Spécialité physique-chimie, Terminale • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : la décroissance radioactive, demi-vie, activité et datation (Terminale)

Q: Comment savoir si un noyau se désintègre en bêta moins ou en bêta plus ?

On le compare aux isotopes stables du même élément. S'il a plus de neutrons qu'eux, il est en excès de neutrons et subit une désintégration bêta moins : un neutron devient proton. S'il en a moins, il subit une désintégration bêta plus : un proton devient neutron. Sur le diagramme N en fonction de Z, le premier est au-dessus de la vallée de stabilité, le second au-dessous.

Q: Pourquoi la demi-vie ne dépend-elle pas du nombre de noyaux ?

Parce que chaque noyau a la même probabilité de se désintégrer par seconde, sans mémoire et sans influence de ses voisins. La proportion de noyaux perdue par seconde est donc la même quel que soit leur nombre, et la durée nécessaire pour en perdre la moitié aussi. Un échantillon plus gros a seulement une activité plus grande.

Q: Dans quelle unité faut-il mettre la constante radioactive ?

Dans l'inverse de l'unité de temps utilisée avec elle. Dès que l'énoncé parle d'activité en becquerels, qui sont des désintégrations par seconde, la constante doit être en secondes moins un. Pour un âge en années, on peut la garder en années moins un. On ne mélange jamais les deux dans un même calcul.

Q: Comment dater un échantillon avec la loi de décroissance ?

On écrit que le nombre de noyaux, ou l'activité, vaut sa valeur initiale multipliée par exponentielle de moins lambda t, on isole l'exponentielle et on prend le logarithme : l'âge vaut un sur lambda fois le logarithme du rapport entre la valeur initiale et la valeur mesurée. On contrôle en situant ce rapport entre deux puissances de deux.

La décroissance radioactive est le chapitre le plus court de la spécialité et l'un des plus rentables : une équation différentielle, une exponentielle, deux lois de conservation. Ce qui coûte des points n'est presque jamais la physique, c'est une unité de $\lambda$ incompatible avec des becquerels, un rapport écrit à l'envers ou une charge non vérifiée.

Vous trouverez ici les huit erreurs qui reviennent au baccalauréat, avec la phrase exacte à écrire pour chacune, l'arbre qui choisit la relation selon les données, celui qui prévoit le type de désintégration sur le diagramme $(N,Z)$ , et une source de césium 137 datée ligne par ligne.

Le fil du chapitre

Une demi-vie est une propriété du NOYAU, jamais de l'échantillon : ni la quantité, ni l'âge, ni la température ne la changent. Tout le reste du chapitre se déduit de $N(t)=N_{0}\,e^{-\lambda t}$ , à une condition, garder $\lambda$ et $t$ dans la même unité.

Ce chapitre fait partie de Spécialité physique-chimie en Terminale

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Constitution de la matièreSeconde
2L'atome et la classification périodiqueSeconde
3Entités chimiques et transformationsSeconde
4La fonction exponentiellePremière, Mathématiques
5Dérivation et trigonométrieMathématiques
6Exponentielle et logarithmeMathématiques
7Primitives et intégrationMathématiques
8Les équations différentiellesMathématiques
9Atomes, molécules et transformations chimiquesQuatrième
10Ions, pH, acides et basesTroisième

Notions couvertes

Stabilité des noyaux
Diagramme (N,Z)
Radioactivité alpha
Radioactivité bêta
Émission gamma
Lois de conservation de Soddy
Loi de décroissance radioactive
Constante radioactive
Temps de demi-vie
Activité d'un échantillon
Datation radioactive
Radioprotection

L'essentiel

Le type de désintégration se lit sur le diagramme (N,Z)

• Un noyau $^{A}_{Z}\mathrm{X}$ compte $Z$ protons et $N=A-Z$ neutrons. Les noyaux stables forment la vallée de stabilité, près de $N=Z$ pour les noyaux légers, au-dessus pour les lourds.
• Noyau AU-DESSUS des isotopes stables de son élément (excès de neutrons) : $\beta^{-}$ , un neutron devient proton, $Z+1$ et $N-1$ .
• Noyau AU-DESSOUS (défaut de neutrons) : $\beta^{+}$ , un proton devient neutron, $Z-1$ et $N+1$ .
• Noyau lourd, au-delà du plomb : $\alpha$ , le noyau perd deux protons et deux neutrons.
• Noyau fils excité : émission $\gamma$ , qui ne change ni $A$ ni $Z$ .

Une

\beta^{-}

est un pas en diagonale vers la droite et vers le bas, une

\beta^{+}

le pas inverse, une

\alpha

deux pas vers l'origine : chaque flèche rejoint un point plein, un noyau stable.

Le sujet donne presque toujours le diagramme ou un extrait : justifier le type par la POSITION du noyau (« excès de neutrons ») rapporte le point, citer le type sans raison ne le rapporte pas.

Une loi, quatre formes

• Équation différentielle : $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N$ , solution $N(t)=N_{0}\,e^{-\lambda t}$ .
• Demi-vie : $t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ; après $n$ demi-vies il reste $\dfrac{N_{0}}{2^{n}}$ .
• Activité : $A=\lambda N$ , en becquerels, donc $\lambda$ en $\mathrm{s^{-1}}$ ; $A(t)=A_{0}\,e^{-\lambda t}$ avec la même demi-vie.
• Datation : $t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N_{0}}{N}=\dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{A_{0}}{A}$ .
• Constante de temps : $\tau=\dfrac{1}{\lambda}=1{,}44\,t_{1/2}$ , instant où il reste $37\ \%$ des noyaux.

Chaque demi-vie divise par deux ce qui RESTE :

\frac{1}{2}

, puis

\frac{1}{4}

, puis

\frac{1}{8}

, jamais zéro après deux demi-vies.

Le nombre de noyaux se calcule à partir d'une masse par $N=\dfrac{m}{M}\,N_{A}$ : c'est le pont avec la chimie que les sujets aiment poser en première question.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce que chaque désintégration fait au noyau

La dernière colonne donne l'effet sur $A$ et $Z$ : c'est elle qui permet de compléter une équation ou de compter les désintégrations d'une famille radioactive.

Type	Particule	Effet sur le noyau
$\alpha$	$^{4}_{2}\mathrm{He}$	$A-4$ , $Z-2$
Exemple : $^{210}_{84}\mathrm{Po}\rightarrow\,^{206}_{82}\mathrm{Pb}+\,^{4}_{2}\mathrm{He}$ : $210=206+4$ et $84=82+2$ .
$\beta^{-}$	$^{\;\,0}_{-1}\mathrm{e}$	$A$ , $Z+1$
Exemple : $^{60}_{27}\mathrm{Co}\rightarrow\,^{60}_{28}\mathrm{Ni}+\,^{\;\,0}_{-1}\mathrm{e}$ : $27=28-1$ .
$\beta^{+}$	$^{0}_{1}\mathrm{e}$	$A$ , $Z-1$
Exemple : $^{18}_{9}\mathrm{F}\rightarrow\,^{18}_{8}\mathrm{O}+\,^{0}_{1}\mathrm{e}$ : $9=8+1$ .
$\gamma$	photon	$A$ , $Z$ inchangés
Exemple : $^{60}_{28}\mathrm{Ni}^{*}\rightarrow\,^{60}_{28}\mathrm{Ni}+\gamma$ : le noyau passe seulement de l'état excité à l'état fondamental.
$\beta^{-}$	électron du cortège	n'existe pas règle inexistante
Exemple : Le carbone 14 donne de l'azote 14 : $Z$ passe de $6$ à $7$ , ce qu'un électron arraché au cortège ne ferait jamais. Ce qu'il faut faire : L'électron naît DANS le noyau : $^{1}_{0}\mathrm{n}\rightarrow\,^{1}_{1}\mathrm{p}+\,^{\;\,0}_{-1}\mathrm{e}$ .

Pour une famille radioactive, compter les $\alpha$ sur les nucléons d'abord ( $U$ 238 vers $Pb$ 206 : $\frac{32}{4}=8$ ), puis les $\beta^{-}$ sur la charge ( $92-16+6=82$ ).

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Mélanger les unités de la constante radioactive

toute la question, et les suivantes qui utilisent $N_{0}$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lambda=\dfrac{\ln 2}{6{,}0}=0{,}116$ , donc $N_{0}=\dfrac{A_{0}}{\lambda}=\dfrac{800\times 10^{6}}{0{,}116}=6{,}9\times 10^{9}$ noyaux. »

Ce qu'il faut écrire

« L'activité est en becquerels, donc en $\mathrm{s^{-1}}$ : $\lambda=\dfrac{\ln 2}{6{,}0\times 3600}=3{,}21\times 10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}$ et $N_{0}=2{,}49\times 10^{13}$ noyaux. »

Pourquoi : Le résultat faux a une allure plausible, ce qui empêche de le repérer : seul le réflexe « des becquerels imposent des secondes » l'évite.

2. Soustraire les demi-vies au lieu de diviser

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après une demi-vie il reste $50\ \%$ , après deux demi-vies il ne reste plus rien. »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque demi-vie divise par deux ce qui reste : après deux demi-vies il reste $\dfrac{1}{2^{2}}=25\ \%$ des noyaux. »

Pourquoi : La décroissance est exponentielle, pas linéaire : la population ne s'annule jamais, il faut dix demi-vies pour la diviser par mille.

3. Oublier la charge dans une équation nucléaire

1 point, et le noyau fils mal nommé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $^{210}_{84}\mathrm{Po}\rightarrow\,^{206}_{84}\mathrm{Po}+\,^{4}_{2}\mathrm{He}$ : les nucléons sont conservés. »

Ce qu'il faut écrire

« Nucléons : $210=206+4$ . Charge : $84=Z+2$ , donc $Z=82$ : le noyau fils est le plomb, $^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ . »

Pourquoi : Deux lois de conservation, deux égalités à écrire. Une émission $\alpha$ change l'élément : le symbole ne peut pas rester le même.

4. Prendre la constante de temps pour la demi-vie

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tau=\dfrac{1}{\lambda}=11{,}6$ jours, donc la moitié de l'iode 131 a disparu au bout de $11{,}6$ jours. »

Ce qu'il faut écrire

« La moitié disparaît en $t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=8{,}02$ jours ; à $\tau=11{,}6$ jours il ne reste que $37\ \%$ des noyaux. »

Pourquoi : Les deux durées caractérisent la même exponentielle, mais $\tau=1{,}44\,t_{1/2}$ : les confondre fausse toute lecture graphique.

5. Écrire le rapport d'une datation à l'envers

1 point, et un âge négatif qui discrédite la copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N}{N_{0}}=\dfrac{\ln(3{,}1/10)}{0{,}0563}=-20{,}8$ ans. »

Ce qu'il faut écrire

« $N=N_{0}\,e^{-\lambda t}$ donne $t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N_{0}}{N}=\dfrac{\ln(10/3{,}1)}{0{,}0563}=20{,}8$ ans. »

Pourquoi : Le rapport sous le logarithme doit être supérieur à $1$ , puisqu'il reste moins de noyaux qu'au départ : un âge négatif signale l'inversion, il ne se recopie pas.

6. Croire que la demi-vie dépend de la taille de l'échantillon

1 point sur une question de cours

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cet échantillon contient deux fois plus de noyaux, il mettra deux fois plus de temps à perdre la moitié de ses noyaux. »

Ce qu'il faut écrire

« La demi-vie est une caractéristique du noyau, $t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ : un échantillon deux fois plus gros a la même demi-vie et une activité deux fois plus grande. »

Les deux échantillons, de

1000

et de

500

noyaux, perdent la moitié de leurs noyaux au même instant,

t=5

ans : la demi-vie ne regarde pas

N_{0}

Pourquoi : Chaque noyau a la même probabilité $\lambda$ de se désintégrer par seconde, sans mémoire ni influence des voisins : la proportion perdue par seconde est la même quel que soit $N$ .

7. Diviser par deux quand la distance double

1 point dans une question de radioprotection

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En me plaçant deux fois plus loin de la source, je reçois deux fois moins de rayonnement. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour une source ponctuelle, le rayonnement se répartit sur une sphère de surface $4\pi d^{2}$ : deux fois plus loin, quatre fois moins. »

Pourquoi : La loi est en carré de la distance, et c'est ce qui fait de l'éloignement le geste de protection le plus efficace.

8. Choisir une horloge sans regarder sa demi-vie

1 point sur la question de choix de la méthode

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On date au carbone 14 une eau infiltrée il y a une vingtaine d'années. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $21$ ans le carbone 14 ne perd que $0{,}25\ \%$ de ses noyaux, variation indosable : on choisit le tritium, de demi-vie $12{,}3$ ans, comparable à l'âge cherché. »

Pourquoi : Une méthode ne date bien que des âges de l'ordre de quelques demi-vies : trop court, l'horloge n'a pas bougé ; trop long, il ne reste plus rien à mesurer.

Quelle méthode choisir

Quelle relation selon ce que donne l'énoncé

On regarde la durée donnée et la grandeur cherchée, avant tout calcul.

Si la durée est un multiple ENTIER de la demi-vie → diviser par $2^{n}$ , sans calculatrice

Exemple : $24$ h pour $t_{1/2}=6$ h : $800\ \mathrm{MBq}\rightarrow\dfrac{800}{16}=50\ \mathrm{MBq}$
Si la durée est quelconque, on cherche $N$ ou $A$ → $N=N_{0}\,e^{-\lambda t}$ avec $\lambda$ et $t$ dans la même unité

Exemple : $30$ jours d'iode 131 : $e^{-0{,}0864\times 30}=7{,}5\ \%$
Si on cherche une DURÉE ou un âge → isoler l'exponentielle puis prendre le logarithme : $t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N_{0}}{N}$

Exemple : passer sous $1\ \%$ : $t=\dfrac{\ln 100}{\lambda}\approx 6{,}6\,t_{1/2}$
Si l'énoncé mêle activité et nombre de noyaux → $A=\lambda N$ avec $\lambda$ en $\mathrm{s^{-1}}$

Exemple : $3{,}7\ \mathrm{GBq}$ d'iode 131 : $N=\dfrac{3{,}7\times 10^{9}}{1{,}00\times 10^{-6}}=3{,}70\times 10^{15}$
Si l'énoncé donne une masse → $N=\dfrac{m}{M}\,N_{A}$ , puis l'une des relations précédentes

Exemple : $1{,}0$ kg de plutonium 238 : $N=\dfrac{1000}{238}\times 6{,}022\times 10^{23}=2{,}53\times 10^{24}$
Si l'énoncé donne un tableau de mesures → tracer $\ln A$ en fonction de $t$ : droite de pente $-\lambda$

Exemple : de $\ln 480=6{,}17$ à $\ln 81=4{,}39$ en $180$ s : $\lambda=9{,}9\times 10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}$

un alignement vérifie la loi, une pente la mesure

Si aucune branche ne s'applique, revenir à l'équation différentielle $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N$ : toutes les relations en découlent.

Quel type de désintégration selon le noyau

On situe le noyau par rapport aux isotopes STABLES de son élément, sur le diagramme ou dans une liste.

Si plus de neutrons que les isotopes stables → $\beta^{-}$ : $Z+1$ , $A$ inchangé

Exemple : carbone 14 ( $N=8$ ) contre $^{12}\mathrm{C}$ et $^{13}\mathrm{C}$ stables
Si moins de neutrons que les isotopes stables → $\beta^{+}$ : $Z-1$ , $A$ inchangé

Exemple : azote 13 ( $N=6$ ) contre $^{14}\mathrm{N}$ et $^{15}\mathrm{N}$
Si noyau lourd, $Z$ au-delà de $82$ → $\alpha$ le plus souvent : $A-4$ , $Z-2$

Exemple : radium 226 vers radon 222
Si l'énoncé parle d'un noyau fils excité, noté avec une étoile → $\gamma$ : rien ne change sauf l'énergie du noyau

Exemple : $^{60}\mathrm{Ni}^{*}$ émet deux photons après la $\beta^{-}$ du cobalt 60

Le type réel se lit toujours dans les données du sujet quand elles sont fournies : l'arbre sert à justifier, pas à contredire l'énoncé.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Établir la loi de décroissance

Quand l'utiliser : « Établir l'équation différentielle vérifiée par $N(t)$ », en première question d'un exercice sur la radioactivité.

1 Poser l'hypothèse de l'énoncé : « pendant $\Delta t$ très court, le nombre de désintégrations est $-\Delta N=\lambda N\,\Delta t$ ».
2 Diviser par $\Delta t$ et passer à la limite : « $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N$ ».
3 Reconnaître la forme $y'=ay$ avec $a=-\lambda$ et écrire la solution générale $N(t)=K\,e^{-\lambda t}$ .
4 Utiliser la condition initiale $N(0)=N_{0}$ pour obtenir $K=N_{0}$ .
5 En déduire la demi-vie en posant $N(t_{1/2})=\dfrac{N_{0}}{2}$ .

Phrase de conclusion

« Les solutions de $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N$ sont de la forme $N(t)=K\,e^{-\lambda t}$ ; avec $N(0)=N_{0}$ , on obtient $N(t)=N_{0}\,e^{-\lambda t}$ , et $e^{-\lambda t_{1/2}}=\frac{1}{2}$ donne $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$ . »

Le piège : Écrire directement la solution sans passer par la condition initiale : la constante $K$ n'est pas « évidemment » $N_{0}$ , c'est $N(0)$ qui la fixe.

Barème : 1 point pour l'équation différentielle, 1 point pour la solution avec sa condition initiale, 0,5 point pour la demi-vie.

Rédiger une datation

Quand l'utiliser : « Déterminer l'âge de l'échantillon » à partir d'un rapport de noyaux ou d'activités.

1 Écrire la loi avec les grandeurs de l'énoncé : « $A=A_{0}\,e^{-\lambda t}$ ».
2 Isoler l'exponentielle puis le temps : « $t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_{0}}{A}$ ».
3 Calculer $\lambda$ dans l'unité de temps voulue pour le résultat, en général les années.
4 Faire l'application numérique et donner l'âge avec un nombre raisonnable de chiffres significatifs.
5 Contrôler par un encadrement en demi-vies entières.

Phrase de conclusion

« D'après la loi de décroissance, $t=\frac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\frac{A_{0}}{A}$ ; l'âge est compris entre une et deux demi-vies puisque $\frac{A_{0}}{4}<A<\frac{A_{0}}{2}$ , ce qui est cohérent. »

Le piège : Oublier de justifier l'hypothèse de la méthode (teneur initiale connue, système fermé depuis la mort ou la solidification) quand le sujet la demande.

Barème : 1 point pour l'expression littérale de $t$ , 1 point pour l'application numérique, 0,5 point pour la cohérence.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'encadrement en demi-vies

Situez le rapport $\frac{N}{N_{0}}$ entre deux puissances de $\frac{1}{2}$ : l'âge ou la durée doit tomber entre les demi-vies entières correspondantes.

Il reste $30\ \%$ : entre $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{2}$ , donc entre une et deux demi-vies. Un résultat de $3{,}4$ demi-vies trahit une erreur.
Le signe de l'âge

Un âge, une durée, une constante radioactive sont positifs. Un logarithme négatif dit que le rapport a été écrit à l'envers.

$\ln\frac{3{,}1}{10}=-1{,}17$ : c'est $\ln\frac{10}{3{,}1}$ qu'il fallait écrire.
Les unités de lambda

Des becquerels exigent des $\mathrm{s^{-1}}$ ; une durée en années exige des $\mathrm{an^{-1}}$ . Relisez l'unité écrite à côté de chaque $\lambda$ .

Un nombre de noyaux de $10^{9}$ pour une source de plusieurs centaines de mégabecquerels est suspect : le bon ordre est plutôt $10^{13}$ .
Les deux conservations

Sous chaque équation nucléaire, écrivez les deux sommes, celle des $A$ en haut et celle des $Z$ en bas, et vérifiez que le symbole correspond au $Z$ trouvé.

$^{60}_{27}\mathrm{Co}\rightarrow\,^{60}_{26}\mathrm{Fe}+\,^{\;\,0}_{-1}\mathrm{e}$ donne $27\neq 26-1$ : la charge de l'électron a été comptée dans le mauvais sens.

L'exercice type décortiqué

Dater la source de césium 137 d'un laboratoire

Une source de césium 137 affichait une activité de $37\ \mathrm{kBq}$ à sa fabrication ; on mesure aujourd'hui $25\ \mathrm{kBq}$ . Données : $t_{1/2}=30{,}1$ ans ; $1\ \mathrm{an}=3{,}156\times 10^{7}\ \mathrm{s}$ ; $M=137\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ; $N_{A}=6{,}02\times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ .

1. Calculer la constante radioactive en $\mathrm{s^{-1}}$ . 2. En déduire le nombre de noyaux de césium 137 présents aujourd'hui. 3. Calculer leur masse. 4. Déterminer l'âge de la source. 5. Contrôler ce résultat.

Étape 1

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{30{,}1\times 3{,}156\times 10^{7}}=7{,}30\times 10^{-10}\ \mathrm{s^{-1}}$ .

Pourquoi

La question suivante utilise une activité en becquerels : c'est elle qui impose la seconde. Convertir la demi-vie AVANT de calculer évite de traîner deux valeurs de $\lambda$ .

Étape 2

$N=\dfrac{A}{\lambda}=\dfrac{2{,}5\times 10^{4}}{7{,}30\times 10^{-10}}=3{,}43\times 10^{13}$ noyaux.

Pourquoi

On prend l'activité ACTUELLE, puisque la question porte sur les noyaux présents aujourd'hui : $A=\lambda N$ relie deux grandeurs au même instant.

Étape 3

$m=\dfrac{N}{N_{A}}\,M=\dfrac{3{,}43\times 10^{13}}{6{,}02\times 10^{23}}\times 137=7{,}8\times 10^{-9}\ \mathrm{g}$ .

Pourquoi

Le passage par la quantité de matière est le seul pont entre le nombre de noyaux et la masse. L'ordre de grandeur, quelques nanogrammes, montre qu'une source détectable ne pèse presque rien.

Étape 4

$A=A_{0}\,e^{-\lambda t}$ donne $t=\dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{A_{0}}{A}=\dfrac{30{,}1}{0{,}693}\ln\dfrac{37}{25}=43{,}4\times 0{,}392=17$ ans.

Pourquoi

Pour un âge, on garde la demi-vie en années : le rapport $\frac{A_{0}}{A}$ est sans unité, et c'est $t_{1/2}$ qui fixe l'unité du résultat. Aucune conversion n'est nécessaire.

Étape 5

Contrôle : $\dfrac{A_{0}}{2}=18{,}5\ \mathrm{kBq}<25\ \mathrm{kBq}<37\ \mathrm{kBq}$ , donc l'âge est inférieur à une demi-vie, $30$ ans. $17$ ans est cohérent.

Pourquoi

L'encadrement en demi-vies entières se fait sans calculatrice et attrape les rapports inversés comme les unités mélangées.

Conclusion rédigée

La source a environ $17$ ans ; elle contient encore $3{,}4\times 10^{13}$ noyaux de césium 137, soit $7{,}8$ nanogrammes.

L'erreur classique sur cet exercice : Utiliser $\lambda$ en $\mathrm{s^{-1}}$ à l'étape 4 avec une durée attendue en années : on trouve $5{,}4\times 10^{8}$ , un nombre de secondes présenté comme un nombre d'années.

À savoir par cœur

• Deux conservations dans toute réaction nucléaire : le nombre de nucléons $A$ ET la charge $Z$ .
• $\alpha$ : $A-4$ , $Z-2$ . $\beta^{-}$ : $Z+1$ . $\beta^{+}$ : $Z-1$ . $\gamma$ : rien ne change.
• $N(t)=N_{0}\,e^{-\lambda t}$ et $A=\lambda N$ , avec $\lambda$ en $\mathrm{s^{-1}}$ dès qu'il y a des becquerels.
• $t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ : la demi-vie ne dépend NI de $N_{0}$ , NI de l'âge, NI de la température.
• Après $n$ demi-vies il reste $\dfrac{1}{2^{n}}$ ; dix demi-vies divisent par mille.
• Âge : $t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{N_{0}}{N}$ , rapport toujours supérieur à $1$ .
• Radioprotection : distance (en $\frac{1}{d^{2}}$ ), durée, écran (papier, aluminium, plomb).

Questions fréquentes

Comment savoir si un noyau se désintègre en bêta moins ou en bêta plus ?

On le compare aux isotopes stables du même élément. S'il a plus de neutrons qu'eux, il est en excès de neutrons et subit une désintégration bêta moins : un neutron devient proton. S'il en a moins, il subit une désintégration bêta plus : un proton devient neutron. Sur le diagramme N en fonction de Z, le premier est au-dessus de la vallée de stabilité, le second au-dessous.

Pourquoi la demi-vie ne dépend-elle pas du nombre de noyaux ?

Parce que chaque noyau a la même probabilité de se désintégrer par seconde, sans mémoire et sans influence de ses voisins. La proportion de noyaux perdue par seconde est donc la même quel que soit leur nombre, et la durée nécessaire pour en perdre la moitié aussi. Un échantillon plus gros a seulement une activité plus grande.

Dans quelle unité faut-il mettre la constante radioactive ?

Dans l'inverse de l'unité de temps utilisée avec elle. Dès que l'énoncé parle d'activité en becquerels, qui sont des désintégrations par seconde, la constante doit être en secondes moins un. Pour un âge en années, on peut la garder en années moins un. On ne mélange jamais les deux dans un même calcul.

Comment dater un échantillon avec la loi de décroissance ?

On écrit que le nombre de noyaux, ou l'activité, vaut sa valeur initiale multipliée par exponentielle de moins lambda t, on isole l'exponentielle et on prend le logarithme : l'âge vaut un sur lambda fois le logarithme du rapport entre la valeur initiale et la valeur mesurée. On contrôle en situant ce rapport entre deux puissances de deux.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La décroissance radioactive : demi-vie, activité et datation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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