Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) • Exercices corrigés de cégep à Montréal

Fiche de révision : cinématique vectorielle en deux et trois dimensions (203-SN1-RE, ancien 203-NYA)

La cinématique vectorielle est le chapitre où les élèves de mécanique perdent des points sans comprendre pourquoi : le calcul est juste, mais il porte sur le mauvais objet, un module au lieu d'une composante, un angle mesuré à partir du mauvais axe, une équation du mouvement uniformément accéléré appliquée à une accélération qui varie.

Cette fiche ne recopie pas le cours. Elle donne ce qui se perd réellement à l'examen, le geste qui l'évite, et un exemple complet où chaque étape dit pourquoi elle existe. Les exercices corrigés du même chapitre font travailler chacun de ces gestes.

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Le fil du chapitre

Un vecteur se traite composante par composante, et chaque composante a sa propre histoire : on calcule en composantes, on ne revient au module et à l'orientation que pour répondre, et c'est le signe de $\vec{v}\cdot\vec{a}$ , jamais celui d'une composante, qui dit si un objet va plus vite ou moins vite.

Ce chapitre fait partie de Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (12 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3, Mathématiques
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3, Mathématiques
3La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4, Mathématiques
4Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4, Mathématiques
5Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
6Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 SN5, Mathématiques
7Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5, Mathématiques
8Cinématique et le MRUASecondaire 5 SN5
9Fonctions et domaineCalcul différentiel (201-NYA)
10Limites et continuitéCalcul différentiel (201-NYA)
11La dérivée et ses règlesCalcul différentiel (201-NYA)
12Cinématique en une et deux dimensions

Notions couvertes

Vecteur position
Vecteurs unitaires
Vitesse moyenne
Accélération moyenne
Vitesse instantanée
Mouvement uniformément accéléré
Composantes d'un vecteur
Orientation d'un vecteur
Produit scalaire
Accélération tangentielle
Accélération normale
Tir horizontal

L'essentiel

Travailler en composantes, conclure en module

• $\vec{r}=x\,\vec{\imath}+y\,\vec{\jmath}+z\,\vec{k}$ : trois mouvements rectilignes qui partagent le même temps $t$ . Toute opération se fait ligne par ligne, et le module $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ne se calcule qu'à la fin, pour répondre.
• Instantané : $\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ et $\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$ , en dérivant chaque composante. Moyen : $\vec{v}_{moy}=\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ et $\vec{a}_{moy}=\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ , qui ne demandent que deux états.
• Mouvement uniformément accéléré, $\vec{a}$ CONSTANTE : $\vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,t$ et $\vec{r}=\vec{r}_{0}+\vec{v}_{0}\,t+\frac{1}{2}\vec{a}\,t^{2}$ . Il suffit d'une seule composante de $\vec{a}$ qui dépend du temps pour que ces équations soient interdites.
• Orientation : $\theta=\arctan\dfrac{v_{y}}{v_{x}}$ , puis on VÉRIFIE le quadrant sur les signes des composantes, car la calculatrice ne rend qu'un angle entre $-90^{\circ}$ et $90^{\circ}$ .

Additionner deux vecteurs, c'est additionner leurs composantes. Additionner leurs modules n'est juste que s'ils sont parallèles et de même sens, et donne sinon un résultat trop grand.

L'angle entre la vitesse et l'accélération

• $\vec{v}\cdot\vec{a}>0$ : le module de la vitesse augmente. $\vec{v}\cdot\vec{a}<0$ : il diminue. $\vec{v}\cdot\vec{a}=0$ : il est stationnaire à cet instant.
• La direction de $\vec{v}$ ne change que si $\vec{a}$ a une composante PERPENDICULAIRE à $\vec{v}$ ; en 2D, on le teste par $v_{x}a_{y}-v_{y}a_{x}\neq 0$ .
• Accélération tangentielle $a_{t}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}$ , qui change la rapidité ; accélération normale $a_{n}=\sqrt{|\vec{a}|^{2}-a_{t}^{2}}$ , qui courbe la trajectoire.
• Projectile : $v_{x}$ constante, $\vec{a}=-g\,\vec{\jmath}$ pendant tout le vol. Au sommet, seule $v_{y}$ s'annule.

À gauche

\vec{a}

suit

\vec{v}

: le module augmente sans tourner. Au centre elle lui est perpendiculaire : la vitesse tourne sans changer de module. À droite elle s'y oppose.

Le signe d'UNE composante de $\vec{a}$ ne dit rien de la rapidité : un objet dont $a_{x}<0$ peut aller de plus en plus vite si les autres composantes l'emportent.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire un angle de boussole à partir du mauvais axe

2 points, et toutes les questions qui utilisent ce déplacement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3{,}00$ km à $20^{\circ}$ à l'ouest du nord : $\Delta x=-3{,}00\cos 20^{\circ}=-2{,}82$ km. »

Ce qu'il faut écrire

« L'angle part du NORD : $\Delta x=-3{,}00\sin 20^{\circ}=-1{,}03$ km et $\Delta y=3{,}00\cos 20^{\circ}=2{,}82$ km. »

Pourquoi : Le cosinus va sur l'axe dont on part pour mesurer l'angle. Dans « à l'ouest du nord », on part du nord, donc le cosinus va en $y$ . Un croquis de dix secondes suffit à voir qu'une marche « presque vers le nord » ne peut pas avoir sa grande composante en $x$ .

2. Additionner les modules de deux vecteurs non parallèles

2 à 3 points, et une vitesse finale fausse de près de 15 %

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Vitesse de $12{,}0$ m/s, rafale de $3{,}20$ m/s² pendant $2{,}50$ s : $v=12{,}0+8{,}00=20{,}0$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{v}_{0}$ à $45^{\circ}$ et $\vec{a}\,\Delta t$ à $-15^{\circ}$ : $\vec{v}=(16{,}2\,;\,6{,}41)$ m/s, soit $17{,}4$ m/s. »

Pourquoi : $\vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{a}\,\Delta t$ est une somme de VECTEURS. Les modules ne s'additionnent que si les deux vecteurs sont parallèles et de même sens ; sinon une partie de $\vec{a}\,\Delta t$ sert à tourner, et le résultat est toujours plus petit que la somme des modules.

3. Oublier la composante en z dans un module

1 point, et une erreur qui ne se voit pas parce que le résultat reste plausible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{v}_{moy}=(2{,}0\,;\,2{,}0\,;\,-0{,}75)$ m/s, donc $|\vec{v}_{moy}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2{,}83$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« $|\vec{v}_{moy}|=\sqrt{2{,}0^{2}+2{,}0^{2}+0{,}75^{2}}=2{,}93$ m/s. »

Pourquoi : Le module prend TOUS les carrés. L'habitude du plan fait oublier la troisième composante, surtout quand elle est petite ; recompter les composantes avant d'écrire la racine.

4. Écrire que la vitesse est nulle au sommet d'un projectile

2 points, et toute la suite si on s'en sert pour une énergie ou une portée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au sommet, $\vec{v}=\vec{0}$ et $\vec{a}=\vec{0}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Au sommet, $v_{y}=0$ : $\vec{v}=v_{0x}\,\vec{\imath}$ et $\vec{a}=-g\,\vec{\jmath}$ . »

Au sommet, la vitesse est horizontale et vaut

v_{0x}

, l'accélération est verticale et vaut

g

: aucune des deux n'est nulle, elles sont perpendiculaires.

Pourquoi : Seule la composante verticale s'annule ; la vitesse horizontale n'a jamais changé. Et l'accélération reste $g$ vers le bas pendant tout le vol : si elle s'annulait au sommet, le projectile y resterait suspendu.

5. Utiliser la moyenne des vitesses hors du mouvement uniformément accéléré

2 points, et une conclusion fausse sur la nature du mouvement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\vec{v}_{moy}=\dfrac{\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}}{2}=(0\,;\,5{,}0\,;\,0)$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{v}_{moy}=\dfrac{\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}}{\Delta t}=(2{,}0\,;\,2{,}0\,;\,-0{,}75)$ m/s. »

Pourquoi : $\dfrac{\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}}{2}$ n'égale la vitesse moyenne que si l'accélération est constante. La définition $\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ vaut toujours ; et si les deux calculs diffèrent, c'est la preuve que l'accélération a varié.

6. Conclure qu'un objet ralentit sur le signe d'une composante

2 points, sur une question qui ne demande qu'un mot

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a_{x}=-1{,}0$ m/s² est négative, donc l'hélicoptère ralentit. »

Ce qu'il faut écrire

« $\vec{v}\cdot\vec{a}=-2{,}0+18+5{,}76=21{,}8>0$ : le module augmente, $a_{t}=3{,}22$ m/s². »

Pourquoi : La rapidité dépend de l'angle entre les deux VECTEURS, que seul le produit scalaire mesure. Une composante négative de $\vec{a}$ peut être largement compensée par les autres.

7. Confondre coordonnée minimale et vitesse minimale

2 à 3 points, et un instant faux réutilisé dans les questions suivantes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y$ est minimal à $t=2{,}0$ s, donc la vitesse y est minimale : $1{,}0$ m/s. »

Ce qu'il faut écrire

« $|\vec{v}|^{2}=5t^{2}-22t+25$ est minimal à $t=2{,}2$ s : $|\vec{v}|_{min}=0{,}89$ m/s. »

Pourquoi : $y$ minimal annule $v_{y}$ seulement. La vitesse est minimale quand $\vec{v}\cdot\vec{a}=0$ , ce qui dépend des DEUX composantes. Les deux instants ne coïncident que si $\vec{a}$ est verticale, comme pour un projectile.

8. Mettre la vitesse initiale entière dans la hauteur maximale

2 points, et une hauteur fausse de plus de moitié

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $v_{0}=25$ m/s à $53{,}1^{\circ}$ : $h_{max}=\dfrac{25^{2}}{2\times 9{,}80}=31{,}9$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« $v_{0y}=25\sin 53{,}1^{\circ}=20$ m/s : $h_{max}=\dfrac{20^{2}}{19{,}6}=20{,}4$ m. »

Pourquoi : Seule la composante verticale lutte contre la gravité ; la composante horizontale continue sans changer. $\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$ est la hauteur d'un tir VERTICAL.

Quelle méthode choisir

Quel outil selon ce que donne l'énoncé

Ce que l'énoncé fournit, et ce que la question demande

Si un vecteur position $\vec{r}(t)$ en fonction du temps → DÉRIVER chaque composante pour $\vec{v}(t)$ , puis encore pour $\vec{a}(t)$

Exemple : $x=4{,}0t-0{,}50t^{2}$ donne $v_{x}=4{,}0-t$ et $a_{x}=-1{,}0$ m/s²
Si deux états, positions et vitesses à deux instants → MOYENNES : $\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ et $\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ , rien d'autre

Exemple : $\Delta\vec{r}=(8\,;\,8\,;\,-3)$ m en $4{,}0$ s : $\vec{v}_{moy}=(2\,;\,2\,;\,-0{,}75)$ m/s
Si $\vec{r}_{0}$ , $\vec{v}_{0}$ et une accélération CONSTANTE → MUA, une équation par composante, puis résoudre sur la composante qui porte la condition

Exemple : $y=6-4t+t^{2}$ minimal quand $v_{y}=-4+2t=0$ , à $t=2{,}0$ s
Si une accélération qui dépend du temps → PAS de MUA : dériver ou intégrer composante par composante

Exemple : $a_{z}=-1{,}2t$ : aucune des équations du MUA ne s'applique
Si « va-t-il plus vite ou moins vite ? » → signe de $\vec{v}\cdot\vec{a}$ , puis $a_{t}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}$ si on veut le chiffrer

Exemple : $\vec{v}=(3\,;\,4)$ , $\vec{a}=(0\,;\,-10)$ : $-40<0$ , $a_{t}=-8$ m/s²
Si un extremum de coordonnée, un sommet, un passage sur un axe → annuler la COMPOSANTE concernée, de vitesse ou de position, sans toucher aux autres

Exemple : sommet d'un projectile : $v_{y}=0$ ; passage sur l'axe des $y$ : $x=0$

Un tir horizontal est un MUA avec $v_{0y}=0$ : la durée de chute ne dépend que de la hauteur, $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ , et la vitesse horizontale n'y joue aucun rôle.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un mouvement uniformément accéléré en vecteurs

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une position initiale, une vitesse initiale et une accélération constante, en composantes ou en module et orientation.

1 Choisir et DESSINER les axes, avec leur sens positif ; convertir chaque vecteur donné en module et orientation en composantes signées.
2 Écrire les deux ou trois lignes $x(t)$ , $y(t)$ , $z(t)$ et les lignes de vitesse, sans calculer encore.
3 Traduire la condition de la question sur UNE composante : $v_{y}=0$ , $x=0$ , $y=h$ .
4 Résoudre pour $t$ , écarter la racine négative ou antérieure en le disant, puis reporter $t$ dans les autres lignes.
5 Répondre en module et orientation seulement si la question le demande, avec l'unité.

Phrase de conclusion

« L'accélération étant constante, chaque composante suit l'équation du mouvement uniformément accéléré : $x(t)=x_{0}+v_{0x}t+\frac{1}{2}a_{x}t^{2}$ . La racine $t=-0{,}61$ s est antérieure au départ, donc rejetée. »

Le piège : Oublier de justifier que l'accélération est constante. Sans cette phrase, l'emploi des équations du MUA n'est pas justifié, et plusieurs correcteurs retirent le point de méthode même quand le calcul est juste.

Barème : En général 1 point pour les composantes signées, 1 pour les équations, 1 pour la condition, 1 pour la résolution avec la racine écartée, 1 pour la réponse avec unité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le quadrant de l'angle

Après un $\arctan$ , regarder les signes des composantes. Deux composantes négatives donnent le même $\arctan$ que deux positives, mais un vecteur à l'opposé.

$(-2{,}44\,;\,-2{,}32)$ km : $43{,}6^{\circ}$ au SUD de l'OUEST, pas au nord de l'est.
Le module plus grand que chaque composante

Le module d'un vecteur est au moins égal à la valeur absolue de sa plus grande composante, et au plus égal à la somme des valeurs absolues. Hors de cet intervalle, il y a une erreur.

$\vec{v}=(2{,}0\,;\,6{,}0\,;\,-2{,}4)$ m/s : le module doit être entre $6{,}0$ et $10{,}4$ ; $6{,}76$ passe.
La somme vectorielle plus petite que la somme des modules

Le module d'une somme de deux vecteurs non parallèles est toujours STRICTEMENT inférieur à la somme de leurs modules. Un résultat égal trahit des modules additionnés.

$12{,}0$ et $8{,}00$ m/s à $60^{\circ}$ l'un de l'autre : $17{,}4<20{,}0$ m/s.
Le retour à la même hauteur

Sans frottement, un projectile qui retombe à sa hauteur de départ a le même module de vitesse qu'au départ, et la descente dure autant que la montée.

Ballon lancé à $25$ m/s depuis le sol : il retombe à $25$ m/s, après $2\times 2{,}04=4{,}08$ s.

L'exercice type décortiqué

Le premier passage sur l'axe des x, avec une accélération qui n'est pas la gravité

Une particule part de $\vec{r}_{0}=(1{,}0\,\vec{\imath}+4{,}0\,\vec{\jmath})$ m avec $\vec{v}_{0}=(6{,}0\,\vec{\imath}-3{,}0\,\vec{\jmath})$ m/s et une accélération constante $\vec{a}=(-1{,}0\,\vec{\imath}+1{,}0\,\vec{\jmath})$ m/s².

Où et quand croise-t-elle l'axe des $x$ pour la première fois ? Quelle est alors sa vitesse, et va-t-elle plus vite ou moins vite à cet instant ?

La configuration de départ :

\vec{v}_{0}

pointe vers le bas à droite,

\vec{a}

vers le haut à gauche. Leur angle obtus annonce déjà un ralentissement.

Étape 1

$x(t)=1{,}0+6{,}0t-0{,}50t^{2}$ et $y(t)=4{,}0-3{,}0t+0{,}50t^{2}$ ; $v_{x}=6{,}0-t$ et $v_{y}=-3{,}0+t$ .

Pourquoi

L'accélération est constante : on écrit les équations du MUA ligne par ligne AVANT tout calcul. C'est le point de méthode, et c'est là que se voit un $\frac{1}{2}$ oublié.

Étape 2

Axe des $x$ : $y=0$ , soit $t^{2}-6t+8=0$ , d'où $t=2{,}0$ s ou $t=4{,}0$ s.

Pourquoi

La condition porte sur UNE composante, la position en $y$ . Les deux racines sont positives : la particule croise l'axe en descendant, puis le recroise en remontant. La question demande la PREMIÈRE.

Étape 3

$x(2{,}0)=1+12-2=11$ m : la particule passe en $(11\,;\,0)$ m.

Pourquoi

On reporte l'instant trouvé dans l'AUTRE ligne. Le temps est le seul lien entre les composantes.

Étape 4

$\vec{v}(2{,}0)=(4{,}0\,;\,-1{,}0)$ m/s, de module $\sqrt{17}=4{,}12$ m/s.

Pourquoi

Le module arrive à la fin, pour répondre. Le vecteur, lui, dit en plus que la particule descend encore, $v_{y}<0$ , ce qui confirme que c'est bien le premier passage.

Étape 5

$\vec{v}\cdot\vec{a}=(4)(-1)+(-1)(1)=-5<0$ : la particule ralentit, $a_{t}=\dfrac{-5}{4{,}12}=-1{,}21$ m/s².

Pourquoi

La rapidité se juge au produit scalaire, pas au signe de $a_{y}$ , qui est positif ici et ferait conclure à tort à une accélération.

Conclusion rédigée

« La particule croise l'axe des $x$ pour la première fois à $t=2{,}0$ s, en $(11\,;\,0)$ m, avec la vitesse $(4{,}0\,\vec{\imath}-1{,}0\,\vec{\jmath})$ m/s de module $4{,}12$ m/s ; comme $\vec{v}\cdot\vec{a}<0$ , elle ralentit à cet instant. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre la racine $t=4{,}0$ s, qui est le second passage, ou conclure que la particule accélère parce que $a_{y}>0$ .

À savoir par cœur

• On calcule en composantes, on répond en module et orientation.
• Le cosinus va sur l'axe DONT ON PART pour mesurer l'angle.
• Module en 3D : les trois carrés, $z$ compris.
• $\vec{v}_{moy}=\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ toujours ; $\dfrac{\vec{v}_{i}+\vec{v}_{f}}{2}$ seulement si $\vec{a}$ est constante.
• MUA : $\vec{r}=\vec{r}_{0}+\vec{v}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^{2}$ , une ligne par composante.
• Plus vite ou moins vite : signe de $\vec{v}\cdot\vec{a}$ .
• La direction ne change que si $\vec{a}$ a une composante perpendiculaire à $\vec{v}$ .
• Au sommet d'un projectile : $\vec{v}=v_{0x}\,\vec{\imath}$ et $\vec{a}=-g\,\vec{\jmath}$ .
• Tir horizontal : la hauteur seule fixe la durée de chute.
• $h_{max}=\dfrac{v_{0y}^{2}}{2g}$ , avec la composante VERTICALE.

Questions fréquentes

Comment savoir si un objet accélère ou ralentit quand la vitesse et l'accélération sont des vecteurs ?

On calcule le produit scalaire de la vitesse et de l'accélération, en multipliant les composantes deux à deux et en additionnant. S'il est positif, le module de la vitesse augmente ; s'il est négatif, il diminue ; s'il est nul, il est stationnaire à cet instant. Le signe d'une seule composante de l'accélération ne permet pas de conclure.

Quand peut-on utiliser les équations du mouvement uniformément accéléré en deux ou trois dimensions ?

Seulement quand le vecteur accélération est constant, c'est-à-dire quand chacune de ses composantes est constante. On écrit alors une équation par axe, avec la même variable de temps. Si une seule composante de l'accélération dépend du temps, ces équations sont fausses et il faut dériver ou intégrer composante par composante.

Comment lire un angle comme 20 degrés à l'ouest du nord ?

On part de la direction nommée en dernier, ici le nord, et on tourne de 20 degrés vers la première, l'ouest. Le cosinus de l'angle donne donc la composante vers le nord et le sinus la composante vers l'ouest, avec un signe moins si l'axe des x pointe vers l'est. Un croquis rapide évite presque toutes les erreurs.

La vitesse d'un projectile est-elle nulle au sommet de sa trajectoire ?

Non. Au sommet, seule la composante verticale de la vitesse est nulle ; la composante horizontale est la même qu'au départ, puisque rien ne la modifie en l'absence de frottement. L'accélération, elle, vaut toujours g vers le bas. La vitesse n'est nulle au sommet que pour un lancer parfaitement vertical.

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Exercices corrigés : Cinématique vectorielle en deux et trois dimensions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/physique-sn1-cinematique-vectorielle. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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