Bac 2026 de spécialité maths, Polynésie jour 2 : sujet officiel et corrigé

A.1. Le premier niveau de l'arbre porte l'évènement dont on connaît la probabilité simple, ici le sexe de l'élève : $P(F)=0{,}4$ et $P(\overline{F})=0{,}6$. Le second niveau porte l'orientation, avec des probabilités CONDITIONNELLES : « parmi les filles, $33{,}75\,\%$ envisagent des études d'ingénieur » se traduit par $P_{F}(I)=0{,}337\,5$, et « parmi les garçons, $54{,}25\,\%$ » par $P_{\overline{F}}(I)=0{,}542\,5$.

Les branches restantes s'obtiennent par l'évènement contraire, nœud par nœud : $P_{F}(\overline{I})=1-0{,}337\,5=0{,}662\,5$ et $P_{\overline{F}}(\overline{I})=1-0{,}542\,5=0{,}457\,5$. L'arbre complet figure en fin de corrigé, avec la probabilité de chaque chemin en bout de branche.

Contrôle : les probabilités issues d'un même nœud ont pour somme $1$, et les quatre chemins aussi : $0{,}135+0{,}265+0{,}325\,5+0{,}274\,5=1$. Erreur fréquente : écrire $0{,}337\,5$ comme la probabilité d'être « une fille ET future ingénieure ». Les pourcentages « parmi les filles » portent sur une sous-population, ce sont des probabilités conditionnelles, posées sur les branches du second niveau.

A.2. Formule des probabilités composées, lue sur le chemin $F$ puis $I$ : $P(F\cap I)=P(F)\times P_{F}(I)=0{,}4\times 0{,}337\,5=0{,}135$. La probabilité que l'élève choisi soit une fille envisageant des études d'ingénieur vaut $0{,}135$.

Contrôle de cohérence : une intersection est plus petite que chacun des deux évènements, et $0{,}135\leqslant P(F)=0{,}4$. Répondre $0{,}337\,5$ revient à confondre « fille ET ingénieur » avec « ingénieur SACHANT fille ».

A.3. Formule des probabilités totales, avec la partition $\{F\,;\overline{F}\}$ de l'univers : $P(I)=P(F\cap I)+P(\overline{F}\cap I)=P(F)\times P_{F}(I)+P(\overline{F})\times P_{\overline{F}}(I)$.

Le premier terme vient de A.2 ; le second vaut $0{,}6\times 0{,}542\,5=0{,}325\,5$. Donc $P(I)=0{,}135+0{,}325\,5=0{,}460\,5$, la valeur annoncée.

Vérification : $P(I)$ est une moyenne de $0{,}337\,5$ et de $0{,}542\,5$ pondérée par $0{,}4$ et $0{,}6$ ; elle tombe donc entre les deux, plus près de la valeur des garçons, majoritaires. Erreur fréquente : faire la moyenne simple $\dfrac{0{,}337\,5+0{,}542\,5}{2}=0{,}44$, qui oublie que filles et garçons ne sont pas en même proportion.

La rédaction attendue nomme la formule des probabilités totales et la partition utilisée : une question « démontrer » dont le résultat est donné ne rapporte que par la justification.

A.4. On sait que l'élève envisage des études d'ingénieur : on cherche une probabilité conditionnée par $I$, soit $P_{I}(F)$. L'arbre commence par $F$ et la question part de $I$ : on revient à la définition d'une probabilité conditionnelle, ce qui « retourne » l'arbre.

$P_{I}(F)=\dfrac{P(F\cap I)}{P(I)}=\dfrac{0{,}135}{0{,}460\,5}\approx 0{,}293\,16$, soit $0{,}293$ à $10^{-3}$ près.

Lecture : parmi les élèves de spécialité mathématiques qui envisagent des études d'ingénieur, environ $29{,}3\,\%$ sont des filles, alors qu'elles représentent $40\,\%$ des élèves de spécialité. C'est le constat que l'exercice veut faire apparaître.

Le piège est de confondre $P_{I}(F)$ et $P_{F}(I)$ : $0{,}293$ contre $0{,}337\,5$. Le dénominateur est toujours la probabilité de l'évènement DONNÉ, celui qu'on sait réalisé, ici $I$.

B.1.a. On reconnaît un schéma de Bernoulli. L'épreuve élémentaire consiste à interroger une fille et a deux issues : le succès « elle souhaite devenir ingénieure », de probabilité $p=0{,}15$, et l'échec, de probabilité $0{,}85$.

Cette épreuve est répétée $n$ fois, de façon identique et indépendante, puisque le prélèvement est assimilé à des tirages avec remise. La variable $X$ compte le nombre de succès parmi ces $n$ épreuves : elle suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0{,}15$, notée $\mathcal{B}(n\,;0{,}15)$.

Les trois éléments à citer, chacun valant une partie des points : deux issues, répétition identique et indépendante, $X$ compte les succès. Piège : prendre $p=0{,}337\,5$. Cette valeur de la partie A porte sur les filles de spécialité mathématiques ; ici on interroge toutes les filles de terminale, « qu'elles suivent ou non la spécialité », et l'énoncé fixe $p=0{,}15$.

B.1.b. L'espérance d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ est $np$ : $\mathrm{E}(X)=0{,}15\,n$. Sur un grand nombre d'échantillons de $n$ filles, on compte en moyenne $15$ futures ingénieures pour $100$ filles interrogées.

B.2. L'évènement « au moins une fille souhaite devenir ingénieure » est $\{X\geqslant 1\}$, dont le contraire est $\{X=0\}$ : aucune ne le souhaite. Donc $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0{,}85^{n}$, puisque $P(X=0)=\binom{n}{0}0{,}15^{0}\,0{,}85^{n}=0{,}85^{n}$.

On résout l'inéquation : $1-0{,}85^{n}\geqslant 0{,}99\iff 0{,}85^{n}\leqslant 0{,}01$. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc elle conserve l'ordre : $\iff n\ln(0{,}85)\leqslant\ln(0{,}01)$. Comme $\ln(0{,}85)<0$, la division par $\ln(0{,}85)$ change le sens de l'inégalité : $\iff n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)}\approx 28{,}34$.

Le plus petit entier qui convient est $n=29$ : il faut interroger au moins $29$ lycéennes.

Vérification aux bords : $1-0{,}85^{28}\approx 0{,}989\,4<0{,}99$ et $1-0{,}85^{29}\approx 0{,}991\,0\geqslant 0{,}99$. L'énoncé de la question B.3 prend d'ailleurs $n=29$, ce qui confirme le résultat.

Erreurs fréquentes : oublier de renverser l'inégalité et conclure $n\leqslant 28{,}34$, ce qui est absurde puisque la probabilité augmente avec $n$ ; ou répondre par balayage à la calculatrice, alors que la question impose « en résolvant une inéquation ».

B.3. Ici $X$ suit $\mathcal{B}(29\,;0{,}15)$. Le quart de $29$ vaut $\dfrac{29}{4}=7{,}25$ ; « au moins le quart des filles » s'écrit $X\geqslant 7{,}25$, et comme $X$ prend des valeurs entières, cela équivaut à $X\geqslant 8$.

On passe par le contraire, que la calculatrice donne directement par la fonction de répartition : $P(X\geqslant 8)=1-P(X\leqslant 7)\approx 1-0{,}941\,4=0{,}058\,6$, soit $0{,}059$ à $10^{-3}$ près.

Lecture : dans un échantillon de $29$ filles, il est peu probable, moins de $6\,\%$, qu'au moins le quart souhaite devenir ingénieure, ce qui est cohérent avec $\mathrm{E}(X)=0{,}15\times 29=4{,}35$, bien en dessous de $7{,}25$.

Deux pièges : arrondir $7{,}25$ à $7$ et calculer $P(X\geqslant 7)\approx 0{,}133$ ; ou écrire $P(X\geqslant 8)=1-P(X\leqslant 8)$, qui retire la valeur $8$ à tort et donne $0{,}022$. Le complémentaire de $X\geqslant 8$ est $X\leqslant 7$.

C.1. Chaque $X_{k}$ compte les filles envisageant de devenir ingénieure dans l'échantillon de $1\,500$ lycéennes de l'académie $k$. La somme $S=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{10}$ compte donc le nombre TOTAL de filles envisageant de devenir ingénieure parmi les $10\times 1\,500=15\,000$ lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies.

C.2. Espérance, par linéarité, valable sans aucune hypothèse : $\mathrm{E}(S)=\mathrm{E}(X_{1})+\cdots+\mathrm{E}(X_{10})=10\times 225=2\,250$.

Variance : les variables $X_{1},\dots,X_{10}$ étant INDÉPENDANTES (hypothèse de l'énoncé), la variance de leur somme est la somme de leurs variances : $\mathrm{V}(S)=10\times 191{,}25=1\,912{,}5$.

Cohérence : ces valeurs sont celles d'une loi binomiale $\mathcal{B}(1\,500\,;0{,}15)$ pour chaque académie, $1\,500\times 0{,}15=225$ et $1\,500\times 0{,}15\times 0{,}85=191{,}25$, et $S$ se comporte comme le compte des succès sur $15\,000$ lycéennes : $15\,000\times 0{,}15=2\,250$. Le piège est d'additionner les variances sans citer l'indépendance, seule raison qui l'autorise ; l'espérance, elle, s'additionne toujours.

C.3. On ne connaît pas la loi de $S$, seulement son espérance et sa variance : l'outil est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui donne pour tout réel $\delta>0$ : $P\left(\left|S-2\,250\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{\mathrm{V}(S)}{\delta^{2}}$.

L'intervalle $]2\,000\,;2\,500[$ est centré en $\mathrm{E}(S)=2\,250$, de demi-largeur $250$ : $2\,000<S<2\,500\iff\left|S-2\,250\right|<250$. Avec $\delta=250$ : $P\left(\left|S-2\,250\right|\geqslant 250\right)\leqslant\dfrac{1\,912{,}5}{62\,500}=0{,}030\,6$.

On passe à l'évènement contraire, ce qui renverse l'inégalité : $P(2\,000<S<2\,500)=1-P\left(\left|S-2\,250\right|\geqslant 250\right)\geqslant 1-0{,}030\,6=0{,}969\,4$.

Comme $0{,}969\,4>0{,}95$, la probabilité cherchée est supérieure à $0{,}95$ : l'affirmation est VRAIE.

La troisième réponse proposée, « on ne peut pas savoir », est celle qu'il faudrait donner si le minorant fourni par l'inégalité était inférieur à $0{,}95$ : Bienaymé-Tchebychev ne donne qu'une MINORATION, qui ne permet de conclure que dans un sens. Ici elle suffit. Pièges : prendre $\delta=500$, la largeur entière, au lieu de la demi-largeur ; et vérifier d'abord que l'intervalle est bien centré sur l'espérance, sans quoi l'inégalité ne s'applique pas telle quelle.

A.1. La fonction $f$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x)=8x^{3}-1$. Sur $[4\,;10]$, $u$ est strictement positive : $u(x)\geqslant 8\times 4^{3}-1=511>0$. La dérivée d'une composée $\ln(u)$ est $\dfrac{u'}{u}$, avec $u'(x)=24x^{2}$, donc $f'(x)=\dfrac{24x^{2}}{8x^{3}-1}$.

Il reste à factoriser le dénominateur. C'est l'identité $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ avec $a=2x$ et $b=1$ ; la vérification la plus sûre est le développement : $(2x-1)(4x^{2}+2x+1)=8x^{3}+4x^{2}+2x-4x^{2}-2x-1=8x^{3}-1$. D'où $f'(x)=\dfrac{24x^{2}}{(2x-1)(4x^{2}+2x+1)}$ pour tout $x\in[4\,;10]$.

Erreur fréquente : écrire $f'(x)=\dfrac{1}{8x^{3}-1}$ en oubliant de multiplier par $u'(x)$. Le développement final n'est pas une formalité : c'est lui qui prouve l'égalité demandée, une simple affirmation de la factorisation ne suffit pas.

A.2.a. Le signe de $f'$ est celui d'un quotient de facteurs dont on étudie le signe un par un, pour $x\in[4\,;10]$ : $24x^{2}>0$ car $x\neq 0$ ; $2x-1\geqslant 2\times 4-1=7>0$ ; $4x^{2}+2x+1>0$ comme somme de trois termes positifs, $x$ étant positif (on peut aussi invoquer son discriminant $4-16=-12<0$).

Donc $f'(x)>0$ sur $[4\,;10]$, et $f$ est strictement croissante sur cet intervalle, a fortiori croissante.

La forme factorisée sert précisément à cela : chaque facteur a un signe évident. On pouvait aussi conclure directement de $f'(x)=\dfrac{24x^{2}}{8x^{3}-1}$, dont le dénominateur vaut au moins $511$.

A.2.b. Soit $x\in[4\,;10]$. La fonction $f$ étant croissante, $4\leqslant x\leqslant 10$ entraîne $f(4)\leqslant f(x)\leqslant f(10)$, avec $f(4)=\ln(8\times 64-1)=\ln(511)\approx 6{,}24$ et $f(10)=\ln(8\times 1\,000-1)=\ln(7\,999)\approx 8{,}99$.

Il reste à comparer ces deux nombres à $4$ et à $10$, sans se contenter de valeurs approchées : $\mathrm{e}^{4}\approx 54{,}6\leqslant 511$, donc, par croissance de $\ln$, $4\leqslant\ln(511)$ ; et $7\,999\leqslant\mathrm{e}^{10}\approx 22\,026$, donc $\ln(7\,999)\leqslant 10$.

Conclusion : $4\leqslant f(4)\leqslant f(x)\leqslant f(10)\leqslant 10$, soit $4\leqslant f(x)\leqslant 10$ pour tout $x\in[4\,;10]$. Autrement dit, $f$ envoie l'intervalle $[4\,;10]$ dans lui-même : c'est la propriété qui permettra à la suite de la partie B de ne jamais en sortir.

Erreur fréquente : écrire « $f(4)\leqslant f(x)\leqslant f(10)$ donc $4\leqslant f(x)\leqslant 10$ », qui confond $f(4)$ avec $4$ et $f(10)$ avec $10$.

A.3.a. On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, cas strictement monotone. La fonction $g$ est continue sur $[4\,;10]$, comme différence de $f$, dérivable donc continue, et de $x\mapsto x$ ; elle y est strictement décroissante (admis).

Aux bornes : $g(4)=\ln(511)-4\approx 2{,}24>0$ et $g(10)=\ln(7\,999)-10\approx -1{,}01<0$. Les inégalités strictes se justifient sans calculatrice par A.2.b : $\ln(511)\approx 6{,}24$ dépasse nettement $4$, et $\ln(7\,999)<\ln(\mathrm{e}^{10})=10$ puisque $7\,999<22\,026$.

Donc $0$ est compris entre $g(10)$ et $g(4)$, et l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[4\,;10]$ (et même dans $]4\,;10[$). L'équation $g(x)=0$ s'écrit aussi $f(x)=x$ : $\alpha$ est le point fixe de $f$, ce qui prépare la partie B.

Les trois hypothèses doivent apparaître : la continuité donne l'existence, la stricte monotonie l'unicité, le changement de signe place $0$ dans l'image.

A.3.b. Par balayage à la calculatrice, avec des pas de plus en plus fins : $g(8)\approx 0{,}318>0$ et $g(9)\approx -0{,}329<0$ ; puis $g(8{,}4)\approx 0{,}064>0$ et $g(8{,}5)\approx -0{,}000\,6<0$ ; puis $g(8{,}49)\approx 0{,}005\,9>0$ ; enfin $g(8{,}499)\approx 0{,}000\,08>0$ et $g(8{,}500)\approx -0{,}000\,6<0$.

Comme $g$ est strictement décroissante, $g(8{,}499)>0=g(\alpha)>g(8{,}500)$ entraîne $8{,}499<\alpha<8{,}500$ : c'est l'encadrement à $10^{-3}$ près demandé.

Piège de lecture : $g$ étant DÉCROISSANTE, une valeur positive de $g$ signale un point situé AVANT $\alpha$. Avec une fonction croissante, ce serait l'inverse. Les valeurs de $g$ sont ici très proches de $0$ : il faut lire au moins quatre décimales pour voir le signe de $g(8{,}499)$.

B.1. $u_{1}=f(u_{0})=f(5)=\ln(8\times 125-1)=\ln(999)\approx 6{,}907$, soit $u_{1}\approx 6{,}9$ à $10^{-1}$ près.

B.2.a. On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $4\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$ ».

Initialisation, $n=0$ : $u_{0}=5$ et $u_{1}=\ln(999)\approx 6{,}91$, donc $4\leqslant 5\leqslant 6{,}91\leqslant 10$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $k\in\mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie, c'est-à-dire $4\leqslant u_{k}\leqslant u_{k+1}\leqslant 10$. Les quatre nombres $4$, $u_{k}$, $u_{k+1}$ et $10$ sont dans $[4\,;10]$, où $f$ est croissante (A.2.a) : appliquer $f$ conserve l'ordre, donc $f(4)\leqslant f(u_{k})\leqslant f(u_{k+1})\leqslant f(10)$, c'est-à-dire $f(4)\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant f(10)$.

Par A.2.b, $4\leqslant f(4)$ et $f(10)\leqslant 10$. On obtient $4\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 10$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion : $\mathcal{P}(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc, par le principe de récurrence, $4\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Les deux pièges de l'hérédité : appliquer $f$ sans dire que les nombres sont dans $[4\,;10]$, seul intervalle où l'on sait que $f$ est croissante ; et écrire directement $4\leqslant u_{k+1}$ au lieu de $f(4)\leqslant u_{k+1}$, en sautant l'étape qui utilise A.2.b. C'est le seul endroit où cette question sert, et le correcteur la cherche.

B.2.b. D'après B.2.a, $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ pour tout $n$ : la suite $(u_{n})$ est croissante. Elle est aussi majorée par $10$. Par le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge : $(u_{n})$ converge.

Erreur fréquente : conclure que la limite vaut $10$. Le théorème donne une limite inférieure ou égale au majorant, pas égale à lui ; la question suivante montre que la limite vaut $\alpha\approx 8{,}499$.

B.3. On note $\ell$ la limite de $(u_{n})$. Pour tout $n$, $4\leqslant u_{n}\leqslant 10$ ; par passage à la limite dans les inégalités larges, $4\leqslant\ell\leqslant 10$.

La suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$. D'autre part, $f$ est continue sur $[4\,;10]$ (elle y est dérivable) et $\ell$ appartient à cet intervalle, donc $f(u_{n})\to f(\ell)$. L'égalité $u_{n+1}=f(u_{n})$ et l'unicité de la limite donnent $\ell=f(\ell)$, c'est-à-dire $g(\ell)=f(\ell)-\ell=0$.

Or, d'après A.3.a, $\alpha$ est l'UNIQUE solution de $g(x)=0$ dans $[4\,;10]$. Comme $\ell$ est une solution de cette équation qui appartient à $[4\,;10]$, $\ell=\alpha$ : la suite $(u_{n})$ converge vers $\alpha$.

Cohérence avec le calcul : $u_{5}\approx 8{,}470$, $u_{10}\approx 8{,}498\,97$, la suite monte bien vers $\alpha\approx 8{,}499\,1$. Le piège est d'oublier de placer $\ell$ dans $[4\,;10]$ : sans cela, ni la continuité de $f$ en $\ell$ ni l'unicité de A.3.a ne s'appliquent.

C.1. La fonction alpha part de $n=0$ et de u = 5, c'est-à-dire de $u_{0}$, puis calcule les termes successifs $u_{1},u_{2},\dots$ tant que u < a, en comptant les étapes dans n. Elle renvoie donc le plus petit entier $n$ tel que $u_{n}\geqslant a$.

Que alpha(8.499) renvoie 11 signifie que $u_{0},u_{1},\dots,u_{10}$ sont strictement inférieurs à $8{,}499$ et que $u_{11}\geqslant 8{,}499$. Comme la suite est croissante, $u_{n}\geqslant 8{,}499$ pour tout $n\geqslant 11$.

De plus, une suite croissante est majorée par sa limite : $u_{n}\leqslant\alpha$ pour tout $n$ (si un terme $u_{p}$ dépassait $\alpha$, tous les suivants aussi, et la limite serait au moins $u_{p}>\alpha$). Avec $\alpha\leqslant 8{,}5$, on obtient pour $n\geqslant 11$ : $8{,}499\leqslant u_{n}\leqslant\alpha\leqslant 8{,}5$, donc $0\leqslant\alpha-u_{n}\leqslant 10^{-3}$.

Interprétation : à partir du rang $11$, les termes de la suite sont des valeurs approchées par défaut de $\alpha$ à $10^{-3}$ près, et $11$ est le premier rang pour lequel c'est garanti par ce seuil. Contrôle : $u_{10}\approx 8{,}498\,97<8{,}499$ et $u_{11}\approx 8{,}499\,07\geqslant 8{,}499$.

C.2. Pour tout entier $n$, $u_{n}\leqslant\alpha\leqslant 8{,}5<8{,}6$ (voir C.1). La condition u < 8.6 de la boucle while est donc vraie à chaque passage : la boucle ne s'arrête jamais, et l'instruction return n n'est jamais atteinte. Le programme tourne indéfiniment, aucune valeur n'est renvoyée.

La raison profonde : $8{,}6$ est au-dessus de la limite de la suite, seuil qu'une suite croissante convergente n'atteint jamais. Un tel programme de seuil ne s'arrête que si le seuil est strictement inférieur à la limite d'une suite croissante. Erreur fréquente : répondre que la fonction « renvoie un très grand nombre » ou « met longtemps » ; elle ne termine pas.