Bac 2026 de spécialité maths, Centres étrangers jour 2 : sujet officiel et corrigé

1. Trois points définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ne sont pas colinéaires.

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2-1\\1-0\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}1-1\\1-0\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$.

S'il existait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, la première coordonnée donnerait $0=k\times 1$, donc $k=0$, et la deuxième $1=k\times 1=0$ : c'est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés et ils définissent un plan.

Erreur fréquente : conclure parce que « les coordonnées sont différentes », ou comparer une seule paire de coordonnées. La non-colinéarité se démontre par l'absurde sur deux coordonnées au moins, comme ci-dessus.

2. Un vecteur non nul est normal à un plan dès qu'il est orthogonal à DEUX vecteurs non colinéaires de ce plan. On calcule les produits scalaires dans le repère orthonormé :

$\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=4\times 1+4\times 1+2\times(-4)=4+4-8=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=4\times 0+4\times 1+2\times(-2)=0+4-4=0$.

Le vecteur $\vec{n}$, non nul, est orthogonal à $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et à $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) d'après la question 1 : $\vec{n}$ est normal au plan (ABC).

Piège : un seul produit scalaire nul ne suffit pas, un vecteur orthogonal à une seule direction du plan peut être contenu dans le plan. Et la non-colinéarité des deux vecteurs testés fait partie de la justification : c'est là que la question 1 sert.

3. Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ a une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$. Ici le plan (ABC) a une équation $4x+4y+2z+d=0$, où le réel $d$ se détermine avec un point du plan.

$\mathrm{A}(1\,;0\,;3)\in(\mathrm{ABC})$ : $4\times 1+4\times 0+2\times 3+d=0$, soit $10+d=0$ et $d=-10$. Une équation cartésienne de (ABC) est donc $4x+4y+2z-10=0$, ou, en divisant par $2$, $2x+2y+z-5=0$.

Vérification avec les deux autres points : pour B, $2\times 2+2\times 1+(-1)-5=0$ ; pour C, $2\times 1+2\times 1+1-5=0$. Les trois points satisfont l'équation. Les deux équations décrivent le même plan : une équation cartésienne n'est jamais unique, elle l'est à un facteur non nul près.

4. On remplace les coordonnées de $\mathrm{H}(0\,;2\,;1)$ dans l'équation : $2\times 0+2\times 2+1-5=0+4+1-5=0$. Les coordonnées de H vérifient l'équation du plan, donc H appartient au plan (ABC).

5. L'angle $\widehat{\mathrm{BAH}}$ a pour sommet A : c'est l'angle géométrique entre les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$. On l'obtient par les deux expressions du produit scalaire : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\mathrm{AB}\times\mathrm{AH}\times\cos\widehat{\mathrm{BAH}}$.

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\begin{pmatrix}0-1\\2-0\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$. Par les coordonnées : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}}=1\times(-1)+1\times 2+(-4)\times(-2)=-1+2+8=9$.

Les normes : $\mathrm{AB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ et $\mathrm{AH}=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9}=3$.

Donc $\cos\widehat{\mathrm{BAH}}=\dfrac{9}{3\sqrt{2}\times 3}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Comme un angle géométrique est compris entre $0°$ et $180°$, $\widehat{\mathrm{BAH}}=45°$.

Piège : prendre $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ au lieu de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ change le signe du produit scalaire et donne $135°$, l'angle supplémentaire. Les deux vecteurs doivent PARTIR du sommet de l'angle. Contrôle : $\cos\widehat{\mathrm{BAH}}\approx 0{,}707$ et $\arccos(0{,}707)\approx 45°$ à la calculatrice, en mode degré.

6. Une droite orthogonale à un plan a pour vecteur directeur un vecteur normal à ce plan. On peut prendre $\vec{n}(4\,;4\,;2)$ ou, plus simple, le vecteur colinéaire $\vec{u}=\dfrac{1}{2}\vec{n}=(2\,;2\,;1)$.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $(d)$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{H}M}=t\,\vec{u}$, ce qui donne la représentation paramétrique : $x=2t$, $y=2+2t$, $z=1+t$, $t\in\mathbb{R}$.

Vérification : $t=0$ redonne $\mathrm{H}(0\,;2\,;1)$. Avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, on obtiendrait $x=4k$, $y=2+4k$, $z=1+2k$, $k\in\mathbb{R}$, tout aussi juste : une représentation paramétrique n'est pas unique, et le correcteur accepte toute réponse cohérente.

7. Le point H appartient au plan (ABC) (question 4) et la droite $(d)$ est orthogonale à ce plan en H : pour tout point S de $(d)$, H est le projeté orthogonal de S sur le plan, et la distance de S au plan (ABC) est la longueur SH.

Un point S de $(d)$ s'écrit $\mathrm{S}(2t\,;2+2t\,;1+t)$ et $\overrightarrow{\mathrm{HS}}=t\,\vec{u}=(2t\,;2t\,;t)$, donc $\mathrm{SH}=\sqrt{4t^{2}+4t^{2}+t^{2}}=\sqrt{9t^{2}}=3\lvert t\rvert$.

La condition $\mathrm{SH}=6$ s'écrit $3\lvert t\rvert=6$, soit $t=2$ ou $t=-2$. Pour $t=2$ : $\mathrm{S}(4\,;6\,;3)$, d'abscisse $4>0$. Pour $t=-2$ : le point $(-4\,;-2\,;-1)$, d'abscisse négative, ne convient pas. Le point cherché est $\mathrm{S}(4\,;6\,;3)$.

Vérification par la formule de la distance d'un point à un plan (utile pour contrôler, même si l'énoncé ne l'attend pas) : $\dfrac{\lvert 2\times 4+2\times 6+3-5\rvert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\dfrac{18}{3}=6$.

Piège : poser directement $t=6$ en confondant le paramètre et la distance. Le paramètre ne mesure une longueur que si le vecteur directeur est unitaire ; ici $\lVert\vec{u}\rVert=3$, et $t=6$ donnerait le point $(12\,;14\,;7)$, à distance $18$ du plan. Avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, $\lVert\vec{n}\rVert=6$ et la condition devient $6\lvert k\rvert=6$, $k=1$ : on retrouve le même point S.

A.1. Le premier niveau de l'arbre porte les trois tranches d'âge, qui forment une partition de la population étudiée : $P(J)=0{,}21$, $P(M)=0{,}46$ et $P(S)=0{,}33$. Contrôle : $0{,}21+0{,}46+0{,}33=1$.

Le second niveau porte des probabilités CONDITIONNELLES : « $70\,\%$ des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié » donne $P_{J}(R)=0{,}7$, et par l'événement contraire $P_{J}(\overline{R})=1-0{,}7=0{,}3$. De même $P_{M}(R)=0{,}46$ et $P_{M}(\overline{R})=0{,}54$, puis $P_{S}(R)=0{,}15$ et $P_{S}(\overline{R})=0{,}85$.

Piège : le nombre $0{,}46$ apparaît deux fois, avec deux sens différents. Sur la branche vers $M$, c'est la proportion des 30 à 59 ans dans la population, $P(M)$ ; sur la branche de $M$ vers $R$, c'est la proportion de ceux qui ont publié PARMI les 30 à 59 ans, $P_{M}(R)$. L'arbre complété, avec la probabilité de chaque chemin, figure en fin de corrigé.

A.2. Probabilité d'une intersection, lue sur un chemin de l'arbre (formule des probabilités composées) : $P(M\cap R)=P(M)\times P_{M}(R)=0{,}46\times 0{,}46=0{,}211\,6$, soit $0{,}212$ arrondi au millième.

Interprétation : environ $21{,}2\,\%$ des habitants âgés d'au moins 15 ans vivant en France ont entre 30 et 59 ans ET ont déjà publié sur ce réseau social. La population de référence est la population entière, pas la seule tranche des 30 à 59 ans.

Erreur fréquente : répondre $0{,}46$, qui est $P_{M}(R)$, la probabilité d'avoir publié SACHANT que la personne a entre 30 et 59 ans. Contrôle : une intersection est plus petite que chacun des deux événements, et $0{,}212<0{,}46$.

A.3.a. Les événements $J$, $M$ et $S$ forment une partition de l'univers : on applique la formule des probabilités totales.

$P(R)=P(J\cap R)+P(M\cap R)+P(S\cap R)=0{,}21\times 0{,}7+0{,}46\times 0{,}46+0{,}33\times 0{,}15=0{,}147+0{,}211\,6+0{,}049\,5=0{,}408\,1$, soit $P(R)\approx 0{,}408$.

Piège : faire la moyenne simple des trois pourcentages, $\dfrac{0{,}7+0{,}46+0{,}15}{3}\approx 0{,}437$, en oubliant que les trois tranches d'âge n'ont pas le même poids dans la population. La formule des probabilités totales est une moyenne PONDÉRÉE par $P(J)$, $P(M)$ et $P(S)$.

A.3.b. On sait que la personne a publié : on cherche $P_{R}(S)$, une probabilité conditionnée par $R$, alors que l'arbre est construit dans l'autre sens. On revient à la définition d'une probabilité conditionnelle (c'est la démarche de la formule de Bayes) :

$P_{R}(S)=\dfrac{P(S\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}33\times 0{,}15}{0{,}408\,1}=\dfrac{0{,}049\,5}{0{,}408\,1}\approx 0{,}121$.

Sachant qu'une personne a déjà publié sur ce réseau social, la probabilité qu'elle ait au moins 60 ans est d'environ $0{,}121$. Bonne pratique : diviser par la valeur EXACTE $0{,}408\,1$ et n'arrondir qu'à la fin ; ici l'arrondi intermédiaire $0{,}408$ donne encore $0{,}121$, mais ce n'est pas toujours le cas.

Erreur fréquente : confondre $P_{R}(S)$ et $P_{S}(R)=0{,}15$. Le dénominateur est la probabilité de l'événement DONNÉ, celui qu'on sait réalisé, ici $R$.

B.1. L'énoncé fait admettre la loi binomiale ; il reste à en lire les paramètres. On répète $100$ fois, de façon indépendante (tirages assimilés à des tirages avec remise), la même épreuve de Bernoulli dont le succès est « la personne a déjà publié sur ce réseau social », de probabilité $0{,}41$. La variable $X$ compte les succès : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0{,}41$, notée $\mathcal{B}(100\,;0{,}41)$.

Piège : reprendre $p=0{,}408$ calculé en A.3.a. Dans cette partie, l'énoncé fixe $p=0{,}41$, et c'est cette valeur qui sert jusqu'à la fin de l'exercice.

B.2. « Au moins la moitié des 100 personnes » se traduit par $X\geqslant 50$. La calculatrice donne les probabilités cumulées $P(X\leqslant k)$, on passe donc par l'événement contraire :

$P(X\geqslant 50)=1-P(X\leqslant 49)\approx 1-0{,}957\,2=0{,}042\,8$, soit $0{,}043$ arrondi au millième.

Piège : écrire $1-P(X\leqslant 50)$, qui est $P(X\geqslant 51)\approx 0{,}027$, en oubliant que « au moins la moitié » COMPREND la valeur $50$. L'écart n'est pas négligeable : $P(X=50)\approx 0{,}015$. Ordre de grandeur : $50$ est loin au-dessus de l'espérance $41$ (question suivante), une probabilité faible est cohérente.

B.3. L'espérance d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ vaut $np$ : $\mathrm{E}(X)=100\times 0{,}41=41$.

Interprétation : si l'on répétait un grand nombre de fois ce sondage de 100 personnes, on compterait en moyenne 41 personnes ayant déjà publié sur ce réseau social par sondage. Ce n'est pas une prédiction pour UN sondage : $X$ peut valoir $35$ ou $48$, c'est la moyenne sur de nombreux sondages qui se rapproche de $41$.

C. Chaque $X_{i}$ décrit le même sondage de 100 personnes que dans la partie B, réalisé « dans les mêmes conditions » : chaque $X_{i}$ suit la loi $\mathcal{B}(100\,;0{,}41)$, d'espérance $100\times 0{,}41=41$ et de variance $100\times 0{,}41\times 0{,}59=24{,}19$. Les sondages des 150 villes étant menés au hasard et indépendamment les uns des autres, on considère les variables $X_{1}$, ..., $X_{150}$ indépendantes ; c'est cette hypothèse qui permet d'additionner les variances.

Espérance de $Y$, par linéarité : $\mathrm{E}(Y)=\dfrac{1}{150}\left(\mathrm{E}(X_{1})+\cdots+\mathrm{E}(X_{150})\right)=\dfrac{150\times 41}{150}=41$.

Variance de $Y$ : $\mathrm{V}(Y)=\dfrac{1}{150^{2}}\,\mathrm{V}(X_{1}+\cdots+X_{150})=\dfrac{150\times 24{,}19}{150^{2}}=\dfrac{24{,}19}{150}\approx 0{,}161\,3$, la variance d'une somme de variables indépendantes étant la somme de leurs variances.

L'intervalle $]37\,;45[$ est centré en $\mathrm{E}(Y)=41$, de demi-largeur $4$ : $37<Y<45\iff\lvert Y-41\rvert<4$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $Y$ avec $\delta=4$ donne : $P\left(\lvert Y-41\rvert\geqslant 4\right)\leqslant\dfrac{\mathrm{V}(Y)}{4^{2}}=\dfrac{24{,}19}{150\times 16}=\dfrac{24{,}19}{2\,400}\approx 0{,}010\,08$.

On passe à l'événement contraire, ce qui renverse le sens de l'inégalité : $P(37<Y<45)=1-P\left(\lvert Y-41\rvert\geqslant 4\right)\geqslant 1-\dfrac{24{,}19}{2\,400}\approx 0{,}989\,9$.

Comme $0{,}989\,9>0{,}98$, la probabilité que $Y$ soit strictement comprise entre 37 et 45 est strictement supérieure à $98\,\%$. C'est aussi l'inégalité de concentration appliquée à la moyenne de l'échantillon $(X_{1},\ldots,X_{150})$ : $P\left(\lvert Y-41\rvert\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{\mathrm{V}(X_{1})}{150\,\delta^{2}}$, le même calcul.

Pièges : utiliser $\mathrm{V}(X_{1})=24{,}19$ au lieu de $\mathrm{V}(Y)$, ce qui donne la borne $\dfrac{24{,}19}{16}>1$, sans intérêt ; prendre $\delta=45-37=8$, la largeur, au lieu de la DEMI-largeur $4$ ; et oublier que l'inégalité stricte $37<Y<45$ est exactement le contraire de $\lvert Y-41\rvert\geqslant 4$, forme dans laquelle s'énonce l'inégalité.

A.1. On étudie le signe de la dérivée. Pour $x\geqslant 2$, $u(x)=3x^{2}+2x>0$, et la dérivée de $\ln(u)$ est $\dfrac{u'}{u}$ : $f'(x)=\dfrac{6x+2}{3x^{2}+2x}$.

Sur $[2\,;+\infty[$, le numérateur $6x+2\geqslant 14>0$ et le dénominateur $3x^{2}+2x=x(3x+2)\geqslant 16>0$. Donc $f'(x)>0$ pour tout $x$ de $[2\,;+\infty[$, et la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Autre rédaction, sans dériver : $x\mapsto 3x^{2}+2x$ est strictement croissante et strictement positive sur $[2\,;+\infty[$, et $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ ; la composée est strictement croissante. Erreur fréquente : écrire $f'(x)=\dfrac{1}{3x^{2}+2x}$ en oubliant le facteur $u'(x)=6x+2$ ; ici le signe resterait juste, mais la dérivée serait fausse.

A.2.a. On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas d'une fonction strictement monotone) sur $[2\,;+\infty[$. Ses trois hypothèses :

Continuité : $g$ est continue sur $[2\,;+\infty[$, puisque $f$ y est dérivable, donc continue, et que $x\mapsto x$ l'est aussi. Monotonie : $g$ est strictement décroissante sur $[2\,;+\infty[$ (admis). Valeurs aux bornes : $g(2)=\ln(3\times 4+4)-2=\ln 16-2\approx 0{,}773>0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$.

Le réel $0$ est compris entre $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$ et $g(2)>0$ : l'équation $g(x)=0$ admet donc une unique solution $\alpha$ sur $[2\,;+\infty[$. Comme $g(2)\neq 0$, on a même $\alpha>2$.

Piège : oublier la continuité, ou ne pas calculer $g(2)$. Sans le signe de $g(2)$, rien ne garantit que $0$ soit atteint : c'est la valeur que l'on doit justifier par un calcul, $\ln 16\approx 2{,}77>2$.

A.2.b. On balaye à la calculatrice (tableau de valeurs de $g$), en affinant le pas : $g(4)\approx 0{,}025>0$ et $g(5)\approx -0{,}56<0$, puis $g(4{,}04)\approx 0{,}003\,8>0$ et $g(4{,}05)\approx -0{,}001\,6<0$, donc $4{,}04<\alpha<4{,}05$.

Cet encadrement ne suffit pas pour ARRONDIR au centième : il faut savoir de quel côté de $4{,}045$ se trouve $\alpha$. Or $g(4{,}045)\approx 0{,}001\,1>0$, donc $4{,}045<\alpha<4{,}05$ (car $g$ est décroissante) et $\alpha\approx 4{,}05$ au centième.

Erreur fréquente : répondre $4{,}04$, la borne inférieure de l'encadrement d'amplitude $10^{-2}$, qui est une valeur approchée PAR DÉFAUT et non l'arrondi. Pour information, $\alpha\approx 4{,}047\,1$.

A.2.c. La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[2\,;+\infty[$ et s'annule en $\alpha$. Pour $2\leqslant x<\alpha$, $g(x)>g(\alpha)=0$ ; pour $x>\alpha$, $g(x)<g(\alpha)=0$. Le tableau de signes, figuré en fin de corrigé, se lit : $g(x)>0$ sur $[2\,;\alpha[$, $g(\alpha)=0$, $g(x)<0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$.

Le mot « en déduire » demande cette justification par la stricte décroissance : un tableau sans phrase ne suffit pas. Traduction utile pour la suite : $g(x)\geqslant 0\iff f(x)\geqslant x$, donc pour $x$ dans $[2\,;\alpha]$, $f(x)\geqslant x$.

B.1. Raisonnement par récurrence. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : « $2\leqslant a_{n}\leqslant\alpha$ ».

Initialisation : $2\leqslant a_{0}\leqslant\alpha$ par hypothèse de l'étude, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel tel que $P(n)$ est vraie, c'est-à-dire $2\leqslant a_{n}\leqslant\alpha$. La fonction $f$ est croissante sur $[2\,;+\infty[$ (A.1), donc elle conserve l'ordre : $f(2)\leqslant f(a_{n})\leqslant f(\alpha)$.

Or $f(a_{n})=a_{n+1}$, $f(\alpha)=\alpha$ puisque $g(\alpha)=0$, et $f(2)=\ln 16\approx 2{,}77\geqslant 2$. Donc $2\leqslant f(2)\leqslant a_{n+1}\leqslant\alpha$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion : $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc pour tout entier naturel $n$, $2\leqslant a_{n}\leqslant\alpha$.

Le point délicat est $f(\alpha)=\alpha$ : c'est la définition de $\alpha$ ($g(\alpha)=f(\alpha)-\alpha=0$) qui permet de « boucler ». Piège : appliquer $f$ sans citer sa croissance ; c'est elle qui autorise à composer les inégalités.

B.2. Pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}-a_{n}=f(a_{n})-a_{n}=g(a_{n})$. D'après B.1, $a_{n}\in[2\,;\alpha]$, et d'après le tableau de signes de A.2.c, $g$ est positive ou nulle sur $[2\,;\alpha]$. Donc $a_{n+1}-a_{n}\geqslant 0$ : la suite $(a_{n})$ est croissante.

C'est ici que la fonction $g$ prend son sens : elle mesure l'écart entre un terme et le suivant. Erreur fréquente : déduire la croissance de la suite de celle de $f$. Une fonction croissante donne une suite MONOTONE, pas forcément croissante ; il faut comparer $a_{1}$ et $a_{0}$, ou, comme ici, étudier le signe de $g$.

B.3. La suite $(a_{n})$ est croissante (B.2) et majorée par $\alpha$ (B.1). D'après le théorème de convergence monotone, elle converge.

Piège : affirmer que sa limite est $\alpha$ parce qu'elle est majorée par $\alpha$. Le théorème ne dit que ceci : la limite $\ell$ existe et vérifie $\ell\leqslant\alpha$. Identifier la limite, c'est la question suivante.

B.4. On note $\ell$ la limite de $(a_{n})$. En passant à la limite dans l'encadrement de B.1, $2\leqslant\ell\leqslant\alpha$.

Pour tout $n$, $a_{n+1}=f(a_{n})$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $a_{n+1}$ tend vers $\ell$ ; et comme $f$ est continue en $\ell$ (elle est dérivable sur $[2\,;+\infty[$), $f(a_{n})$ tend vers $f(\ell)$. Par unicité de la limite, $f(\ell)=\ell$, c'est-à-dire $g(\ell)=0$.

Or $\ell\in[2\,;+\infty[$ et $\alpha$ est l'UNIQUE solution de $g(x)=0$ sur cet intervalle (A.2.a) : donc $\ell=\alpha$. La suite $(a_{n})$ converge vers $\alpha$.