Bac 2025 de spécialité maths, Nouvelle-Calédonie jour 1 : sujet officiel et corrigé

1. On lit chaque probabilité dans la composition du sac et des urnes, les tirages se faisant au hasard (équiprobabilité). Premier niveau : le sac contient $1$ boule A sur $4$ boules, donc $P(A)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ et, par l'évènement contraire, $P(\overline{A})=1-0{,}25=0{,}75$. Remarque : $\overline{A}$ est l'évènement « obtenir une boule B », puisque le sac ne contient que des boules A et B.

Second niveau : les branches issues de $A$ portent des probabilités CONDITIONNÉES par $A$, c'est-à-dire calculées dans l'urne A. Elle contient $3$ billets de 50 euros sur $5$ : $P_{A}(C)=\dfrac{3}{5}=0{,}6$ et $P_{A}(\overline{C})=\dfrac{2}{5}=0{,}4$. Les branches issues de $\overline{A}$ se calculent dans l'urne B, qui contient $1$ billet de 50 euros sur $4$ : $P_{\overline{A}}(C)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ et $P_{\overline{A}}(\overline{C})=\dfrac{3}{4}=0{,}75$.

Contrôle : la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$ ($0{,}25+0{,}75$, $0{,}6+0{,}4$ et $0{,}25+0{,}75$). L'arbre complété figure en fin de corrigé, avec la probabilité de chaque chemin. Piège : le $\overline{C}$ ne veut pas dire « pas de billet » mais « un billet de 10 euros », les urnes ne contenant que des billets de 50 et de 10 euros.

2. L'évènement « boule A et billet de 50 euros » est l'intersection $A\cap C$. Sa probabilité se lit sur le chemin de l'arbre qui passe par $A$ puis $C$ (formule des probabilités composées) : $P(A\cap C)=P(A)\times P_{A}(C)=0{,}25\times 0{,}6=0{,}15$.

Erreur fréquente : répondre $0{,}6$, qui est la probabilité d'obtenir un billet de 50 euros SACHANT que la boule tirée porte la lettre A. Le « et » de l'énoncé demande une intersection, donc le produit des probabilités le long du chemin, et le résultat est forcément plus petit que $P(A)=0{,}25$.

3. Formule des probabilités totales, avec la partition $\{A\,;\overline{A}\}$ de l'univers : $P(C)=P(A\cap C)+P(\overline{A}\cap C)$. Le premier terme vient de la question 2 ; le second se lit sur le chemin $\overline{A}$ puis $C$ : $P(\overline{A}\cap C)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(C)=0{,}75\times 0{,}25=0{,}187\,5$.

Donc $P(C)=0{,}15+0{,}187\,5=0{,}337\,5$, ce qu'il fallait démontrer. En fractions : $\dfrac{3}{20}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{12}{80}+\dfrac{15}{80}=\dfrac{27}{80}=0{,}337\,5$.

La rédaction attendue nomme la formule des probabilités totales ET la partition $\{A\,;\overline{A}\}$ : c'est elle qui justifie l'addition. Erreur fréquente : faire la moyenne des deux urnes, $\dfrac{0{,}6+0{,}25}{2}=0{,}425$, ce qui revient à supposer que chaque urne est choisie avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ ; or l'urne B est choisie trois fois plus souvent que l'urne A.

4. On sait que le joueur a obtenu un billet de 10 euros, c'est-à-dire que $\overline{C}$ est réalisé. La probabilité qu'il ait obtenu au préalable une boule B est la probabilité conditionnelle $P_{\overline{C}}(\overline{A})$. L'arbre est construit dans l'autre sens (de $A$ vers $C$), donc on revient à la définition : $P_{\overline{C}}(\overline{A})=\dfrac{P(\overline{A}\cap\overline{C})}{P(\overline{C})}$.

Numérateur, sur le chemin $\overline{A}$ puis $\overline{C}$ : $P(\overline{A}\cap\overline{C})=0{,}75\times 0{,}75=0{,}562\,5$. Dénominateur, par l'évènement contraire : $P(\overline{C})=1-P(C)=1-0{,}337\,5=0{,}662\,5$.

Donc $P_{\overline{C}}(\overline{A})=\dfrac{0{,}562\,5}{0{,}662\,5}=\dfrac{5\,625}{6\,625}=\dfrac{45}{53}\approx 0{,}849$. Comme $0{,}849>0{,}8$, il y a bien plus de $80\,\%$ de chances que le joueur ait obtenu une boule B : l'affirmation est VRAIE.

Vérification : $P(A\cap\overline{C})=0{,}25\times 0{,}4=0{,}1$ et $0{,}1+0{,}562\,5=0{,}662\,5=P(\overline{C})$, la même valeur par les probabilités totales. Le piège est de répondre avec $P(\overline{A})=0{,}75$ (on oublie l'information « billet de 10 euros ») ou avec $P_{\overline{A}}(\overline{C})=0{,}75$ (on inverse le conditionnement) : les deux mènent à « faux », alors que l'information rend la boule B encore plus probable, puisque l'urne B contient proportionnellement plus de billets de 10 euros.

5. La variable $X_1$ prend deux valeurs : $50$ avec la probabilité $P(C)=0{,}337\,5$ et $10$ avec la probabilité $P(\overline{C})=0{,}662\,5$. Loi de $X_1$ : $P(X_1=50)=0{,}337\,5$ et $P(X_1=10)=0{,}662\,5$, de somme $1$.

Espérance, par définition : $E(X_1)=50\times 0{,}337\,5+10\times 0{,}662\,5=16{,}875+6{,}625=23{,}5$, soit $23{,}50$ euros.

Variance, par la formule de König-Huygens $V(X_1)=E(X_1^{2})-E(X_1)^{2}$ : $E(X_1^{2})=50^{2}\times 0{,}337\,5+10^{2}\times 0{,}662\,5=843{,}75+66{,}25=910$, donc $V(X_1)=910-23{,}5^{2}=910-552{,}25=357{,}75$.

Vérification par la définition $V(X_1)=\sum p_{i}\left(x_{i}-E(X_1)\right)^{2}$ : $0{,}337\,5\times 26{,}5^{2}+0{,}662\,5\times 13{,}5^{2}=237{,}009\,375+120{,}740\,625=357{,}75$, la même valeur. Erreur fréquente : soustraire $E(X_1)=23{,}5$ au lieu de son carré, ou oublier d'élever $50$ et $10$ au carré dans $E(X_1^{2})$.

6.a. Après remise de la boule et du billet, la deuxième partie se joue dans les mêmes conditions que la première : $X_2$ suit la même loi que $X_1$, donc $E(X_2)=23{,}5$. Par linéarité de l'espérance, valable sans aucune hypothèse d'indépendance : $E(Y)=E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)=23{,}5+23{,}5=47$.

Interprétation : en deux parties, le joueur gagne en moyenne $47$ euros.

6.b. La variance d'une somme n'est égale à la somme des variances que si les variables sont INDÉPENDANTES. C'est le cas ici : la boule et le billet ayant été remis, le sac et les urnes retrouvent leur composition initiale, et le résultat de la première partie n'a aucune influence sur la seconde. Les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont donc indépendantes, d'où $V(Y)=V(X_1)+V(X_2)$.

Numériquement, $V(Y)=2\times 357{,}75=715{,}5$. Le piège est de répondre « par linéarité » : la variance n'est pas linéaire ($V(2X_1)=4V(X_1)$, pas $2V(X_1)$), et c'est bien l'indépendance, garantie par la remise, qu'il faut citer.

7. Les cent parties sont jouées dans les mêmes conditions, avec remise : les variables $X_1$, $X_2$, ..., $X_{100}$ sont indépendantes et suivent toutes la loi de $X_1$. Par linéarité de l'espérance, $E(Z)=100\times 23{,}5=2\,350$ ; par indépendance, $V(Z)=100\times 357{,}75=35\,775$.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $Z$ : pour tout réel $\delta>0$, $P\left(\left|Z-E(Z)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(Z)}{\delta^{2}}$. L'intervalle $]1\,950\,;2\,750[$ est centré en $2\,350=E(Z)$ : $2\,350-400=1\,950$ et $2\,350+400=2\,750$. On prend donc $\delta=400$, et $Z\in\,]1\,950\,;2\,750[\iff\left|Z-2\,350\right|<400$.

L'inégalité donne $P\left(\left|Z-2\,350\right|\geqslant 400\right)\leqslant\dfrac{35\,775}{400^{2}}=\dfrac{35\,775}{160\,000}\approx 0{,}224$. On passe à l'évènement contraire, ce qui renverse le sens de l'inégalité : $P\left(1\,950<Z<2\,750\right)=1-P\left(\left|Z-2\,350\right|\geqslant 400\right)\geqslant 1-\dfrac{35\,775}{160\,000}\approx 0{,}776$.

Comme $0{,}776\geqslant 0{,}75$, la probabilité que $Z$ appartienne à $]1\,950\,;2\,750[$ est bien supérieure ou égale à $0{,}75$. En une phrase : sur cent parties, le joueur gagne au total entre $1\,950$ et $2\,750$ euros avec une probabilité d'au moins $0{,}75$.

Pièges : prendre $\delta=800$, la largeur de l'intervalle au lieu de sa DEMI-largeur ; multiplier la variance par $100^{2}$ au lieu de $100$ (c'est la somme, pas $100X_1$) ; et oublier de passer à l'évènement contraire, en concluant sur $0{,}224$.

1. Méthode : le triangle ABC est rectangle en B si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$, issus du sommet B, sont orthogonaux, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul. Le repère est orthonormé, on peut donc calculer le produit scalaire avec les coordonnées.

Coordonnées : $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\begin{pmatrix}4-5\\-4-(-3)\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\begin{pmatrix}6-5\\-2-(-3)\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-1)\times 1+(-1)\times 1+2\times 1=-1-1+2=0$. Les deux vecteurs sont non nuls et orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en B.

Vérification par la réciproque du théorème de Pythagore : $\mathrm{BA}^{2}=1+1+4=6$, $\mathrm{BC}^{2}=1+1+1=3$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}(2\,;2\,;-1)$ donne $\mathrm{AC}^{2}=4+4+1=9=6+3$. Le côté le plus long, $[\mathrm{AC}]$, est l'hypoténuse, opposée à B. Piège : calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ou un autre produit qui ne part pas de B ; l'angle droit se teste au sommet annoncé.

2. Deux rédactions sont acceptées. Première méthode, la plus directe : les coordonnées des trois points vérifient l'équation. Pour A : $4-(-4)-8=0$ ; pour B : $5-(-3)-8=0$ ; pour C : $6-(-2)-8=0$. Les points A, B et C ne sont pas alignés, puisqu'ils forment un triangle rectangle (question 1, côtés de longueurs non nulles, vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ orthogonaux donc non colinéaires). Ils définissent donc un unique plan, et l'équation $x-y-8=0$, qui est bien celle d'un plan, en est une équation cartésienne.

Seconde méthode, par un vecteur normal : le vecteur $\vec{n}(1\,;-1\,;0)$ lu sur l'équation vérifie $\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=-1+1+0=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=1-1+0=0$. Orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), il lui est normal ; le plan a donc une équation $x-y+e=0$, et A donne $4+4+e=0$, soit $e=-8$.

Piège : vérifier seulement que deux points sont sur le plan. Une infinité de plans contiennent deux points ; il faut les trois, et rappeler qu'ils ne sont pas alignés.

3.a. La droite $d$ est orthogonale au plan (ABC) : elle est dirigée par un vecteur normal du plan, $\vec{n}(1\,;-1\,;0)$, lu sur les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation $x-y-8=0$. Elle passe par $\mathrm{D}(5\,;1\,;1)$.

Une représentation paramétrique de $d$ est donc : $x=5+t$, $y=1-t$, $z=1$, avec $t\in\mathbb{R}$. Contrôle : $t=0$ redonne D.

Piège : oublier la composante nulle de $\vec{n}$ et écrire $z=1+t$, ou prendre $-8$ pour une coordonnée du vecteur normal. Le coefficient de $z$ est $0$ : la droite $d$ reste dans le plan horizontal $z=1$.

3.b. Le projeté orthogonal H de D sur le plan (ABC) est le point d'intersection de ce plan avec la droite $d$, perpendiculaire au plan et passant par D. On cherche donc la valeur de $t$ pour laquelle le point $(5+t\,;1-t\,;1)$ de $d$ vérifie l'équation du plan : $(5+t)-(1-t)-8=0\iff 2t-4=0\iff t=2$.

En remplaçant dans la représentation paramétrique : $x=5+2=7$, $y=1-2=-1$, $z=1$. Donc $\mathrm{H}(7\,;-1\,;1)$.

Vérification : $7-(-1)-8=0$, H est bien sur le plan, et $\overrightarrow{\mathrm{DH}}(2\,;-2\,;0)=2\vec{n}$ est bien colinéaire au vecteur normal. Erreur fréquente : donner $t=2$ comme réponse ; on demande les COORDONNÉES de H.

3.c. $\overrightarrow{\mathrm{DH}}\begin{pmatrix}7-5\\-1-1\\1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}$, donc, le repère étant orthonormé, $\mathrm{DH}=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Interprétation : DH est la distance du point D au plan (ABC), puisque H est le projeté orthogonal de D sur ce plan. C'est aussi la hauteur de la pyramide ABCD issue de D, ce qui sert à la question suivante.

4.a. On prend pour base le triangle ABC et pour hauteur correspondante $h=\mathrm{DH}$ : H appartient au plan (ABC) et $(\mathrm{DH})$ lui est orthogonale. Le triangle ABC étant rectangle en B, son aire est le demi-produit des côtés de l'angle droit : $\mathcal{B}=\dfrac{\mathrm{BA}\times\mathrm{BC}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}\times\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{18}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.

Volume : $V=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\times 2\sqrt{2}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\times 2\times 2}{2}=\dfrac{1}{3}\times 6=2$, car $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$. Le volume de la pyramide ABCD est égal à $2$ (unités de volume).

Piège : prendre $\mathrm{AC}\times\mathrm{BC}$ ou $\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}$ pour l'aire ; l'hypoténuse $[\mathrm{AC}]$ n'est pas un côté de l'angle droit. Autre piège : oublier de justifier que DH est bien la hauteur relative à la base ABC.

4.b. Le volume d'une pyramide ne dépend pas de la face choisie comme base. En prenant cette fois la base BCD, la hauteur correspondante est la distance $h'$ du point A au plan (BCD) : $V=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}\times h'$, d'où $h'=\dfrac{3V}{\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}}$.

Avec $V=2$ et $\mathcal{A}_{\mathrm{BCD}}=\dfrac{\sqrt{42}}{2}$ : $h'=\dfrac{3\times 2}{\frac{\sqrt{42}}{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{42}}=\dfrac{12\sqrt{42}}{42}=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}\approx 1{,}85$. La distance du point A au plan (BCD) vaut $\dfrac{2\sqrt{42}}{7}$.

Vérification de l'aire admise : $\overrightarrow{\mathrm{BC}}(1\,;1\,;1)$ et $\overrightarrow{\mathrm{BD}}(0\,;4\,;-1)$ donnent $\mathrm{BC}^{2}=3$, $\mathrm{BD}^{2}=17$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}=3$, et l'aire $\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathrm{BC}^{2}\times\mathrm{BD}^{2}-\left(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right)^{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{51-9}=\dfrac{\sqrt{42}}{2}$. Les deux écritures $\dfrac{12}{\sqrt{42}}$ et $\dfrac{2\sqrt{42}}{7}$ sont des valeurs exactes ; la seconde, sans racine au dénominateur, est la forme usuelle. Erreur fréquente : oublier le facteur $3$ et écrire $h'=\dfrac{V}{\mathcal{A}}$, soit $\dfrac{4}{\sqrt{42}}$, trois fois trop petit.

A.1. Dérivée d'un produit $uv$, avec $u(x)=x$, $u'(x)=1$, et $v(x)=\mathrm{e}^{1-x}$, de la forme $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=1-x$, donc $v'(x)=w'(x)\mathrm{e}^{w(x)}=-\mathrm{e}^{1-x}$.

$f'_1(x)=1\times\mathrm{e}^{1-x}+x\times\left(-\mathrm{e}^{1-x}\right)=(1-x)\mathrm{e}^{1-x}$.

Signe : une exponentielle est strictement positive, donc $\mathrm{e}^{1-x}>0$ ; et pour $x\in[0\,;1[$, $x<1$ donne $1-x>0$. Un produit de deux facteurs strictement positifs est strictement positif : $f'_1(x)>0$ pour tout $x\in[0\,;1[$.

Le crochet ouvert en $1$ n'est pas un hasard : $f'_1(1)=0$. Erreur fréquente : oublier le signe moins de la dérivée de $\mathrm{e}^{1-x}$, ce qui donne $(1+x)\mathrm{e}^{1-x}$, positif lui aussi, mais faux, et qui ne s'annule pas en $1$.

A.2. La dérivée est strictement positive sur $[0\,;1[$ et ne s'annule qu'en $x=1$, borne de l'intervalle : la fonction $f_1$ est donc strictement croissante sur $[0\,;1]$. Valeurs aux bornes : $f_1(0)=0\times\mathrm{e}^{1}=0$ et $f_1(1)=1\times\mathrm{e}^{0}=1$.

Le tableau de variations, reproduit en fin de corrigé, porte la ligne de $f'_1(x)$ (signe $+$ sur $[0\,;1[$, $0$ en $1$) et une flèche montante de $0$ à $1$. Les valeurs aux extrémités des flèches font partie des points attendus : un tableau sans $f_1(0)$ ni $f_1(1)$ est incomplet, et ce sont elles qui servent à la question suivante.

A.3. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas d'une fonction strictement monotone). La fonction $f_1$ est continue sur $[0\,;1]$, car dérivable, et strictement croissante sur cet intervalle. De plus $f_1(0)=0$ et $f_1(1)=1$, et $0{,}1\in[0\,;1]$ : $0{,}1$ est compris entre $f_1(0)$ et $f_1(1)$.

Donc l'équation $f_1(x)=0{,}1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0\,;1]$. Les trois hypothèses doivent être écrites : continuité (pour l'existence), stricte monotonie (pour l'unicité), et la valeur $0{,}1$ entre les images des bornes.

Une valeur approchée, que l'énoncé ne demande pas, se trouve par balayage à la calculatrice : $f_1(0{,}038)\approx 0{,}099\,4<0{,}1$ et $f_1(0{,}039)\approx 0{,}102\,0>0{,}1$, donc $0{,}038<\alpha<0{,}039$. Piège : citer le théorème des valeurs intermédiaires sans la stricte croissance ; on n'obtient alors que l'EXISTENCE d'une solution, pas son unicité.

B.1.a. Soit $x\in[0\,;1]$ et $n$ un entier naturel non nul. D'une part $x\geqslant 0$, donc $x^{n+1}\geqslant 0$. D'autre part $x^{n+1}=x\times x^n$ ; comme $x\leqslant 1$ et $x^n\geqslant 0$, on peut multiplier l'inégalité $x\leqslant 1$ par $x^n$ sans en changer le sens : $x\times x^n\leqslant 1\times x^n$, c'est-à-dire $x^{n+1}\leqslant x^n$.

Conclusion : $0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^n$. Autre rédaction : $x^n-x^{n+1}=x^n(1-x)$, produit de deux nombres positifs. Le point clé est que l'on travaille sur $[0\,;1]$ : pour $x>1$ l'inégalité serait renversée.

B.1.b. Pour tout $x\in[0\,;1]$, $\mathrm{e}^{1-x}>0$ ; en multipliant l'encadrement de B.1.a par ce nombre strictement positif, le sens des inégalités est conservé : $0\leqslant x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x}\leqslant x^n\mathrm{e}^{1-x}$, soit $0\leqslant f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x)$.

Les fonctions sont continues sur $[0\,;1]$ et les bornes sont dans l'ordre croissant ($0\leqslant 1$). Par positivité puis croissance de l'intégrale : $0\leqslant\displaystyle\int_0^1 f_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x\leqslant\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$, c'est-à-dire $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.

Piège : oublier de dire que $\mathrm{e}^{1-x}>0$ avant de multiplier, ou que les bornes sont dans le bon ordre avant d'intégrer ; ce sont les deux justifications que le correcteur cherche.

B.1.c. D'après B.1.b, pour tout $n\geqslant 1$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante. Et $u_{n+1}\geqslant 0$ pour tout $n\geqslant 1$, avec $u_1=\mathrm{e}-2>0$ : la suite est minorée par $0$.

Par le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge : la suite $(u_n)$ est convergente. Attention, ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur ; il dit seulement qu'elle est supérieure ou égale à $0$. C'est la partie B.3 qui la détermine.

B.2.a. Formule d'intégration par parties : pour $u$ et $v$ dérivables à dérivées continues sur $[0\,;1]$, $\displaystyle\int_0^1 u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=\big[u(x)v(x)\big]_0^1-\displaystyle\int_0^1 u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$.

Dans $u_{n+1}=\displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x$, on pose $u(x)=x^{n+1}$, donc $u'(x)=(n+1)x^n$, et $v'(x)=\mathrm{e}^{1-x}$, donc $v(x)=-\mathrm{e}^{1-x}$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;1]$.

$u_{n+1}=\left[-x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x}\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1 (n+1)x^n\times\left(-\mathrm{e}^{1-x}\right)\mathrm{d}x=\left(-1\times\mathrm{e}^{0}+0\right)+(n+1)\displaystyle\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x$. Le crochet vaut $-1$, car $0^{n+1}=0$ pour $n\geqslant 1$. Donc $u_{n+1}=(n+1)u_n-1$.