Spécialité maths, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : arbres pondérés et probabilités totales (Terminale spécialité)

Q: Que représente la probabilité écrite sur une branche du troisième niveau d'un arbre ?

C'est la probabilité de l'événement du troisième niveau sachant que les deux événements précédents du chemin sont réalisés, c'est-à-dire sachant leur intersection. Ce n'est pas la probabilité sachant le seul deuxième événement, sauf si l'énoncé pose que chaque épreuve ne dépend que de la précédente. En cas de doute, on écrit la notation complète au-dessus de la branche.

Q: Quand faut-il additionner et quand faut-il multiplier dans un arbre pondéré ?

On multiplie les probabilités le long d'un même chemin, pour obtenir la probabilité que tous les événements de ce chemin se réalisent. On additionne les résultats de plusieurs chemins quand l'événement cherché peut se produire de plusieurs façons : c'est la formule des probabilités totales. Multiplier deux branches qui ne sont pas sur le même chemin ne correspond à rien.

Q: Comment justifier la formule des probabilités totales au bac ?

On nomme la partition utilisée et on dit pourquoi c'en est une : les événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers. Ensuite on cite la formule, on l'écrit avec les événements de l'énoncé, puis on remplace par les nombres. Donner seulement la somme des chemins fournit le bon résultat mais coûte souvent le point de rédaction.

Q: Comment montrer que deux événements sont indépendants avec un arbre ?

On calcule la probabilité de l'intersection, puis le produit des deux probabilités, et on compare. Sur un arbre à deux niveaux, il suffit aussi de regarder les deux branches qui mènent au même événement depuis les deux nœuds du premier niveau : elles portent le même nombre si et seulement si les événements sont indépendants. Une impression de contexte ne suffit jamais.

Q: Comment passer d'un arbre à une suite arithmético-géométrique en Terminale ?

On dessine seulement l'arbre entre l'étape n et l'étape n plus un, avec la probabilité de l'étape n et son complément au premier niveau. La formule des probabilités totales donne la probabilité de l'étape suivante comme somme de deux chemins, ce qui s'écrit q fois la probabilité précédente plus r. On étudie ensuite la suite auxiliaire obtenue en retranchant le point fixe, qui est géométrique.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des arbres pondérés et des probabilités totales en spécialité mathématiques de Terminale : succession de deux ou trois épreuves, partition, retournement du conditionnement, indépendance, arbre répété et passage au schéma de Bernoulli.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points au bac, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

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Le fil du chapitre

Une branche est conditionnée par TOUT le chemin qui y mène : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui réalisent l'événement. Presque toutes les erreurs du chapitre multiplient ce qu'il fallait additionner, ou lisent une branche dans la mauvaise population.

Ce chapitre fait partie de Spécialité mathématiques en Terminale

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Pourcentages et évolutionsSeconde
2Généralités sur les fonctionsSeconde
3Probabilités, modèle et loi des grands nombresSeconde
4Les statistiques descriptivesSeconde
5Tableaux croisés et fréquences conditionnellesSeconde
6Probabilités conditionnelles et arbres pondérésSeconde
7Algorithmique et PythonSeconde
8Les suites numériquesPremière
9Probabilités conditionnellesPremière
10Suites et récurrence

Notions couvertes

Arbre pondéré
Succession d'épreuves
Probabilité conditionnelle
Formule des probabilités totales
Partition de l'univers
Indépendance de deux événements
Inversion du conditionnement
Suite arithmético-géométrique
Schéma de Bernoulli
Loi binomiale

L'essentiel

Ce que porte une branche

• Premier niveau : une probabilité SIMPLE, $P(A)$ .
• Deuxième niveau : une probabilité sachant le nœud de départ, $P_{A}(B)$ .
• Troisième niveau : une probabilité sachant TOUT le chemin, $P_{A\cap B}(C)$ , et non $P_{B}(C)$ .
• Règle du chemin : $P(A\cap B\cap C)=P(A)\times P_{A}(B)\times P_{A\cap B}(C)$ .
• Les branches issues d'un MÊME nœud font $1$ ; des branches issues de nœuds différents ne se complètent pas.
• Un arbre ne montre que les épreuves qui ont lieu : un chemin peut s'arrêter avant le dernier niveau, et les bouts de chemin font toujours $1$ au total.

Jeu en trois niveaux : le

0{,}5

est

P_{N_{1}\cap N_{2}}(N_{3})

. Deux chemins s'arrêtent tôt, et les quatre bouts font

0{,}24+0{,}24+0{,}32+0{,}2=1

Écrire la notation au-dessus de chaque branche la première fois, $P(A)$ , $P_{A}(B)$ , $P_{A\cap B}(C)$ , est la meilleure assurance contre les deux tiers des pièges ci-dessous.

Probabilités totales : une partition, une somme de chemins

• PARTITION : des événements deux à deux incompatibles, dont la réunion est l'univers. Une somme des probabilités égale à $1$ est nécessaire, pas suffisante.
• FORMULE : $P(F)=P(T)P_{T}(F)+P(O)P_{O}(F)+P(S)P_{S}(F)$ pour la partition $\{T,O,S\}$ . Sur l'arbre, c'est la somme des chemins qui mènent à $F$ .
• $P(F)$ est une moyenne pondérée des $P_{T}(F)$ , $P_{O}(F)$ , $P_{S}(F)$ : elle tombe entre la plus petite et la plus grande.
• RETOURNER : $P_{F}(S)=\dfrac{P(S\cap F)}{P(F)}$ , un chemin sur la somme des chemins qui mènent à $F$ .

Trois chemins mènent à

F

P(F)=0{,}15+0{,}15+0{,}14=0{,}44

, bien entre

0{,}3

0{,}7

; puis

P_{F}(S)=\frac{0{,}14}{0{,}44}\approx 0{,}318

Indépendance, arbre répété, Bernoulli

• INDÉPENDANCE : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ . Sur un arbre, avec $0<P(A)<1$ , c'est $P_{A}(B)=P_{\overline{A}}(B)$ : les deux branches vers $B$ portent le même nombre.
• ARBRE RÉPÉTÉ : entre l'étape $n$ et l'étape $n+1$ , un arbre à deux niveaux donne $a_{n+1}=a_{n}\,P_{A_{n}}(A_{n+1})+(1-a_{n})\,P_{\overline{A_{n}}}(A_{n+1})$ , une suite arithmético-géométrique.
• Point fixe : $\ell=q\ell+r$ ; la suite $a_{n}-\ell$ est géométrique de raison $q$ .
• SCHÉMA DE BERNOULLI : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues. Toutes les branches « succès » portent alors le MÊME nombre, et le nombre de chemins compte les coefficients binomiaux.

Tant que les épreuves ne sont pas indépendantes, on ne parle ni de Bernoulli ni de loi binomiale : on additionne les chemins un par un.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Écrire une intersection sur une branche

tout l'arbre, donc presque tout l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $15\ \%$ des clients sont des abonnés qui paient en ligne », porté en $0{,}15$ sur la branche de $A$ vers $L$ .

Ce qu'il faut écrire

« $P(A\cap L)=0{,}15$ est un chemin ; la branche porte $P_{A}(L)=\frac{0{,}15}{0{,}25}=0{,}6$ . »

Pourquoi : « Des clients » compte parmi tout l'univers : c'est un bout de chemin. Une branche du second niveau compte parmi les seuls $A$ . On divise par $P(A)$ pour passer de l'un à l'autre.

2. Multiplier les branches qui aboutissent à B

toute la question, et toutes celles qui utilisent P(B)

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P(B)=0{,}9\times 0{,}2=0{,}18$ », avec $P(A)=0{,}3$ , $P_{A}(B)=0{,}9$ , $P_{\overline{A}}(B)=0{,}2$ .

Ce qu'il faut écrire

« $P(B)=0{,}3\times 0{,}9+0{,}7\times 0{,}2=0{,}27+0{,}14=0{,}41$ . »

Deux chemins mènent à

B

: on ADDITIONNE leurs bouts,

0{,}27+0{,}14=0{,}41

. Le produit

0{,}9\times 0{,}2

ne correspond à aucun chemin.

Pourquoi : On multiplie le long d'UN chemin, on additionne ENTRE les chemins. Les branches $0{,}9$ et $0{,}2$ ne sont jamais parcourues ensemble. Contrôle : $P(B)$ doit être entre $0{,}2$ et $0{,}9$ , et $0{,}18$ ne l'est pas.

3. Lire la troisième branche sans son chemin

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La branche de $B$ vers $C$ vaut $0{,}9$ , donc $P_{B}(C)=0{,}9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La branche porte $P_{A\cap B}(C)=0{,}9$ . Avec $P_{\overline{A}\cap B}(C)=0{,}2$ : $P_{B}(C)=\frac{0{,}18+0{,}06}{0{,}5}=0{,}48$ . »

Pourquoi : Ici $P(A)=0{,}5$ , $P_{A}(B)=0{,}4$ , $P_{\overline{A}}(B)=0{,}6$ . L'événement $B$ apparaît sur DEUX chemins, et $P_{B}(C)$ les mélange : c'est un quotient de chemins, pas une branche.

4. Compléter à 1 entre deux nœuds

2 points, et tout ce qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P_{A}(B)=0{,}9$ , donc $P_{\overline{A}}(B)=0{,}1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $P_{A}(\overline{B})=1-0{,}9=0{,}1$ , sous le MÊME nœud $A$ ; $P_{\overline{A}}(B)$ se lit dans l'énoncé. »

Pourquoi : $P_{A}(B)$ et $P_{\overline{A}}(B)$ se comptent dans deux populations différentes. Si elles étaient complémentaires, $A$ et $B$ ne pourraient jamais être indépendants.

5. Appliquer la formule sans justifier la partition

0,5 à 1 point de rédaction

Ce qu'il ne faut pas écrire

« D'après la formule des probabilités totales, $P(F)=0{,}44$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $T$ , $O$ et $S$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition. D'après la formule des probabilités totales, $P(F)=0{,}44$ . »

Pourquoi : La formule n'est vraie que pour une partition. Des événements dont les probabilités font $1$ mais qui se chevauchent comptent deux fois certaines issues.

6. Deviner l'indépendance au lieu de la calculer

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux événements n'ont aucun rapport, ils sont indépendants. »

Ce qu'il faut écrire

« $P(A)\times P(B)=0{,}3\times 0{,}41=0{,}123\neq 0{,}27=P(A\cap B)$ : $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. »

Pourquoi : L'indépendance est une égalité de nombres, pas une intuition. Seule exception : quand l'énoncé la POSE comme hypothèse du modèle, on la cite au lieu de la démontrer.

7. Oublier une branche dans l'arbre répété

toute la suite de l'exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un abonné reste abonné avec $0{,}95$ , donc $a_{n+1}=0{,}95\,a_{n}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $a_{n+1}=0{,}95\,a_{n}+0{,}15\,(1-a_{n})=0{,}8\,a_{n}+0{,}15$ . »

Pourquoi : On arrive dans $A_{n+1}$ par DEUX chemins : en restant abonné, ou en s'abonnant. La version fausse tend vers $0$ au lieu de $0{,}75$ .

8. Compter un seul chemin dans un schéma de Bernoulli

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Exactement deux succès sur trois, avec $p=0{,}9$ : $0{,}9^{2}\times 0{,}1=0{,}081$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Trois chemins, selon la place de l'échec : $3\times 0{,}9^{2}\times 0{,}1=0{,}243$ . »

Pourquoi : Le produit donne UN chemin ; le coefficient $\binom{3}{2}=3$ compte les chemins. C'est la somme des chemins, simplifiée parce que tous ont la même probabilité.

Quelle méthode choisir

Quel calcul, selon la forme de la question

Une question de probabilité sur une expérience représentée par un arbre

Si La question décrit UN chemin : « et », « puis », « successivement » → Produit des branches de ce chemin, chacune conditionnée par ce qui précède

Exemple : $P(N_{1}\cap N_{2}\cap N_{3})=0{,}8\times 0{,}6\times 0{,}5=0{,}24$
Si L'événement est au dernier niveau et apparaît sur plusieurs chemins → Partition, formule des probabilités totales : somme des chemins

Exemple : $P(F)=0{,}15+0{,}15+0{,}14=0{,}44$
Si « Sachant » un événement du PREMIER niveau → On lit la branche qui part de ce nœud

Exemple : $P_{S}(F)=0{,}7$
Si « Sachant » un événement d'un niveau plus bas → Quotient : chemins communs sur somme des chemins de la condition

Exemple : $P_{F}(S)=\frac{0{,}14}{0{,}44}\approx 0{,}318$
Si « Les événements sont-ils indépendants ? » → Calculer les deux membres de $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , ou comparer les deux branches vers $B$

Exemple : $0{,}3\times 0{,}41=0{,}123\neq 0{,}27$ : non
Si On demande une probabilité à l'étape n, notée avec un indice → Arbre à deux niveaux entre n et n+1, probabilités totales, suite arithmético-géométrique

Exemple : $a_{n+1}=0{,}8\,a_{n}+0{,}15$

on n'écrit jamais l'arbre à n niveaux
Si Épreuves identiques, indépendantes, à deux issues, et un nombre de succès → Schéma de Bernoulli et loi binomiale : un chemin fois le nombre de chemins

Exemple : $P(X=2)=3\times 0{,}9^{2}\times 0{,}1=0{,}243$

Avant tout calcul, repérer où se trouve la condition dans l'arbre : au premier niveau on lit, plus bas on divise.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une probabilité par la formule des probabilités totales

Quand l'utiliser : L'événement cherché est au dernier niveau et plusieurs chemins y mènent

1 Nommer les événements et traduire chaque donnée, en disant si elle est simple, conditionnelle ou une intersection.
2 Construire l'arbre et compléter chaque nœud à 1.
3 Justifier la partition : événements deux à deux incompatibles, réunion égale à l'univers.
4 Citer la formule des probabilités totales, puis l'écrire avec les événements de la partition.
5 Remplacer par les nombres, chemin par chemin, et conclure par une phrase.

Phrase de conclusion

« Les événements $T$ , $O$ et $S$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, $P(F)=P(T)P_{T}(F)+P(O)P_{O}(F)+P(S)P_{S}(F)=0{,}5\times 0{,}3+0{,}3\times 0{,}5+0{,}2\times 0{,}7=0{,}44$ . »

Le piège : Écrire directement 0,15 + 0,15 + 0,14 sans nommer la partition ni la formule : le résultat est juste, le point de rédaction est perdu.

Barème : 0,5 point pour la partition, 0,5 point pour la formule écrite en symboles, 1 point pour le calcul.

Établir la relation de récurrence d'un arbre répété

Quand l'utiliser : L'énoncé définit une probabilité à l'étape n et demande d'exprimer celle de l'étape n+1

1 Nommer l'événement de l'étape n et sa probabilité.
2 Dessiner l'arbre à deux niveaux entre l'étape n et l'étape n+1, avec les poids a(n) et 1 − a(n).
3 Invoquer la partition formée par l'événement de l'étape n et son contraire.
4 Écrire la formule des probabilités totales, puis développer et réduire.

Phrase de conclusion

« Les événements $A_{n}$ et $\overline{A_{n}}$ forment une partition. D'après la formule des probabilités totales, $a_{n+1}=a_{n}\times 0{,}95+(1-a_{n})\times 0{,}15=0{,}8\,a_{n}+0{,}15$ . »

Le piège : Oublier le chemin qui passe par le contraire, celui des nouveaux abonnés.

Barème : L'arbre ou la partition, puis la formule, puis la réduction : la question vaut souvent 1 point, perdu en entier si un chemin manque.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Chaque nœud fait 1

On additionne les branches qui partent de chaque nœud, à chaque niveau.

Sous $N_{1}\cap N_{2}$ : $0{,}5+0{,}5=1$ . Une somme $0{,}9+0{,}2$ signale deux branches de nœuds différents.
Les bouts de chemin font 1

La somme de tous les produits en bout de chemin vaut 1, même quand certains chemins s'arrêtent tôt.

$0{,}24+0{,}24+0{,}32+0{,}2=1$ pour le jeu en trois niveaux.
La moyenne pondérée

Une probabilité totale tombe entre la plus petite et la plus grande des branches qu'elle combine.

$0{,}3\le P(F)=0{,}44\le 0{,}7$ ; un $P(B)=0{,}18$ hors de $[0{,}2\ ;\ 0{,}9]$ est faux.
Le produit croisé

$P(A)\times P_{A}(B)$ et $P(B)\times P_{B}(A)$ valent tous deux $P(A\cap B)$ : un retournement faux ne passe pas ce test.

$0{,}2\times 0{,}7=0{,}14$ et $0{,}44\times\frac{0{,}14}{0{,}44}=0{,}14$ .

L'exercice type décortiqué

Un abonnement mensuel, de l'arbre à la suite

Un service propose un abonnement mensuel. Chaque mois, un abonné reste abonné le mois suivant avec la probabilité $0{,}95$ ; un non-abonné s'abonne le mois suivant avec la probabilité $0{,}15$ . Au mois $0$ , une personne choisie au hasard est abonnée avec la probabilité $a_{0}=0{,}4$ . On note $A_{n}$ « la personne est abonnée au mois $n$ » et $a_{n}=P(A_{n})$ .

Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ , en déduire $a_{n}$ en fonction de $n$ et sa limite, puis le premier mois où $a_{n}\ge 0{,}7$ .

L'arbre entre le mois

n

et le mois

n+1

: deux chemins mènent à

A_{n+1}

, rester abonné ou s'abonner.

Étape 1

$a_{n+1}=a_{n}\times 0{,}95+(1-a_{n})\times 0{,}15=0{,}8\,a_{n}+0{,}15$ , par la partition $\{A_{n},\overline{A_{n}}\}$ .

Pourquoi

On n'écrit pas l'arbre à $n$ niveaux : un seul passage d'un mois au suivant suffit. Les deux chemins vers $A_{n+1}$ s'additionnent. Contrôle : $a_{1}=0{,}8\times 0{,}4+0{,}15=0{,}47$ , et par l'arbre $0{,}4\times 0{,}95+0{,}6\times 0{,}15=0{,}38+0{,}09=0{,}47$ .

Étape 2

Point fixe : $\ell=0{,}8\ell+0{,}15$ donne $\ell=0{,}75$ . On pose $u_{n}=a_{n}-0{,}75$ : $u_{n+1}=0{,}8\,u_{n}$ .

Pourquoi

Le point fixe n'est pas deviné : il se calcule, et c'est lui qui rend la suite auxiliaire géométrique. L'énoncé du bac le donne souvent ; savoir le retrouver permet de vérifier l'énoncé.

Étape 3

$u_{0}=0{,}4-0{,}75=-0{,}35$ , donc $a_{n}=0{,}75-0{,}35\times 0{,}8^{n}$ , et $\lim a_{n}=0{,}75$ car $0<0{,}8<1$ .

Pourquoi

Le premier terme est NÉGATIF : la suite monte vers $0{,}75$ par en dessous. À long terme, trois personnes sur quatre sont abonnées, quelle que soit la proportion de départ.

Étape 4

$a_{n}\ge 0{,}7\iff 0{,}8^{n}\le\frac{1}{7}\iff n\ge\frac{\ln(1/7)}{\ln 0{,}8}\approx 8{,}72$ , donc $n=9$ .

Pourquoi

On divise par $\ln 0{,}8<0$ , ce qui CHANGE le sens de l'inégalité : c'est le demi-point qui se perd le plus souvent. L'encadrement $a_{8}\approx 0{,}691$ et $a_{9}\approx 0{,}703$ confirme.

Conclusion rédigée

$a_{n}=0{,}75-0{,}35\times 0{,}8^{n}$ tend vers $0{,}75$ , et la proportion d'abonnés atteint $70\ \%$ au neuvième mois.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $a_{n+1}=0{,}95\,a_{n}$ en oubliant les nouveaux abonnés : la suite deviendrait géométrique et tendrait vers $0$ , ce qui contredit l'énoncé dès le premier mois.

À savoir par cœur

• Branche du niveau $k$ : conditionnée par TOUT le chemin, $P_{A\cap B}(C)$ au troisième niveau.
• Multiplier le long d'un chemin, additionner entre les chemins.
• Chaque nœud fait $1$ ; deux nœuds différents ne se complètent pas.
• Partition : incompatibles deux à deux ET réunion égale à l'univers.
• $P(B)=\sum P(A_{i})P_{A_{i}}(B)$ , moyenne pondérée des branches.
• Retourner : $P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ , un chemin sur une somme de chemins.
• Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , ou $P_{A}(B)=P_{\overline{A}}(B)$ sur l'arbre.
• Arbre répété : $a_{n+1}=q\,a_{n}+r$ , point fixe $\ell=\frac{r}{1-q}$ .
• Bernoulli : branches identiques et indépendantes ; nombre de chemins $\binom{n}{k}$ .

Questions fréquentes

Que représente la probabilité écrite sur une branche du troisième niveau d'un arbre ?

C'est la probabilité de l'événement du troisième niveau sachant que les deux événements précédents du chemin sont réalisés, c'est-à-dire sachant leur intersection. Ce n'est pas la probabilité sachant le seul deuxième événement, sauf si l'énoncé pose que chaque épreuve ne dépend que de la précédente. En cas de doute, on écrit la notation complète au-dessus de la branche.

Quand faut-il additionner et quand faut-il multiplier dans un arbre pondéré ?

On multiplie les probabilités le long d'un même chemin, pour obtenir la probabilité que tous les événements de ce chemin se réalisent. On additionne les résultats de plusieurs chemins quand l'événement cherché peut se produire de plusieurs façons : c'est la formule des probabilités totales. Multiplier deux branches qui ne sont pas sur le même chemin ne correspond à rien.

Comment justifier la formule des probabilités totales au bac ?

On nomme la partition utilisée et on dit pourquoi c'en est une : les événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers. Ensuite on cite la formule, on l'écrit avec les événements de l'énoncé, puis on remplace par les nombres. Donner seulement la somme des chemins fournit le bon résultat mais coûte souvent le point de rédaction.

Comment montrer que deux événements sont indépendants avec un arbre ?

On calcule la probabilité de l'intersection, puis le produit des deux probabilités, et on compare. Sur un arbre à deux niveaux, il suffit aussi de regarder les deux branches qui mènent au même événement depuis les deux nœuds du premier niveau : elles portent le même nombre si et seulement si les événements sont indépendants. Une impression de contexte ne suffit jamais.

Comment passer d'un arbre à une suite arithmético-géométrique en Terminale ?

On dessine seulement l'arbre entre l'étape n et l'étape n plus un, avec la probabilité de l'étape n et son complément au premier niveau. La formule des probabilités totales donne la probabilité de l'étape suivante comme somme de deux chemins, ce qui s'écrit q fois la probabilité précédente plus r. On étudie ensuite la suite auxiliaire obtenue en retranchant le point fixe, qui est géométrique.

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Exercices corrigés : Arbres pondérés et probabilités totales

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
180 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Combinatoire et dénombrement Fiche suivante Loi binomiale et concentration

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/tspe-probabilites-conditionnelles. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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