , soit $14$ mL. Alors $\Delta P=1{,}01\times 10^{5}\times\dfrac{1{,}41\times 10^{-5}}{5{,}0\times 10^{-4}-1{,}41\times 10^{-5}}=2{,}9\times 10^{3}\ \mathrm{Pa}$ , avec deux chiffres significatifs comme $V_{0}$ , $r$ et $h$ .

Commentaire : c'est environ $19$ fois la surpression de $150$ Pa d'un cycle normal ( $2\,939/150\approx 19{,}6$ ). La question Q6 va montrer que la surpression mesure la hauteur d'eau dans la cuve : un cycle normal remplit donc la cuve bien moins haut que le test à mi-hauteur, de l'ordre du centimètre et demi au lieu de 30 cm, et consomme beaucoup moins d'eau (question Q7). La surpression reste faible devant $P_{0}$ (moins de 3 %), ce qui justifie le capteur sensible qu'est un pressostat.

Q6. Loi fondamentale de la statique des fluides dans l'eau, incompressible et au repos, axe $z$ vertical vers le haut : $P_{A}+\rho g z_{A}=P_{B}+\rho g z_{B}$ . Le point A est à la surface libre de l'eau de la cuve, au contact de l'air de la cuve : $P_{A}=P_{0}$ . Le point B est à la surface de l'eau dans la chambre, au contact de l'air enfermé : $P_{B}=P_{2}$ . D'où $\Delta P=P_{2}-P_{0}=\rho\, g\,(z_{A}-z_{B})$ .

La surface de la cuve est à $a/2=30{,}0$ cm du fond, celle de la chambre à $h=5{,}0$ mm : $z_{A}-z_{B}=0{,}300-0{,}005=0{,}295\ \mathrm{m}$ . Donc $\Delta P=1{,}0\times 10^{3}\times 9{,}81\times 0{,}295=2{,}9\times 10^{3}\ \mathrm{Pa}$ , la valeur de Q5 à deux chiffres significatifs ( $2\,894$ Pa contre $2\,939$ Pa, écart de $1{,}5$ %, qui vient de l'arrondi des données). Erreur fréquente : prendre la hauteur $a/2$ sans retrancher $h$ , ou placer en A la pression $P$ de la chambre : A et B sont choisis justement parce qu'on connaît la pression de l'air au-dessus de chacun.

Q7. Même loi en fonctionnement normal, $h$ négligée : la surpression vaut $\Delta P=\rho\, g\, H$ , avec $H$ la hauteur d'eau dans la cuve. Donc $H=\dfrac{\Delta P}{\rho\, g}=\dfrac{150}{1{,}0\times 10^{3}\times 9{,}81}=1{,}53\times 10^{-2}\ \mathrm{m}$ , soit $1{,}5$ cm. La cuve est un cube, de section horizontale $a^{2}$ : $V=a^{2}\,H=0{,}600^{2}\times 1{,}53\times 10^{-2}=5{,}5\times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}=5{,}5\ \mathrm{L}$ .

Vérification : la partie 3 annonce $V_{\text{eau}}=5{,}7$ L dans la cuve, du même ordre. Erreur fréquente : multiplier par $a^{3}$ au lieu de $a^{2}$ , ou garder $H$ en centimètres avec $a$ en mètres.

Q8. Interrupteur en position 1 : le générateur, le conducteur ohmique et le condensateur forment une seule maille. Loi des mailles : $E=u_{R}+u_{C}$ . Loi d'Ohm en convention récepteur : $u_{R}=R\,i$ . Relation du condensateur : $q=C\,u_{C}$ et $i=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ , donc $i=C\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}$ , $i$ étant orienté vers l'armature qui porte la charge $q$ . En remplaçant : $u_{C}(t)+R\cdot C\cdot\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}(t)=E$ .

Q9. On remplace la forme proposée dans l'équation. Avec $\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}=\dfrac{A}{\tau}e^{-t/\tau}$ et $\tau=RC$ : $A-A\,e^{-t/\tau}+RC\cdot\dfrac{A}{RC}e^{-t/\tau}=A$ . L'équation impose donc $A=E$ , et $u_{C}(t)=E\,(1-e^{-t/\tau})$ . Même conclusion par le régime permanent : quand $t\to+\infty$ , $u_{C}$ ne varie plus, $\dfrac{\mathrm{d}u_{C}}{\mathrm{d}t}=0$ et $u_{C}\to E$ , alors que la forme proposée tend vers $A$ .

Piège : la condition initiale $u_{C}(0)=0$ (condensateur déchargé) ne détermine pas $A$ , puisque $A\,(1-e^{0})=0$ quel que soit $A$ . Elle est déjà contenue dans la forme donnée ; c'est l'équation, ou la valeur finale, qui fixe la constante.

Q10. Loi des mailles : $u_{R}(t)=E-u_{C}(t)=E-E\,(1-e^{-t/\tau})=E\cdot e^{-t/\tau}$ . Vérification aux deux bornes : à $t=0$ , $u_{R}=E$ , le condensateur déchargé se comporte comme un fil ; quand $t\to+\infty$ , $u_{R}\to 0$ , le courant s'annule quand le condensateur est chargé.

Q11. À la date $t_{\text{seuil}}$ , $u_{R}=\dfrac{E}{3}$ : $E\,e^{-t_{\text{seuil}}/\tau}=\dfrac{E}{3}$ , soit $e^{-t_{\text{seuil}}/\tau}=\dfrac{1}{3}$ . En prenant le logarithme népérien : $-\dfrac{t_{\text{seuil}}}{\tau}=\ln\dfrac{1}{3}=-\ln 3$ , donc $t_{\text{seuil}}=\tau\cdot\ln 3$ . Ordre de grandeur utile : $\ln 3\approx 1{,}10$ , la temporisation dure un peu plus d'une constante de temps.

Q12. D'après Q11, $\Delta t_{2}=R\,C\ln 3$ . La résistance idéale serait $R=\dfrac{\Delta t_{2}}{C\ln 3}=\dfrac{30}{4{,}70\times 10^{-3}\times\ln 3}=5{,}8\times 10^{3}\ \Omega$ . Avec les trois résistances disponibles, et $C=4{,}70\ \mathrm{mF}=4{,}70\times 10^{-3}$ F : $R_{1}$ donne $470\times 4{,}70\times 10^{-3}\times\ln 3=2{,}4$ s ; $R_{2}$ donne $5{,}0\times 10^{3}\times 4{,}70\times 10^{-3}\times\ln 3=26$ s ; $R_{3}$ donne $5{,}2\times 10^{2}$ s, près de neuf minutes. Seule $R_{2}=5{,}0\ \mathrm{k\Omega}$ donne une durée voisine de 30 s.

Erreur fréquente : lire « mF » comme des microfarads ( $10^{-6}$ F). On trouverait alors des durées mille fois trop courtes et aucune résistance ne conviendrait, ce qui doit alerter.

Q13. Lecture sur la figure 3 : la courbe part de $u_{R}(t=0)=4{,}5$ V.

Loi des mailles en position 2 : le générateur est hors circuit et la maille ne contient plus que le conducteur ohmique et le condensateur, d'où $u_{R}+u_{C}=0$ avec les orientations de la question Q8. Juste avant la bascule, le condensateur est chargé : la charge a duré bien plus de $5\tau\approx 2$ min, donc $u_{C}=E$ . La tension aux bornes d'un condensateur ne subit pas de discontinuité, donc à $t=0$ , $u_{C}(0)=E$ et $u_{R}(0)=-u_{C}(0)=-E$ , soit $4{,}5$ V en valeur absolue : la lecture graphique est en accord avec la loi des mailles.

Le signe mérite une phrase sur la copie : pendant la décharge, le courant circule en sens inverse de celui de la charge, et avec la flèche de $u_{R}$ de la figure 2 la tension est négative. La figure 3 trace une tension positive parce que le système d'acquisition lit la tension dans l'autre sens ; cela ne change ni sa valeur absolue ni la constante de temps.

Q14. Méthode des 37 % : pour une décharge, $|u_{R}(\tau)|=E\,e^{-1}=0{,}37\times 4{,}5=1{,}66$ V. Sur la figure 3, la courbe passe à $1{,}66$ V vers $t=24$ s : $\tau_{\text{exp}}\approx 24$ s. Méthode de la tangente à l'origine, qui coupe l'axe des temps en $t=\tau$ : elle donne la même valeur, aux erreurs de tracé près.

Commentaire : la valeur théorique est $\tau=R_{2}\,C=5{,}0\times 10^{3}\times 4{,}70\times 10^{-3}=23{,}5$ s. L'écart relatif $\dfrac{|24-23{,}5|}{23{,}5}=2$ % est faible : il tient à la tolérance des composants et à la précision de la lecture graphique. La durée de temporisation obtenue, $\tau_{\text{exp}}\ln 3=26$ s, est bien voisine des 30 s souhaitées. Erreur fréquente : lire $\tau$ à la moitié de la valeur initiale ( $2{,}25$ V), ce qui donne la demi-vie $\tau\ln 2\approx 16$ s et non la constante de temps.

Q15. Les trois modes de transfert thermique sont la conduction (de proche en proche, sans déplacement de matière), la convection (par déplacement de matière dans un fluide) et le rayonnement (par ondes électromagnétiques, sans support matériel). Le thermoplongeur cède l'énergie à l'eau par conduction au contact puis par convection dans l'eau ; aux températures en jeu, quelques dizaines de degrés, le transfert par rayonnement est négligeable devant les deux autres. La cuve étant isolée, aucun échange avec l'extérieur n'est à considérer.

Q16. Premier principe appliqué au système {eau}, liquide incompressible, sans travail reçu : $\Delta U=Q=m\,c_{\text{eau}}\,(\theta_{f}-\theta_{0})$ . Masse d'eau : $m=\rho_{\text{eau}}\,V_{\text{eau}}=1{,}0\times 10^{3}\times 5{,}7\times 10^{-3}=5{,}7$ kg. Donc $Q=5{,}7\times 4{,}18\times 10^{3}\times(30-20)=2{,}4\times 10^{5}\ \mathrm{J}=0{,}24$ MJ (exactement $2{,}38\times 10^{5}$ J). Une variation de température a la même valeur en kelvins et en degrés Celsius : $\Delta\theta=10$ °C $=10$ K. Erreur fréquente : oublier de convertir les litres en mètres cubes, ce qui multiplie la masse par mille.

Q17. Le flux thermique constant est l'énergie transférée par unité de temps : $\Phi=\dfrac{Q}{\Delta t_{3}}$ , donc $\Delta t_{3}=\dfrac{Q}{P_{\text{él}}}=\dfrac{2{,}38\times 10^{5}}{2\times 10^{3}}=1{,}2\times 10^{2}$ s, soit $\Delta t_{3}=2{,}0$ min. On garde la valeur non arrondie de $Q$ pour ne pas cumuler les arrondis ; la question Q19 confirme ce résultat sur la simulation.

Q18. Loi phénoménologique de Newton donnée : $\theta_{\text{thermo}}=\theta_{\text{eau}}+\dfrac{\Phi}{h_{c}\,S}$ , avec $\theta_{\text{eau}}=\theta_{f}=30$ °C et $\Phi=P_{\text{él}}=2\times 10^{3}$ W. L'unité se vérifie : $\dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}\times\mathrm{m^{2}}}=\mathrm{K}$ , un écart de température.

Sans brassage : $\dfrac{2\times 10^{3}}{1{,}0\times 10^{3}\times 0{,}020}=100$ °C d'écart, donc $\theta_{\text{thermo}}=130$ °C. Avec brassage : $\dfrac{2\times 10^{3}}{4{,}0\times 10^{3}\times 0{,}020}=25$ °C d'écart, donc $\theta_{\text{thermo}}=55$ °C. Pour faire passer le même flux, un échange quatre fois moins bon exige un écart quatre fois plus grand : sans brassage, le thermoplongeur dépasserait la température d'ébullition de l'eau à son contact. Erreur fréquente : donner l'écart ( $25$ °C, $100$ °C) au lieu de la température du thermoplongeur.

Q19. Figure 4, courbe sans tartre (trait plein) : l'eau atteint $30$ °C à $t=120$ s, soit $2{,}0$ min, en accord avec le bilan de la question Q17 ( $119$ s). Attention à l'axe des temps : les grandes graduations sont régulièrement espacées de 50 s, et la première, imprimée « 20 », se lit 50 s : c'est une coquille du sujet. Figure 5, dont l'axe des temps commence à 50 s : à $t=120$ s, la courbe sans tartre donne $\theta_{\text{thermo}}\approx 57$ °C.

Comparaison : la simulation est faite avec un brassage efficace, donc elle se compare à la valeur avec brassage de la question Q18, $55$ °C. Les deux valeurs sont proches, à environ $2$ °C près (4 %) : le modèle simple de la loi de Newton avec $h_{c,0}'$ décrit bien le thermoplongeur propre. La valeur sans brassage, $130$ °C, est très loin de la simulation.

Q20. La puissance électrique est constante, donc l'énergie consommée est proportionnelle à la durée de chauffe : $E_{\text{él}}=P_{\text{él}}\times\Delta t$ , et le rapport des énergies est celui des durées. Figure 4 : sans tartre, $30$ °C est atteint à $120$ s ; avec 2 mm de tartre (pointillés), vers $136$ s. Surconsommation relative : $\dfrac{136-120}{120}=0{,}13$ , soit $13$ %, c'est-à-dire environ 15 % compte tenu de la précision de lecture (une petite division vaut 10 s, et $138$ s donnerait 15 %).

Vérification par une autre lecture : à $t=200$ s, l'eau a gagné $16{,}7$ °C sans tartre contre $14{,}7$ °C avec tartre ; la vitesse de chauffe est réduite dans le rapport $\dfrac{16{,}7}{14{,}7}=1{,}14$ , soit $+14$ % de durée pour le même échauffement. Où va l'énergie en plus ? Le tartre, mauvais conducteur thermique, freine le transfert : le thermoplongeur monte vers $100$ °C (figure 5) et une partie de l'énergie reste stockée dans le thermoplongeur et le tartre au lieu de passer à l'eau.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 2 : L'odeur de Jasmin

4 points Cinétique chimique Équilibre et quotient de réaction Stratégies de synthèse et polymères

L'huile essentielle de jasmin est extraite de la fleur de jasmin. Cette dernière contient plusieurs espèces chimiques dont l'éthanoate de benzyle.

L'extraction de cette huile essentielle est difficile et coûteuse. Pour diminuer les prix des produits de consommation comme les désodorisants, les industriels synthétisent des espèces, comme l'éthanoate de benzyle, dont l'odeur est proche de celle de l'huile essentielle de jasmin.

L'objectif de cet exercice est d'étudier la cinétique et le rendement d'une transformation conduisant à la formation de l'éthanoate de benzyle.

Données :

Formule semi-développée de l'éthanoate de benzyle : un groupe CH3 lié à un carbone qui porte un oxygène doublement lié et un oxygène simplement lié ; cet oxygène est relié à un groupe CH2, lui-même lié à un cycle benzénique de cinq CH et un C. — Formule semi-développée de l'éthanoate de benzyle

Espèce chimique	Acide éthanoïque	Alcool benzylique	Éthanoate de benzyle
Formule brute	$\mathrm{C_{2}H_{4}O_{2}}$	$\mathrm{C_{7}H_{8}O}$	$\mathrm{C_{9}H_{10}O_{2}}$
Masse volumique à 25 °C ( $\mathrm{g\cdot mL^{-1}}$ )	1,05	1,04	1,05
Masse molaire ( $\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ )	60,1	108	150

Propriétés physico-chimiques de différentes espèces chimiques

L'éthanoate de benzyle est synthétisé à partir d'acide éthanoïque et d'alcool benzylique. Cette transformation peut être modélisée par une réaction dont l'équation est donnée ci-dessous :
$\mathrm{C_{2}H_{4}O_{2}(\ell)+C_{7}H_{8}O(\ell)\rightleftarrows C_{9}H_{10}O_{2}(\ell)+H_{2}O(\ell)}$
Q1. Recopier la formule semi-développée de l'éthanoate de benzyle, entourer son groupe caractéristique et indiquer la famille fonctionnelle associée.
On étudie l'évolution de la quantité de matière d'éthanoate de benzyle au cours de sa synthèse en fonction du temps. Pour cela on réalise le protocole expérimental décrit ci-dessous :
• étape A : dans un bécher, préparer un mélange composé de 75 % en volume d'alcool benzylique et 25 % en volume d'acide éthanoïque, ainsi que quelques gouttes d'acide sulfurique concentré (catalyseur de la réaction). Agiter et déclencher un chronomètre ;
• étape B : introduire un volume $V=2{,}0$ mL de ce mélange dans 8 tubes à essai différents. Fixer un réfrigérant à air et placer ces tubes dans un bain thermostaté ;
• étape C : pour 8 dates différentes, verser le contenu d'un tube à essai dans un bécher contenant de l'eau distillée glacée ;
• étape D : doser l'acide éthanoïque présent dans chacun des béchers par une solution d'hydroxyde de sodium de concentration $c_{B}=0{,}20\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ .
On obtient les résultats suivants :
Tube à essai n° 1 2 3 4 5 6 7 8

Date $t$ du dosage en minute 2,0 5,5 10,5 15 20 30 40 60
Quantité de matière d'acide éthanoïque en mmol 6,1 4,1 3,6 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9
Q2. Identifier le rôle de l'étape C du protocole.
Q3. Établir que la relation entre la quantité de matière initiale de l'acide éthanoïque $n_{0,ac}$ et les quantités de matière $n_{EB}(t)$ d'éthanoate de benzyle et $n_{ac}(t)$ d'acide éthanoïque prises à la date $t$ , s'écrit : $n_{ac}(t)=n_{0,ac}-n_{EB}(t)$
Le tracé du graphique représentant l'évolution de la quantité de matière d'éthanoate de benzyle au cours du temps est réalisé à l'aide du programme écrit en langage Python dont un extrait est donné en figure 1. Le résultat du programme complet est présenté en ANNEXE A1 À RENDRE AVEC LA COPIE.
Figure 1. Extrait du programme
Q4. Retrouver par un calcul la valeur n_0ac donnée à la ligne 7 du programme.
Q5. Recopier et compléter la ligne 18 du programme sur la copie.
On étudie le temps de demi-réaction à l'aide de la courbe donnée en ANNEXE A1 À RENDRE AVEC LA COPIE.
Annexe A1 à rendre avec la copie. Évolution de la quantité de matière d'éthanoate de benzyle produit au cours du temps
Q6. Définir le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ . Estimer sa valeur à l'aide de la courbe donnée en ANNEXE A1 À RENDRE AVEC LA COPIE, en expliquant la méthode utilisée.
On étudie l'évolution de la vitesse volumique d'apparition de l'éthanoate de benzyle au cours du temps.
Q7. Exprimer la vitesse volumique $v_{EB}$ d'apparition de l'éthanoate de benzyle en fonction du volume $V$ et de $\dfrac{\mathrm{d}n_{EB}}{\mathrm{d}t}$ .
Q8. À l'aide d'un tracé sur la courbe donnée en ANNEXE A1 À RENDRE AVEC LA COPIE, estimer la valeur de la vitesse volumique d'apparition de l'éthanoate de benzyle à l'instant initial ( $t=0$ ).
À la date $t=20$ minutes, la vitesse volumique d'apparition de l'éthanoate de benzyle est estimée à $6{,}7\times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}}$ .
Q9. Identifier un facteur cinétique responsable de l'évolution de la vitesse volumique d'apparition de l'éthanoate de benzyle.
On admet que, dans les conditions de la synthèse, l'alcool benzylique a été introduit en excès. Le rendement de cette synthèse est de 67 %.
Q10. Proposer une modification du protocole expérimental permettant d'optimiser ce rendement.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

Famille fonctionnelle

Rôle de l'étape C

n_{0,ac}

mmol

t_{1/2}

min

v_{EB}(0)

mol/(L·min)

Facteur cinétique

Voir la correction

Réponses

Q1 Groupe ester $-\mathrm{C}(=\mathrm{O})-\mathrm{O}-$ ; famille des esters
Q2 Trempe : refroidir et diluer pour stopper la réaction à la date $t$
Q3 Tableau d'avancement : $n_{ac}=n_{0,ac}-x$ et $n_{EB}=x$
Q4 $n_{0,ac}=\dfrac{1{,}05\times 0{,}50}{60{,}1}=8{,}7\times 10^{-3}$ mol
Q5 n_EB[i] = n_0ac - n_ac[i]
Q6 Durée pour atteindre $x_{f}/2=2{,}9$ mmol : $t_{1/2}\approx 2{,}3$ min
Q7 $v_{EB}=\dfrac{1}{V}\dfrac{\mathrm{d}n_{EB}}{\mathrm{d}t}$
Q8 Tangente à l'origine : $v_{EB}(0)\approx 0{,}9\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}}$
Q9 La concentration des réactifs, qui diminue
Q10 Éliminer l'eau formée (Dean-Stark) ou augmenter l'excès d'alcool

Q1. Le groupe caractéristique à entourer est le groupe ester, $-\mathrm{C}(=\mathrm{O})-\mathrm{O}-$ : l'atome de carbone doublement lié à un oxygène ET simplement lié à un second oxygène, lui-même lié à la chaîne carbonée ( $\mathrm{CH_{2}}$ ). On entoure les trois atomes C, O et O ensemble. Famille fonctionnelle : les esters. Le nom confirme : éthanoate de ... est le nom d'un ester, formé ici à partir de l'acide éthanoïque et de l'alcool benzylique. Piège : n'entourer que $\mathrm{C=O}$ , qui est le groupe carbonyle d'une cétone ou d'un aldéhyde.

Q2. L'étape C est une trempe. Verser le mélange dans de l'eau distillée glacée abaisse brutalement la température et dilue les réactifs : deux facteurs cinétiques qui rendent la réaction quasiment infiniment lente. La composition du mélange est ainsi « figée » à la date de la trempe, et le dosage de l'étape D, qui prend du temps, mesure bien la quantité d'acide présente à cette date $t$ , et non une valeur qui aurait continué d'évoluer pendant le titrage.

Q3. Tableau d'avancement de la réaction $\mathrm{C_{2}H_{4}O_{2}+C_{7}H_{8}O\rightleftarrows C_{9}H_{10}O_{2}+H_{2}O}$ , dont tous les nombres stœchiométriques valent $1$ . État initial : $n_{0,ac}$ d'acide et aucun ester. À la date $t$ , l'avancement vaut $x(t)$ : $n_{ac}(t)=n_{0,ac}-x(t)$ et $n_{EB}(t)=x(t)$ . En éliminant $x(t)$ : $n_{ac}(t)=n_{0,ac}-n_{EB}(t)$ . Chaque molécule d'ester formée a consommé exactement une molécule d'acide.

Q4. Un tube contient $V=2{,}0$ mL de mélange, dont 25 % en volume d'acide éthanoïque : $V_{ac}=0{,}25\times 2{,}0=0{,}50$ mL. Masse d'acide : $m=\rho\times V_{ac}=1{,}05\times 0{,}50=0{,}525$ g. Quantité de matière : $n_{0,ac}=\dfrac{m}{M}=\dfrac{0{,}525}{60{,}1}=8{,}7\times 10^{-3}$ mol, soit $0{,}0087$ mol, la valeur de la ligne 7.

Vérification de l'excès annoncé plus loin : l'alcool occupe $1{,}5$ mL, soit $1{,}04\times 1{,}5=1{,}56$ g et $\dfrac{1{,}56}{108}=1{,}4\times 10^{-2}$ mol, plus que l'acide pour une stœchiométrie 1 pour 1 : l'acide est bien le réactif limitant. Erreur fréquente : prendre les 2,0 mL entiers, ou les 75 % qui sont la part de l'alcool.

Q5. La ligne 18 traduit la relation de la question Q3 pour chaque date d'indice i : n_EB[i] = n_0ac - n_ac[i]. La boucle de la ligne 17 parcourt les neuf indices de 0 à 8, ceux des neuf valeurs des listes t et n_ac.

Q6. Définition : le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle l'avancement atteint la moitié de sa valeur FINALE, $x(t_{1/2})=\dfrac{x_{f}}{2}$ .

Ici la transformation n'est pas totale : il reste $2{,}9$ mmol d'acide à 60 min, et les points de l'annexe se stabilisent. L'avancement final vaut donc $x_{f}=n_{0,ac}-2{,}9\ \mathrm{mmol}=8{,}7-2{,}9=5{,}8$ mmol, la valeur du palier. Méthode : tracer une courbe moyenne régulière passant par l'origine (aucun ester à $t=0$ ) et par les points, repérer l'ordonnée $\dfrac{x_{f}}{2}=2{,}9\times 10^{-3}$ mol, puis lire l'abscisse correspondante. Le point à 2 min (2,6 mmol) est juste en dessous : on lit $t_{1/2}\approx 2{,}3$ min, entre 2 et 3 min.

Piège : prendre la moitié de l'avancement MAXIMAL, $\dfrac{x_{max}}{2}=\dfrac{8{,}7}{2}=4{,}35$ mmol, ce qui conduirait à environ 5 min. Pour une transformation non totale, la référence est l'état final, pas l'état où le réactif limitant aurait entièrement disparu.

Q7. Par définition, la vitesse volumique d'apparition d'un produit est la dérivée de sa concentration par rapport au temps. Le volume $V$ du milieu réactionnel étant constant : $v_{EB}=\dfrac{\mathrm{d}[EB]}{\mathrm{d}t}=\dfrac{1}{V}\cdot\dfrac{\mathrm{d}n_{EB}}{\mathrm{d}t}$ .

Q8. On trace sur l'annexe la tangente à la courbe moyenne au point d'abscisse $t=0$ , c'est-à-dire à l'origine ; son coefficient directeur est $\dfrac{\mathrm{d}n_{EB}}{\mathrm{d}t}(0)$ . La tangente passe par l'origine et, par exemple, par le point $(3{,}0\ \mathrm{min}\,;\,5{,}5\times 10^{-3}\ \mathrm{mol})$ : $\dfrac{\mathrm{d}n_{EB}}{\mathrm{d}t}(0)\approx\dfrac{5{,}5\times 10^{-3}}{3{,}0}=1{,}8\times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot min^{-1}}$ .

Avec $V=2{,}0\ \mathrm{mL}=2{,}0\times 10^{-3}$ L, volume d'un tube : $v_{EB}(0)=\dfrac{1{,}8\times 10^{-3}}{2{,}0\times 10^{-3}}=0{,}9\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}}$ . Une tangente tracée à la main n'est pas plus précise : toute valeur entre $0{,}7$ et $1{,}1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}}$ traduit une démarche correcte. Contrôle : la corde de l'origine au premier point donne $\dfrac{2{,}6\times 10^{-3}}{2{,}0\times 2{,}0\times 10^{-3}}=0{,}65\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}}$ , une borne inférieure, car la courbe est concave et sa tangente à l'origine est plus raide que la corde. Erreur fréquente : diviser par $V$ en millilitres, ce qui donne une valeur mille fois trop petite.

Q9. La vitesse volumique passe d'environ $0{,}9$ à $6{,}7\times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}}$ entre $t=0$ et $t=20$ min, soit plus de cent fois moins. La température est fixée par le bain thermostaté et la quantité de catalyseur ne change pas : le facteur cinétique responsable est la concentration des réactifs, acide éthanoïque et alcool benzylique, qui diminue à mesure qu'ils sont consommés.

Q10. Le rendement vaut $\dfrac{x_{f}}{x_{max}}=\dfrac{5{,}8}{8{,}7}=67$ % : il est limité par l'équilibre chimique, l'estérification étant une transformation non totale. Pour l'améliorer, il faut déplacer l'équilibre dans le sens direct, en faisant évoluer le quotient de réaction loin de la constante d'équilibre. Deux modifications possibles : éliminer l'eau au fur et à mesure de sa formation, par exemple avec un montage de Dean-Stark, ou introduire l'alcool benzylique en excès plus important encore.

Piège : chauffer davantage ou ajouter du catalyseur accélère la transformation, mais ne modifie pas l'état final : le rendement ne change pas, on l'atteint seulement plus vite.

python

for i in range(0,9):
    n_EB[i] = n_0ac - n_ac[i]

Tracé attendu sur l'annexe A1 : courbe moyenne, palier final et lecture du temps de demi-réaction (ordonnées en mmol)

Zoom sur les premières minutes : la tangente à l'origine passe par (3,0 min ; 5,5 mmol)

Exercice 3 : Coloration de la laine

5 points Synthèse organique et mécanismes Mesure, incertitudes et chiffres significatifs Avancement et dosages Couleurs, filtres et ondes électromagnétiques

Les premières traces d'utilisation de la laine à usage vestimentaire remontent à plus de 12 000 ans et les premières teintures de la laine apparaissent il y a plus de 5 000 ans.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier la synthèse d'un colorant ainsi que les conditions nécessaires à sa fixation dans la structure de la laine.

1. Synthèse d'un « colorant acide »

Certains colorants utilisés pour teindre la laine sont appelés « colorants acides » car leur fixation est optimisée par un bain de teinture acide. On s'intéresse ici à la synthèse de l'un d'entre eux, largement utilisé dans l'industrie textile.

Données :
• masse molaire de l'acide sulfanilique : $M(\text{acide sulfanilique})=173{,}2\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ;
• masse molaire $\beta$ -naphtol : $M(\beta\text{-naphtol})=144{,}2\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ;
• masse molaire du colorant : $M(\text{colorant})=328{,}3\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ;
• cercle chromatique :

Cercle chromatique en six secteurs, avec les longueurs d'onde aux frontières : violet de 400 à 450 nm, bleu de 450 à 500 nm, vert de 500 à 570 nm, jaune de 570 à 590 nm, orange de 590 à 630 nm, rouge de 630 à 700 nm. Couleurs diamétralement opposées : bleu et orange, vert et rouge, violet et jaune. — Cercle chromatique

Le mécanisme de la synthèse du colorant débute par les étapes présentées dans le mécanisme réactionnel fourni en ANNEXE A2 À RENDRE AVEC LA COPIE, mettant en jeu l'acide nitreux de formule $\mathrm{HNO_{2}}$ .
Annexe A2 à rendre avec la copie
Q1. Définir un intermédiaire réactionnel.
Q2. Souligner les deux intermédiaires réactionnels présents dans les étapes du mécanisme réactionnel de la synthèse, fournies en ANNEXE A2 À RENDRE AVEC LA COPIE.
Q3. Identifier les sites donneur et accepteur d'électrons dans l'étape 1 en justifiant votre réponse sur la copie.
Q4. Dessiner les flèches courbes schématisant les transferts électroniques pour chacune des étapes du mécanisme sur l'ANNEXE A2 À RENDRE AVEC LA COPIE.
On réalise la synthèse du colorant en faisant réagir 0,87 g d'acide sulfanilique et 0,72 g de $\beta$ -naphtol avec un excès d'acide nitreux. La transformation est modélisée par l'équation de réaction :
Expérimentalement, on obtient une masse $m=1{,}53$ g de colorant.
Q5. Déterminer, en justifiant, la masse maximale de colorant qui aurait pu être obtenue.
Q6. Déterminer le rendement de cette synthèse.
Après la synthèse, on réalise le spectre d'absorption du produit obtenu à l'aide d'un spectrophotomètre UV-visible. Ce spectre est présenté ci-dessous :
Figure 2. Spectre d'absorption d'une solution du colorant synthétisé
Q7. En utilisant le spectre ci-dessus, déterminer la couleur de ce colorant.
2. Étude du bain de teinture
Pour une fixation optimale du colorant, on abaisse le pH du bain de teinture en utilisant de l'acide citrique ou du vinaigre.
Les vinaigres sont des solutions aqueuses contenant de l'acide éthanoïque (ou acide acétique), de formule $\mathrm{CH_{3}COOH}$ . On se propose, dans cette partie, de doser du vinaigre commercial étiqueté à 8°, ce qui correspond à une concentration attendue en acide éthanoïque $C_{0}=1{,}360\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ .
On dose un volume $V_{A}=10{,}0$ mL de vinaigre dilué dix fois par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration $C_{B}=0{,}10\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ . Le volume à l'équivalence $V_{E}$ est déterminé grâce au virage du bleu de thymol.
On réalise le titrage douze fois, les mesures des volumes $V_{E}$ obtenus à l'équivalence sont fournies dans le tableau ci-dessous, ainsi que la concentration $C$ en acide éthanoïque du vinaigre commercial qui en est déduite :

N°	$V_{E}$ (mL)	$C$ ( $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ )
1	13,50	1,350
2	13,70	1,370
3	13,70	1,370
4	13,65	1,365
5	13,70	1,370
6	13,60	1,360
7	13,65	1,365
8	13,60	1,360
9	13,75	1,375
10	13,50	1,350
11	13,60	1,360
12	13,50	1,350

Résultats des douze titrages (tableau du sujet présenté en colonnes)

Q8. Démontrer comment obtenir la valeur de la concentration $C$ en acide éthanoïque pour le titrage N°1 à partir de la mesure de $V_{E1}$ .
Q9. Parmi les valeurs suivantes, choisir et recopier sur la copie la valeur moyenne $C_{moy}$ et l'écart-type $\sigma$ de la série de mesures :
Moyenne $C_{moy}$ ( $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ ) : 1,9155 ; 1,3750 ; 1,3621
Écart-type $\sigma$ ( $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ ) : 0,009 ; 0,237 ; 1,370
On rappelle que, si un opérateur calcule la valeur moyenne de $n$ mesures effectuées dans les mêmes conditions, l'incertitude-type $u(C_{moy})$ associée à cette valeur moyenne est donnée par l'expression suivante : $u(C_{moy})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Q10. Montrer que l'incertitude-type associée à $C_{moy}$ , exprimée avec un chiffre significatif, vaut $u(C_{moy})=0{,}003$ mol/L. Écrire la valeur expérimentale de la concentration avec le nombre de chiffres significatifs adapté.
Pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\dfrac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$ .
Q11. Conclure sur l'accord entre la concentration en acide éthanoïque figurant sur l'étiquette et celle trouvée expérimentalement.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

Les deux intermédiaires

Site donneur

Site accepteur

m_{max}

Rendement %

Couleur du colorant

C

(titrage n° 1) mol/L

C_{moy}

\sigma

Q10

C

écrite au bon rang mol/L

Q11

Quotient

Accord avec l'étiquette

Voir la correction

Réponses

Q1 Espèce formée dans une étape puis consommée dans une autre, absente de l'équation globale
Q2 $\mathrm{H_{2}O^{+}{-}N{=}O}$ et $\mathrm{NO^{+}}$ ( $\mathrm{HNO_{2}}$ est un réactif)
Q3 Donneur : O chargé négativement (doublets) ; accepteur : $\mathrm{H^{+}}$ (lacune)
Q4 Étapes 1 et 2 : doublet de O vers $\mathrm{H^{+}}$ ; étape 3 : liaison N-O vers $\mathrm{O^{+}}$ , doublet de O terminal vers N-O
Q5 $\beta$ -naphtol limitant : $m_{max}=4{,}99\times 10^{-3}\times 328{,}3=1{,}64$ g
Q6 $\eta=1{,}53/1{,}64=93$ %
Q7 Absorbe le bleu-vert (vers 490 nm) : colorant orange
Q8 $C=10\times\dfrac{C_{B}V_{E1}}{V_{A}}=1{,}350\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$
Q9 $C_{moy}=1{,}3621\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ ; $\sigma=0{,}009\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$
Q10 $u=0{,}009/\sqrt{12}=0{,}0026\approx 0{,}003$ ; $C=1{,}362\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$
Q11 Quotient $0{,}7<2$ : accord avec l'étiquette

Q1. Un intermédiaire réactionnel est une espèce chimique formée au cours d'une étape du mécanisme puis consommée dans une étape ultérieure. Il n'apparaît donc pas dans l'équation de la réaction qui modélise la transformation globale, ni parmi les réactifs, ni parmi les produits.

Q2. On souligne $\mathrm{H_{2}O^{+}{-}N{=}O}$ , formé à l'étape 2 et consommé à l'étape 3, et l'ion $\mathrm{N{\equiv}O^{+}}$ , formé à l'étape 3 et consommé dans les étapes suivantes du mécanisme, non représentées, où il réagit avec l'acide sulfanilique : il ne figure pas dans l'équation de synthèse, dont les produits sont le colorant et l'eau.

Piège : l'acide nitreux $\mathrm{HNO_{2}}$ est formé à l'étape 1 et consommé à l'étape 2, ce qui le fait ressembler à un intermédiaire. Mais il figure parmi les RÉACTIFS de l'équation de synthèse, introduit en excès : ce n'est pas un intermédiaire réactionnel. L'étape 1 montre seulement comment il se forme à partir de l'ion nitrite en milieu acide. L'énoncé en demande deux : seuls $\mathrm{H_{2}O^{+}{-}N{=}O}$ et $\mathrm{NO^{+}}$ satisfont la définition.

Q3. Site donneur de doublet d'électrons : l'atome d'oxygène de l'ion nitrite qui porte la charge négative. Il porte trois doublets non liants et un excès d'électrons : il peut en céder un doublet. Site accepteur : l'ion $\mathrm{H^{+}}$ , qui porte une lacune électronique (le rectangle dessiné sur H dans l'annexe) et une charge positive : il peut recevoir un doublet. La nouvelle liaison $\mathrm{O{-}H}$ de l'acide nitreux se forme avec ce doublet.

Q4. Une flèche courbe part toujours d'un doublet d'électrons (non liant ou liant) et pointe vers l'atome ou la liaison qui le reçoit.

Étape 1 : une flèche part d'un doublet non liant de l'oxygène chargé négativement de l'ion nitrite et pointe vers $\mathrm{H^{+}}$ ; elle crée la liaison $\mathrm{O{-}H}$ .

Étape 2 : une flèche part d'un doublet non liant de l'oxygène du groupe $\mathrm{{-}OH}$ de l'acide nitreux et pointe vers $\mathrm{H^{+}}$ ; cet oxygène, désormais lié à deux atomes d'hydrogène et à l'azote, porte la charge $+$ .

Étape 3 : deux flèches. La première part du doublet de la liaison entre l'azote et l'oxygène chargé $\mathrm{O^{+}}$ et pointe vers cet oxygène : la liaison se rompt, l'oxygène garde le doublet et part sous forme d'une molécule d'eau neutre. La seconde part d'un doublet non liant de l'oxygène terminal de $\mathrm{N{=}O}$ et pointe vers la liaison $\mathrm{N{-}O}$ : elle crée la troisième liaison de $\mathrm{N{\equiv}O^{+}}$ , et cet oxygène, qui n'a plus qu'un doublet non liant, porte la charge $+$ , comme sur l'annexe. Vérification des charges : un $+$ à gauche, un $+$ à droite.

Q5. D'après l'équation, une molécule d'acide sulfanilique réagit avec une molécule de $\beta$ -naphtol pour former une molécule de colorant ; l'acide nitreux est en excès. Quantités initiales : $n(\text{acide sulfanilique})=\dfrac{0{,}87}{173{,}2}=5{,}02\times 10^{-3}$ mol et $n(\beta\text{-naphtol})=\dfrac{0{,}72}{144{,}2}=4{,}99\times 10^{-3}$ mol.

Le réactif limitant est celui dont la quantité est la plus petite, les nombres stœchiométriques étant égaux : le $\beta$ -naphtol, de très peu (le mélange est quasiment stœchiométrique). Avancement maximal $x_{max}=4{,}99\times 10^{-3}$ mol, donc $m_{max}=x_{max}\times M(\text{colorant})=4{,}99\times 10^{-3}\times 328{,}3=1{,}64$ g, soit $1{,}6$ g avec les deux chiffres significatifs des masses pesées. Vérification par la conservation des éléments : $M(\text{colorant})=173{,}2+144{,}2+M(\mathrm{HNO_{2}})-2\,M(\mathrm{H_{2}O})=173{,}2+144{,}2+47{,}0-2\times 18{,}0=328{,}4\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ , la masse molaire donnée à l'arrondi près. La masse maximale de colorant dépasse d'ailleurs la somme des masses pesées ( $1{,}59$ g) : l'acide nitreux apporte de la matière, ce n'est pas une erreur.

Q6. Le rendement est le rapport de la quantité de produit obtenue à la quantité maximale attendue, ou des masses : $\eta=\dfrac{m}{m_{max}}=\dfrac{1{,}53}{1{,}64}=0{,}93$ , soit $93$ %. On divise par la valeur non arrondie de $m_{max}$ ; un rendement inférieur à 100 % est rassurant. Erreur fréquente : diviser par la somme des masses des réactifs, qui n'a pas de sens puisque les masses ne se conservent pas d'une espèce à l'autre.

Q7. Le spectre montre que le colorant absorbe entre 420 nm et 560 nm environ, avec un maximum vers 485 à 510 nm, à la frontière du bleu et du vert ; il n'absorbe plus rien au-delà de 570 nm, où il transmet le jaune, l'orange et le rouge.

La couleur perçue d'une solution est la couleur complémentaire de la couleur absorbée, diamétralement opposée sur le cercle chromatique. Le bleu absorbé a pour complémentaire l'orange, le vert le rouge : le colorant est orange. C'est d'ailleurs l'orange II, colorant azoïque acide classique de la laine, obtenu à partir de l'acide sulfanilique et du $\beta$ -naphtol. Piège : donner la couleur absorbée (bleu-vert) au lieu de sa complémentaire.

Q8. Réaction support du titrage : $\mathrm{CH_{3}COOH+HO^{-}\longrightarrow CH_{3}COO^{-}+H_{2}O}$ . À l'équivalence, les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques : $n(\mathrm{CH_{3}COOH})_{\text{dans }V_{A}}=n(\mathrm{HO^{-}})_{\text{versé}}$ , soit $C_{\text{dil}}\times V_{A}=C_{B}\times V_{E1}$ .

D'où $C_{\text{dil}}=\dfrac{C_{B}\,V_{E1}}{V_{A}}=\dfrac{0{,}10\times 13{,}50}{10{,}0}=0{,}1350\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ (les volumes en mL se simplifient). Le vinaigre ayant été dilué dix fois, $C=10\times C_{\text{dil}}=1{,}350\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ , la valeur du tableau. Erreur fréquente : oublier le facteur de dilution, ce qui donne une concentration dix fois trop faible.

Q9. $C_{moy}=1{,}3621\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ et $\sigma=0{,}009\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ . Calcul : la somme des douze concentrations vaut $16{,}345$ , et $\dfrac{16{,}345}{12}=1{,}3621$ . Le choix se justifie aussi sans calcul : la moyenne est forcément comprise entre la plus petite valeur, $1{,}350$ , et la plus grande, $1{,}375$ , ce qui exclut $1{,}9155$ et $1{,}3750$ (la valeur maximale, atteinte une seule fois). Les mesures s'écartent de la moyenne d'environ $0{,}01$ au plus : un écart-type de $0{,}237$ ou de $1{,}370$ est absurde, seul $0{,}009$ convient (la calculatrice donne $0{,}0086$ ).

Q10. $u(C_{moy})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}009}{\sqrt{12}}=0{,}0026$ , arrondi à un chiffre significatif par excès : $u(C_{moy})=0{,}003\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ . La valeur se donne avec son dernier chiffre au même rang que celui de l'incertitude, le millième : $C=1{,}362\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ avec $u(C)=0{,}003\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ . Erreur fréquente : recopier $1{,}3621$ , qui affiche un dix-millième que la mesure ne garantit pas.

Q11. Quotient : $\dfrac{|C_{moy}-C_{0}|}{u(C_{moy})}=\dfrac{|1{,}362-1{,}360|}{0{,}003}=0{,}7$ . Ce quotient est inférieur à $2$ : le résultat expérimental est compatible avec la valeur de l'étiquette, à moins de deux incertitudes-types. Avec les valeurs non arrondies, $\dfrac{0{,}0021}{0{,}0025}=0{,}8$ , même conclusion : l'étiquette « 8° » est honnête.

Bac 2026 de spécialité physique-chimie, Métropole jour 1 : sujet officiel et corrigé

Exercice 1 : Étude d'un lave-linge

Exercice 2 : L'odeur de Jasmin

Exercice 3 : Coloration de la laine

Voir aussi

Vous préparez l'épreuve de spécialité physique-chimie à Montréal ?

Tube à essai n°	1	2	3	4	5	6	7	8
Date $t$ du dosage en minute	2,0	5,5	10,5	15	20	30	40	60
Quantité de matière d'acide éthanoïque en mmol	6,1	4,1	3,6	3,3	3,2	3,1	3,0	2,9