L'inductance PHS0102 : fiche de révision

Q: Comment calculer l'auto-inductance d'un solénoïde à l'examen de PHS0102 ?

On applique le théorème d'Ampère sur un rectangle pour obtenir le champ uniforme, mu zéro fois N sur l fois I, on calcule le flux à travers une spire en multipliant par l'aire, puis on écrit que N fois ce flux vaut L fois I. Le courant se simplifie et il reste L égale mu zéro N au carré A sur l, avec l'aire en mètres carrés.

Q: Pourquoi le courant dans une bobine ne peut-il pas changer brusquement ?

Parce que la tension aux bornes d'une bobine vaut L fois la dérivée du courant. Un saut de courant demanderait une tension infinie. Juste après la manœuvre d'un interrupteur, le courant de la bobine garde donc sa valeur d'avant ; c'est sa tension qui saute, parfois bien au-delà de celle de la pile.

Q: Quelle est la différence entre auto-inductance et inductance mutuelle ?

L'auto-inductance relie une bobine à son propre courant : la variation de son courant induit une f.é.m. en elle-même. L'inductance mutuelle relie deux circuits : la variation du courant de l'un induit une f.é.m. dans l'autre. Elle est la même dans les deux sens, ce qui permet de la calculer du côté où le champ est connu.

Q: Comment trouver la constante de temps d'un circuit RL avec deux interrupteurs ?

On dessine la maille dans laquelle circule le courant de la bobine après la manœuvre, on additionne les résistances de cette maille, et la constante de temps vaut L divisée par cette somme. Le courant de départ est celui que la bobine portait juste avant la manœuvre, dans le même sens.

Le fil du chapitre

Une bobine ne s'oppose pas au courant, elle s'oppose à sa VARIATION : son courant ne saute jamais, sa tension peut sauter, sa f.é.m. suit la pente $\frac{dI}{dt}$ et non la valeur de $I$ , et son inductance ne dépend que de sa géométrie.

Notions couvertes

Auto-inductance
Force électromotrice d'auto-induction
Inductance mutuelle
Énergie magnétique
Densité d'énergie magnétique
Solénoïde
Bobine toroïdale
Câble coaxial
Circuit RL
Constante de temps
Circuit LC
Circuit RLC série amorti

Le tableau du chapitre

Reconnaître le circuit et son état en un coup d'œil

Une colonne par situation de l'examen ; lisez d'abord la ligne « juste après la manœuvre », c'est elle qui fixe les constantes.

Critère	RL : établissement on ferme sur la pile	RL : coupure la bobine se vide dans une maille	LC idéal C chargé relié à L	RLC série LC avec une résistance
Juste après la manœuvre	courant continu : $i(0^{+})=0$ , donc $u_{L}=\varepsilon$	courant continu : $i(0^{+})=I_{0}$ , $u_{L}$ saute	$q=Q$ et $i=0$	$q=Q$ et $i=0$
Régime final	régime permanent : bobine = fil, $I_{\infty}=\dfrac{\varepsilon}{R}$	$i\to 0$	aucun : l'oscillation ne s'arrête pas	$q\to 0$ et $i\to 0$
Grandeur caractéristique	constante de temps $\tau=\dfrac{L}{R}$	$\tau=\dfrac{L}{R_{\text{maille}}}$ , sur la maille d'APRÈS	pulsation propre $\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$	$\omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\dfrac{R^{2}}{4L^{2}}}$
Solution	$i=\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$	$i=I_{0}\,e^{-t/\tau}$	$q=Q\cos(\omega_{0}t)$	$q\approx Q\,e^{-Rt/2L}\cos(\omega't)$
Énergie	stockée dans la bobine, jusqu'à $\dfrac12LI_{\infty}^{2}$	$\dfrac12LI_{0}^{2}$ dissipée dans la maille	échangée entre C et L, total constant	perdue peu à peu dans R

RL : établissement on ferme sur la pile

Juste après la manœuvre: courant continu : $i(0^{+})=0$ , donc $u_{L}=\varepsilon$
Régime final: régime permanent : bobine = fil, $I_{\infty}=\dfrac{\varepsilon}{R}$
Grandeur caractéristique: constante de temps $\tau=\dfrac{L}{R}$
Solution: $i=\dfrac{\varepsilon}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$
Énergie: stockée dans la bobine, jusqu'à $\dfrac12LI_{\infty}^{2}$

RL : coupure la bobine se vide dans une maille

Juste après la manœuvre: courant continu : $i(0^{+})=I_{0}$ , $u_{L}$ saute
Régime final: $i\to 0$
Grandeur caractéristique: $\tau=\dfrac{L}{R_{\text{maille}}}$ , sur la maille d'APRÈS
Solution: $i=I_{0}\,e^{-t/\tau}$
Énergie: $\dfrac12LI_{0}^{2}$ dissipée dans la maille

LC idéal C chargé relié à L

Juste après la manœuvre: $q=Q$ et $i=0$
Régime final: aucun : l'oscillation ne s'arrête pas
Grandeur caractéristique: pulsation propre $\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$
Solution: $q=Q\cos(\omega_{0}t)$
Énergie: échangée entre C et L, total constant

RLC série LC avec une résistance

Juste après la manœuvre: $q=Q$ et $i=0$
Régime final: $q\to 0$ et $i\to 0$
Grandeur caractéristique: $\omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\dfrac{R^{2}}{4L^{2}}}$
Solution: $q\approx Q\,e^{-Rt/2L}\cos(\omega't)$
Énergie: perdue peu à peu dans R

Légende : les mots du tableau

Courant continu: Le courant d'une bobine a la même valeur juste avant et juste après une manœuvre d'interrupteur : il ne peut pas sauter.
Régime permanent: L'état atteint longtemps après la manœuvre, quand plus rien ne varie : la bobine idéale n'a plus de tension à ses bornes.
Constante de temps: La durée τ = L/R au bout de laquelle le courant a fait 63 % du chemin ; en pratique, tout est fini après 5τ.
Pulsation propre: La pulsation ω0 = 1/√(LC) de l'oscillation libre, en rad/s ; la fréquence vaut ω0/2π.

Une bobine idéale n'a pas de résistance ; si l'énoncé lui en donne une, ajoutez-la à $R$ dans $\tau$ et dans $I_{\infty}$ .

L'essentiel

Les définitions dont tout découle

• Auto-inductance : $N\Phi_{B}=LI$ , en henrys ( $1\ \mathrm{H}=1\ \mathrm{V\cdot s/A}=1\ \Omega\cdot\mathrm{s}$ ).
• F.é.m. d'auto-induction : $\varepsilon_{L}=-L\dfrac{dI}{dt}$ . Elle suit la PENTE du courant.
• Inductance mutuelle : $N_{2}\Phi_{21}=MI_{1}$ et $\varepsilon_{2}=-M\dfrac{dI_{1}}{dt}$ , avec $M_{12}=M_{21}$ .
• Énergie : $U_{B}=\dfrac12LI^{2}$ ; densité $u_{B}=\dfrac{B^{2}}{2\mu_{0}}$ , intégrée sur le volume si $B$ varie.

Fermeture puis coupure d'un RL : le courant (rouge) ne fait aucun saut, la tension

u_{L}

(bleu) saute de

0

-\varepsilon

à la coupure.

Le courant d'une bobine est continu : $i(0^{+})=i(0^{-})$ . La tension à ses bornes, elle, peut sauter.

Les inductances à savoir démontrer

• Solénoïde long : $B=\mu_{0}\dfrac{N}{\ell}I$ uniforme, $L=\dfrac{\mu_{0}N^{2}A}{\ell}$ .
• Tore à section rectangulaire ( $a$ , $b$ , $h$ ) : $B=\dfrac{\mu_{0}NI}{2\pi r}$ , $L=\dfrac{\mu_{0}N^{2}h}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$ .
• Câble coaxial à deux tubes minces : $B=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$ entre $a$ et $b$ , $L=\dfrac{\mu_{0}\ell}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$ .
• Long solénoïde et bobine qui l'entoure : $M=\dfrac{\mu_{0}N_{1}N_{2}\pi r_{1}^{2}}{\ell_{1}}$ , aire du SOLÉNOÏDE.
• Long fil et cadre coplanaire : $M=\dfrac{\mu_{0}Nh}{2\pi}\ln\dfrac{d+w}{d}$ .

Chaque formule vient d'Ampère, puis du flux par spire, puis de N fois ce flux divisé par I : l'examen demande la démonstration, pas la formule.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Démontrer l'inductance d'un solénoïde

toute la valeur numérique, et la suite qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Phi_{B}=BA=\mu_{0}\dfrac{N}{\ell}IA$ , donc $L=\dfrac{\Phi_{B}}{I}=\dfrac{\mu_{0}NA}{\ell}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $N\Phi_{B}=LI$ : $L=\dfrac{N\Phi_{B}}{I}=\dfrac{\mu_{0}N^{2}A}{\ell}$ . Un $N$ vient du champ, l'autre des $N$ spires qui captent le flux. »

Pourquoi : Avec $N=1200$ spires, oublier un $N$ divise $L$ par $1200$ : $5{,}9\ \mu\mathrm{H}$ au lieu de $7{,}11\ \mathrm{mH}$ , et $\tau$ devient absurde.

2. Le courant double dans une bobine sans noyau de fer

1 à 2 points de justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le courant double, donc le flux double, donc l'inductance double aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« Le flux double, mais $L=\dfrac{N\Phi_{B}}{I}$ garde la même valeur : $L$ ne dépend que de la géométrie et du milieu. »

Pourquoi : Dans toutes les démonstrations, le courant se simplifie. C'est le flux et l'énergie qui suivent le courant, pas l'inductance.

3. Lire la f.é.m. d'auto-induction sur un graphe de I(t)

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le courant est maximal à cet instant, donc la f.é.m. d'auto-induction est maximale. »

Ce qu'il faut écrire

« $\varepsilon_{L}=-L\dfrac{dI}{dt}$ : au sommet de $I(t)$ la pente est nulle, donc $\varepsilon_{L}=0$ . Deux instants de même courant peuvent avoir des f.é.m. opposées. »

Pourquoi : C'est le fil du chapitre : la bobine réagit à la VARIATION. Le signe suit aussi la pente : $\varepsilon_{L}<0$ quand le courant croît.

4. Inductance mutuelle d'un long solénoïde et d'une bobine plus large qui l'entoure

la moitié des points du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le flux à travers une spire de la bobine extérieure vaut $B_{1}\,\pi r_{2}^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le champ du solénoïde est nul à l'extérieur : $\Phi_{21}=B_{1}\,\pi r_{1}^{2}$ , l'aire du solénoïde. »

Seule la section du solénoïde (vert) porte du champ : la couronne entre

r_{1}

r_{2}

, pourtant entourée par la bobine extérieure, n'apporte aucun flux.

Pourquoi : Le flux se compte là où il y a du champ. L'erreur multiplie $M$ par $\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{2}$ , soit $3{,}8$ pour des rayons de $3{,}50$ et $1{,}80$ cm.

5. Flux dans un tore ou un câble coaxial

les points de la démonstration

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\Phi_{B}=BA$ , avec $B$ calculé au rayon moyen. »

Ce qu'il faut écrire

« $B$ varie en $\dfrac{1}{r}$ : $\Phi_{B}=\displaystyle\int_{a}^{b}\frac{\mu_{0}NI}{2\pi r}h\,dr=\frac{\mu_{0}NIh}{2\pi}\ln\frac{b}{a}$ . »

Pourquoi : L'approximation au rayon moyen n'est bonne que pour un tore mince. Pour $a=4$ cm et $b=6$ cm, elle se trompe de $1{,}35\ \%$ , et un énoncé qui dit « démontrez » attend l'intégrale.

6. Juste après une manœuvre d'interrupteur dans un circuit avec bobine

toute la deuxième partie du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On ouvre K1 : la pile est débranchée, donc $i(0^{+})=0$ , puis $\tau=\dfrac{L}{R_{2}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le courant de la bobine est continu : $i(0^{+})=i(0^{-})=I_{0}$ , dans le même sens. $\tau$ se lit sur la maille où ce courant circule APRÈS la manœuvre. »

Pourquoi : Une variation brutale de $i$ exigerait $\left|L\dfrac{di}{dt}\right|$ infinie. C'est la tension qui saute, parfois bien au-delà de la pile : $360$ V aux bornes d'une résistance de $120\ \Omega$ alimentée par une pile de $24$ V à l'exercice 6.

7. Instant où la bobine a stocké la moitié de son énergie finale

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La moitié est atteinte à $t=\tau\ln 2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac12LI^{2}=\dfrac12\cdot\dfrac12LI_{\infty}^{2}$ donne $i=\dfrac{I_{\infty}}{\sqrt2}$ , donc $t=-\tau\ln\left(1-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)=1{,}23\,\tau$ . »

Pourquoi : $\tau\ln 2$ est l'instant du demi-COURANT ; l'énergie suit le carré du courant et n'y est qu'au quart.

8. Échange d'énergie dans un circuit LC

2 à 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'énergie passe du condensateur à la bobine en une demi-période, et elle est également partagée à T/4. »

Ce qu'il faut écrire

« $U_{C}=U\cos^{2}(\omega_{0}t)$ : le condensateur est vide à $\dfrac{T}{4}$ , et le partage égal arrive à $\dfrac{T}{8}$ . »

U_{C}

(orange) et

U_{L}

(vert) se croisent à

T/8

; la bobine a toute l'énergie à

T/4

, le condensateur la retrouve à

T/2

Pourquoi : Les énergies oscillent à $2f_{0}$ , deux fois plus vite que la charge : à $\dfrac{T}{2}$ , toute l'énergie est revenue dans le condensateur, chargé en sens inverse.

Quelle méthode choisir

Calculer L : quelle voie selon les données

Regardez ce que l'énoncé donne, pas le titre du chapitre.

Si la géométrie, avec un champ uniforme dans la bobine (solénoïde long) → Ampère donne $B$ , puis $N\Phi_{B}=NBA=LI$

Exemple : $L=\dfrac{\mu_{0}N^{2}A}{\ell}$
Si la géométrie, avec un champ qui varie dans la section (tore, coaxial) → intégrer le flux sur des bandes $dA=h\,dr$ , ou l'énergie $\int u_{B}\,dV=\frac12LI^{2}$

Exemple : $L=\dfrac{\mu_{0}N^{2}h}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$
Si une f.é.m. et un $\dfrac{dI}{dt}$ → $L=\dfrac{|\varepsilon_{L}|}{|dI/dt|}$

Exemple : $9{,}0$ V pour $300$ A/s : $L=30\ \mathrm{mH}$
Si une constante de temps et la résistance de la maille → $L=\tau R$

Exemple : $\tau=4{,}0$ ms et $R=2{,}0\ \Omega$ : $L=8{,}0\ \mathrm{mH}$
Si une fréquence d'oscillation et la capacité → $L=\dfrac{1}{4\pi^{2}f_{0}^{2}C}$

Exemple : $f_{0}=800$ Hz et $C=2{,}20\ \mu$ F : $L=18{,}0\ \mathrm{mH}$

Une inductance mutuelle se calcule toujours dans le sens le plus facile, celui où le champ est connu : $M_{12}=M_{21}$ .

Juste après une manœuvre : que vaut quoi ?

Écrivez l'état AVANT la manœuvre, puis appliquez la continuité.

Si on ferme un circuit sur une bobine sans courant → $i(0^{+})=0$ : la bobine est un interrupteur ouvert, toute la f.é.m. est à ses bornes

Exemple : $\varepsilon=18{,}0$ V : $u_{L}(0^{+})=18{,}0$ V
Si la bobine portait $I_{0}$ et le circuit change → $i(0^{+})=I_{0}$ , même sens dans la bobine ; nouvelle maille, nouveau $\tau$

Exemple : $I_{0}=3{,}00$ A, $R_{1}+R_{2}=128\ \Omega$ : $u_{L}(0^{+})=384$ V
Si on attend longtemps (régime permanent) → la bobine idéale est un fil, tension nulle

Exemple : $I_{\infty}=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{24{,}0}{8{,}00}=3{,}00$ A
Si un condensateur chargé est relié à une bobine → $q(0)=Q$ et $i(0)=0$ : oscillation $q=Q\cos(\omega_{0}t)$

Exemple : $Q=99{,}0\ \mu$ C, $\omega_{0}=5{,}03\times 10^{3}$ rad/s

Pour un condensateur, c'est la TENSION qui est continue ; ne mélangez pas les deux règles.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer une auto-inductance

Quand l'utiliser : « Démontrez que L = ... », « Déterminez l'auto-inductance de ... ».

1 Énoncer la symétrie : direction de $\vec B$ et variable dont son module dépend.
2 Choisir le parcours d'Ampère, écrire $\oint\vec B\cdot d\vec s=\mu_{0}I_{\text{enl}}$ , et compter le courant ENLACÉ.
3 Calculer le flux à travers UNE spire, avec un élément $dA$ si $B$ varie sur la surface.
4 Multiplier par le nombre de spires et identifier $N\Phi_{B}=LI$ .
5 Vérifier que $I$ a disparu, puis l'unité (H) et l'ordre de grandeur.

Phrase de conclusion

« Le courant $I$ se simplifie : $L=\dfrac{\mu_{0}N^{2}A}{\ell}$ ne dépend que de la géométrie de la bobine. »

Le piège : Sauter le parcours d'Ampère et écrire $B=\mu_{0}nI$ sans justification : la démonstration est l'objet de la question.

Résoudre un circuit RL après une manœuvre

Quand l'utiliser : « À t = 0, on ferme K », « on ouvre K1 et on ferme K2 ».

1 Écrire le courant de la bobine juste AVANT : $i(0^{-})$ .
2 Appliquer la continuité : $i(0^{+})=i(0^{-})$ , même sens dans la bobine.
3 Dessiner la maille où circule le courant APRÈS la manœuvre et lister ses résistances.
4 Écrire la loi des mailles, l'équation $L\dfrac{di}{dt}+R_{\text{maille}}\,i=\varepsilon$ (ou $0$ ), et en déduire $\tau=\dfrac{L}{R_{\text{maille}}}$ .
5 Donner la solution, puis vérifier les deux limites : t = 0⁺ et t très grand.

Phrase de conclusion

« Le courant dans une bobine est continu : $i(0^{+})=i(0^{-})=I_{0}$ . »

Le piège : Garder le $\tau$ de la phase précédente : la maille a changé, $R_{\text{maille}}$ aussi.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les unités du henry

$1\ \mathrm{H}=1\ \mathrm{V\cdot s/A}=1\ \Omega\cdot\mathrm{s}$ : donc $\dfrac{L}{R}$ est une durée, $\dfrac{|\varepsilon|}{dI/dt}$ une inductance.

$\dfrac{2{,}40\ \mathrm{H}}{40{,}0\ \Omega}=0{,}0600$ s : si votre $\tau$ sort en ohms ou en henrys, une division est à l'envers.
L'ordre de grandeur

Une bobine de laboratoire sans noyau de fer : du microhenry à quelques dizaines de millihenrys.

$7{,}11\times 10^{4}$ H pour un solénoïde de 32 cm trahit un rayon laissé en centimètres ( $10^{4}$ de trop sur l'aire).
La loi des mailles à l'instant calculé

Additionner les tensions trouvées : $u_{L}+u_{R}$ doit redonner $\varepsilon$ .

$8{,}50+9{,}50=18{,}0$ V : juste ; $8{,}50+9{,}20$ signale une erreur sur $i$ ou sur l'exponentielle.
La conservation de l'énergie dans un LC

$\dfrac{Q^{2}}{2C}$ et $\dfrac12LI_{\max}^{2}$ doivent donner le même nombre.

$Q=99{,}0\ \mu$ C, $C=2{,}20\ \mu$ F : $2{,}23$ mJ ; $L=18{,}0$ mH, $I_{\max}=0{,}497$ A : $2{,}23$ mJ.

L'exercice type décortiqué

Le solénoïde branché en série avec une résistance

Un solénoïde à noyau d'air de $N=800$ spires, de longueur $\ell=24{,}0$ cm et de rayon $r=1{,}50$ cm, de résistance négligeable, est branché à $t=0$ en série avec une résistance $R=0{,}500\ \Omega$ et une pile idéale de $6{,}00$ V. Calculer son inductance, la constante de temps, le courant et la tension aux bornes du solénoïde à $t=5{,}00$ ms, puis l'énergie stockée et le champ au centre en régime permanent.

Une seule maille : la pile, l'interrupteur,

R

et le solénoïde ;

u_{L}

est fléchée en sens inverse du courant (convention récepteur).

Étape 1

$A=\pi(0{,}0150)^{2}=7{,}07\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$ et $L=\dfrac{\mu_{0}N^{2}A}{\ell}=\dfrac{(4\pi\times 10^{-7})(800)^{2}(7{,}07\times 10^{-4})}{0{,}240}=2{,}37\times 10^{-3}\ \mathrm{H}$ .

Pourquoi

Le rayon passe en mètres AVANT tout calcul, et $N$ est au carré : ce sont les deux pertes de points de la première ligne.

Étape 2

$\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{2{,}37\times 10^{-3}}{0{,}500}=4{,}74\times 10^{-3}$ s et $I_{\infty}=\dfrac{\varepsilon}{R}=12{,}0$ A.

Pourquoi

$\tau$ et $I_{\infty}$ fixent toute la courbe ; les écrire d'abord évite de recalculer à chaque question.

Étape 3

$i(5{,}00\ \mathrm{ms})=12{,}0\left(1-e^{-1{,}06}\right)=7{,}82$ A et $u_{L}=\varepsilon\,e^{-t/\tau}=6{,}00\,e^{-1{,}06}=2{,}09$ V.

Pourquoi

On part de $i(0^{+})=0$ (courant continu) ; la tension du solénoïde, elle, part de $\varepsilon$ et décroît.

Étape 4

Contrôle : $Ri+u_{L}=(0{,}500)(7{,}82)+2{,}09=3{,}91+2{,}09=6{,}00$ V.

Pourquoi

La loi des mailles à l'instant calculé coûte dix secondes et attrape une exponentielle mal évaluée.

Étape 5

$U_{B}=\dfrac12LI_{\infty}^{2}=\dfrac12(2{,}37\times 10^{-3})(12{,}0)^{2}=0{,}171$ J et $B=\mu_{0}\dfrac{N}{\ell}I_{\infty}=50{,}3$ mT.

Pourquoi

Vérification croisée : $\dfrac{B^{2}}{2\mu_{0}}A\ell$ redonne $0{,}171$ J. Les deux expressions de l'énergie doivent coïncider.

Conclusion rédigée

« $L=2{,}37$ mH, $\tau=4{,}74$ ms ; à $5{,}00$ ms, $i=7{,}82$ A et $u_{L}=2{,}09$ V ; en régime permanent, $U_{B}=0{,}171$ J et $B=50{,}3$ mT. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $i(5{,}00\ \mathrm{ms})=I_{\infty}=12{,}0$ A, comme si la bobine n'existait pas : à $t\approx\tau$ , le courant n'a fait que $65\ \%$ du chemin.

À savoir par cœur

• $N\Phi_{B}=LI$ et $\varepsilon_{L}=-L\dfrac{dI}{dt}$ : la f.é.m. suit la PENTE du courant.
• Solénoïde : $L=\dfrac{\mu_{0}N^{2}A}{\ell}$ , avec $N$ au CARRÉ.
• Mutuelle : $M_{12}=M_{21}$ , flux compté là où il y a du champ.
• $U_{B}=\dfrac12LI^{2}$ et $u_{B}=\dfrac{B^{2}}{2\mu_{0}}$ .
• Courant de bobine CONTINU : $i(0^{+})=i(0^{-})$ ; en régime permanent, bobine idéale = fil.
• RL : $\tau=\dfrac{L}{R}$ de la maille d'APRÈS la manœuvre.
• LC : $\omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ , $I_{\max}=Q\omega_{0}$ , condensateur vide à $\dfrac{T}{4}$ .

Questions fréquentes

Comment calculer l'auto-inductance d'un solénoïde à l'examen de PHS0102 ?

On applique le théorème d'Ampère sur un rectangle pour obtenir le champ uniforme, mu zéro fois N sur l fois I, on calcule le flux à travers une spire en multipliant par l'aire, puis on écrit que N fois ce flux vaut L fois I. Le courant se simplifie et il reste L égale mu zéro N au carré A sur l, avec l'aire en mètres carrés.

Pourquoi le courant dans une bobine ne peut-il pas changer brusquement ?

Parce que la tension aux bornes d'une bobine vaut L fois la dérivée du courant. Un saut de courant demanderait une tension infinie. Juste après la manœuvre d'un interrupteur, le courant de la bobine garde donc sa valeur d'avant ; c'est sa tension qui saute, parfois bien au-delà de celle de la pile.

Quelle est la différence entre auto-inductance et inductance mutuelle ?

L'auto-inductance relie une bobine à son propre courant : la variation de son courant induit une f.é.m. en elle-même. L'inductance mutuelle relie deux circuits : la variation du courant de l'un induit une f.é.m. dans l'autre. Elle est la même dans les deux sens, ce qui permet de la calculer du côté où le champ est connu.

Comment trouver la constante de temps d'un circuit RL avec deux interrupteurs ?

On dessine la maille dans laquelle circule le courant de la bobine après la manœuvre, on additionne les résistances de cette maille, et la constante de temps vaut L divisée par cette somme. Le courant de départ est celui que la bobine portait juste avant la manœuvre, dans le même sens.

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Les circuits en courant alternatif

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/phs0102-inductance. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Examen final blanc (PHS0102)

Fiche de révision : l'inductance (PHS0102, Polytechnique)

Reconnaître le circuit et son état en un coup d'œil

Légende : les mots du tableau

L'essentiel

Les définitions dont tout découle

Les inductances à savoir démontrer

Les pièges qui coûtent des points

1. Démontrer l'inductance d'un solénoïde

2. Le courant double dans une bobine sans noyau de fer

3. Lire la f.é.m. d'auto-induction sur un graphe de I(t)

4. Inductance mutuelle d'un long solénoïde et d'une bobine plus large qui l'entoure

5. Flux dans un tore ou un câble coaxial

6. Juste après une manœuvre d'interrupteur dans un circuit avec bobine

7. Instant où la bobine a stocké la moitié de son énergie finale

8. Échange d'énergie dans un circuit LC

Quelle méthode choisir

Calculer L : quelle voie selon les données

Juste après une manœuvre : que vaut quoi ?

La rédaction attendue

Démontrer une auto-inductance

Résoudre un circuit RL après une manœuvre

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le solénoïde branché en série avec une résistance

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment calculer l'auto-inductance d'un solénoïde à l'examen de PHS0102 ?

Pourquoi le courant dans une bobine ne peut-il pas changer brusquement ?

Quelle est la différence entre auto-inductance et inductance mutuelle ?

Comment trouver la constante de temps d'un circuit RL avec deux interrupteurs ?

Exercices corrigés : L'inductance

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