Bac 2025 de spécialité maths, Amérique du Nord jour 1 : sujet officiel et corrigé

A.1. Le premier niveau de l'arbre porte le serveur. L'énoncé donne $P(A)=0{,}25$ et $P(B)=0{,}15$ ; « le reste des connexions s'effectue via le serveur C », et comme $A$, $B$, $C$ forment une partition de l'univers (une connexion passe par un et un seul serveur), $P(C)=1-0{,}25-0{,}15=0{,}6$.

Le second niveau porte des probabilités CONDITIONNELLES : « $90\,\%$ des connexions via le serveur A sont stables » se lit dans la population des connexions via A, donc $P_{A}(S)=0{,}9$ et $P_{A}(\overline{S})=1-0{,}9=0{,}1$. De même $P_{B}(S)=0{,}8$, $P_{B}(\overline{S})=0{,}2$, $P_{C}(S)=0{,}85$ et $P_{C}(\overline{S})=0{,}15$.

Contrôle : les branches issues d'un même nœud ont pour somme $1$ ($0{,}25+0{,}15+0{,}6=1$, et $0{,}9+0{,}1$, $0{,}8+0{,}2$, $0{,}85+0{,}15$). L'arbre complété, avec la probabilité de chaque chemin en bout de branche, figure en fin de corrigé. Erreur fréquente : écrire $0{,}85$ pour $P(S)$ au lieu de $P_{C}(S)$ ; les trois pourcentages de stabilité sont tous conditionnés par un serveur.

A.2. « La connexion est stable et passe par le serveur B » est l'intersection $B\cap S$. Formule des probabilités composées, lue sur le chemin $B$ puis $S$ : $P(B\cap S)=P(B)\times P_{B}(S)=0{,}15\times 0{,}8=0{,}12$. C'est la valeur annoncée.

Piège : répondre $0{,}8$, qui est la probabilité d'être stable SACHANT que la connexion passe par B, pas celle de « B et stable ».

A.3. Même formule, sur le chemin $C$ puis $\overline{S}$ : $P\left(C\cap\overline{S}\right)=P(C)\times P_{C}\left(\overline{S}\right)=0{,}6\times 0{,}15=0{,}09$.

Interprétation : $9\,\%$ des connexions passent par le serveur C ET sont instables. L'interprétation porte sur l'ensemble de TOUTES les connexions ; dire « $9\,\%$ des connexions via C sont instables » serait faux, ce taux-là vaut $15\,\%$.

A.4. Formule des probabilités totales, avec la partition $\{A\,;B\,;C\}$ : $P(S)=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)$.

Or $P(A\cap S)=0{,}25\times 0{,}9=0{,}225$, $P(B\cap S)=0{,}12$ (question A.2) et $P(C\cap S)=0{,}6\times 0{,}85=0{,}51$. Donc $P(S)=0{,}225+0{,}12+0{,}51=0{,}855$.

Vérification par l'évènement contraire : $P\left(\overline{S}\right)=0{,}25\times 0{,}1+0{,}15\times 0{,}2+0{,}6\times 0{,}15=0{,}025+0{,}03+0{,}09=0{,}145$, et $0{,}855+0{,}145=1$. Pour « démontrer », il faut citer la partition : c'est elle qui autorise l'addition.

A.5. On sait que la connexion est stable : on cherche $P_{S}(B)$, une probabilité conditionnée par $S$ alors que l'arbre est construit dans l'autre sens. On revient à la définition (démarche de la formule de Bayes) : $P_{S}(B)=\dfrac{P(B\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}855}\approx 0{,}140\,35$, soit $0{,}140$ arrondi au millième.

Interprétation : parmi les connexions stables, environ $14\,\%$ passent par le serveur B. C'est un peu moins que la part de B dans l'ensemble des connexions ($15\,\%$), ce qui est cohérent : B est le serveur le moins stable des trois ($80\,\%$ seulement).

Piège : confondre $P_{S}(B)$ avec $P_{B}(S)=0{,}8$, ou diviser par $P(B)$. Le dénominateur est toujours la probabilité de l'évènement que l'on SAIT réalisé, ici $S$. Écrire $0{,}140$ et non $0{,}14$ quand le millième est demandé.

B.1.a. On répète $50$ fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), la même épreuve de Bernoulli : « la connexion est instable », succès de probabilité $p=0{,}145$. La variable $X$ compte les succès, donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0{,}145$, notée $\mathcal{B}(50\,;0{,}145)$.

Piège : prendre $p=0{,}855$. Le succès est l'évènement que $X$ compte, ici l'INSTABILITÉ.

B.1.b. « Au plus huit connexions instables » se traduit par $X\leqslant 8$. À la calculatrice, avec la fonction de répartition de la loi binomiale (binomFRép, ou binomcdf, avec $n=50$, $p=0{,}145$ et la valeur $8$) : $P(X\leqslant 8)=\displaystyle\sum_{k=0}^{8}\binom{50}{k}0{,}145^{k}\,0{,}855^{50-k}\approx 0{,}704$.

Ordre de grandeur : $E(X)=50\times 0{,}145=7{,}25$, donc « au plus 8 » englobe un peu plus que la moyenne, et une probabilité d'environ $0{,}7$ est plausible. Piège : utiliser la fonction de probabilité (binomFdp) qui donne $P(X=8)$ seul, environ $0{,}146$.

B.2.a. L'évènement « au moins une connexion instable » est le contraire de « aucune connexion instable », c'est-à-dire de $X_{n}=0$. Or $P(X_{n}=0)=\binom{n}{0}0{,}145^{0}\,0{,}855^{n}=0{,}855^{n}$. Donc $p_{n}=P(X_{n}\geqslant 1)=1-P(X_{n}=0)=1-0{,}855^{n}$.

Piège : additionner $P(X_{n}=1)+P(X_{n}=2)+\cdots$, ce qui ne donne aucune expression utilisable ; « au moins un » appelle toujours l'évènement contraire.

B.2.b. On résout l'inéquation $p_{n}\geqslant 0{,}99$ : $1-0{,}855^{n}\geqslant 0{,}99\iff 0{,}855^{n}\leqslant 0{,}01$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, elle conserve donc l'ordre : $0{,}855^{n}\leqslant 0{,}01\iff n\ln(0{,}855)\leqslant\ln(0{,}01)$. Comme $\ln(0{,}855)<0$ (car $0{,}855<1$), diviser par ce nombre RENVERSE l'inégalité : $n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)}\approx 29{,}4$.

Le plus petit entier qui convient est $n=30$. Vérification : $p_{29}=1-0{,}855^{29}\approx 0{,}989\,4<0{,}99$ et $p_{30}=1-0{,}855^{30}\approx 0{,}990\,9\geqslant 0{,}99$. Il faut donc examiner au moins $30$ connexions pour que la probabilité d'en rencontrer au moins une instable atteigne $0{,}99$.

Piège : oublier de renverser l'inégalité, ce qui donnerait $n\leqslant 29{,}4$, une réponse absurde (plus l'échantillon est grand, plus on a de chances de voir une connexion instable).

B.3.a. Par linéarité de l'espérance, avec $E(X_{n})=np$ pour une loi binomiale : $E(F_{n})=E\left(\dfrac{X_{n}}{n}\right)=\dfrac{1}{n}E(X_{n})=\dfrac{1}{n}\times n\times 0{,}145=0{,}145$.

La fréquence observée a pour espérance la probabilité d'instabilité, quelle que soit la taille de l'échantillon. Vérification de la variance admise : $V(F_{n})=\dfrac{1}{n^{2}}V(X_{n})=\dfrac{n\times 0{,}145\times 0{,}855}{n^{2}}=\dfrac{0{,}123975}{n}$, c'est bien la valeur de l'énoncé.

B.3.b. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à $F_{n}$, d'espérance $0{,}145$ et de variance $\dfrac{0{,}123975}{n}$, avec $\delta=0{,}1>0$ : $P\left(\left|F_{n}-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\dfrac{V(F_{n})}{0{,}1^{2}}=\dfrac{0{,}123975}{0{,}01\,n}=\dfrac{12{,}3975}{n}$.

Comme $12{,}3975\leqslant 12{,}5$ et $n>0$, on a $\dfrac{12{,}3975}{n}\leqslant\dfrac{12{,}5}{n}$, d'où l'inégalité demandée : $P\left(\left|F_{n}-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}{n}$.

Piège : diviser par $\delta=0{,}1$ au lieu de $\delta^{2}=0{,}01$. Et ne pas s'arrêter à $\dfrac{12{,}3975}{n}$ : l'énoncé annonce $12{,}5$, il faut écrire la dernière majoration.

B.3.c. Pour $n=1\,000$, la question B.3.b donne, en fonctionnement normal des serveurs : $P\left(\left|F_{1000}-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}{1\,000}=0{,}0125$.

La fréquence observée vaut $0{,}3$, et $\left|0{,}3-0{,}145\right|=0{,}155\geqslant 0{,}1$ : l'échantillon réalise justement l'évènement dont la probabilité est au plus $1{,}25\,\%$. Un tel écart est donc très improbable si les serveurs fonctionnent normalement.

Conclusion : oui, le responsable a raison de soupçonner un dysfonctionnement. Ce n'est pas une certitude, un évènement rare peut se produire, mais l'observation est peu compatible avec la probabilité d'instabilité de $0{,}145$ (elle est même plus du double). Piège : conclure sans avoir comparé l'écart $0{,}155$ au seuil $0{,}1$ de l'inégalité, qui est ce qui rend celle-ci applicable.

1. On applique la relation de récurrence avec $n=0$ : $u_{1}=\dfrac{2u_{0}+1}{u_{0}+2}=\dfrac{2\times 2+1}{2+2}=\dfrac{5}{4}=1{,}25$.

2.a. Par définition : $a_{0}=\dfrac{u_{0}}{u_{0}-1}=\dfrac{2}{2-1}=2$ et $a_{1}=\dfrac{u_{1}}{u_{1}-1}=\dfrac{1{,}25}{0{,}25}=5$.

On peut garder les fractions : $a_{1}=\dfrac{5/4}{1/4}=5$. Ces deux valeurs servent de contrôle à la question suivante : $3a_{0}-1=3\times 2-1=5=a_{1}$.

2.b. Méthode : exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$, puis comparer à $3a_{n}-1$ écrit aussi en fonction de $u_{n}$.

Calcul du dénominateur de $a_{n+1}$ : $u_{n+1}-1=\dfrac{2u_{n}+1}{u_{n}+2}-\dfrac{u_{n}+2}{u_{n}+2}=\dfrac{2u_{n}+1-u_{n}-2}{u_{n}+2}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+2}$.

Donc $a_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-1}=\dfrac{2u_{n}+1}{u_{n}+2}\times\dfrac{u_{n}+2}{u_{n}-1}=\dfrac{2u_{n}+1}{u_{n}-1}$, en simplifiant par $u_{n}+2$ (non nul puisque la suite est bien définie).

D'autre part, $3a_{n}-1=\dfrac{3u_{n}}{u_{n}-1}-\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}-1}=\dfrac{3u_{n}-u_{n}+1}{u_{n}-1}=\dfrac{2u_{n}+1}{u_{n}-1}$. Les deux expressions sont égales : pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=3a_{n}-1$.

Erreur fréquente : écrire $a_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}-1}$, en ne remplaçant l'indice qu'au numérateur. Tout l'indice $n$ devient $n+1$, au numérateur comme au dénominateur.

2.c. On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété « $a_{n}\geqslant 3n-1$ » et on la démontre par récurrence pour tout entier $n\geqslant 1$.

Initialisation, au rang $n=1$ (et non $0$, l'énoncé part de $1$) : $a_{1}=5$ et $3\times 1-1=2$ ; comme $5\geqslant 2$, $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité : soit un entier $k\geqslant 1$ tel que $\mathcal{P}(k)$ est vraie, c'est-à-dire $a_{k}\geqslant 3k-1$. On multiplie par $3>0$, ce qui conserve le sens : $3a_{k}\geqslant 9k-3$, puis on retranche $1$ : $3a_{k}-1\geqslant 9k-4$. Par la question 2.b, $a_{k+1}=3a_{k}-1\geqslant 9k-4$.

Il reste à comparer $9k-4$ à l'objectif $3(k+1)-1=3k+2$ : $(9k-4)-(3k+2)=6k-6=6(k-1)\geqslant 0$ puisque $k\geqslant 1$. Donc $a_{k+1}\geqslant 9k-4\geqslant 3(k+1)-1$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion : $\mathcal{P}(1)$ est vraie et la propriété est héréditaire à partir du rang $1$, donc pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $a_{n}\geqslant 3n-1$.

C'est ici que sert la condition $n\geqslant 1$ : l'étape $6(k-1)\geqslant 0$ l'utilise. Piège classique : s'arrêter à $a_{k+1}\geqslant 9k-4$ sans montrer que ce minorant dépasse $3(k+1)-1$ ; l'hérédité n'est alors pas démontrée.

2.d. Théorème de comparaison (minoration) : pour tout $n\geqslant 1$, $a_{n}\geqslant 3n-1$, et $\lim\limits_{n\to+\infty}(3n-1)=+\infty$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}a_{n}=+\infty$.

Vérification par les premières valeurs : $a_{2}=3\times 5-1=14$, $a_{3}=41$, $a_{4}=122$ ; la suite croît bien plus vite que $3n-1$ (elle est en fait géométrique à une constante près : $a_{n}=\dfrac{3^{n+1}+1}{2}$).

3.a. On part de la définition $a_{n}=\dfrac{u_{n}}{u_{n}-1}$ et on isole $u_{n}$. En multipliant par $u_{n}-1$ (non nul, puisque $a_{n}$ est bien définie) : $a_{n}u_{n}-a_{n}=u_{n}$, donc $a_{n}u_{n}-u_{n}=a_{n}$, soit $u_{n}\left(a_{n}-1\right)=a_{n}$.

Pour diviser par $a_{n}-1$, il faut $a_{n}\neq 1$. C'est le cas : si l'on avait $a_{n}=1$, l'égalité $u_{n}\left(a_{n}-1\right)=a_{n}$ deviendrait $0=1$, ce qui est absurde. Donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}-1}$.

Contrôle : $\dfrac{a_{1}}{a_{1}-1}=\dfrac{5}{4}=u_{1}$. Erreur fréquente : diviser par $a_{n}-1$ sans justifier qu'il est non nul.

3.b. La forme $\dfrac{a_{n}}{a_{n}-1}$ est une forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » ; on factorise par $a_{n}$, non nul pour $n\geqslant 1$ puisque $a_{n}\geqslant 2$ : $u_{n}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}\left(1-\frac{1}{a_{n}}\right)}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{a_{n}}}$.

Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}a_{n}=+\infty$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{a_{n}}=0$, donc par opérations sur les limites $\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n}=\dfrac{1}{1-0}=1$.

Vérification : $u_{2}=\dfrac{14}{13}\approx 1{,}077$ et $u_{4}=\dfrac{122}{121}\approx 1{,}008$ se rapprochent bien de $1$ par valeurs supérieures. Piège : conclure « $\dfrac{+\infty}{+\infty}=1$ » sans lever l'indétermination.

4.a. Lecture du programme : u part de $u_{0}=2$ et n de $0$ ; à chaque tour de boucle, la ligne 5 remplace $u_{n}$ par $u_{n+1}$ et la ligne 6 augmente n de $1$, donc à chaque passage dans le test, u contient le terme de rang n de la suite. La boucle tourne tant que $u_{n}-1>p$ et s'arrête dès que $u_{n}-1\leqslant p$.

Interprétation : la fonction renvoie n, le PLUS PETIT entier naturel tel que $u_{n}-1\leqslant p$, c'est-à-dire le premier rang à partir duquel $u_{n}$ est à une distance au plus $p$ de sa limite $1$, et u, la valeur de $u_{n}$ à ce rang.

La décroissance admise donne le sens de « à partir duquel » : comme $(u_{n})$ décroît vers $1$, on a $u_{m}-1\leqslant u_{n}-1\leqslant p$ pour tout $m\geqslant n$, et $u_{n}>1$ pour tout $n$ (car $u_{n}-1=\dfrac{1}{a_{n}-1}>0$). Tous les termes suivants restent donc dans l'intervalle $]1\,;1+p]$. La boucle se termine bien, puisque $u_{n}-1$ tend vers $0$.

4.b. Pour $p=0{,}001$, le programme renvoie $n=6$.

Vérification (non demandée) : $u_{n}-1=\dfrac{1}{a_{n}-1}$, avec $a_{5}=365$ et $a_{6}=1\,094$. Donc $u_{5}-1=\dfrac{1}{364}\approx 0{,}002\,7>0{,}001$ et $u_{6}-1=\dfrac{1}{1\,093}\approx 0{,}000\,91\leqslant 0{,}001$ ; le programme renvoie le couple $(6\,;u_{6})$ avec $u_{6}=\dfrac{1\,094}{1\,093}\approx 1{,}000\,9$.

Affirmation 1. Deux droites de l'espace sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes. On montre que $(d)$ et l'axe des ordonnées ne sont ni l'un ni l'autre.

Vecteurs directeurs : $(d)$ est dirigée par $\vec{u}(-2\,;0\,;-6)$, lu sur les coefficients de $t$ ; l'axe des ordonnées passe par $\mathrm{O}$ et est dirigé par $\vec{\jmath}(0\,;1\,;0)$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de $\vec{u}$ est nulle alors que celle de $\vec{\jmath}$ ne l'est pas, et $\vec{u}$ n'est pas nul. Les droites ne sont donc pas parallèles.

Point commun : un point de l'axe des ordonnées a pour coordonnées $(0\,;y\,;0)$. Un point de $(d)$ sur cet axe vérifierait $3-2t=0$ et $2-6t=0$, soit $t=\dfrac{3}{2}$ et $t=\dfrac{1}{3}$ : c'est impossible. (Avec $t=\dfrac{3}{2}$, on obtient $z=2-9=-7\neq 0$.) Les droites ne sont donc pas sécantes.

Ni parallèles ni sécantes, les deux droites sont non coplanaires : l'affirmation 1 est VRAIE. Piège : conclure « non coplanaires » à partir des seuls vecteurs directeurs non colinéaires ; cela exclut le parallélisme, pas l'intersection.

Affirmation 2. Un plan orthogonal à $(d)$ admet pour vecteur normal tout vecteur directeur de $(d)$, par exemple $\vec{u}(-2\,;0\,;-6)$ ou, plus simple, $\vec{n}=-\dfrac{1}{2}\vec{u}$, soit $\vec{n}(1\,;0\,;3)$. Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme $x+3z+d=0$.

Il passe par $\mathrm{A}(3\,;-3\,;-2)$ : $3+3\times(-2)+d=0$, d'où $d=3$. Le plan a pour équation $x+3z+3=0$ : l'affirmation 2 est VRAIE.

Remarque : l'absence de $y$ dans l'équation est normale, la deuxième coordonnée du vecteur normal est nulle. Erreur fréquente : prendre le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ ou un point de $(d)$ comme vecteur normal ; seule la DIRECTION de $(d)$ compte.

Affirmation 3. D'abord le point $\mathrm{C}$ : sur $(d)$, l'abscisse vaut $2$ quand $3-2t=2$, soit $t=\dfrac{1}{2}$ ; alors $y=-1$ et $z=2-6\times\dfrac{1}{2}=-1$. Donc $\mathrm{C}(2\,;-1\,;-1)$.

L'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ a pour sommet $\mathrm{A}$ : on utilise les vecteurs issus de $\mathrm{A}$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}(2\,;-1\,;1)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-1\,;2\,;1)$, et les deux expressions du produit scalaire.

En coordonnées, dans un repère orthonormé : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\times(-1)+(-1)\times 2+1\times 1=-3$. Normes : $\mathrm{AB}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$ et $\mathrm{AC}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$.

Avec $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}\times\cos\widehat{\mathrm{BAC}}$ : $\cos\widehat{\mathrm{BAC}}=\dfrac{-3}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=-\dfrac{1}{2}$. Un angle géométrique est dans $[0\,;\pi]$, donc $\widehat{\mathrm{BAC}}=\dfrac{2\pi}{3}$.

Or $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq-\dfrac{1}{2}$ : l'affirmation 3 est FAUSSE. Un produit scalaire négatif annonçait déjà un angle obtus, alors que $\dfrac{\pi}{6}$ est aigu. Piège : prendre $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ au lieu de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, ce qui change le signe du produit scalaire et donnerait $\dfrac{\pi}{3}$.

Affirmation 4. Le point $\mathrm{H}$ est l'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec la droite passant par $\mathrm{B}$ et orthogonale à $\mathcal{P}$, donc dirigée par le vecteur normal $\vec{n}(1\,;0\,;3)$ du plan.

Représentation paramétrique de cette droite : $x=5+k$, $y=-4$, $z=-1+3k$, $k\in\mathbb{R}$. On reporte dans l'équation de $\mathcal{P}$ : $(5+k)+3(-1+3k)-7=0$, soit $10k-5=0$, d'où $k=\dfrac{1}{2}$. Donc $\mathrm{H}\left(\dfrac{11}{2}\,;-4\,;\dfrac{1}{2}\right)$.

Vérification : $\dfrac{11}{2}+3\times\dfrac{1}{2}-7=\dfrac{11+3-14}{2}=0$, $\mathrm{H}$ est bien dans $\mathcal{P}$.

Alors $\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\dfrac{1}{2}\vec{n}=\left(\dfrac{1}{2}\,;0\,;\dfrac{3}{2}\right)$ et $\mathrm{BH}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+0+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{10}{4}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$. L'affirmation 4 est VRAIE.

Le résultat est cohérent avec $\mathrm{BH}=|k|\times\|\vec{n}\|=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{10}$. Erreur fréquente : écrire $\sqrt{\dfrac{10}{4}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$, en oubliant que la racine porte aussi sur le dénominateur.