Bac 2025 de spécialité maths, Polynésie jour 1 : sujet officiel et corrigé

A.1. On traduit chaque pourcentage de l'énoncé en se demandant à quelle population il se rapporte. « $17\,\%$ de la population habite en zone rurale » porte sur tout le monde : $P(R)=0{,}17$, d'où $P(\overline{R})=0{,}83$. « Parmi les enfants vivant en zone rurale, $6{,}2\,\%$ sont atteints » porte sur les seuls enfants ruraux : c'est la probabilité conditionnelle $P_{R}(A)=0{,}062$, d'où $P_{R}(\overline{A})=1-0{,}062=0{,}938$.

L'arbre a donc un premier niveau $R$ ($0{,}17$) et $\overline{R}$ ($0{,}83$), puis, issues de $R$, les branches $A$ ($0{,}062$) et $\overline{A}$ ($0{,}938$). Les branches issues de $\overline{R}$ restent à compléter : l'énoncé ne donne pas directement la proportion d'enfants allergiques en zone urbaine, c'est la question A.2.c qui la calcule. L'arbre complété figure en fin de corrigé.

Le piège de la question : placer $0{,}09$ sur une branche. Les $9\,\%$ portent sur TOUS les enfants : c'est $P(A)$, une probabilité totale, qui ne se lit sur aucune branche de cet arbre mais s'obtient en additionnant deux chemins. Elle sert à la question A.2.b.

A.2.a. Probabilité d'une intersection, lue sur un chemin de l'arbre (formule des probabilités composées) : $P(R\cap A)=P(R)\times P_{R}(A)=0{,}17\times 0{,}062=0{,}010\,54$.

La probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire vaut $0{,}010\,54$, valeur exacte comme l'exige l'énoncé. Contrôle : $0{,}010\,54\leqslant P(R)=0{,}17$ et $0{,}010\,54\leqslant P(A)=0{,}09$, comme toute intersection. Erreur fréquente : répondre $0{,}062$, qui est la probabilité d'être allergique SACHANT qu'on vit en zone rurale.

A.2.b. Formule des probabilités totales, avec la partition $\{R\,;\overline{R}\}$ de l'univers : $P(A)=P(R\cap A)+P(\overline{R}\cap A)$. On connaît $P(A)=0{,}09$ (les $9\,\%$ de l'énoncé) et $P(R\cap A)$ (question précédente), donc $P(\overline{R}\cap A)=0{,}09-0{,}010\,54=0{,}079\,46$.

La probabilité que l'enfant habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire vaut $0{,}079\,46$. Le « en déduire » de l'énoncé signale justement cette soustraction : la seule information sur la zone urbaine est cachée dans le total.

A.2.c. On sait que l'enfant habite en zone urbaine : on cherche la probabilité conditionnelle $P_{\overline{R}}(A)$. Par définition, $P_{\overline{R}}(A)=\dfrac{P(\overline{R}\cap A)}{P(\overline{R})}=\dfrac{0{,}079\,46}{0{,}83}\approx 0{,}095\,735$, soit $0{,}095\,7$ arrondi à $10^{-4}$.

Interprétation et vérification : environ $9{,}57\,\%$ des enfants des zones urbaines sont atteints d'allergie alimentaire, contre $6{,}2\,\%$ en zone rurale. On retrouve la « différence nette » annoncée par l'étude, et la moyenne pondérée $0{,}17\times 0{,}062+0{,}83\times 0{,}095\,735$ redonne bien $0{,}09$.

Erreur fréquente : diviser par $P(A)$ au lieu de $P(\overline{R})$, ce qui donne $P_{A}(\overline{R})\approx 0{,}882\,9$, la proportion d'urbains parmi les enfants allergiques. Le dénominateur est toujours la probabilité de l'événement que l'on SAIT réalisé.

B.1. On reconnaît un schéma de Bernoulli. Chaque interrogation d'un enfant est une épreuve de Bernoulli : succès « l'enfant est atteint d'allergie alimentaire », de probabilité $p=P(A)=0{,}09$, échec sinon. On répète cette épreuve $n=100$ fois, de façon identique et indépendante, puisque le choix est assimilé à des tirages successifs indépendants avec remise.

$X$ compte le nombre de succès sur ces $100$ répétitions : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0{,}09$, notée $\mathcal{B}(100\,;0{,}09)$. Les trois éléments attendus par le correcteur sont là : épreuves de Bernoulli identiques, indépendance, $X$ compte les succès.

Le piège : prendre $p=0{,}062$ ou $p\approx 0{,}0957$. L'enfant est choisi dans toute la population des États-Unis, sans condition sur sa zone : la probabilité de succès est la probabilité totale $P(A)=0{,}09$.

B.2. « Au moins 10 » se traite par l'événement contraire : $P(X\geqslant 10)=1-P(X\leqslant 9)$. La calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale, $n=100$, $p=0{,}09$, borne $9$) donne $P(X\leqslant 9)\approx 0{,}587\,5$, d'où $P(X\geqslant 10)\approx 0{,}412\,5$ arrondi à $10^{-4}$.

Ordre de grandeur : l'espérance de $X$ vaut $np=100\times 0{,}09=9$. Demander au moins $10$ enfants allergiques, c'est demander un peu plus que la moyenne : une probabilité un peu inférieure à $0{,}5$ est cohérente.

Erreur fréquente, et elle coûte le point : écrire $1-P(X\leqslant 10)\approx 0{,}288\,2$. Le contraire de « $X\geqslant 10$ » est « $X\leqslant 9$ », car $X$ ne prend que des valeurs entières.

C.1. $A_1+A_2+\ldots+A_{20}$ est la somme des âges d'apparition des premiers symptômes des 20 enfants ; divisée par $20$, elle donne leur moyenne. $M_{20}$ représente donc l'âge moyen d'apparition des premiers symptômes allergiques dans l'échantillon de 20 enfants allergiques (l'unité, sans doute l'année, n'est pas précisée par l'énoncé).

C.2. Espérance, par linéarité, valable sans hypothèse : $\mathrm{E}(M_{20})=\dfrac{1}{20}\left(\mathrm{E}(A_1)+\cdots+\mathrm{E}(A_{20})\right)=\dfrac{20\times 4}{20}=4$.

Variance : $\mathrm{V}(aZ)=a^{2}\,\mathrm{V}(Z)$, et les $A_i$ étant INDÉPENDANTES, la variance de leur somme est la somme de leurs variances. Donc $\mathrm{V}(M_{20})=\dfrac{1}{20^{2}}\times 20\times 2{,}25=\dfrac{2{,}25}{20}=0{,}112\,5$.

Les deux pièges : sortir $\dfrac{1}{20}$ sans le carré, ce qui laisse $\mathrm{V}(M_{20})=2{,}25$, et additionner les variances sans citer l'indépendance, seule raison pour laquelle on en a le droit.

C.3. L'inégalité de concentration, appliquée à la moyenne $M_{20}$ d'un échantillon de $20$ variables indépendantes de même loi d'espérance $\mu=4$ et de variance $V=2{,}25$, s'écrit pour tout réel $\delta>0$ : $P\left(\left|M_{20}-4\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V}{20\,\delta^{2}}$. C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_{20}$, de variance $\dfrac{V}{20}=0{,}112\,5$.

L'intervalle $]2\,;6[$ est centré en $4$, de demi-largeur $2$ : $2<M_{20}<6\iff\left|M_{20}-4\right|<2$. Avec $\delta=2$ : $P\left(\left|M_{20}-4\right|\geqslant 2\right)\leqslant\dfrac{2{,}25}{20\times 4}=0{,}028\,125$.

On passe à l'événement contraire, ce qui renverse le sens de l'inégalité : $P(2<M_{20}<6)=1-P\left(\left|M_{20}-4\right|\geqslant 2\right)\geqslant 1-0{,}028\,125=0{,}971\,875$. Comme $0{,}971\,875>0{,}97$, on obtient bien $P(2<M_{20}<6)>0{,}97$.

Interprétation : dans un échantillon de 20 enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au hasard, l'âge moyen d'apparition des premiers symptômes est strictement compris entre 2 et 6 ans avec une probabilité supérieure à $0{,}97$.

Deux pièges : prendre $\delta=6-2=4$, la largeur entière, au lieu de la DEMI-largeur $2$ ; et utiliser la variance $2{,}25$ d'un seul enfant au lieu de celle de la moyenne, ce qui donnerait la majoration $0{,}562\,5$ et ne prouverait rien.

1. L'avion Bêta touche le sol au point de $d_{\mathrm{B}}$ qui appartient au plan $P_0$ d'équation $z=0$. On cherche donc le paramètre $t$ tel que $z=0$ : $11-4t=0\iff t=\dfrac{11}{4}$.

On remplace dans les deux autres équations : $x=-11+5\times\dfrac{11}{4}=\dfrac{-44+55}{4}=\dfrac{11}{4}$ et $y=-5+\dfrac{11}{4}=-\dfrac{9}{4}$. Le point S a pour coordonnées $\left(\dfrac{11}{4}\,;-\dfrac{9}{4}\,;0\right)$, soit $(2{,}75\,;-2{,}25\,;0)$.

Vérification : $z_{\mathrm{S}}=11-4\times 2{,}75=0$. Le paramètre $t=2{,}75$ est positif, ce qui est cohérent avec un avion qui descend : $z$ diminue quand $t$ augmente, puisque le coefficient de $t$ dans $z$ vaut $-4$. Erreur fréquente : poser $t=0$, qui donne le point B $(-11\,;-5\,;11)$, en altitude.

2.a. Une droite de l'espace est déterminée par un point et un vecteur directeur. $d_{\mathrm{A}}$ passe par $\mathrm{A}(-7\,;1\,;7)$ et est dirigée par $\vec{u}(2\,;-1\,;-3)$ : un point $M(x\,;y\,;z)$ lui appartient si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{A}M}=k\vec{u}$, ce qui donne la représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}x=-7+2k\\y=1-k\\z=7-3k\end{array}\right.$, $k\in\mathbb{R}$.

On prend un nom de paramètre différent de celui de $d_{\mathrm{B}}$ ($k$ au lieu de $t$) : c'est indispensable à la question suivante, où les deux paramètres sont des inconnues distinctes. Toute autre représentation correcte (autre point de la droite, vecteur directeur colinéaire à $\vec{u}$) est acceptée.

2.b. Pour entrer en collision, les deux avions devraient au moins se trouver un jour au même point, donc leurs trajectoires devraient avoir un point commun. On étudie la position relative de $d_{\mathrm{A}}$ et $d_{\mathrm{B}}$.

Parallélisme : $\vec{u}(2\,;-1\,;-3)$ et le vecteur directeur $\vec{v}(5\,;1\,;-4)$ de $d_{\mathrm{B}}$ ne sont pas colinéaires, car $\dfrac{5}{2}\neq\dfrac{1}{-1}$. Les droites ne sont donc pas parallèles.

Point commun : on cherche $k$ et $t$ tels que $-7+2k=-11+5t$, $1-k=-5+t$ et $7-3k=11-4t$. La deuxième équation donne $t=6-k$. En remplaçant dans la première : $-7+2k=-11+30-5k$, soit $7k=26$, $k=\dfrac{26}{7}$, puis $t=6-\dfrac{26}{7}=\dfrac{16}{7}$.

On teste la troisième équation : $7-3\times\dfrac{26}{7}=\dfrac{49-78}{7}=-\dfrac{29}{7}$ alors que $11-4\times\dfrac{16}{7}=\dfrac{77-64}{7}=\dfrac{13}{7}$. Les deux valeurs diffèrent : le système n'a pas de solution et les droites n'ont aucun point commun.

Non parallèles et non sécantes, $d_{\mathrm{A}}$ et $d_{\mathrm{B}}$ sont non coplanaires. Les trajectoires ne se coupent jamais : les deux avions ne peuvent pas entrer en collision, tant qu'ils ne dévient pas de leur trajectoire.

Deux pièges. Utiliser la même lettre $t$ pour les deux droites, ce qui revient à imposer que les avions passent au même point « pour la même valeur du paramètre » et fausse la résolution. Et se fier à la figure : les deux droites y semblent se croiser, mais c'est un effet de la perspective, que le calcul dément. On ne conclut jamais sur un dessin en perspective.

3.a. On cherche un réel $k$ qui donne les coordonnées de E dans la représentation de $d_{\mathrm{A}}$. La première équation, $-7+2k=-3$, donne $k=2$. On vérifie les deux autres avec $k=2$ : $y=1-2=-1$ et $z=7-3\times 2=1$. Les trois coordonnées correspondent : $\mathrm{E}(-3\,;-1\,;1)$ appartient à $d_{\mathrm{A}}$, l'avion Alpha passe par la position E.

Erreur fréquente : s'arrêter après la première équation. Le $k$ trouvé doit satisfaire LES TROIS équations, sinon le point n'est pas sur la droite.

3.b. Un plan perpendiculaire à une droite admet pour vecteur normal un vecteur directeur de cette droite. Le vecteur $\vec{u}(2\,;-1\,;-3)$ est donc normal à $P_{\mathrm{E}}$, qui a une équation de la forme $2x-y-3z+d=0$.

Le plan passe par $\mathrm{E}(-3\,;-1\,;1)$ : $2\times(-3)-(-1)-3\times 1+d=0$, soit $-6+1-3+d=0$, d'où $d=8$. Une équation cartésienne de $P_{\mathrm{E}}$ est bien $2x-y-3z+8=0$.

Autre rédaction, tout aussi valable : $M(x\,;y\,;z)\in P_{\mathrm{E}}\iff\overrightarrow{\mathrm{E}M}\cdot\vec{u}=0\iff 2(x+3)-(y+1)-3(z-1)=0\iff 2x-y-3z+8=0$.

3.c. Deux vérifications, plus une troisième que l'on oublie souvent. F appartient au plan : $2\times(-1)-(-3)-3\times 3+8=-2+3-9+8=0$. F appartient à $d_{\mathrm{B}}$ : $-11+5t=-1$ donne $t=2$, puis $y=-5+2=-3$ et $z=11-4\times 2=3$, ce sont bien les coordonnées de F.

Il reste à justifier que F est LE point d'intersection, c'est-à-dire que la droite ne coupe pas le plan en d'autres points (cas d'une droite contenue dans le plan). Le produit scalaire du vecteur directeur $\vec{v}(5\,;1\,;-4)$ de $d_{\mathrm{B}}$ et du vecteur normal $\vec{u}$ vaut $5\times 2+1\times(-1)+(-4)\times(-3)=10-1+12=21\neq 0$ : $d_{\mathrm{B}}$ n'est pas parallèle à $P_{\mathrm{E}}$, elle le coupe en un point unique, qui est F.

3.d. Distance dans un repère orthonormé : $\overrightarrow{\mathrm{EF}}\,(-1-(-3)\,;-3-(-1)\,;3-1)=(2\,;-2\,;2)$, donc $\mathrm{EF}=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

L'unité des axes étant le kilomètre, $\mathrm{EF}=2\sqrt{3}$ km $\approx 3{,}464\,1$ km, soit $3\,464$ m à 1 m près. La valeur exacte attendue est $2\sqrt{3}$ (ou $\sqrt{12}$) ; la valeur approchée ne vient qu'ensuite. Erreur fréquente : oublier la conversion et annoncer « $3{,}464$ m ».

4. On convertit la distance réglementaire : $3$ milles nautiques valent $3\times 1\,852=5\,556$ m. Or, si les avions sont en E et F au même instant, ils sont distants de $\mathrm{EF}\approx 3\,464$ m, et $3\,464<5\,556$.

La distance de sécurité n'est donc pas respectée : il manque près de $2\,100$ m. Le fait que les trajectoires ne se coupent pas (question 2.b) ne suffit pas à garantir la sécurité, c'est l'idée de cette dernière question : deux droites non coplanaires peuvent passer très près l'une de l'autre.

A.1.a. Pour $n\geqslant 1$, $f_n$ est le produit $u\times v$ avec $u(x)=x^n$, $u'(x)=nx^{n-1}$, et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{ax}$ avec $a=-1$). Par la formule $(uv)'=u'v+uv'$ : $f'_n(x)=nx^{n-1}\mathrm{e}^{-x}-x^n\mathrm{e}^{-x}$.

On factorise par $x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}$, en écrivant $x^n=x\times x^{n-1}$ : $f'_n(x)=x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}(n-x)=(n-x)x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}$, pour tout $x\geqslant 0$.

Vérification sur $n=1$ : $f_1(x)=x\mathrm{e}^{-x}$, $f'_1(x)=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$, et la formule donne bien $(1-x)x^{0}\mathrm{e}^{-x}$. Erreur fréquente : oublier le signe moins de la dérivée de $\mathrm{e}^{-x}$, ce qui donne $(n+x)$ et une fonction toujours croissante.

A.1.b. Signe de la dérivée. Pour $x\geqslant 0$, $x^{n-1}\geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$ : $f'_n(x)$ a le signe de $n-x$. Il est positif pour $x<n$ (strictement sur $]0\,;n[$), nul en $x=n$, négatif pour $x>n$. Pour $n\geqslant 2$, $f'_n(0)=0$ aussi, mais cette annulation en un point isolé n'empêche pas $f_n$ d'être strictement croissante sur $[0\,;n]$. Donc $f_n$ est croissante sur $[0\,;n]$ et décroissante sur $[n\,;+\infty[$.

Valeurs du tableau. $f_n(0)=0^n\mathrm{e}^{0}=0$, car $n\geqslant 1$. Le maximum, atteint en $x=n$, vaut $f_n(n)=n^n\mathrm{e}^{-n}=\dfrac{n^n}{\mathrm{e}^n}=\left(\dfrac{n}{\mathrm{e}}\right)^n$.

Limite en $+\infty$. On écrit $f_n(x)=\dfrac{x^n}{\mathrm{e}^{x}}$. Par croissance comparée, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n}=+\infty$, donc par passage à l'inverse $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{\mathrm{e}^x}=0$. La forme $x^n\mathrm{e}^{-x}$ est une forme indéterminée « $+\infty\times 0$ » : c'est le théorème de croissance comparée, et lui seul, qui la lève. Écrire « l'exponentielle l'emporte » sans citer le théorème coûte le point.

Contrôle numérique : pour $n=2$, le maximum vaut $\left(\dfrac{2}{\mathrm{e}}\right)^2\approx 0{,}541$, atteint en $x=2$, et $f_2(2)=4\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}541$.

A.2. Le point $\mathrm{A}\left(1\,;\mathrm{e}^{-1}\right)$ appartient à $\mathcal{C}_n$ si et seulement si $f_n(1)=\mathrm{e}^{-1}$. Or $f_n(1)=1^n\mathrm{e}^{-1}=1\times\mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1}$, car $1^n=1$ pour tout entier $n$. Toutes les courbes $\mathcal{C}_n$, $n\geqslant 1$, passent donc par A ; c'est le point commun qu'on voit à droite du graphique de l'annexe, d'ordonnée $\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ (et $\mathcal{C}_0$ y passe aussi, puisque $f_0(1)=\mathrm{e}^{-1}$).

B.1.a. Pour tout $n$, la fonction $f_n$ est continue et positive sur $[0\,;1]$ (produit de $x^n\geqslant 0$ et de $\mathrm{e}^{-x}>0$). Son intégrale $I_n$ est donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

Les deux hypothèses, continuité et POSITIVITÉ, font partie de la réponse : pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale n'est pas une aire.

B.1.b. Sur le graphique, le domaine sous $\mathcal{C}_n$ rétrécit quand $n$ augmente : $\mathcal{C}_{10}$ reste collée à l'axe jusque vers $x=0{,}6$, et $\mathcal{C}_{100}$ jusque vers $x=0{,}95$, avant de remonter en un pic de plus en plus étroit vers le point A. On conjecture que la suite $(I_n)$ est décroissante et converge vers $0$.

B.2. Une primitive de $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}$ sur $[0\,;1]$ est $x\mapsto-\mathrm{e}^{-x}$. Donc $I_0=\displaystyle\int_0^1\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_0^1=-\mathrm{e}^{-1}-\left(-\mathrm{e}^{0}\right)=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\approx 0{,}632$.

Vérification graphique : $\mathcal{C}_0$ descend de $1$ à $0{,}37$ sur $[0\,;1]$, l'aire sous elle est donc entre $0{,}37$ et $1$, et la moyenne des deux bords, $0{,}68$, en est proche. Erreur fréquente : prendre $\mathrm{e}^{-x}$ comme sa propre primitive et trouver $\mathrm{e}^{-1}-1<0$, une aire négative qui doit alerter.

B.3.a. Soit $x\in[0\,;1]$. D'abord $x^{n+1}\geqslant 0$, puisque $x\geqslant 0$. Ensuite on étudie le signe de la différence : $x^{n+1}-x^n=x^n(x-1)$. Sur $[0\,;1]$, $x^n\geqslant 0$ et $x-1\leqslant 0$, donc le produit est négatif ou nul : $x^{n+1}\leqslant x^n$. Finalement $0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^n$.

Autre rédaction : multiplier l'inégalité $0\leqslant x\leqslant 1$ par $x^n\geqslant 0$, ce qui conserve le sens. Le piège est de croire l'inégalité vraie partout : pour $x>1$, c'est l'inverse, $x^{n+1}>x^n$. Elle repose entièrement sur $x\leqslant 1$.

B.3.b. Pour tout $x\in[0\,;1]$, on multiplie l'encadrement de la question précédente par $\mathrm{e}^{-x}>0$, ce qui conserve le sens des inégalités : $0\leqslant x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\leqslant x^n\mathrm{e}^{-x}$, c'est-à-dire $0\leqslant f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x)$.

Les fonctions sont continues sur $[0\,;1]$ et les bornes sont dans l'ordre croissant ($0<1$). Par positivité et croissance de l'intégrale (conservation de l'ordre) : $0\leqslant\displaystyle\int_0^1 f_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x\leqslant\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$, soit $0\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n$.