L'induction électromagnétique PHS0102 : fiche de révision

Le fil du chapitre

Seule la VARIATION du flux à travers le circuit induit une f.é.m., et le courant induit s'oppose à cette variation, jamais au champ lui-même. On écrit le flux, on le dérive, puis la loi de Lenz tranche le sens.

Notions couvertes

Flux magnétique
Loi de Faraday
Loi de Lenz
Force électromotrice induite
Force électromotrice de mouvement
Force de Laplace
Alternateur
Champ électrique induit
Charge induite
Courants de Foucault

L'essentiel

Le flux d'abord, sa dérivée ensuite

• Flux à travers une surface : $\Phi=\int\vec B\cdot d\vec A$ . Champ uniforme et surface plane : $\Phi=BA\cos\theta$ , $\theta$ étant l'angle entre $\vec B$ et la NORMALE.
• Champ non uniforme (près d'un long fil, $B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}$ ) : découper en bandes où $B$ est constant, écrire $d\Phi$ , puis intégrer.
• Loi de Faraday : $\varepsilon=-N\frac{d\Phi}{dt}$ . Seule la VARIATION compte : un flux énorme mais constant n'induit rien.
• Courant induit : $I=\frac{|\varepsilon|}{R_{\text{tot}}}$ , où $R_{\text{tot}}$ contient TOUTES les résistances du circuit, la tige ou la bobine comprises.

Écrire la ligne « Φ(t) = ... » avant toute dérivée rapporte souvent la moitié des points : c'est elle qui montre la bonne surface et le bon angle.

La loi de Lenz en quatre cas

• Le courant induit crée un champ $\vec B_{i}$ qui s'oppose à la VARIATION du flux, jamais au champ lui-même.
• Flux qui croît : $\vec B_{i}$ opposé au champ extérieur. Flux qui décroît : $\vec B_{i}$ de MÊME sens que lui.
• Règle de la main droite : $\vec B_{i}$ sort de la feuille au centre d'une spire parcourue dans le sens antihoraire.
• Conséquence mécanique : la force de Laplace sur le circuit freine toujours le mouvement qui produit le courant.

Dans les quatre cas, le cercle violet (champ induit) est opposé à la VARIATION : il contrarie le champ qui croît et prolonge celui qui décroît.

Trois façons de faire varier le flux

• Le champ varie, $B(t)$ : $\varepsilon=-NA\cos\theta\,\frac{dB}{dt}$ (bobine fixe).
• L'aire varie, $A(t)$ : tige sur des rails ou cadre qui entre dans une région de champ, $\varepsilon=B\ell v$ pour le côté qui coupe les lignes.
• L'angle varie, $\theta(t)=\omega t$ : alternateur, $\varepsilon=NBA\omega\sin\omega t$ .
• Charge totale déplacée : $Q=\frac{N\,|\Delta\Phi|}{R}$ , quelle que soit la durée.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Trancher le sens du courant induit

la question de sens entière, et la force qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le champ induit est toujours opposé au champ extérieur, donc le courant est horaire. »

Ce qu'il faut écrire

« Le flux sortant DIMINUE ; le champ induit s'oppose à cette diminution, il sort lui aussi : le courant est antihoraire. »

Pourquoi : Lenz s'oppose au CHANGEMENT. Quand le flux décroît (aimant qu'on éloigne, cadre qui sort du champ, courant qui baisse), le champ induit renforce le champ extérieur.

2. Le champ fait un angle avec le plan de la bobine

1 à 2 points, et toute la suite décalée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le champ fait $35^{\circ}$ avec la bobine : $\Phi=BA\cos 35^{\circ}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La normale fait $90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$ avec $\vec B$ : $\Phi=BA\cos 55^{\circ}$ . »

Pourquoi : Contrôle immédiat : un champ dans le plan ne traverse rien, le flux doit être nul. Avec l'angle au plan, la formule donnerait le maximum. Ici, l'erreur fait $43\ \%$ de trop.

3. Le flux est nul à un instant donné

2 points sur une question d'alternateur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le flux à travers la bobine de l'alternateur est nul, donc il n'y a pas de f.é.m. à cet instant. »

Ce qu'il faut écrire

« $\Phi\propto\cos\omega t$ s'annule quand $\varepsilon\propto\sin\omega t$ est MAXIMALE : le flux y varie le plus vite. »

Le flux (vert) passe par zéro exactement quand la f.é.m. (bleu) atteint son maximum : les deux courbes sont décalées d'un quart de tour.

Pourquoi : Faraday regarde la pente du flux, pas sa valeur. Même chose avec un champ B(t) : le courant s'annule au SOMMET de la courbe du champ.

4. Flux d'un long fil à travers un cadre

3 à 5 points : l'intégrale est le cœur de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Phi=B(\text{centre})\times\text{aire}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\Phi=\int_{a}^{a+b}\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}L\,dr=\frac{\mu_{0}IL}{2\pi}\ln\frac{a+b}{a}$ . »

Pourquoi : Le champ varie en $\frac{1}{r}$ : le produit par l'aire n'est juste que pour un champ uniforme. Pour un triangle de base $6$ cm à $2$ cm du fil, l'estimation au centre de gravité sous-estime le flux de $11{,}6\ \%$ .

5. Bobine qui entoure un solénoïde

toute la f.é.m. et le courant qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Phi=\mu_{0}nI\times\pi r_{2}^{2}$ , avec le rayon de la bobine. »

Ce qu'il faut écrire

« Hors du solénoïde $B\approx 0$ : $\Phi=\mu_{0}nI\times\pi R_{1}^{2}$ , avec le rayon du SOLÉNOÏDE. »

Seule la section verte du solénoïde porte du champ : le flux à travers la grande spire vaut

B\,\pi R_{1}^{2}

, la couronne n'ajoute rien.

Pourquoi : La spire de la bobine délimite bien un grand disque, mais le champ n'existe que sur sa partie centrale. Avec 3,50 cm contre 2,00 cm, l'erreur triple le résultat.

6. Cadre en mouvement dans un champ

1 à 2 points sur le graphe de la f.é.m.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le cadre se déplace dans le champ magnétique, donc un courant induit y circule. »

Ce qu'il faut écrire

« Le cadre est entièrement dans un champ uniforme : son flux est constant, aucun courant n'y circule. »

Pourquoi : Les f.é.m. de mouvement des deux côtés qui coupent les lignes sont égales et se compensent. Un courant n'apparaît qu'à l'entrée et à la sortie de la région de champ, en sens contraires.

7. Tension aux bornes de la résistance, tige résistive

1 point, plus le bilan de puissance faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $U_{R}=\varepsilon=B\ell v$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $I=\frac{B\ell v}{R+r}$ et $U_{R}=RI=\varepsilon-rI$ . »

Pourquoi : La tige est un générateur de f.é.m. Bℓv et de résistance interne r. Le bilan d'énergie le confirme : le travail de l'opérateur se partage entre R et la tige.

8. Champ électrique induit hors d'un solénoïde

2 à 3 points sur la question de champ induit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« B est nul à l'extérieur, donc E induit est nul à l'extérieur. »

Ce qu'il faut écrire

« $E\cdot 2\pi r=\pi R_{1}^{2}\frac{dB}{dt}$ , donc $E=\frac{R_{1}^{2}}{2r}\frac{dB}{dt}\neq 0$ . »

Pourquoi : Le champ électrique induit dépend du flux ENLACÉ par le contour, pas du champ magnétique local. C'est lui qui met en mouvement les électrons d'une bobine extérieure.

Quelle méthode choisir

Quel outil, selon ce qui fait varier le flux

Avant de calculer, repérer ce qui CHANGE dans le temps : le champ, l'aire, l'angle, ou la position dans un champ non uniforme.

À gauche, l'aire du circuit grandit et

\varepsilon=B\ell v

; à droite, le cadre se déplace dans un champ uniforme, son flux ne change pas et

\varepsilon=0

Si Le champ varie, $B(t)$ donné, bobine fixe → $\Phi(t)=AB(t)\cos\theta$ , puis $\varepsilon=-N\frac{d\Phi}{dt}$ ; chercher où $\frac{dB}{dt}$ s'annule.

Exemple : $B=0{,}150t^{2}-0{,}0500t^{3}$ : courant nul à $t=2{,}00$ s, où $B$ est maximal.
Si Une tige glisse sur des rails, un cadre entre dans une région de champ → $\Phi=B\ell x$ , donc $\varepsilon=B\ell v$ ; seul le côté qui coupe les lignes compte.

Exemple : $0{,}400\times 0{,}180\times 2{,}50=0{,}180$ V.
Si Une bobine tourne dans un champ uniforme → $\Phi=BA\cos\omega t$ , $\varepsilon=NBA\omega\sin\omega t$ .

Exemple : $150\times 0{,}300\times 9{,}60\times 10^{-3}\times 62{,}8=27{,}1$ V.
Si Un cadre bouge près d'un long fil (champ non uniforme) → $\Phi(x)$ par intégrale, puis $\frac{d\Phi}{dt}=\frac{d\Phi}{dx}v$ ; ou les deux côtés parallèles au fil, dont les f.é.m. se retranchent.

Exemple : $72{,}0-24{,}0=48{,}0\ \mu$ V, par les deux méthodes.
Si On demande un champ électrique induit → $\oint\vec E\cdot d\vec s=-\frac{d\Phi}{dt}$ sur un cercle centré sur l'axe ; flux enlacé ENTIER si le cercle sort du solénoïde.

Exemple : $E=\frac{R_{1}^{2}}{2r}\frac{dB}{dt}=2{,}87\times 10^{-5}$ V/m à $3{,}50$ cm.

Si rien ne change (cadre en translation dans un champ uniforme), la réponse est zéro : le dire et le justifier rapporte les points.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un problème d'induction à l'examen final

Quand l'utiliser : Une tige, un cadre, une bobine ou un solénoïde dont le flux change, avec « f.é.m. », « courant induit », « sens » ou « force ».

1 Orienter la normale du circuit et le dire : elle fixe le signe de $\Phi$ et de $\varepsilon$ .
2 Écrire $\Phi(t)$ avec la bonne surface (celle où le champ existe) et le bon angle (avec la normale) ; intégrer si $B$ n'est pas uniforme.
3 Dériver : $\varepsilon=-N\frac{d\Phi}{dt}$ , puis $I=\frac{|\varepsilon|}{R_{\text{tot}}}$ .
4 Donner le sens par la loi de Lenz, en une phrase, et le recouper par $q\vec v\times\vec B$ quand une pièce bouge.
5 Si l'on demande la force ou la puissance : $\vec F=I\vec L\times\vec B$ , opposée au mouvement, et $Fv=R_{\text{tot}}I^{2}$ .

Phrase de conclusion

« Le flux entrant à travers le circuit augmente ; par la loi de Lenz, le courant induit crée à l'intérieur du circuit un champ sortant : il circule dans le sens antihoraire. »

Le piège : Donner le sens sans phrase : « antihoraire » seul ne rapporte rien, la justification par la variation du flux est notée.

Barème : Au final, sur un problème de 15 points : environ 5 pour le flux, 4 pour la f.é.m. et le courant, 3 pour le sens justifié, 3 pour la force ou la puissance.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le sens, deux fois

Pour une pièce en mouvement, trancher par Lenz PUIS par $q\vec v\times\vec B$ sur les charges positives. Les deux doivent concorder.

Tige vers la droite, $\vec B$ entrant : $q\vec v\times\vec B$ pointe vers le haut, et Lenz donne un courant antihoraire, qui monte dans la tige. Un désaccord signale une erreur de signe.
Le bilan de puissance

À vitesse constante, la puissance mécanique $Fv$ doit égaler la puissance Joule $R_{\text{tot}}I^{2}$ .

$0{,}0216\times 2{,}50=0{,}0540$ W et $0{,}600\times 0{,}300^{2}=0{,}0540$ W : le circuit est juste. Trouver $0{,}0405$ W d'un côté signale une résistance oubliée.
L'unité et l'ordre de grandeur

$1\ \mathrm{T\cdot m^{2}/s}=1\ \mathrm{V}$ . Une f.é.m. de laboratoire va du microvolt au volt ; un courant de dix mille ampères n'est plausible que dans un conducteur massif.

Un cadre de $6$ cm à $2$ cm d'un fil de $40$ A donne des dizaines de microvolts : $48{,}0\ \mu$ V est cohérent, $48{,}0$ V signalerait une puissance de dix oubliée.

L'exercice type décortiqué

Bobine inclinée dans un champ qui décroît

Une bobine plate de $N=200$ spires, d'aire $4{,}00\ \mathrm{cm^{2}}$ et de résistance totale $5{,}00\ \Omega$ , est fermée sur elle-même. Son axe est incliné de $30{,}0^{\circ}$ par rapport à un champ uniforme qui sort de la feuille et décroît selon $B(t)=0{,}600-0{,}150\,t$ (teslas, secondes), pour $0\le t\le 4{,}00$ s.

Calculez la f.é.m. induite, le courant, son sens vu par le lecteur, et la charge totale qui traverse la bobine.

Étape 1

L'AXE de la bobine est sa normale : $\theta=30{,}0^{\circ}$ , et $\Phi(t)=A\,B(t)\cos 30{,}0^{\circ}$ .

Pourquoi

L'énoncé donne l'angle avec l'axe, donc directement avec la normale : pas de complément à faire, mais il faut le dire.

Étape 2

$|\varepsilon|=NA\cos 30{,}0^{\circ}\left|\frac{dB}{dt}\right|=200\times 4{,}00\times 10^{-4}\times 0{,}866\times 0{,}150=1{,}04\times 10^{-2}\ \mathrm{V}$

Pourquoi

Seule la pente du champ intervient ; la valeur $0{,}600$ T disparaît à la dérivation.

Étape 3

$I=\frac{1{,}04\times 10^{-2}}{5{,}00}=2{,}08\times 10^{-3}\ \mathrm{A}$ , constant pendant les quatre secondes.

Pourquoi

Champ affine, donc f.é.m. et courant constants : c'est ce qui rend le calcul de la charge immédiat.

Étape 4

Le flux sortant diminue ; le champ induit sort pour le maintenir : courant antihoraire.

Pourquoi

Le champ induit a ici le MÊME sens que le champ extérieur : c'est le cas où « opposé au champ » donne la mauvaise réponse.

Étape 5

$Q=\frac{N\,|\Delta\Phi|}{R}=\frac{200\times 4{,}00\times 10^{-4}\times 0{,}866\times 0{,}600}{5{,}00}=8{,}31\times 10^{-3}\ \mathrm{C}$

Pourquoi

Vérification croisée : $I\,\Delta t=2{,}08\times 10^{-3}\times 4{,}00$ redonne la même charge, ce qui contrôle à la fois $\varepsilon$ et $\Delta\Phi$ .

Conclusion rédigée

La bobine est le siège d'une f.é.m. de $10{,}4\ \mathrm{mV}$ qui fait circuler $2{,}08\ \mathrm{mA}$ dans le sens antihoraire ; $8{,}31\ \mathrm{mC}$ la traversent en quatre secondes.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $\cos 60{,}0^{\circ}$ parce que « l'angle avec le plan est le complément » : ici l'énoncé parle de l'AXE, et l'on trouverait $6{,}00\ \mathrm{mV}$ .

À savoir par cœur

• $\Phi=\int\vec B\cdot d\vec A$ ; uniforme : $BA\cos\theta$ , $\theta$ avec la NORMALE.
• $\varepsilon=-N\frac{d\Phi}{dt}$ : seule la VARIATION du flux induit.
• Lenz : le courant induit s'oppose à la VARIATION du flux, jamais au champ ; il freine toujours le mouvement qui le crée.
• Tige ou côté en mouvement : $\varepsilon=B\ell v$ , $F=I\ell B$ , et $Fv=R_{\text{tot}}I^{2}$ .
• Alternateur : $\varepsilon=NBA\omega\sin\omega t$ , MAXIMALE quand le flux est nul.
• $Q=\frac{N\,|\Delta\Phi|}{R}$ , indépendante de la durée ; $\oint\vec E\cdot d\vec s=-\frac{d\Phi}{dt}$ pour le champ induit.

Questions fréquentes

Comment trouver le sens du courant induit avec la loi de Lenz ?

On regarde d'abord si le flux à travers le circuit augmente ou diminue. S'il augmente, le courant induit crée un champ opposé au champ extérieur ; s'il diminue, il crée un champ de même sens pour le maintenir. La règle de la main droite donne ensuite le sens de rotation : un champ induit qui sort de la feuille correspond à un courant antihoraire.

Pourquoi la force électromotrice d'un alternateur est-elle maximale quand le flux est nul ?

La loi de Faraday dépend de la vitesse de variation du flux, pas de sa valeur. Quand le plan de la bobine est parallèle au champ, le flux est nul mais il passe d'une valeur positive à une valeur négative le plus vite possible : la force électromotrice est alors maximale. Quand le flux est maximal, il ne varie presque plus et la force électromotrice s'annule.

Comment calculer le flux magnétique d'un long fil à travers un cadre rectangulaire ?

Le champ du fil diminue comme l'inverse de la distance, il n'est donc pas uniforme sur le cadre. On découpe le cadre en bandes fines parallèles au fil, sur lesquelles le champ est constant, on écrit le flux élémentaire de chaque bande, puis on intègre de la distance du côté proche à celle du côté éloigné. On obtient un logarithme du rapport des deux distances.

La charge induite dépend-elle de la vitesse à laquelle on retire la bobine ?

Non. Retirer la bobine plus vite donne un courant plus intense, mais pendant un temps plus court, et les deux effets se compensent exactement. La charge qui traverse le circuit vaut le nombre de spires fois la variation totale du flux, divisé par la résistance. Ce qui augmente avec la vitesse, c'est l'énergie dissipée par effet Joule.

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Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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L'inductance

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/phs0102-induction-electromagnetique. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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5. Bobine qui entoure un solénoïde

6. Cadre en mouvement dans un champ

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Questions fréquentes

Comment trouver le sens du courant induit avec la loi de Lenz ?

Pourquoi la force électromotrice d'un alternateur est-elle maximale quand le flux est nul ?

Comment calculer le flux magnétique d'un long fil à travers un cadre rectangulaire ?

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