Exercice 1 : Sécurité incendie

11 points Ondes, Doppler et interférences Transferts thermiques Modéliser l'écoulement d'un fluide : Archimède et Bernoulli Mouvement dans un champ uniforme

Dans les établissements recevant du public, comme les supermarchés, les entrepôts ou encore les parkings souterrains, la sécurité incendie est une priorité. Il est donc essentiel de mettre en place des dispositifs de prévention et de protection des occupants et des biens.

Le but de cet exercice est d'étudier :
• une sirène d'alarme incendie, qui assure une alerte rapide des occupants ;
• un sprinkler, qui est un dispositif d'extinction automatique d'un incendie ;
• une lance à incendie, qui permet de maîtriser totalement le sinistre.

1. La sirène d'alarme incendie

L'installation de sirènes d'alarme incendie est obligatoire dans les établissements recevant du public.
En accord avec la norme NFS32-001, le signal sonore émis par une sirène est constitué :
• d'un son n° 1 de fréquence $f_{1}=544\ \mathrm{Hz}$ , pendant $100\ \mathrm{ms}$ ;
• d'un son n° 2 de fréquence $f_{2}$ , pendant $400\ \mathrm{ms}$ .

L'analyse du son n° 2 permet d'obtenir une représentation de l'évolution de son amplitude en fonction du temps, donnée sur la figure 1. On considère que ce signal est périodique.

Amplitude du son n° 2 (unité arbitraire, de -15 à 15) en fonction du temps, de 1,2396 à 1,2475 s : un signal presque carré qui bascule entre +15 et -15. Fronts descendants vers 1,2402 s, 1,2425 s, 1,2448 s et 1,2471 s ; fronts montants vers 1,2413 s, 1,2437 s et 1,2460 s. Grandes graduations toutes les millisecondes, dix petites par milliseconde. — Figure 1. Évolution de l'amplitude du son n° 2 en fonction du temps

Q1. Déterminer la fréquence $f_{2}$ du son n° 2 et préciser si cette fréquence est associée à un son plus grave ou plus aigu que le son n° 1.
La figure 2 montre une partie du bâtiment étudié. Une sirène est fixée sur un mur et on mesure le niveau d'intensité sonore en deux points M et N, situés à une même distance $d=5{,}0\ \mathrm{m}$ de la sirène, de part et d'autre d'une cloison non isolée.
Figure 2. Schéma de la partie du bâtiment étudié
Les niveaux d'intensité sonore mesurés aux points M et N ont pour valeurs respectives $L_{\mathrm{M}}=92\ \mathrm{dB}$ et $L_{\mathrm{N}}=67\ \mathrm{dB}$ .
Q2. Déterminer la valeur de l'atténuation par absorption du niveau d'intensité sonore entre les points M et N, notée $A$ , en décibels.
Cette partie du bâtiment va bénéficier de travaux d'isolation phonique, comme indiqué sur la figure 3. Le son de la sirène se trouvera donc davantage atténué dans certaines salles. Il sera alors nécessaire de remplacer la sirène par une autre plus puissante afin que la valeur du niveau d'intensité sonore au point N, notée $L'_{\mathrm{N}}$ , soit la même qu'avant les travaux : $L'_{\mathrm{N}}=L_{\mathrm{N}}=67\ \mathrm{dB}$ . Le son émis par la nouvelle sirène devra alors avoir un niveau d'intensité sonore $L'_{\mathrm{M}}=104\ \mathrm{dB}$ au point M.
Figure 3. Schéma de la partie du bâtiment étudié avec l'isolation phonique et la nouvelle sirène
D'après la norme NFS32-001, les sirènes sont réparties par classe, selon leur niveau d'intensité sonore mesuré à $2{,}0$ mètres, comme indiqué sur le tableau de la figure 4.
Classe de la sirène A B C D

Niveau d'intensité sonore mesuré à $2{,}0$ m $<90$ dB de $90$ dB à $105$ dB de $105$ dB à $115$ dB $>115$ dB

Figure 4. Niveau d'intensité sonore du son émis par une sirène selon sa classe
Donnée :
Niveaux d'intensité sonore : $L_{2}=L_{1}-20\log\left(\dfrac{d_{2}}{d_{1}}\right)$ .
• $L_{1}$ : niveau d'intensité sonore, en dB, à la distance $d_{1}$ , en m, de la source ;
• $L_{2}$ : niveau d'intensité sonore, en dB, à la distance $d_{2}$ , en m, de la source.
Q3. Calculer la valeur du niveau d'intensité sonore, noté $L$ , mesuré à $2{,}0\ \mathrm{m}$ , du son émis par la sirène à installer, puis déterminer sa classe.
2. Le sprinkler, un dispositif d'extinction automatique
Un sprinkler est un système fixe d'extinction automatique à eau. Il est constitué d'une ampoule qui obstrue la sortie d'eau d'une canalisation, comme l'indique la photographie de la figure 5.
Figure 5. Photographie d'un sprinkler
Lors d'un incendie, l'augmentation de la température provoque la dilatation de l'ampoule puis sa rupture, déclenchant ainsi la projection de l'eau sur la zone à protéger.
Le but de cette partie est de déterminer la durée nécessaire pour qu'un sprinkler se déclenche après que l'incendie s'est déclaré. Cette durée est liée aux conditions ambiantes présentes lors de l'incendie et aux caractéristiques propres du sprinkler. Parmi ces dernières, deux sont essentielles :
• la température de rupture de l'ampoule ;
• l'indice de temps de réponse, noté $R_{\mathrm{TI}}$ (Response Time Index) : plus il est faible, plus l'ampoule du sprinkler se rompt rapidement lors d'un départ de feu.
Afin de déterminer l'indice de temps de réponse $R_{\mathrm{TI}}$ du sprinkler étudié, on réalise au laboratoire l'expérience suivante :
• on mesure la valeur de la température initiale $\theta_{0}$ du sprinkler, à l'aide d'un thermomètre infrarouge : $\theta_{0}=22$ °C ;
• on place le sprinkler dans un courant d'air chaud de température $\theta_{\mathrm{ext}}=54$ °C et de vitesse $v=5{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et on déclenche simultanément un chronomètre ;
• on relève la température $\theta$ de l'ampoule du sprinkler toutes les $5$ secondes, à l'aide d'un thermomètre infrarouge pour tracer la courbe de la figure 6.
Figure 6. Évolution de la température θ de l'ampoule du sprinkler au cours du temps (mesures réalisées au laboratoire)
Q4. Indiquer dans quel sens s'effectue le transfert thermique entre l'ampoule du sprinkler et l'air extérieur dans l'expérience réalisée au laboratoire. Justifier.
L'ampoule du sprinkler à la température $\theta(t)$ (en °C) échange de l'énergie par transfert thermique avec l'air extérieur à la température $\theta_{\mathrm{ext}}$ (en °C). Ce transfert thermique est modélisé par la loi phénoménologique de Newton :
$\phi=\epsilon\cdot S\cdot\sqrt{v}\cdot(\theta_{\mathrm{ext}}-\theta(t))$
• $\phi$ est le flux thermique entre l'air extérieur et l'ampoule en watt (W) ;
• $\epsilon$ est une constante en $\mathrm{W\cdot m^{-5/2}\cdot s^{1/2}\cdot{}^{\circ}C^{-1}}$ ;
• $v$ est la vitesse de l'air en mètre par seconde ( $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ) ;
• $S$ la surface extérieure de l'ampoule en mètre carré ( $\mathrm{m^{2}}$ ).
La variation d'énergie interne $\Delta U$ (en J) de l'ampoule de capacité thermique $C$ (en $\mathrm{J\cdot K^{-1}}$ ) qui subit une variation de température $\Delta\theta$ (en °C) est donnée par la relation : $\Delta U=C\cdot\Delta\theta$ .
On négligera les autres transferts d'énergie entre l'ampoule et l'extérieur.
Q5. En appliquant le premier principe de la thermodynamique à l'ampoule pendant une durée $\Delta t$ , montrer que : $\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}=\dfrac{\epsilon\cdot S\cdot\sqrt{v}}{C}\cdot(\theta_{\mathrm{ext}}-\theta(t))$
La relation précédente conduit à l'équation différentielle suivante : $\dfrac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{1}{\tau}\theta(t)+\dfrac{\theta_{\mathrm{ext}}}{\tau}$ , avec $\tau=\dfrac{C}{\epsilon\cdot S\cdot\sqrt{v}}$ .
Q6. Résoudre l'équation différentielle pour établir que l'expression de la température $\theta(t)$ de l'ampoule en fonction du temps est : $\theta(t)=\theta_{\mathrm{ext}}+(\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}})\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$
On suppose que la température initiale de l'ampoule est $\theta_{0}=22$ °C et qu'elle est placée dans un courant d'air chaud de température $\theta_{\mathrm{ext}}=54$ °C.
Q7. À la date $t=\tau$ , calculer la valeur $\theta(\tau)$ de la température de l'ampoule.
Q8. En déduire, à partir d'une lecture graphique sur la courbe de la figure 6, la valeur du temps caractéristique $\tau$ .
Le temps caractéristique $\tau$ (en s) est propre à l'expérience réalisée au laboratoire. Il permet de déterminer l'indice de temps de réponse du sprinkler, noté $R_{\mathrm{TI}}$ (en $\mathrm{m^{1/2}\cdot s^{1/2}}$ ). Ces deux grandeurs sont liées entre elles par la relation : $\tau=\dfrac{R_{\mathrm{TI}}}{\sqrt{v}}$
où $v$ est la vitesse du courant d'air chaud, exprimée en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . Dans l'expérience réalisée au laboratoire, on rappelle que $v=5{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .
Q9. Calculer la valeur de l'indice de temps de réponse $R_{\mathrm{TI}}$ du sprinkler étudié.
Le sprinkler étudié est installé dans un entrepôt à la température de $15$ °C. Ses caractéristiques sont les suivantes :
• température de rupture : $\theta_{\mathrm{rupt}}=68$ °C ;
• indice de temps de réponse : $R_{\mathrm{TI}}=90\ \mathrm{m^{1/2}\cdot s^{1/2}}$ .
Quelques dizaines de secondes après le début d'un violent incendie, des fumées à la température de $200$ °C s'écoulent autour du sprinkler à la vitesse $v_{\text{fumée}}=3{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .
Q10. En utilisant la solution $\theta(t)=\theta_{\mathrm{ext}}+(\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}})\cdot\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}$ de l'équation différentielle, déterminer l'expression de la durée nécessaire, notée $t_{\mathrm{rupt}}$ , pour que le sprinkler se déclenche à partir du moment où les fumées arrivent à son contact. On exprimera $t_{\mathrm{rupt}}$ en fonction de $\theta_{\mathrm{rupt}}$ , $\theta_{0}$ , $\theta_{\mathrm{ext}}$ et $\tau$ . Calculer la valeur de $t_{\mathrm{rupt}}$ .
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter correctement sa démarche, même non aboutie, car elle sera évaluée.
3. La lance à incendie
Le but de cette partie est d'étudier la portée d'une lance à incendie dont les caractéristiques principales sont données dans la documentation présentée figure 7.

Débit volumique maximal	$500\ \mathrm{L\cdot min^{-1}}$ (réglable par bague tournante)
Portée maximale	$40$ m pour une pression d'entrée de $8$ bar
Masse	$1{,}9$ kg
Matériaux	aluminium anodisé, nylon, caoutchouc

Figure 7. Caractéristiques de la lance à mains EFE-EUROJET-500 (d'après https://www.motopompe-incendie.com)

Figure 8. Schéma de la lance à incendie montée à l'extrémité du tuyau
Données :
• le débit volumique d'écoulement d'un fluide dans un tube, noté $D_{\mathrm{V}}$ , exprimé en $\mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}$ , est lié à la vitesse du fluide, notée $v$ , exprimée en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , et à la section, notée $S$ , exprimée en $\mathrm{m^{2}}$ , du tube d'écoulement par la relation $D_{\mathrm{V}}=S\cdot v$ ;
• $1\ \mathrm{bar}=10^{5}\ \mathrm{Pa}$ ;
• la lance à incendie est fixée à l'extrémité d'un tuyau cylindrique de $45\ \mathrm{mm}$ de diamètre et dont la section au point A (figure 8) vaut : $S_{\mathrm{A}}=1{,}6\times 10^{-3}\ \mathrm{m^{2}}$ ;
• lors de l'écoulement permanent et incompressible d'un fluide, la relation de Bernoulli sur une ligne de courant entre deux points A et B s'écrit :
$\dfrac{1}{2}\rho\cdot v_{\mathrm{A}}^{2}+\rho\cdot g\cdot z_{\mathrm{A}}+P_{\mathrm{A}}=\dfrac{1}{2}\rho\cdot v_{\mathrm{B}}^{2}+\rho\cdot g\cdot z_{\mathrm{B}}+P_{\mathrm{B}}$ .
◦ $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$ sont les altitudes (en m) respectivement aux points A et B,
◦ $v_{\mathrm{A}}$ et $v_{\mathrm{B}}$ sont les vitesses (en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ) respectivement aux points A et B,
◦ $P_{\mathrm{A}}$ et $P_{\mathrm{B}}$ sont les pressions (en Pa) respectivement aux points A et B,
◦ $\rho$ est la masse volumique du fluide en $\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ ,
◦ $g$ est l'intensité de la pesanteur terrestre : $g=9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ ;
• masse volumique de l'eau : $\rho_{\text{eau}}=1\,000\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ .
Q11. En utilisant l'expression du débit volumique, montrer que la valeur de la vitesse de l'eau dans le tuyau au point A est $v_{\mathrm{A}}=5{,}2\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , lorsque le débit volumique de la lance est maximal.
Q12. En utilisant la relation de Bernoulli et les valeurs des pressions données figure 8, montrer que la valeur de la vitesse de l'eau à la sortie de la lance au point B est $v_{\mathrm{B}}=38\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ .
On étudie le mouvement du centre de masse M d'une goutte d'eau de masse $m$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère $(\mathrm{O},\vec{i},\vec{k})$ où $\vec{i}$ est un vecteur unitaire horizontal orienté vers la droite et $\vec{k}$ un vecteur unitaire vertical orienté vers le haut, comme l'indique le schéma de la figure 9. On suppose que la trajectoire de cette goutte est la même que celle du jet d'eau.
Le vecteur vitesse initiale $\vec{v}_{\mathrm{B}}$ de la goutte d'eau forme un angle $\alpha$ avec l'horizontale.
Lorsque la lance est inclinée, les points A et B ne sont plus à la même altitude : on ne tient pas compte de cet effet et on considère que la vitesse de l'eau au point B vaut $v_{\mathrm{B}}=38\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ quelle que soit l'inclinaison de la lance.
L'extrémité B de la lance est maintenue à une hauteur $z_{\mathrm{B}}=1{,}30\ \mathrm{m}$ au-dessus du sol.
Figure 9. Schéma de la situation
Données :
• à la date $t=0$ s, le centre de masse M de la goutte d'eau est situé au point B ;
• on néglige les frottements de l'air sur la goutte d'eau.
Q13. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées $a_{x}(t)$ et $a_{z}(t)$ du vecteur accélération $\vec{a}$ du point M.
Q14. Montrer que les équations horaires $x(t)$ et $z(t)$ du centre de masse M au cours de son mouvement sont :
$x(t)=v_{\mathrm{B}}\cdot\cos(\alpha)\cdot t$
$z(t)=-\dfrac{1}{2}g\cdot t^{2}+v_{\mathrm{B}}\cdot\sin(\alpha)\cdot t+z_{\mathrm{B}}$
On en déduit l'équation de la trajectoire du point M : $z(x)=-\dfrac{g}{2\,v_{\mathrm{B}}^{2}\cdot\cos^{2}(\alpha)}x^{2}+\tan(\alpha)\cdot x+z_{\mathrm{B}}$
La portée correspond à la distance OP sur le schéma de la figure 9. Elle dépend de la valeur de l'angle $\alpha$ . On admettra que, dans la situation étudiée, la portée est maximale pour un angle $\alpha=44{,}7°$ .
L'équation de la trajectoire s'écrit alors $z(x)=-6{,}72\times 10^{-3}x^{2}+0{,}990x+1{,}30$ .
Q15. Déterminer la valeur de la portée maximale, notée $x_{\max}$ . Interpréter l'écart observé avec la valeur fournie dans la documentation donnée dans la figure 7.

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f_{2}

Par rapport au son n° 1, le son n° 2 est

A

L

2{,}0

m dB

Classe

\theta(\tau)

°C

\tau

R_{\mathrm{TI}}

m½·s½

Q10

t_{\mathrm{rupt}}

Q13

a_{x}

m/s²

a_{z}

m/s²

Q15

x_{\max}

Voir la correction

Réponses

Q1 $3T_{2}\approx 6{,}9$ ms, $f_{2}\approx 4{,}4\times 10^{2}$ Hz $<f_{1}$ : son plus grave
Q2 $A=L_{\mathrm{M}}-L_{\mathrm{N}}=25$ dB
Q3 $L=104-20\log(2{,}0/5{,}0)=112$ dB : classe C
Q4 De l'air ( $54$ °C) vers l'ampoule ( $22$ °C), du chaud vers le froid
Q5 $C\,\Delta\theta=\phi\,\Delta t$ , d'où $\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}=\dfrac{\epsilon S\sqrt{v}}{C}(\theta_{\mathrm{ext}}-\theta)$
Q6 $\theta=K\mathrm{e}^{-t/\tau}+\theta_{\mathrm{ext}}$ et $\theta(0)=\theta_{0}$ : $K=\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}$
Q7 $\theta(\tau)=54-32\,\mathrm{e}^{-1}=42{,}2$ °C
Q8 $\tau\approx 43$ s
Q9 $R_{\mathrm{TI}}=\tau\sqrt{v}\approx 96\ \mathrm{m^{1/2}\cdot s^{1/2}}$
Q10 $t_{\mathrm{rupt}}=\tau\ln\dfrac{\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}}{\theta_{\mathrm{rupt}}-\theta_{\mathrm{ext}}}$ avec $\tau=52$ s : $t_{\mathrm{rupt}}\approx 18$ s
Q11 $v_{\mathrm{A}}=\dfrac{D_{\mathrm{V}}}{S_{\mathrm{A}}}=\dfrac{8{,}33\times 10^{-3}}{1{,}6\times 10^{-3}}=5{,}2\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$
Q12 $v_{\mathrm{B}}=\sqrt{v_{\mathrm{A}}^{2}+2(P_{\mathrm{A}}-P_{\mathrm{B}})/\rho}=37{,}8\approx 38\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$
Q13 $a_{x}=0$ ; $a_{z}=-g=-9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$
Q14 Deux primitives successives, avec $\vec{v}(0)=\vec{v}_{\mathrm{B}}$ et M en B à $t=0$
Q15 $x_{\max}\approx 149$ m, soit $3{,}7$ fois les $40$ m réels : frottements de l'air négligés à tort

Q1. Le signal est périodique : on mesure sa période $T_{2}$ sur plusieurs motifs pour gagner en précision, puis $f_{2}=\dfrac{1}{T_{2}}$ . Sur la figure 1, les fronts descendants (passages par zéro vers le bas) se lisent vers $t=1{,}2402$ s puis $t=1{,}2471$ s, trois périodes plus tard : $3\,T_{2}=1{,}2471-1{,}2402=6{,}9\times 10^{-3}$ s, soit $T_{2}\approx 2{,}29$ ms. Donc $f_{2}=\dfrac{1}{2{,}29\times 10^{-3}}\approx 4{,}4\times 10^{2}$ Hz, de l'ordre de $440$ Hz.

La hauteur d'un son est fixée par sa fréquence : plus elle est basse, plus le son est grave. Comme $f_{2}\approx 440\ \mathrm{Hz}<f_{1}=544\ \mathrm{Hz}$ , le son n° 2 est plus grave que le son n° 1. Erreur fréquente : prendre la date d'un front, $1{,}24$ s, pour une durée ; seules les DIFFÉRENCES de dates comptent, et une grande graduation vaut une milliseconde. Mesurer une seule période ( $\approx 2{,}3$ ms) donne le même ordre de grandeur, mais avec une erreur relative trois fois plus grande.

Q2. Les points M et N sont à la même distance $d=5{,}0$ m de la sirène : l'atténuation géométrique, due à la dilution de l'énergie sur une sphère de plus en plus grande, est la même pour les deux. La différence des niveaux est donc entièrement due à l'absorption par la cloison : $A=L_{\mathrm{M}}-L_{\mathrm{N}}=92-67=25$ dB.

Ordre de grandeur : $25$ dB d'atténuation correspond à une intensité sonore divisée par $10^{25/10}\approx 3\times 10^{2}$ en traversant la cloison.

Q3. On applique la relation donnée avec $d_{1}=5{,}0$ m, où l'on connaît $L_{1}=L'_{\mathrm{M}}=104$ dB (le point M n'est séparé de la sirène par aucune cloison, la décroissance n'y est que géométrique), et $d_{2}=2{,}0$ m : $L=L'_{\mathrm{M}}-20\log\left(\dfrac{2{,}0}{5{,}0}\right)=104-20\log(0{,}40)=104+8{,}0=112$ dB.

Vérification du sens : on se rapproche de la source, le niveau doit augmenter ; c'est bien le cas puisque $\log(0{,}40)<0$ . D'après le tableau de la figure 4, $105\ \mathrm{dB}\le 112\ \mathrm{dB}\le 115\ \mathrm{dB}$ : la sirène à installer est de classe C. Erreur fréquente : inverser $d_{1}$ et $d_{2}$ , ce qui donne $96$ dB et la classe B ; ou partir de $L'_{\mathrm{N}}=67$ dB, alors que N est derrière la cloison et que la relation ne décrit que la décroissance avec la distance dans un même milieu.

Q4. Un transfert thermique s'effectue spontanément du corps le plus chaud vers le corps le plus froid. Au début de l'expérience, l'air est à $\theta_{\mathrm{ext}}=54$ °C et l'ampoule à $\theta_{0}=22$ °C : le transfert thermique s'effectue de l'air extérieur vers l'ampoule. La figure 6 le confirme : la température de l'ampoule augmente au cours du temps. Il garde ce sens pendant toute l'expérience, puisque l'ampoule reste plus froide que l'air ( $53$ °C au plus).

Q5. Système : l'ampoule, solide, dont le volume ne varie pratiquement pas, donc elle ne reçoit pas de travail. Premier principe de la thermodynamique entre $t$ et $t+\Delta t$ : $\Delta U=W+Q=Q$ . Le transfert thermique reçu pendant $\Delta t$ est le flux thermique multiplié par la durée : $Q=\phi\cdot\Delta t=\epsilon\cdot S\cdot\sqrt{v}\cdot(\theta_{\mathrm{ext}}-\theta(t))\cdot\Delta t$ , en supposant $\Delta t$ assez court pour que $\theta(t)$ , donc $\phi$ , varie peu. Avec $\Delta U=C\cdot\Delta\theta$ :

$C\cdot\Delta\theta=\epsilon\cdot S\cdot\sqrt{v}\cdot(\theta_{\mathrm{ext}}-\theta(t))\cdot\Delta t$ , soit $\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}=\dfrac{\epsilon\cdot S\cdot\sqrt{v}}{C}\cdot(\theta_{\mathrm{ext}}-\theta(t))$ , la relation annoncée. Le signe est cohérent avec Q4 : tant que $\theta<\theta_{\mathrm{ext}}$ , le flux est positif (reçu par l'ampoule) et la température augmente.

Q6. L'équation s'écrit $\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}+\dfrac{1}{\tau}\theta=\dfrac{\theta_{\mathrm{ext}}}{\tau}$ , de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-\dfrac{1}{\tau}$ et $b=\dfrac{\theta_{\mathrm{ext}}}{\tau}$ . Ses solutions sont $\theta(t)=K\,\mathrm{e}^{-t/\tau}-\dfrac{b}{a}=K\,\mathrm{e}^{-t/\tau}+\theta_{\mathrm{ext}}$ , avec $K$ une constante : la solution constante $\theta_{\mathrm{ext}}$ (régime permanent, où l'ampoule a la température de l'air) plus les solutions de l'équation homogène $K\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$ .

Condition initiale : $\theta(0)=K+\theta_{\mathrm{ext}}=\theta_{0}$ , donc $K=\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}$ et $\theta(t)=\theta_{\mathrm{ext}}+(\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}})\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$ . Vérification par substitution : $\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}}{\tau}\mathrm{e}^{-t/\tau}$ et $-\dfrac{1}{\tau}\theta+\dfrac{\theta_{\mathrm{ext}}}{\tau}=-\dfrac{\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}}{\tau}\mathrm{e}^{-t/\tau}$ : les deux membres sont égaux. Erreur fréquente : écrire $K=\theta_{0}$ , en oubliant que la solution particulière vaut déjà $\theta_{\mathrm{ext}}$ à $t=0$ .

Q7. À $t=\tau$ , $\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368$ : $\theta(\tau)=54+(22-54)\times\mathrm{e}^{-1}=54-32\times 0{,}368=42{,}2$ °C. Autrement dit, à $t=\tau$ l'ampoule a parcouru $63$ % de l'écart initial : $22+0{,}63\times 32=42{,}2$ °C. On garde le dixième de degré pour la lecture graphique qui suit.

Q8. Méthode des 63 % : $\tau$ est la date à laquelle la température atteint $\theta(\tau)=42{,}2$ °C. Sur la figure 6, la croix de $t=40$ s est à $41{,}7$ °C et celle de $t=45$ s à $42{,}5$ °C : $42{,}2$ °C est atteint vers $t=43$ s. Donc $\tau\approx 43$ s, à quelques secondes près selon la lecture (la figure du corrigé montre la construction).

Remarque honnête sur les mesures : le palier mesuré est vers $53$ °C et non $54$ °C, et la température initiale lue est $22{,}5$ °C ; le modèle décrit bien la courbe, mais pas au degré près. On applique la méthode avec les valeurs de l'énoncé, comme demandé. La méthode de la tangente à l'origine est ici peu fiable : les premières croix montent très vite (de $22{,}6$ à $27{,}8$ °C en $5$ s), plus vite que le modèle, et la tangente donnerait un $\tau$ trop court.

Q9. De $\tau=\dfrac{R_{\mathrm{TI}}}{\sqrt{v}}$ on tire $R_{\mathrm{TI}}=\tau\cdot\sqrt{v}=43\times\sqrt{5{,}0}=96\ \mathrm{m^{1/2}\cdot s^{1/2}}$ , avec deux chiffres significatifs comme $\tau$ et $v$ . L'unité se vérifie : $\mathrm{s}\times(\mathrm{m\cdot s^{-1}})^{1/2}=\mathrm{m^{1/2}\cdot s^{1/2}}$ . Cette valeur est proche des $90\ \mathrm{m^{1/2}\cdot s^{1/2}}$ annoncés juste après pour le sprinkler étudié (écart d'environ $7$ %, à la hauteur de la précision de la lecture de $\tau$ ). Erreur fréquente : diviser par $\sqrt{v}$ au lieu de multiplier.

Q10. Le sprinkler est d'abord à la température de l'entrepôt, $\theta_{0}=15$ °C, et les fumées imposent $\theta_{\mathrm{ext}}=200$ °C. Il se déclenche quand $\theta(t_{\mathrm{rupt}})=\theta_{\mathrm{rupt}}$ : $\theta_{\mathrm{ext}}+(\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}})\,\mathrm{e}^{-t_{\mathrm{rupt}}/\tau}=\theta_{\mathrm{rupt}}$ , soit $\mathrm{e}^{-t_{\mathrm{rupt}}/\tau}=\dfrac{\theta_{\mathrm{rupt}}-\theta_{\mathrm{ext}}}{\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}}$ . En prenant le logarithme népérien : $t_{\mathrm{rupt}}=-\tau\cdot\ln\left(\dfrac{\theta_{\mathrm{rupt}}-\theta_{\mathrm{ext}}}{\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}}\right)=\tau\cdot\ln\left(\dfrac{\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}}{\theta_{\mathrm{rupt}}-\theta_{\mathrm{ext}}}\right)$ .

Le point décisif : $\tau$ n'est PAS celui du laboratoire. Il dépend de la vitesse du gaz, $\tau=\dfrac{R_{\mathrm{TI}}}{\sqrt{v}}$ , et ici $R_{\mathrm{TI}}=90\ \mathrm{m^{1/2}\cdot s^{1/2}}$ et $v_{\text{fumée}}=3{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ : $\tau=\dfrac{90}{\sqrt{3{,}0}}=52$ s.

Application numérique : $\dfrac{\theta_{0}-\theta_{\mathrm{ext}}}{\theta_{\mathrm{rupt}}-\theta_{\mathrm{ext}}}=\dfrac{15-200}{68-200}=\dfrac{-185}{-132}=1{,}40$ , et $t_{\mathrm{rupt}}=52\times\ln(1{,}40)=52\times 0{,}338=18$ s ( $17{,}5$ s sans arrondi intermédiaire). Vérification : la durée est positive (le rapport est supérieur à $1$ ) et inférieure à $\tau$ , ce qui est cohérent puisque l'ampoule n'a qu'à parcourir $\dfrac{68-15}{200-15}=29$ % de l'écart, moins que les $63$ % atteints en $\tau$ .

Erreurs fréquentes : reprendre $\tau=43$ s du laboratoire (on trouverait $15$ s, mais pour un courant d'air plus rapide et un autre sprinkler) ; garder $\theta_{0}=22$ °C, qui était la température du laboratoire ; inverser le rapport et obtenir une durée négative, signal immédiat d'une erreur.

Q11. Le débit maximal se convertit en unités SI : $D_{\mathrm{V}}=500\ \mathrm{L\cdot min^{-1}}=\dfrac{500\times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}}{60\ \mathrm{s}}=8{,}33\times 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}\cdot s^{-1}}$ . De $D_{\mathrm{V}}=S_{\mathrm{A}}\cdot v_{\mathrm{A}}$ : $v_{\mathrm{A}}=\dfrac{D_{\mathrm{V}}}{S_{\mathrm{A}}}=\dfrac{8{,}33\times 10^{-3}}{1{,}6\times 10^{-3}}=5{,}2\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , la valeur annoncée. Vérification de la section : un diamètre de $45$ mm donne $S=\pi\times(22{,}5\times 10^{-3})^{2}=1{,}6\times 10^{-3}\ \mathrm{m^{2}}$ . Erreur fréquente : oublier la conversion des litres ( $1\ \mathrm{L}=10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$ ) ou celle des minutes.

Q12. Relation de Bernoulli entre A et B, sur la ligne de courant de l'axe de la lance, horizontale sur la figure 8 : $z_{\mathrm{A}}=z_{\mathrm{B}}$ et les termes de pesanteur se simplifient. Il reste $\dfrac{1}{2}\rho\,v_{\mathrm{A}}^{2}+P_{\mathrm{A}}=\dfrac{1}{2}\rho\,v_{\mathrm{B}}^{2}+P_{\mathrm{B}}$ , d'où $v_{\mathrm{B}}=\sqrt{v_{\mathrm{A}}^{2}+\dfrac{2\,(P_{\mathrm{A}}-P_{\mathrm{B}})}{\rho}}$ .

Application numérique, pressions en pascals : $P_{\mathrm{A}}-P_{\mathrm{B}}=8{,}0-1{,}0=7{,}0$ bar $=7{,}0\times 10^{5}$ Pa. $v_{\mathrm{B}}=\sqrt{5{,}2^{2}+\dfrac{2\times 7{,}0\times 10^{5}}{1\,000}}=\sqrt{27+1\,400}=37{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\approx 38\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ . La surpression du tuyau est convertie en énergie cinétique : c'est elle qui fait l'essentiel de la vitesse, le terme $v_{\mathrm{A}}^{2}$ ne pèse que $2$ %. Vérification par la conservation du débit : la section de sortie vaut $\dfrac{D_{\mathrm{V}}}{v_{\mathrm{B}}}=2{,}2\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$ , un orifice d'environ $1{,}7$ cm de diamètre, plausible pour une lance. Erreur fréquente : laisser les pressions en bar, ce qui donne $v_{\mathrm{B}}\approx v_{\mathrm{A}}=5{,}2\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , comme si la lance n'accélérait pas l'eau : un résultat qui doit alerter.

Q13. Système : la goutte d'eau, de masse $m$ , étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Bilan des forces : son poids $\vec{P}=m\,\vec{g}$ seulement, les frottements de l'air étant négligés (et la poussée d'Archimède dans l'air, mille fois plus faible que le poids d'une goutte d'eau, aussi). Deuxième loi de Newton : $m\,\vec{a}=m\,\vec{g}$ , donc $\vec{a}=\vec{g}$ . Le champ de pesanteur étant vertical vers le bas, $\vec{g}=-g\,\vec{k}$ : $a_{x}(t)=0$ et $a_{z}(t)=-g=-9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ . L'accélération ne dépend pas de la masse de la goutte.

Q14. Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération : $v_{x}(t)=C_{1}$ et $v_{z}(t)=-g\,t+C_{2}$ . À $t=0$ , $\vec{v}=\vec{v}_{\mathrm{B}}$ , de coordonnées $v_{\mathrm{B}}\cos(\alpha)$ et $v_{\mathrm{B}}\sin(\alpha)$ : $v_{x}(t)=v_{\mathrm{B}}\cos(\alpha)$ et $v_{z}(t)=-g\,t+v_{\mathrm{B}}\sin(\alpha)$ .

Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse : $x(t)=v_{\mathrm{B}}\cos(\alpha)\,t+C_{3}$ et $z(t)=-\dfrac{1}{2}g\,t^{2}+v_{\mathrm{B}}\sin(\alpha)\,t+C_{4}$ . À $t=0$ , M est en B, sur l'axe vertical (O, $\vec{k}$ ) : $x(0)=0$ et $z(0)=z_{\mathrm{B}}$ , donc $C_{3}=0$ et $C_{4}=z_{\mathrm{B}}$ . On obtient $x(t)=v_{\mathrm{B}}\cdot\cos(\alpha)\cdot t$ et $z(t)=-\dfrac{1}{2}g\cdot t^{2}+v_{\mathrm{B}}\cdot\sin(\alpha)\cdot t+z_{\mathrm{B}}$ . Le mouvement est uniforme horizontalement et uniformément varié verticalement.

Q15. La goutte retombe au sol en P, où $z=0$ : on résout $-6{,}72\times 10^{-3}x^{2}+0{,}990x+1{,}30=0$ . Discriminant : $\Delta=0{,}990^{2}-4\times(-6{,}72\times 10^{-3})\times 1{,}30=0{,}980+0{,}0349=1{,}015$ , $\sqrt{\Delta}=1{,}0075$ . Les racines sont $x=\dfrac{-0{,}990\pm 1{,}0075}{2\times(-6{,}72\times 10^{-3})}$ : $x=-1{,}3$ m, à rejeter (point situé derrière le pompier, avant le départ), et $x_{\max}=\dfrac{0{,}990+1{,}0075}{1{,}344\times 10^{-2}}=149$ m, soit environ $1{,}5\times 10^{2}$ m.

Vérification des coefficients de l'énoncé : $\dfrac{g}{2\,v_{\mathrm{B}}^{2}\cos^{2}(44{,}7°)}=\dfrac{9{,}81}{2\times 38^{2}\times 0{,}505}=6{,}72\times 10^{-3}\ \mathrm{m^{-1}}$ et $\tan(44{,}7°)=0{,}990$ . L'ordre de grandeur se retrouve avec la formule de la portée depuis le sol, $\dfrac{v_{\mathrm{B}}^{2}}{g}=147$ m.

Interprétation : le modèle prévoit une portée environ $3{,}7$ fois plus grande que les $40$ m de la documentation. L'écart vient de l'hypothèse de la question Q13 : les frottements de l'air ne sont pas négligeables. À $38\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ , la force de frottement, qui croît avec le carré de la vitesse, est considérable, d'autant que le jet se fragmente en gouttelettes qui offrent une grande surface à l'air et sont freinées très vite. Le modèle de la chute libre surestime donc largement la portée ; la valeur du constructeur est mesurée dans les conditions réelles. Erreur fréquente : prendre $x=-1{,}3$ m ou s'arrêter au sommet de la trajectoire.

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Exercice 2 : Le paracétamol

5 points Avancement et dosages Cinétique chimique Mesure, incertitudes et chiffres significatifs Chimie organique et synthèse

Le paracétamol a été synthétisé pour la première fois par Harmon Northrop Morse en 1878.

D'après une étude de l'Assurance Maladie, entre juin 2023 et juin 2024, les deux médicaments les plus consommés en France ont pour principe actif le paracétamol. Utilisé pour diminuer les douleurs d'intensité légère à modérée (antalgique) ou faire chuter la fièvre (antipyrétique), le paracétamol peut être conditionné sous diverses formes : comprimés, poudre en sachets, etc.

Le but de cet exercice est de contrôler la teneur de ce principe actif dans un sachet, puis d'étudier la cinétique de sa disparition dans l'organisme.

Données :
• masse molaire du paracétamol : $M(\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}})=151\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ;
• conductivités ioniques molaires $\lambda$ de quelques ions à 25 °C :

Ion	$\mathrm{Na^{+}}$	$\mathrm{OH^{-}}$	$\mathrm{C_{8}H_{8}NO_{2}^{-}}$
$\lambda$ ( $\mathrm{S\cdot m^{2}\cdot mol^{-1}}$ )	$5{,}01\times 10^{-3}$	$19{,}8\times 10^{-3}$	$1{,}7\times 10^{-3}$

• formule topologique du paracétamol :
1. Contrôle de la teneur en principe actif
Q1. Écrire la formule semi-développée du paracétamol, puis entourer et nommer les groupes caractéristiques présents dans cette molécule.
On souhaite contrôler la teneur en paracétamol dans un sachet dont la notice indique qu'il contient $500$ mg de paracétamol. On réalise pour cela un titrage avec suivi conductimétrique :
• on dissout le contenu d'un sachet de paracétamol, de formule chimique brute $\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}$ , dans un grand volume d'eau distillée ;
• on titre la solution obtenue par une solution titrante d'hydroxyde de sodium $(\mathrm{Na^{+}(aq)+OH^{-}(aq)})$ dont la concentration en quantité de matière apportée, notée $C$ , a pour valeur $C=0{,}250\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ .
La transformation chimique mise en jeu lors du titrage peut être modélisée par la réaction d'équation :
$\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}(aq)+OH^{-}(aq)\rightarrow C_{8}H_{8}NO_{2}^{-}(aq)+H_{2}O(\ell)}$
L'évolution de la conductivité $\sigma$ de la solution en fonction du volume $V$ de solution d'hydroxyde de sodium versé est donnée dans l'ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE.
Annexe 1 à rendre avec la copie (exercice 2, question Q3)
Q2. À l'aide des données sur les conductivités ioniques molaires et en négligeant l'effet de la dilution lors de l'ajout de la solution titrante, justifier qualitativement l'évolution de la pente de la courbe au cours du titrage, avant et après l'équivalence.
Q3. En faisant figurer la construction graphique sur la courbe de l'ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE, vérifier que la quantité de matière $n_{\mathrm{p}}$ de paracétamol contenu dans le sachet vaut $n_{\mathrm{p}}=3{,}43\times 10^{-3}$ mol.
L'incertitude-type $u(m)$ associée à la valeur de la masse $m$ de paracétamol est donnée par la relation :
$u(m)=m\cdot\sqrt{\left(\dfrac{u(C)}{C}\right)^{2}+\left(\dfrac{u(V_{\mathrm{E}})}{V_{\mathrm{E}}}\right)^{2}}$
• $u(C)$ est l'incertitude-type de la concentration $C$ en quantité de matière d'hydroxyde de sodium apportée ; $u(C)=0{,}010\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ ;
• $u(V_{\mathrm{E}})$ est l'incertitude-type du volume de solution titrante versée pour atteindre l'équivalence ; $u(V_{\mathrm{E}})=0{,}29$ mL.
Q4. Déterminer la valeur de la masse de paracétamol, notée $m_{\mathrm{mes}}$ , contenue dans le sachet et son incertitude-type associée, notée $u(m_{\mathrm{mes}})$ . Écrire le résultat de la mesure avec un nombre adapté de chiffres significatifs. On exprimera le résultat en milligramme.
Le quotient $z=\dfrac{|m_{\mathrm{mes}}-m_{\mathrm{ref}}|}{u(m_{\mathrm{mes}})}$ permet de comparer la valeur mesurée expérimentalement, notée $m_{\mathrm{mes}}$ , à la valeur de référence, notée $m_{\mathrm{ref}}$ . Si le quotient $z$ est supérieur à 2, on considère que la valeur mesurée n'est pas compatible avec la valeur de référence.
Q5. Discuter de la compatibilité entre la valeur de la masse de paracétamol mesurée, notée $m_{\mathrm{mes}}$ , et la valeur de référence, notée $m_{\mathrm{ref}}$ , indiquée sur la notice du médicament.
2. Étude cinétique
L'efficacité du paracétamol dépend de sa concentration dans le sang qui diminue progressivement au cours du temps car le paracétamol est transformé en différents produits. L'un d'eux est toxique et ne doit pas être présent de façon excessive dans l'organisme. Il est donc recommandé de ne pas dépasser un gramme de paracétamol par prise, en respectant un intervalle d'au moins six heures entre deux prises.
On se propose de vérifier si l'on peut expliquer ces recommandations à partir de l'évolution de la concentration de paracétamol dans le sang à la suite de la prise d'un comprimé en contenant $1$ g. On considère que :
• la valeur maximale de la concentration du paracétamol dans le sang est égale à $132\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ ;
• l'évolution de la concentration en paracétamol dans le sang suit ensuite une loi de vitesse d'ordre 1.
Q6. Écrire l'expression de la vitesse volumique de disparition $v_{\mathrm{P}}$ du paracétamol en fonction de sa concentration $[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]$ .
Q7. En utilisant la réponse précédente et sachant que l'évolution de la concentration en paracétamol dans le sang suit une loi de vitesse d'ordre 1, montrer que : $\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]}{\mathrm{d}t}=-k\cdot[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]$
$k$ représente la constante de vitesse.
La solution de l'équation différentielle précédente est de la forme : $[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}](t)=[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]_{0}\cdot\mathrm{e}^{-k\cdot t}$
avec $[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]_{0}$ la concentration de paracétamol à $t=0$ s et $k=0{,}28\ \mathrm{h^{-1}}$ .
L'évolution temporelle de la concentration en quantité de matière de paracétamol $[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}](t)$ dans le sang, en $\mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ , est représentée par la courbe de la figure 1.
Figure 1. Évolution de la concentration en quantité de matière de paracétamol en fonction du temps
Q8. En utilisant la courbe de la figure 1, montrer sans calcul que la vitesse de disparition du paracétamol diminue au cours du temps.
La date $t=0$ h correspond au pic de concentration en quantité de matière de paracétamol dans le sang. On considère que ce pic est atteint 30 minutes après la prise unique de $1$ g de paracétamol et que l'effet antalgique du paracétamol sur un individu s'atténue fortement lorsque sa concentration en masse dans le sang devient inférieure à $c_{\mathrm{lim}}=8\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}$ .
Q9. Déterminer la valeur de la durée nécessaire pour que la valeur limite $c_{\mathrm{lim}}$ soit atteinte depuis la prise du médicament. Expliquer l'écart avec les recommandations indiquées sur la notice.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter correctement sa démarche, même non aboutie, car elle sera évaluée.

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V_{\mathrm{E}}

lu sur l'annexe mL

m_{\mathrm{mes}}

u(m_{\mathrm{mes}})

z

Compatible avec la notice ?

Durée depuis la prise h

Voir la correction

Réponses

Q1 $\mathrm{HO{-}C_{6}H_{4}{-}NH{-}C({=}O){-}CH_{3}}$ : groupe hydroxyle et groupe amide
Q2 Avant : $\mathrm{Na^{+}}$ et $\mathrm{C_{8}H_{8}NO_{2}^{-}}$ ( $6{,}7\times 10^{-3}$ ) ; après : $\mathrm{Na^{+}}$ et $\mathrm{OH^{-}}$ ( $24{,}8\times 10^{-3}$ ), pente plus forte
Q3 $V_{\mathrm{E}}\approx 13{,}8$ mL, $n_{\mathrm{p}}=C\,V_{\mathrm{E}}=3{,}45\times 10^{-3}$ mol, soit $3{,}43\times 10^{-3}$ mol à la lecture près
Q4 $m_{\mathrm{mes}}=518$ mg, $u(m_{\mathrm{mes}})=23$ mg
Q5 $z=0{,}77<2$ : compatible avec $500$ mg
Q6 $v_{\mathrm{P}}=-\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]}{\mathrm{d}t}$
Q7 Ordre 1 : $v_{\mathrm{P}}=k[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]$ , d'où $\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]}{\mathrm{d}t}=-k[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]$
Q8 La pente de la tangente diminue en valeur absolue : la vitesse diminue
Q9 $53\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ atteint à $3{,}3$ h, soit $3{,}8$ h après la prise ; les 6 h protègent de l'accumulation

Q1. Formule semi-développée : on écrit toutes les liaisons sauf celles qui engagent un atome d'hydrogène. Le cycle s'écrit avec ses quatre groupes $\mathrm{CH}$ et ses deux carbones substitués, en para l'un de l'autre : $\mathrm{HO{-}C_{6}H_{4}{-}NH{-}C({=}O){-}CH_{3}}$ , c'est-à-dire, de gauche à droite sur la formule topologique, $\mathrm{HO}$ lié à un carbone du cycle, le cycle $\mathrm{(CH)_{4}}$ aux doubles liaisons alternées, le carbone opposé lié à $\mathrm{NH}$ , puis $\mathrm{C}$ doublement lié à $\mathrm{O}$ et lié à $\mathrm{CH_{3}}$ .

Deux groupes caractéristiques sont à entourer. Le groupe hydroxyle $\mathrm{{-}OH}$ , porté ici par un carbone du cycle aromatique (c'est un phénol, pas un alcool, mais le groupe se nomme toujours hydroxyle). Le groupe amide $\mathrm{{-}C({=}O){-}NH{-}}$ : l'atome d'azote et le carbone doublement lié à l'oxygène s'entourent ENSEMBLE. Piège : entourer séparément un « groupe carbonyle » $\mathrm{C{=}O}$ et un « groupe amine » $\mathrm{NH}$ ; un carbonyle lié à un azote forme un seul groupe, amide, qui donne au paracétamol sa famille.

Q2. Avant l'équivalence, les ions hydroxyde versés sont le réactif limitant : chacun est aussitôt consommé et remplacé par un ion $\mathrm{C_{8}H_{8}NO_{2}^{-}}$ , tandis que l'ion sodium, spectateur, s'accumule. Le paracétamol, molécule neutre, ne conduit pas. Chaque millilitre versé ajoute donc à la solution des ions $\mathrm{Na^{+}}$ et des ions $\mathrm{C_{8}H_{8}NO_{2}^{-}}$ en quantités égales : par la loi de Kohlrausch $\sigma=\sum\lambda_{i}[X_{i}]$ , la conductivité augmente, avec une pente proportionnelle à $\lambda(\mathrm{Na^{+}})+\lambda(\mathrm{C_{8}H_{8}NO_{2}^{-}})=5{,}01\times 10^{-3}+1{,}7\times 10^{-3}=6{,}7\times 10^{-3}\ \mathrm{S\cdot m^{2}\cdot mol^{-1}}$ .

Après l'équivalence, il n'y a plus de paracétamol : les ions $\mathrm{OH^{-}}$ versés ne réagissent plus et s'accumulent avec les ions $\mathrm{Na^{+}}$ . La pente devient proportionnelle à $\lambda(\mathrm{Na^{+}})+\lambda(\mathrm{OH^{-}})=5{,}01\times 10^{-3}+19{,}8\times 10^{-3}=24{,}8\times 10^{-3}\ \mathrm{S\cdot m^{2}\cdot mol^{-1}}$ , environ $3{,}7$ fois plus grande : la conductivité augmente beaucoup plus vite. C'est ce que montre l'annexe : environ $40\ \mathrm{\mu S\cdot cm^{-1}}$ par millilitre avant, $113\ \mathrm{\mu S\cdot cm^{-1}}$ par millilitre après. Le rapport mesuré, voisin de $3$ , n'a pas à valoir exactement $3{,}7$ : la justification demandée est qualitative.

Q3. Construction : on trace la droite qui passe au mieux par les croix ALIGNÉES avant l'équivalence (de $1$ à $10$ mL) et celle qui passe par les croix alignées après (de $18$ à $25$ mL), puis on lit l'abscisse de leur point d'intersection : c'est le volume équivalent $V_{\mathrm{E}}$ . On trouve $V_{\mathrm{E}}\approx 13{,}8$ mL (la figure du corrigé donne $13{,}9$ mL avec des droites ajustées ; une lecture entre $13{,}6$ et $14{,}0$ mL est correcte). Les croix de $12$ à $17$ mL, sur la partie arrondie, ne servent PAS à tracer les droites : la réaction n'est pas parfaitement totale près de l'équivalence, le paracétamol étant un acide très faible.

À l'équivalence, le paracétamol et les ions hydroxyde ont été introduits dans les proportions stœchiométriques de l'équation, un pour un : $n_{\mathrm{p}}=C\times V_{\mathrm{E}}=0{,}250\times 13{,}8\times 10^{-3}=3{,}45\times 10^{-3}$ mol. C'est la valeur annoncée $3{,}43\times 10^{-3}$ mol à moins de $1$ % près, écart à la hauteur de la précision de la lecture : la valeur de l'énoncé correspond à $V_{\mathrm{E}}=\dfrac{3{,}43\times 10^{-3}}{0{,}250}=13{,}7$ mL. Erreur fréquente : oublier de convertir $V_{\mathrm{E}}$ en litres.

Q4. Masse : $m_{\mathrm{mes}}=n_{\mathrm{p}}\times M=3{,}43\times 10^{-3}\times 151=0{,}518$ g, soit $518$ mg.

Incertitude-type, avec $V_{\mathrm{E}}=13{,}7$ mL (celui qui correspond à $n_{\mathrm{p}}$ ) : $\dfrac{u(C)}{C}=\dfrac{0{,}010}{0{,}250}=0{,}040$ et $\dfrac{u(V_{\mathrm{E}})}{V_{\mathrm{E}}}=\dfrac{0{,}29}{13{,}7}=0{,}021$ . Donc $u(m_{\mathrm{mes}})=518\times\sqrt{0{,}040^{2}+0{,}021^{2}}=518\times 0{,}045=23$ mg. L'incertitude sur la concentration de la soude domine : c'est elle qu'il faudrait améliorer en premier.

Écriture du résultat : on arrondit l'incertitude-type à un ou deux chiffres significatifs, et la valeur au même rang. Avec deux chiffres : $m_{\mathrm{mes}}=518$ mg avec $u(m_{\mathrm{mes}})=23$ mg ; avec un seul : $m_{\mathrm{mes}}=(5{,}2\pm 0{,}2)\times 10^{2}$ mg, en notant que $\pm$ désigne ici l'incertitude-type. Erreur fréquente : écrire $517{,}93$ mg avec une incertitude de $23$ mg, des chiffres qui n'ont aucun sens.

Q5. Valeur de référence : $m_{\mathrm{ref}}=500$ mg, indiquée sur la notice. Quotient : $z=\dfrac{|518-500|}{23}=0{,}77$ . Comme $z<2$ , la valeur mesurée est compatible avec la valeur de référence : le sachet contient bien la dose annoncée, aux incertitudes de mesure près. L'écart de $18$ mg ( $3{,}6$ %) est plus petit que l'incertitude-type elle-même.

Q6. La vitesse volumique de disparition d'un réactif est l'opposé de la dérivée de sa concentration par rapport au temps : $v_{\mathrm{P}}=-\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]}{\mathrm{d}t}$ . Le signe moins rend la vitesse positive, puisque la concentration diminue. Elle s'exprime ici en $\mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}$ .

Q7. Une loi de vitesse d'ordre 1 signifie que la vitesse de disparition est proportionnelle à la concentration du réactif : $v_{\mathrm{P}}=k\cdot[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]$ , avec $k$ la constante de vitesse. En égalant avec l'expression de Q6 : $-\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]}{\mathrm{d}t}=k\cdot[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]$ , soit $\dfrac{\mathrm{d}[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]}{\mathrm{d}t}=-k\cdot[\mathrm{C_{8}H_{9}NO_{2}}]$ . L'unité de $k$ , $\mathrm{h^{-1}}$ , est bien l'inverse d'un temps.

Q8. La vitesse de disparition à une date $t$ est l'opposé du coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Sur la figure 1, la courbe décroît de moins en moins vite : la tangente, très pentue à $t=0$ (la concentration perd $32\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ pendant la première heure), devient de plus en plus proche de l'horizontale (à peine $8\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ perdus entre $5$ et $6$ h). La valeur absolue de la pente diminue, donc la vitesse de disparition diminue au cours du temps. C'est cohérent avec Q7 : la vitesse est proportionnelle à la concentration, qui diminue.

Q9. Démarche : convertir la concentration limite en masse en concentration en quantité de matière, trouver la date où elle est atteinte, puis ajouter les 30 minutes qui séparent la prise du pic.

Conversion : $c=\dfrac{c_{\mathrm{lim}}}{M}=\dfrac{8\times 10^{-3}\ \mathrm{g\cdot L^{-1}}}{151\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}=5{,}3\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}=53\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ . Sur la figure 1, la concentration vaut $53\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ vers $t\approx 3{,}3$ h. Par le calcul : $132\,\mathrm{e}^{-0{,}28\,t}=53$ donne $t=\dfrac{1}{0{,}28}\ln\dfrac{132}{53}=\dfrac{0{,}91}{0{,}28}=3{,}3$ h, en accord avec la lecture.

Depuis la prise : $\Delta t=0{,}5+3{,}3=3{,}8$ h, soit environ $3$ h $45$ min. Erreur fréquente : oublier la demi-heure entre la prise et le pic, ou comparer $8\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}$ directement à la courbe graduée en $\mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ .

Écart avec la notice : l'effet s'atténue au bout d'environ $4$ heures, et pourtant la notice impose au moins $6$ heures entre deux prises. La recommandation ne vise donc pas l'efficacité continue mais la sécurité : il faut laisser au paracétamol, et au produit toxique qu'il forme, le temps d'être éliminés. Une seconde prise de $1$ g dès $3{,}8$ h s'ajouterait aux $53\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ restants et ferait monter le pic vers $185\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ , bien au-dessus du pic d'une prise unique ; après $6$ h, il ne reste qu'environ $28\ \mathrm{\mu mol\cdot L^{-1}}$ et l'accumulation est limitée. Pour la même raison, la dose par prise est plafonnée à $1$ g.

Exercice 3 : Traitement de l'eau d'une piscine

4 points Acide-base, pKa et titrages Piles et électrolyse Synthèse organique et mécanismes

Une piscine nécessite une désinfection continue pour empêcher la croissance des algues et éliminer les bactéries pathogènes. La méthode de désinfection la plus couramment utilisée consiste à introduire dans l'eau de la piscine des ions hypochlorite $\mathrm{C\ell O^{-}(aq)}$ formés par électrolyse. Ces ions coexistent alors avec l'acide hypochloreux $\mathrm{HC\ell O(aq)}$ .

Dans cet exercice, on souhaite déterminer la durée nécessaire de l'électrolyse pour produire la quantité optimale d'ions hypochlorite.

1. Formation des chloramines

Les matières biologiques d'origine humaine conduisent à la formation d'ammoniaque $\mathrm{NH_{3}(aq)}$ qui réagit avec l'acide hypochloreux $\mathrm{HC\ell O(aq)}$ pour former des chloramines à l'origine de l'odeur « de chlore » et des irritations des yeux. Le mécanisme réactionnel de cette transformation se décompose en plusieurs actes élémentaires figurant dans l'ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE.

Annexe 2 à rendre avec la copie (exercice 3, question Q1)
Q1. Sur l'ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE, représenter les flèches courbes pour l'acte élémentaire n° 1. Indiquer, en justifiant, s'il s'agit d'une substitution, d'une addition ou d'une élimination.
Q2. Établir l'équation de la réaction modélisée par le mécanisme réactionnel fourni.
2. L'ion hypochlorite au service de la désinfection
L'AFSSET (agence française de sécurité sanitaire environnementale et du travail) est chargée d'assurer la sécurité sanitaire des usagers des piscines. Elle recommande une concentration en masse en « chlore libre » comprise entre $2$ et $4\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}$ .
Données :
• masses molaires : $M(\mathrm{HC\ell O})=52{,}5\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ; $M(\mathrm{C\ell O^{-}})=51{,}5\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ;
• couple acide-base associé à l'ion hypochlorite : $\mathrm{HC\ell O(aq)/C\ell O^{-}(aq)}$ ;
• $\mathrm{p}K_{\mathrm{A}}$ du couple $\mathrm{HC\ell O(aq)/C\ell O^{-}(aq)}$ : $\mathrm{p}K_{\mathrm{A}}=7{,}5$ à 25 °C ;
• concentration standard : $c^{\circ}=1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ .
L'acide hypochloreux est un acide au sens de Brönsted.
Q3. Donner la définition d'un acide au sens de Brönsted.
Q4. Exprimer la constante d'acidité $K_{\mathrm{A}}$ du couple acide hypochloreux / ion hypochlorite en fonction des concentrations en quantité de matière à l'équilibre $[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}$ , $[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}$ , $[\mathrm{H_{3}O^{+}}]_{\text{éq}}$ et de la concentration standard $c^{\circ}$ .
Q5. Calculer le rapport des concentrations en quantité de matière $\dfrac{[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}}{[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}}$ lorsque la valeur du pH de l'eau de piscine est égale à $7{,}4$ .
La concentration en masse $c_{\mathrm{m}}$ (en $\mathrm{g\cdot L^{-1}}$ ) de « chlore libre » recommandée par l'AFSSET est liée aux concentrations en quantité de matière $[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}$ (en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ ) d'acide hypochloreux et $[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}$ (en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ ) d'ions hypochlorite par la relation suivante :
$c_{\mathrm{m}}=[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}\cdot M(\mathrm{HC\ell O})+[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}\cdot M(\mathrm{C\ell O^{-}})$
Dans l'eau de la piscine, à la température de 25 °C, le rapport des concentrations en quantité de matière d'ions hypochlorite et d'acide hypochloreux est $\dfrac{[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}}{[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}}=0{,}79$ .
Q6. Montrer que pour atteindre le seuil $c_{\mathrm{m\,seuil}}=2\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}$ de « chlore libre », il est nécessaire que la concentration en quantité de matière en ions hypochlorite $[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}$ dans l'eau de piscine étudiée soit égale à $1{,}7\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ .
3. Obtention des ions hypochlorite par électrolyse
Pour éliminer les bactéries et maintenir un état sanitaire optimal de l'eau de la piscine, les ions hypochlorite doivent être générés de façon continue. L'une des solutions consiste à dissoudre dans l'eau de la piscine du chlorure de sodium solide, de formule chimique $\mathrm{NaC\ell(s)}$ , puis d'électrolyser la solution obtenue.
Afin d'étudier au laboratoire le principe de l'électrolyse de l'eau d'une piscine, on met en place le dispositif schématisé dans l'ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE.
Le tube en U est rempli avec une solution aqueuse de chlorure de sodium $(\mathrm{Na^{+}(aq)+C\ell^{-}(aq)})$ dans laquelle on plonge deux électrodes en graphite reliées à un générateur de tension continue.
Les transformations chimiques qui se déroulent aux électrodes sont forcées et peuvent être modélisées par des réactions électrochimiques dont les équations s'écrivent :
• à l'électrode n° 1 : $\mathrm{2\,H_{2}O(\ell)+2\,e^{-}\rightarrow H_{2}(g)+2\,OH^{-}(aq)}$ ;
• à l'électrode n° 2 : $\mathrm{2\,C\ell^{-}(aq)\rightarrow C\ell_{2}(g)+2\,e^{-}}$ .
Annexe 3 à rendre avec la copie (exercice 3, question Q7)
Q7. En s'appuyant sur ces équations, indiquer sur le schéma de l'ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE :
• le sens de circulation des électrons dans les fils conducteurs ;
• le sens du courant d'intensité $I$ ;
• la polarité du générateur.
L'équation de la réaction modélisant la transformation chimique qui se produit lors de l'électrolyse s'écrit :
$\mathrm{2\,C\ell^{-}(aq)+2\,H_{2}O(\ell)\rightarrow C\ell_{2}(g)+H_{2}(g)+2\,OH^{-}(aq)}$
Les ions hydroxyde $\mathrm{OH^{-}(aq)}$ et le dichlore $\mathrm{C\ell_{2}(g)}$ formés réagissent entre eux pour produire des ions hypochlorite $\mathrm{C\ell O^{-}(aq)}$ qui participent à la désinfection de l'eau de la piscine. Cette transformation chimique est modélisée par la réaction d'équation :
$\mathrm{C\ell_{2}(g)+2\,OH^{-}(aq)\rightarrow C\ell O^{-}(aq)+C\ell^{-}(aq)+H_{2}O(\ell)}$
Une piscine neuve est équipée d'un électrolyseur fonctionnant sur le même principe que dans le dispositif réalisé au laboratoire. Après le remplissage de la piscine et la dissolution de la quantité adéquate de chlorure de sodium, l'installateur met en fonctionnement l'électrolyseur.
Données :
• la quantité d'électricité $Q$ (en C) traversant une portion de circuit parcourue par un courant d'intensité constante $I$ (en A) pendant une durée de fonctionnement $\Delta t$ (en s) est donnée par la relation : $Q=I\cdot\Delta t$ ;
• la quantité d'électricité $Q$ (en C) est proportionnelle à la quantité de matière d'électrons échangés $n(\mathrm{e^{-}})$ (en mol), à la constante d'Avogadro $N_{A}$ et à la charge électrique élémentaire $e$ (en C) : $Q=n(\mathrm{e^{-}})\cdot N_{A}\cdot e$ ;
• constante d'Avogadro : $N_{A}=6{,}02\times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ;
• charge électrique élémentaire : $e=1{,}6\times 10^{-19}$ C ;
• intensité du courant fourni par l'électrolyseur : $I=5{,}0$ A ;
• masses molaires : $M(\mathrm{HC\ell O})=52{,}5\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ; $M(\mathrm{C\ell O^{-}})=51{,}5\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ;
• volume de la piscine : $V=50\ \mathrm{m^{3}}$ .
Q8. Sachant que la concentration en quantité de matière en ions hypochlorite dans l'eau de piscine étudiée doit être égale à $1{,}7\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ pour atteindre le seuil de la norme définie par l'AFSSET en chlore libre, calculer la durée $\Delta t$ nécessaire de l'électrolyse pour atteindre ce seuil.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter correctement sa démarche, même non aboutie, car elle sera évaluée.

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Réponses

Q1 Doublet de N vers Cl, doublet de la liaison O-Cl vers O : substitution
Q2 $\mathrm{NH_{3}+HC\ell O\rightarrow NH_{2}C\ell+H_{2}O}$
Q3 Espèce capable de céder un proton $\mathrm{H^{+}}$
Q4 $K_{\mathrm{A}}=\dfrac{[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}[\mathrm{H_{3}O^{+}}]_{\text{éq}}}{[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}\,c^{\circ}}$
Q5 $10^{\,\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_{\mathrm{A}}}=10^{-0{,}1}=0{,}79$
Q6 $[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}=\dfrac{2\times 10^{-3}}{52{,}5/0{,}79+51{,}5}=1{,}7\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$
Q7 Électrons : G vers électrode n° 1, électrode n° 2 vers G ; $I$ en sens inverse ; pôle $-$ côté n° 1, pôle $+$ côté n° 2
Q8 $n(\mathrm{e^{-}})=2\times 0{,}85=1{,}7$ mol, $Q=1{,}6\times 10^{5}$ C, $\Delta t=3{,}3\times 10^{4}$ s $\approx 9{,}1$ h

Q1. Une flèche courbe part toujours d'un site donneur de doublet (doublet non liant ou doublet de liaison) et pointe vers un site accepteur. Dans l'acte n° 1, deux flèches. La première part du doublet non liant de l'atome d'azote de $\mathrm{NH_{3}}$ et pointe vers l'atome de chlore de $\mathrm{HO{-}C\ell}$ : elle forme la liaison $\mathrm{N{-}C\ell}$ . Le chlore est un site accepteur parce que la liaison $\mathrm{O{-}C\ell}$ est polarisée : l'oxygène, plus électronégatif, porte une charge partielle $\delta-$ et le chlore une charge partielle $\delta+$ .

La seconde part du doublet de la liaison $\mathrm{O{-}C\ell}$ et pointe vers l'atome d'oxygène : la liaison se rompt, l'oxygène garde le doublet et devient l'ion $\mathrm{HO^{-}}$ , avec trois doublets non liants et une charge négative, comme sur l'annexe. L'azote, qui a engagé son doublet non liant dans une liaison, porte la charge $+$ . Vérification des charges : $0$ à gauche, $+1-1=0$ à droite.

Nature de l'acte : c'est une substitution. Sur l'atome de chlore, une liaison se forme ( $\mathrm{C\ell{-}N}$ ) pendant qu'une autre se rompt ( $\mathrm{C\ell{-}O}$ ) : le groupe $\mathrm{HO}$ est remplacé par le groupe $\mathrm{NH_{3}}$ . Deux réactifs donnent deux produits, sans que le nombre de liaisons multiples change, ce qui exclut l'addition (deux réactifs, un seul produit) et l'élimination (un réactif, deux produits avec formation d'une liaison multiple).

Q2. On additionne les deux actes élémentaires et on simplifie les espèces qui apparaissent des deux côtés : $\mathrm{C\ell{-}NH_{3}^{+}}$ et $\mathrm{HO^{-}}$ , formés à l'acte n° 1 et consommés à l'acte n° 2, sont des intermédiaires réactionnels. Il reste $\mathrm{NH_{3}(aq)+HC\ell O(aq)\rightarrow NH_{2}C\ell(aq)+H_{2}O(\ell)}$ , la formation de la monochloramine $\mathrm{NH_{2}C\ell}$ . L'équation est équilibrée : un N, quatre H, un Cl et un O de chaque côté, charges nulles. Erreur fréquente : garder $\mathrm{HO^{-}}$ dans le bilan, alors qu'il est consommé dès l'acte n° 2.

Q3. Un acide au sens de Brönsted est une espèce chimique capable de céder un ion hydrogène (un proton) $\mathrm{H^{+}}$ . Ici : $\mathrm{HC\ell O\rightleftarrows C\ell O^{-}+H^{+}}$ , l'ion hypochlorite étant sa base conjuguée.

Q4. Le couple réagit avec l'eau selon $\mathrm{HC\ell O(aq)+H_{2}O(\ell)\rightleftarrows C\ell O^{-}(aq)+H_{3}O^{+}(aq)}$ . La constante d'acidité est la constante d'équilibre de cette réaction, l'eau solvant n'y figurant pas : $K_{\mathrm{A}}=\dfrac{[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}\cdot[\mathrm{H_{3}O^{+}}]_{\text{éq}}}{[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}\cdot c^{\circ}}$ . La concentration standard rend $K_{\mathrm{A}}$ sans dimension : il y a deux concentrations au numérateur et une seule au dénominateur, $c^{\circ}$ rétablit l'équilibre.

Q5. De Q4 : $\dfrac{[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}}{[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}}=\dfrac{K_{\mathrm{A}}\cdot c^{\circ}}{[\mathrm{H_{3}O^{+}}]_{\text{éq}}}=\dfrac{10^{-\mathrm{p}K_{\mathrm{A}}}}{10^{-\mathrm{pH}}}=10^{\,\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_{\mathrm{A}}}$ , puisque $[\mathrm{H_{3}O^{+}}]_{\text{éq}}=c^{\circ}\cdot 10^{-\mathrm{pH}}$ . Application : $10^{7{,}4-7{,}5}=10^{-0{,}1}=0{,}79$ .

Vérification par le diagramme de prédominance : le pH ( $7{,}4$ ) est légèrement inférieur au $\mathrm{p}K_{\mathrm{A}}$ ( $7{,}5$ ), donc la forme acide $\mathrm{HC\ell O}$ prédomine légèrement, et le rapport base sur acide est bien un peu inférieur à $1$ . C'est la valeur que l'énoncé reprend ensuite. Erreur fréquente : calculer $10^{\,\mathrm{p}K_{\mathrm{A}}-\mathrm{pH}}=1{,}26$ , l'inverse du rapport demandé.

Q6. Le rapport donne $[\mathrm{HC\ell O}]_{\text{éq}}=\dfrac{[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}}{0{,}79}$ . En remplaçant dans la relation de l'AFSSET : $c_{\mathrm{m}}=[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}\left(\dfrac{M(\mathrm{HC\ell O})}{0{,}79}+M(\mathrm{C\ell O^{-}})\right)$ , d'où $[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}=\dfrac{c_{\mathrm{m\,seuil}}}{\dfrac{M(\mathrm{HC\ell O})}{0{,}79}+M(\mathrm{C\ell O^{-}})}$ .

Application numérique, la concentration en masse convertie en grammes par litre : $c_{\mathrm{m\,seuil}}=2\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}=2\times 10^{-3}\ \mathrm{g\cdot L^{-1}}$ , et $\dfrac{52{,}5}{0{,}79}+51{,}5=66{,}5+51{,}5=118\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ . Donc $[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}=\dfrac{2\times 10^{-3}}{118}=1{,}7\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ , la valeur annoncée. L'acide hypochloreux est alors à $2{,}2\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ : il pèse plus que l'ion dans le « chlore libre ». Erreur fréquente : oublier le facteur $10^{-3}$ des milligrammes, ou multiplier par $0{,}79$ au lieu de diviser.

Q7. À l'électrode n° 1, l'eau gagne des électrons : c'est une réduction, l'électrode n° 1 est la cathode. À l'électrode n° 2, les ions chlorure perdent des électrons : c'est une oxydation, l'électrode n° 2 est l'anode. Les électrons arrivent donc par les fils à l'électrode n° 1, où ils sont consommés, et partent de l'électrode n° 2, où ils sont libérés.

Sur le schéma : dans le fil de gauche, les électrons circulent du générateur vers l'électrode n° 1 ; dans le fil de droite, de l'électrode n° 2 vers le générateur. Le courant $I$ circule en sens inverse des électrons : du générateur vers l'électrode n° 2 dans le fil de droite, de l'électrode n° 1 vers le générateur dans le fil de gauche. Un générateur fait sortir le courant par sa borne positive : la borne reliée à l'électrode n° 2 (anode) est le pôle $+$ , celle reliée à l'électrode n° 1 (cathode) est le pôle $-$ . La figure ci-dessous montre l'annexe complétée.

Piège : dans une électrolyse, l'anode est reliée au pôle POSITIF du générateur, l'inverse de ce qu'on retient pour une pile, où l'anode est le pôle négatif. Le point commun, à retenir : l'oxydation a toujours lieu à l'anode.

Q8. Démarche : quantité d'ions hypochlorite à produire, puis quantité d'électrons nécessaire par les équations, puis charge électrique et durée.

Ions hypochlorite dans la piscine, volume converti en litres ( $V=50\ \mathrm{m^{3}}=5{,}0\times 10^{4}$ L) : $n(\mathrm{C\ell O^{-}})=1{,}7\times 10^{-5}\times 5{,}0\times 10^{4}=0{,}85$ mol.

Stœchiométrie : l'équation $\mathrm{C\ell_{2}+2\,OH^{-}\rightarrow C\ell O^{-}+C\ell^{-}+H_{2}O}$ montre qu'il faut une mole de dichlore par mole d'ions hypochlorite ; et l'équation à l'électrode n° 2, $\mathrm{2\,C\ell^{-}\rightarrow C\ell_{2}+2\,e^{-}}$ , que la formation d'une mole de dichlore fait circuler deux moles d'électrons. Donc $n(\mathrm{e^{-}})=2\,n(\mathrm{C\ell_{2}})=2\,n(\mathrm{C\ell O^{-}})=1{,}7$ mol. Les ions hydroxyde nécessaires sont fournis en même quantité par l'électrode n° 1, ce que confirme l'équation globale de l'électrolyse.

Charge et durée : $Q=n(\mathrm{e^{-}})\cdot N_{A}\cdot e=1{,}7\times 6{,}02\times 10^{23}\times 1{,}6\times 10^{-19}=1{,}6\times 10^{5}$ C, puis $\Delta t=\dfrac{Q}{I}=\dfrac{1{,}64\times 10^{5}}{5{,}0}=3{,}3\times 10^{4}$ s, soit environ $9{,}1$ h. On suppose que tout le dichlore formé est transformé en ions hypochlorite et qu'aucun n'est consommé pendant l'électrolyse (rendement de $100$ %, piscine neuve sans matière organique). Erreur fréquente : oublier le facteur $2$ des électrons, ce qui divise la durée par deux.

Remarque pour aller plus loin : l'énoncé fixe la concentration en ions hypochlorite à produire, et c'est la lecture retenue ci-dessus. Mais à pH $7{,}4$ , une partie des ions produits se protone en acide hypochloreux (rapport $0{,}79$ de Q5). Pour que $[\mathrm{C\ell O^{-}}]_{\text{éq}}$ vaille $1{,}7\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ À L'ÉQUILIBRE, il faudrait produire en tout $1{,}7\times 10^{-5}\times\left(1+\dfrac{1}{0{,}79}\right)=3{,}9\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ de chlore libre, soit environ $21$ h d'électrolyse. Une copie qui le signale montre qu'elle a relié les parties 2 et 3.

Bac 2026 de spécialité physique-chimie, Antilles-Guyane jour 2 : sujet officiel et corrigé

Exercice 1 : Sécurité incendie

Exercice 2 : Le paracétamol

Exercice 3 : Traitement de l'eau d'une piscine

Voir aussi

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