Bac 2026 de spécialité maths, Polynésie jour 1 : sujet officiel et corrigé

A.1. Méthode : chaque pourcentage de l'énoncé se rapporte à une population, et c'est elle qui décide de la place du nombre dans l'arbre. « Les planches en mousse représentent $80\,\%$ du stock » porte sur TOUT le stock : c'est une branche du premier niveau, $P(M)=0{,}8$, et par l'événement contraire $P(\overline{M})=1-0{,}8=0{,}2$ ($\overline{M}$ : la planche est en résine).

« $75\,\%$ des planches en mousse sont en bon état » porte sur les seules planches en mousse : c'est une probabilité conditionnée par $M$, $P_{M}(B)=0{,}75$. Une planche en mousse qui n'est pas en bon état est recyclée, rien d'autre : $P_{M}(R)=1-0{,}75=0{,}25$. De même, « $60\,\%$ des planches en résine sont en bon état » donne $P_{\overline{M}}(B)=0{,}6$.

Les deux branches issues de $\overline{M}$ vers $R$ et vers $C$ restent vides à ce stade : l'énoncé dit seulement que les $40\,\%$ restants se partagent entre consolidées et recyclées, sans dire comment. C'est la question A.2 qui les donne. Erreur fréquente : partager les $40\,\%$ en deux et écrire $0{,}2$ sur chacune des deux branches, ce que rien ne justifie (on trouvera $0{,}25$ et $0{,}15$). L'arbre complété figure en fin de corrigé.

Contrôle : la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$, $0{,}8+0{,}2=1$ et $0{,}75+0{,}25=1$.

A.2.a. $\overline{M}\cap R$ est l'événement « la planche est en résine ET elle sera recyclée ». L'égalité signifie que si l'on choisit une planche au hasard dans le stock après une saison, la probabilité qu'elle soit en résine et qu'elle soit recyclée vaut $0{,}05$ : autrement dit, $5\,\%$ des planches du stock sont des planches en résine destinées au recyclage.

Erreur fréquente : lire « $5\,\%$ des planches en résine sont recyclées ». Ce serait la probabilité conditionnelle $P_{\overline{M}}(R)$, qui vaut en fait $0{,}25$ (question suivante). Une intersection se rapporte à tout le stock, une probabilité conditionnelle à une sous-population.

A.2.b. La planche est en résine : on cherche $P_{\overline{M}}(C)$. On commence par la branche voisine, par définition d'une probabilité conditionnelle : $P_{\overline{M}}(R)=\dfrac{P\left(\overline{M}\cap R\right)}{P\left(\overline{M}\right)}=\dfrac{0{,}05}{0{,}2}=0{,}25$.

Après une saison, une planche en résine est dans un et un seul des trois états : en bon état, recyclée ou consolidée. Les événements $B$, $R$ et $C$ forment donc une partition, et les trois branches issues de $\overline{M}$ ont pour somme $1$ : $P_{\overline{M}}(C)=1-P_{\overline{M}}(B)-P_{\overline{M}}(R)=1-0{,}6-0{,}25=0{,}15$. C'est le résultat annoncé.

Contrôle : $P\left(\overline{M}\cap C\right)=0{,}2\times 0{,}15=0{,}03$, et les trois produits de la sous-population en résine, $0{,}12+0{,}05+0{,}03$, redonnent bien $P(\overline{M})=0{,}2$.

A.3. Formule des probabilités totales, avec la partition $\left\{M\,;\overline{M}\right\}$ : $P(B)=P(M\cap B)+P\left(\overline{M}\cap B\right)=0{,}8\times 0{,}75+0{,}2\times 0{,}6=0{,}6+0{,}12=0{,}72$.

Or $\dfrac{3}{4}=0{,}75$ et $0{,}72<0{,}75$ : après une saison, seulement $72\,\%$ des planches sont en bon état. La gérante a tort.

Deux erreurs fréquentes. Répondre « oui » parce que $75\,\%$ des planches en mousse sont en bon état : c'est vrai pour la mousse seule, mais la résine, moins résistante ($60\,\%$), fait baisser la proportion sur l'ensemble du stock. Et faire la moyenne simple $\dfrac{0{,}75+0{,}6}{2}=0{,}675$ : les deux sortes de planches ne pèsent pas autant, la moyenne est pondérée par $0{,}8$ et $0{,}2$, et c'est exactement ce que fait la formule des probabilités totales. Contrôle : $0{,}72$ est bien compris entre $0{,}6$ et $0{,}75$, et plus proche de $0{,}75$ puisque la mousse domine le stock.

B.1. Modèle : l'urne contient $n+5$ boules, et le client en tire deux SIMULTANÉMENT. Un tirage est donc une partie à deux éléments de l'ensemble des $n+5$ boules, sans ordre : il y en a $\dbinom{n+5}{2}$. Les boules étant indiscernables au toucher, ces tirages sont équiprobables, et la probabilité d'un événement est le nombre de tirages favorables divisé par $\dbinom{n+5}{2}$.

Le client gagne si les deux boules sont noires ou si les deux boules sont rouges. Deux noires : on choisit $2$ boules parmi les $5$ noires, $\dbinom{5}{2}$ façons. Deux rouges : $\dbinom{n}{2}$ façons. Ces deux événements sont incompatibles (une paire de boules ne peut pas être à la fois noire et rouge), donc leurs nombres de cas s'additionnent : $p=\dfrac{\dbinom{5}{2}+\dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}$.

Remarque : la formule reste valable pour $n=0$ ou $n=1$, avec la convention $\dbinom{n}{2}=0$ quand $n<2$ (on ne peut pas tirer deux boules rouges). Erreur fréquente : compter des tirages ordonnés au numérateur ($5\times 4$) et non ordonnés au dénominateur ; un tirage simultané se compte en combinaisons, des deux côtés.

B.2. On développe les trois coefficients binomiaux avec $\dbinom{m}{2}=\dfrac{m(m-1)}{2}$ : $\dbinom{5}{2}=\dfrac{5\times 4}{2}=10$, $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ et $\dbinom{n+5}{2}=\dfrac{(n+5)(n+4)}{2}$.

Donc $p=\dfrac{10+\dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{(n+5)(n+4)}{2}}$, et en multipliant le numérateur et le dénominateur par $2$ : $p=\dfrac{20+n(n-1)}{(n+5)(n+4)}$.

Vérification sur un cas qu'on sait compter à la main : pour $n=1$, l'urne contient $6$ boules, soit $\dbinom{6}{2}=15$ paires, dont $10$ de deux noires ; la probabilité de gagner vaut $\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$, et la formule donne $\dfrac{20+0}{6\times 5}=\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}$. Le piège : écrire $\dbinom{n+5}{2}=\dfrac{(n+5)(n+6)}{2}$ en se trompant de facteur ; le second facteur est toujours le premier moins $1$.

B.3. On résout dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $p<\dfrac{1}{2}$. Le dénominateur $(n+5)(n+4)$ est strictement positif, donc on peut multiplier les deux membres par $2(n+5)(n+4)$ sans changer le sens : $p<\dfrac{1}{2}\iff 2\left(20+n(n-1)\right)<(n+5)(n+4)\iff 2n^{2}-2n+40<n^{2}+9n+20\iff n^{2}-11n+20<0$.

Trinôme du second degré : $\Delta=(-11)^{2}-4\times 1\times 20=121-80=41>0$, deux racines $n_{1}=\dfrac{11-\sqrt{41}}{2}\approx 2{,}30$ et $n_{2}=\dfrac{11+\sqrt{41}}{2}\approx 8{,}70$. Le coefficient de $n^{2}$ est positif, donc le trinôme est strictement négatif entre ses racines : $n^{2}-11n+20<0\iff n_{1}<n<n_{2}$.

Comme $n$ est un nombre entier de boules, la gérante peut mettre $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ ou $8$ boules rouges : l'ensemble cherché est $\{3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;8\}$.

Vérification aux bords avec la formule de B.2 : pour $n=2$, $p=\dfrac{22}{42}\approx 0{,}524>0{,}5$ ; pour $n=3$, $p=\dfrac{26}{56}\approx 0{,}464<0{,}5$ ; pour $n=8$, $p=\dfrac{76}{156}\approx 0{,}487<0{,}5$ ; pour $n=9$, $p=\dfrac{92}{182}\approx 0{,}505>0{,}5$. Les racines étant irrationnelles, $p$ ne vaut jamais exactement $\dfrac{1}{2}$ : que l'on lise « inférieure » au sens strict ou large, la réponse est la même.

Erreurs fréquentes : répondre par l'intervalle $\left]2{,}3\,;8{,}7\right[$ sans revenir aux entiers, alors que la question porte sur un nombre de boules ; oublier de justifier le signe du dénominateur avant de « faire passer » le $2$ et le produit de l'autre côté ; se tromper dans le développement de $(n+5)(n+4)=n^{2}+9n+20$.

1. Méthode : en $+\infty$, le produit $(x+1)\mathrm{e}^{-x}$ est de la forme « $+\infty\times 0$ », une forme indéterminée. On la lève en développant pour faire apparaître une croissance comparée : $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}+\mathrm{e}^{-x}$.

Par croissance comparée, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$, donc par passage à l'inverse $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0$. Et $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$. Par somme, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ : la courbe de $f$ admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en $+\infty$. L'affirmation 1 est fausse.

Vérification numérique : $f(10)=11\mathrm{e}^{-10}\approx 5\times 10^{-4}$, déjà presque nul. Erreur fréquente : conclure $+\infty$ parce que le facteur $x+1$ tend vers $+\infty$, en oubliant que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$. Une forme indéterminée ne se tranche jamais à l'intuition : on la nomme, puis on la lève par un théorème. Pour répondre « faux » à un vrai ou faux, il suffit de donner la vraie valeur de la limite, justifiée.

2. Méthode : une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde y est positive. On dérive deux fois avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$.

$g'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\mathrm{e}^{x}=(x+1)\mathrm{e}^{x}$, puis $g''(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x+1)\mathrm{e}^{x}=(x+2)\mathrm{e}^{x}$.

Comme $\mathrm{e}^{x}>0$ pour tout réel $x$, $g''(x)$ a le signe de $x+2$, qui est positif ou nul exactement quand $x\geqslant -2$. Donc $g''(x)\geqslant 0$ sur $[-2\,;+\infty[$ et $g$ est convexe sur cet intervalle. L'affirmation 2 est vraie.

Remarque : $g''$ s'annule en changeant de signe en $-2$, donc la courbe de $g$ admet un point d'inflexion d'abscisse $-2$ ; $g$ est concave sur $]-\infty\,;-2]$, convexe sur $[-2\,;+\infty[$. Le piège : étudier le signe de $g'$, qui donne les variations et non la convexité ; $g'$ change de signe en $-1$, pas en $-2$.

3. Méthode : intégration par parties, $\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$. On dérive le facteur polynomial et on intègre le sinus : $u(x)=x$, $v'(x)=\sin x$, d'où $u'(x)=1$ et $v(x)=-\cos x$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\pi]$. Le choix n'est pas indifférent : en dérivant $x$, on obtient $1$ et l'intégrale restante devient celle de $\cos x$, immédiate ; le choix inverse, $u(x)=\sin x$ et $v'(x)=x$, ferait apparaître $\dfrac{x^{2}}{2}\cos x$, plus compliqué que l'intégrale de départ.

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x=\left[-x\cos x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}(-\cos x)\,\mathrm{d}x=\left(-\pi\cos\pi+0\right)+\int_{0}^{\pi}\cos x\,\mathrm{d}x$.

Or $\cos\pi=-1$, donc $-\pi\cos\pi=\pi$ ; et $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos x\,\mathrm{d}x=\left[\sin x\right]_{0}^{\pi}=\sin\pi-\sin 0=0$. Finalement $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x=\pi$, et non $-\pi$ : l'affirmation 3 est fausse.

Vérification sans calcul, par la positivité de l'intégrale : sur $[0\,;\pi]$, $x\geqslant 0$ et $\sin x\geqslant 0$, donc $x\sin x\geqslant 0$ ; avec des bornes dans l'ordre croissant, l'intégrale est positive et ne peut pas valoir $-\pi$. Cet argument suffit d'ailleurs à justifier « faux ». Les deux erreurs qui mènent à $-\pi$ : prendre $\cos$ comme primitive de $\sin$, ou écrire $\cos\pi=1$.

4. Deux choses à vérifier : $h$ est solution de $(E)$, et $h(0)=1$. Dérivée : $h'(x)=-\dfrac{3}{2}\times 2\mathrm{e}^{2x}=-3\mathrm{e}^{2x}$. Second membre : $2h(x)-5=-3\mathrm{e}^{2x}+5-5=-3\mathrm{e}^{2x}$. Donc $h'(x)=2h(x)-5$ pour tout réel $x$ : $h$ est solution de $(E)$. Et $h(0)=-\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{0}+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}=1$.

Reste l'article « LA solution » : il y en a une seule. Les solutions de $y'=ay+b$ avec $a\neq 0$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$, ici $x\mapsto C\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{5}{2}$ avec $C$ réel ($-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{2}=\dfrac{5}{2}$, la solution constante). La condition $y(0)=1$ impose $C+\dfrac{5}{2}=1$, soit $C=-\dfrac{3}{2}$ : une seule valeur, une seule fonction, et c'est $h$. L'affirmation 4 est vraie.

Erreur fréquente : ne vérifier que la condition initiale, ou que l'équation. Une fonction comme $x\mapsto\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{5}{2}$ est solution de $(E)$ mais vaut $\dfrac{7}{2}$ en $0$ ; une fonction comme $x\mapsto 1$ vaut $1$ en $0$ mais n'est pas solution. Il faut les deux.

5. Méthode : on exécute le programme à la main en suivant la variable $f$. Pour $n=5$, range(1, n+1) parcourt les entiers de $1$ à $5$, la borne $n+1=6$ étant exclue. On part de $f=1$ et chaque tour multiplie $f$ par $k$ : après $k=1$, $f=1$ ; après $k=2$, $f=2$ ; après $k=3$, $f=6$ ; après $k=4$, $f=24$ ; après $k=5$, $f=120$.

La fonction renvoie donc $1\times 2\times 3\times 4\times 5=5!=120$ : l'affirmation 5 est vraie. Plus généralement, mystere(n) renvoie la factorielle $n!$, le nombre de façons de ranger $n$ objets distincts.

Le piège : croire que range(1, n+1) s'arrête à $n-1$, ou que la boucle commence à $0$ (le produit vaudrait alors $0$). Avec range(1, n), le programme renverrait $4!=24$.

Remarque : pour $n=0$, range(1, 1) est vide, la boucle ne tourne pas et la fonction renvoie la valeur initiale $f=1$, ce qui respecte la convention $0!=1$. C'est pour cette raison qu'on initialise un produit à $1$ et une somme à $0$.

A.1. Avec $n=0$ dans la relation de récurrence : $u_{1}=\ln\left(3u_{0}^{2}+1\right)=\ln\left(3\times 2^{2}+1\right)=\ln(12+1)=\ln 13\approx 2{,}565$.

La valeur exacte est $\ln 13$ ; l'arrondi $2{,}56$ (ou $2{,}565$) se contrôle sur le graphique, où le point d'abscisse $1$ est un peu au-dessus de $2{,}5$. Erreur fréquente : calculer $\ln\left((3\times 2)^{2}+1\right)=\ln 37$, en élevant au carré le produit au lieu de $u_{0}$ seul.

A.2. Lecture du nuage de points : chaque point est plus haut que le précédent, donc la suite $(u_{n})$ semble croissante. Les points montent de moins en moins vite et semblent se stabiliser un peu en dessous de $4$, vers $3{,}8$ : on conjecture que $(u_{n})$ converge vers une limite $\ell$ proche de $3{,}8$.

Le piège : conjecturer que la limite vaut $4$ parce que la question suivante parle d'un majorant $4$. Les points restent nettement sous la droite d'ordonnée $4$ ; un majorant n'est pas forcément la limite, et la partie B montre que $\ell\approx 3{,}78$.

A.3. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : « $2\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$ ».

Initialisation. $u_{0}=2$ et $u_{1}=\ln 13$. Comme $\mathrm{e}^{2}\approx 7{,}39\leqslant 13\leqslant\mathrm{e}^{4}\approx 54{,}6$ et que $\ln$ est croissante, $2\leqslant\ln 13\leqslant 4$. Donc $2\leqslant u_{0}\leqslant u_{1}\leqslant 4$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $P(n)$ soit vraie : $2\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$. Ces quatre nombres sont dans $[0\,;+\infty[$, où $f$ est croissante (admis) ; appliquer $f$ conserve donc l'ordre : $f(2)\leqslant f(u_{n})\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(4)$.

Or $f(u_{n})=u_{n+1}$ et $f(u_{n+1})=u_{n+2}$ par définition de la suite, $f(2)=\ln 13$ et $f(4)=\ln(3\times 16+1)=\ln 49$. On obtient $\ln 13\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\ln 49$. Il reste à comparer les bornes à $2$ et $4$ : $\ln 13\geqslant 2$ (vu à l'initialisation) et $\ln 49\leqslant 4$ car $49\leqslant\mathrm{e}^{4}\approx 54{,}6$, soit $\ln 49\approx 3{,}892$. D'où $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 4$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $2\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant 4$.

Deux points où le correcteur retire des points. Le premier : appliquer $f$ aux inégalités sans citer sa croissance, qui est la seule raison pour laquelle l'ordre est conservé (une fonction décroissante le renverserait). Le second : s'arrêter à $\ln 13\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\ln 49$ sans montrer que $\ln 13\geqslant 2$ et $\ln 49\leqslant 4$. C'est là que tient l'hérédité, et le majorant n'est pas libre : avec $3{,}7$ à la place de $4$, on aurait $f(3{,}7)\approx 3{,}74>3{,}7$ et la récurrence ne passerait plus.

A.4. D'après A.3, pour tout $n$, $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_{n})$ est croissante. Et pour tout $n$, $u_{n}\leqslant 4$ : elle est majorée par $4$. Par le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge : $(u_{n})$ est convergente.

Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur : on sait seulement que $\ell\leqslant 4$, et même, par passage à la limite dans les inégalités larges, $2\leqslant\ell\leqslant 4$. Erreur fréquente : écrire « la suite converge vers $4$ ».

B.1. La fonction $x\mapsto 3x^{2}+1$ est dérivable et strictement positive sur $[0\,;+\infty[$, donc $x\mapsto\ln\left(3x^{2}+1\right)$ est dérivable, de dérivée $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=3x^{2}+1$ et $u'(x)=6x$. Ainsi $g'(x)=\dfrac{6x}{3x^{2}+1}-1$.

Au même dénominateur : $g'(x)=\dfrac{6x-\left(3x^{2}+1\right)}{3x^{2}+1}=\dfrac{-3x^{2}+6x-1}{3x^{2}+1}$, l'expression demandée.

Erreurs fréquentes : dériver $\ln u$ en $\dfrac{1}{u}$ en oubliant le facteur $u'$, ou en $\ln(u')$ ; et oublier la parenthèse en réduisant au même dénominateur, ce qui donne $-3x^{2}+6x+1$, avec un signe faux sur la constante. Vérification en $x=0$ : $g'(0)=\dfrac{-1}{1}=-1$, et directement $\dfrac{0}{1}-1=-1$.

B.2. Le dénominateur $3x^{2}+1$ est strictement positif : $g'(x)$ a le signe du numérateur $N(x)=-3x^{2}+6x-1$. Méthode générale du second degré : $\Delta=6^{2}-4\times(-3)\times(-1)=36-12=24>0$, racines $x_{1}=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\approx 0{,}18$ et $x_{2}=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3}\approx 1{,}82$. Le coefficient de $x^{2}$ est négatif, donc $N(x)<0$ à l'extérieur des racines, en particulier pour $x>x_{2}$, donc sur $[2\,;4]$.

Plus rapide, sans discriminant : $N(x)=-3x(x-2)-1$. Pour $x\in[2\,;4]$, $x\geqslant 0$ et $x-2\geqslant 0$, donc $-3x(x-2)\leqslant 0$ et $N(x)\leqslant -1<0$. Dans les deux cas, $g'(x)<0$ sur $[2\,;4]$, et $g$ est strictement décroissante sur $[2\,;4]$.

Erreur fréquente : conclure sur le signe du seul $-3x^{2}$ (« il est négatif, donc tout est négatif »), ce qui est faux pour $x$ entre $0{,}18$ et $1{,}82$, où $g$ est croissante. Le signe d'un trinôme se justifie par ses racines ou par une factorisation.

B.3. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, cas strictement monotone. Sur $[2\,;4]$, $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante (B.2). Aux bornes : $g(2)=\ln 13-2\approx 0{,}565>0$ et $g(4)=\ln 49-4\approx -0{,}108<0$. Le réel $0$ est compris entre $g(4)$ et $g(2)$, donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[2\,;4]$.

Valeur approchée, par balayage à la calculatrice (ou par dichotomie) : $g(3{,}78)\approx 0{,}001\,1>0$ et $g(3{,}79)\approx -0{,}003\,7<0$, donc $3{,}78<\alpha<3{,}79$. Pour l'arrondi, $g(3{,}785)\approx -0{,}001\,3<0$, donc $3{,}78<\alpha<3{,}785$ et $\alpha\approx 3{,}78$ à $10^{-2}$ près.

Le piège : affirmer l'unicité sans citer la stricte monotonie, ou l'existence sans citer la continuité ; ce sont les deux hypothèses du corollaire, et le barème les attend toutes les deux. Attention aussi à ne pas chercher la racine sur tout $[0\,;+\infty[$ : l'équation $g(x)=0$ y a d'autres solutions, voir B.4.

B.4. Méthode : la limite d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_{n})$ est un point fixe de $f$ quand $f$ est continue. Ici $f$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (composée de $x\mapsto 3x^{2}+1$, à valeurs dans $[1\,;+\infty[$, et de $\ln$). Comme $u_{n}\to\ell$ avec $\ell\in[0\,;+\infty[$, on a $f(u_{n})\to f(\ell)$, c'est-à-dire $u_{n+1}\to f(\ell)$. Mais $(u_{n+1})$ tend aussi vers $\ell$ ; par unicité de la limite, $\ell=f(\ell)$, soit $\ln\left(3\ell^{2}+1\right)-\ell=0$ : $g(\ell)=0$.