Bac 2026 de spécialité maths, Métropole septembre jour 1 : sujet officiel et corrigé

A.1. On traduit d'abord les données en probabilités, en repérant pour chaque pourcentage la population à laquelle il se rapporte. « $60\,\%$ des livreurs sont expérimentés » porte sur toutes les livraisons : $P(E)=0{,}6$, donc $P(\overline{E})=0{,}4$. « Lorsque le livreur est expérimenté, le délai est respecté pour $95\,\%$ des colis » est une probabilité CONDITIONNELLE : $P_{E}(R)=0{,}95$, donc $P_{E}(\overline{R})=0{,}05$. De même $P_{\overline{E}}(R)=0{,}75$ et $P_{\overline{E}}(\overline{R})=0{,}25$. L'arbre pondéré complet figure en fin de corrigé.

Formule des probabilités composées, lue sur le chemin $E$ puis $R$ : $P(E\cap R)=P(E)\times P_{E}(R)=0{,}6\times 0{,}95=0{,}57$. C'est une valeur exacte ; arrondie à $10^{-1}$ comme le demande l'énoncé, elle vaut $0{,}6$, mais garder $0{,}57$ pour la suite évite d'accumuler des erreurs d'arrondi.

Erreur fréquente : répondre $0{,}95$. C'est la probabilité que le délai soit respecté SACHANT que le livreur est expérimenté, pas celle de « livreur expérimenté ET délai respecté ».

A.2. Les évènements $E$ et $\overline{E}$ forment une partition de l'univers : on applique la formule des probabilités totales. $P(R)=P(E\cap R)+P(\overline{E}\cap R)=0{,}57+P(\overline{E})\times P_{\overline{E}}(R)=0{,}57+0{,}4\times 0{,}75=0{,}57+0{,}3=0{,}87$.

Interprétation : $87\,\%$ des livraisons de l'entreprise, tous livreurs confondus, respectent le délai. Contrôle de cohérence : ce taux global est une moyenne pondérée des deux taux, $0{,}6\times 95\,\%+0{,}4\times 75\,\%$, donc il est bien compris entre $75\,\%$ et $95\,\%$, plus près de $95\,\%$ puisque les livreurs expérimentés sont majoritaires.

A.3. On sait que le délai a été respecté : on cherche la probabilité conditionnée par $R$, soit $P_{R}(E)$. L'arbre part de $E$ et la question part de $R$ : on « retourne » l'arbre en revenant à la définition d'une probabilité conditionnelle. $P_{R}(E)=\dfrac{P(E\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}57}{0{,}87}=\dfrac{19}{29}\approx 0{,}655$, soit $0{,}7$ à $10^{-1}$ près.

Un colis livré dans les délais l'a donc été par un livreur expérimenté avec une probabilité d'environ $0{,}66$ (arrondie à $0{,}7$). Cohérence : c'est un peu plus que $P(E)=0{,}6$, ce qui est logique, puisque savoir que le délai a été respecté rend plus probable la présence d'un livreur expérimenté.

Piège : confondre $P_{R}(E)\approx 0{,}66$ et $P_{E}(R)=0{,}95$. Le dénominateur est toujours la probabilité de l'évènement CONNU, ici $R$.

B.1. On reconnaît un schéma de Bernoulli. Chaque livraison de l'échantillon est une épreuve à deux issues : succès « le délai est respecté », de probabilité $p=0{,}95$ (la livraison est faite par un livreur expérimenté), et échec, de probabilité $0{,}05$. Le choix étant assimilé à des tirages avec remise, les $200$ épreuves sont identiques et indépendantes. La variable $X$ compte le nombre de succès : elle suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0{,}95$, notée $\mathcal{B}(200\,;0{,}95)$.

Erreur fréquente : prendre $p=0{,}87$, la probabilité de la partie A. L'échantillon de la partie B est tiré parmi les livraisons des livreurs EXPÉRIMENTÉS seulement, et l'énoncé le rappelle : $p=0{,}95$. Les quatre mots attendus par le correcteur sont « identiques », « indépendantes », « deux issues » et les paramètres.

B.2. L'évènement « tous les colis ont été livrés en respectant les délais » est l'évènement $\{X=200\}$. Par la formule de la loi binomiale, $P(X=200)=\binom{200}{200}\times 0{,}95^{200}\times 0{,}05^{0}=0{,}95^{200}\approx 3{,}5\times 10^{-5}$.

Cette probabilité est strictement positive : l'évènement n'est donc PAS impossible, il est seulement très peu probable (environ $3{,}5$ chances sur cent mille). Un évènement impossible a une probabilité nulle, et une puissance d'un réel strictement positif ne s'annule jamais.

Le piège vient de la consigne d'arrondi : à $10^{-1}$ près, $P(X=200)$ s'affiche $0{,}0$, et la calculatrice peut afficher une écriture scientifique qu'on lit mal. Un arrondi nul ne prouve pas qu'une probabilité est nulle ; c'est l'expression exacte $0{,}95^{200}>0$ qui tranche.

B.3. On passe par l'évènement contraire, puisque la calculatrice donne les probabilités cumulées $P(X\leqslant k)$ : $P(X\geqslant 190)=1-P(X\leqslant 189)\approx 1-0{,}417=0{,}583$, soit $0{,}6$ à $10^{-1}$ près.

Interprétation : dans un échantillon de $200$ livraisons effectuées par des livreurs expérimentés, la probabilité qu'au moins $190$ colis, soit au moins $95\,\%$, soient livrés dans les délais est d'environ $0{,}6$. Cohérence : l'espérance vaut $E(X)=200\times 0{,}95=190$, donc on demande la probabilité d'être au-dessus de la moyenne, et il est logique de trouver une valeur un peu supérieure à $0{,}5$ (la valeur $190$ elle-même est comptée).

Erreur fréquente : calculer $1-P(X\leqslant 190)\approx 0{,}455$, qui est $P(X\geqslant 191)$ : l'inégalité large compte la valeur $190$.

C.1. Pour une variable de loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$, l'espérance vaut $np$ et la variance $np(1-p)$. Pour $X_{A}\sim\mathcal{B}(120\,;0{,}85)$ : $E(X_{A})=120\times 0{,}85=102$ et $V(X_{A})=120\times 0{,}85\times 0{,}15=15{,}3$. Pour $X_{B}\sim\mathcal{B}(80\,;0{,}90)$ : $E(X_{B})=80\times 0{,}9=72$ et $V(X_{B})=80\times 0{,}9\times 0{,}1=7{,}2$.

Erreur fréquente : oublier le facteur $(1-p)$ et écrire $V(X_{A})=np^{2}$ ou $np$. Rappel utile : la variance d'une loi binomiale est toujours inférieure à son espérance, puisque $1-p<1$ ; ici $15{,}3<102$ et $7{,}2<72$.

C.2. Par linéarité de l'espérance, valable SANS aucune hypothèse sur les variables : $E(S)=E(X_{A})+E(X_{B})=102+72=174$. En moyenne, $174$ des $200$ colis observés sont livrés dans les délais.

C.3. La variance d'une somme n'est égale à la somme des variances que si les variables sont INDÉPENDANTES. Si $X_{A}$ et $X_{B}$ sont indépendantes, $V(S)=V(X_{A})+V(X_{B})=15{,}3+7{,}2=22{,}5$. C'est ce qu'affirme le contexte : les livraisons d'une zone n'ont aucune incidence sur celles de l'autre, ce qui justifie de modéliser $X_{A}$ et $X_{B}$ comme indépendantes.

Piège de la question : répondre « $S$ suit une loi binomiale » ou « les variables ont la même loi ». $S$ n'est même pas binomiale, les deux zones n'ayant pas la même probabilité de succès, et $X_{A}$, $X_{B}$ n'ont pas la même loi. La seule condition en jeu est l'indépendance.

C.4. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à $S$ d'espérance $174$ et de variance $22{,}5$, affirme que pour tout réel $\delta>0$ : $P\left(\left|S-174\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(S)}{\delta^{2}}$.

L'intervalle $[165\,;183]$ est centré en $E(S)=174$ : $165=174-9$ et $183=174+9$. Donc $S\in[165\,;183]\iff\left|S-174\right|\leqslant 9$. Comme $S$ ne prend que des valeurs ENTIÈRES, $\left|S-174\right|\leqslant 9\iff\left|S-174\right|<10$, et l'évènement contraire est $\left|S-174\right|\geqslant 10$. On applique l'inégalité avec $\delta=10$ : $P\left(\left|S-174\right|\geqslant 10\right)\leqslant\dfrac{22{,}5}{100}=0{,}225$.

En passant à l'évènement contraire, ce qui renverse le sens de l'inégalité : $P(S\in[165\,;183])=1-P\left(\left|S-174\right|\geqslant 10\right)\geqslant 1-0{,}225=0{,}775$.

Arrondi : l'énoncé demande des résultats à $10^{-1}$ près, mais un MINORANT ne s'arrondit que par défaut, sinon il cesse d'être un minorant. On retient $P(S\in[165\,;183])\geqslant 0{,}775\geqslant 0{,}7$. Écrire « $\geqslant 0{,}8$ » serait faux : l'inégalité ne garantit pas $0{,}8$.

Variante acceptée : avec $\delta=9$, on obtient $P\left(\left|S-174\right|\geqslant 9\right)\leqslant\dfrac{22{,}5}{81}\approx 0{,}278$, donc $P\left(\left|S-174\right|<9\right)\geqslant 0{,}722$ ; or $\left|S-174\right|<9$ correspond à $S\in[166\,;182]$, inclus dans $[165\,;183]$, donc $P(S\in[165\,;183])\geqslant 0{,}722$. Le minorant est moins bon, mais l'arrondi par défaut à $10^{-1}$ donne le même $0{,}7$. L'erreur à éviter est de conclure directement sur $[165\,;183]$ avec $\delta=9$ sans remarquer que les bornes $165$ et $183$ sont exclues de $\left|S-174\right|<9$.

Interprétation : sur les $200$ livraisons observées, la probabilité que le nombre total de colis livrés dans les délais soit compris entre $165$ et $183$ est d'au moins $0{,}775$, donc d'au moins $0{,}7$. Ce n'est qu'une minoration, souvent grossière : la probabilité réelle est nettement plus grande.

A.1. Dérivée d'un quotient $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=2x$, $u'(x)=2$, $v(x)=x+3$, $v'(x)=1$ ; $v$ ne s'annule pas sur $]-3\,;+\infty[$ puisque $x+3>0$. Alors $f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}=\dfrac{2(x+3)-2x\times 1}{(x+3)^{2}}=\dfrac{2x+6-2x}{(x+3)^{2}}=\dfrac{6}{(x+3)^{2}}$.

Sur $]-3\,;+\infty[$, le numérateur $6$ est strictement positif et le dénominateur $(x+3)^{2}$ aussi : $f'(x)>0$, donc $f$ est (strictement) croissante sur $]-3\,;+\infty[$. Erreur fréquente : écrire $uv'-u'v$ au numérateur, ce qui donne $-\dfrac{6}{(x+3)^{2}}$ et une fonction décroissante, en contradiction avec la consigne.

A.2. Raisonnement par récurrence. Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant 1$ ».

Initialisation : $u_{0}=1$ et $u_{1}=f(1)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$. On a bien $0\leqslant\dfrac{1}{2}\leqslant 1\leqslant 1$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c'est-à-dire $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant 1$. Ces quatre nombres sont dans $]-3\,;+\infty[$, où $f$ est croissante : appliquer $f$ conserve donc l'ordre, et $f(0)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_{n})\leqslant f(1)$. Or $f(0)=0$, $f(u_{n+1})=u_{n+2}$, $f(u_{n})=u_{n+1}$ et $f(1)=\dfrac{1}{2}\leqslant 1$. On obtient $0\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : $\mathcal{P}(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant 1$.

Le cœur de l'hérédité est la croissance de $f$, démontrée en A.1 : c'est elle, et elle seule, qui autorise à « appliquer $f$ » à une chaîne d'inégalités sans en changer le sens. Il faut la citer, et vérifier que les nombres sont dans l'intervalle où elle vaut. Erreur fréquente : écrire $f(1)=1$, alors que $f(1)=\dfrac{1}{2}$ ; la conclusion reste vraie, mais le calcul est faux.

A.3. D'après A.2, pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$ : la suite $(u_{n})$ est décroissante. Toujours d'après A.2, $u_{n}\geqslant 0$ pour tout $n$ ($u_{0}=1\geqslant 0$ et $u_{n+1}\geqslant 0$) : elle est minorée par $0$. Par le théorème de convergence monotone, une suite décroissante et minorée converge : $(u_{n})$ est convergente.

Piège : le théorème donne l'EXISTENCE d'une limite $\ell\geqslant 0$, pas sa valeur. Écrire « elle converge vers $0$ » à ce stade est une affirmation non démontrée ; la valeur de la limite est l'objet de la partie B.

B.1. Comme $u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}}{u_{n}+3}$ et que $u_{n+1}\neq 0$, on inverse : $v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{u_{n}+3}{2u_{n}}$. On sépare la fraction : $\dfrac{u_{n}+3}{2u_{n}}=\dfrac{u_{n}}{2u_{n}}+\dfrac{3}{2u_{n}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{u_{n}}=\dfrac{3}{2}v_{n}+\dfrac{1}{2}$.

Contrôle numérique : $v_{0}=1$ et $v_{1}=\dfrac{1}{u_{1}}=2$ ; la formule donne $\dfrac{3}{2}\times 1+\dfrac{1}{2}=2$. Erreur fréquente : écrire $\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{f(u_{n})}=\dfrac{1}{2u_{n}}+\dfrac{1}{3}$, en « inversant » terme à terme, ce qui est faux : on inverse une fraction entière, jamais une somme morceau par morceau.

B.2. Pour montrer qu'une suite est géométrique, on exprime $w_{n+1}$ en fonction de $w_{n}$. Pour tout $n$ : $w_{n+1}=v_{n+1}+1=\dfrac{3}{2}v_{n}+\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}v_{n}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(v_{n}+1\right)=\dfrac{3}{2}w_{n}$.

La suite $(w_{n})$ est donc géométrique de raison $q=\dfrac{3}{2}$, et de premier terme $w_{0}=v_{0}+1=\dfrac{1}{u_{0}}+1=1+1=2$. Les deux paramètres sont demandés : oublier le premier terme coûte une partie des points.

B.3. Terme général d'une suite géométrique : pour tout $n$, $w_{n}=w_{0}\times q^{n}=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}$. On remonte les définitions : $v_{n}=w_{n}-1=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1$, puis, comme $u_{n}\neq 0$ et $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}$, $u_{n}=\dfrac{1}{v_{n}}=\dfrac{1}{2\left(\frac{3}{2}\right)^{n}-1}$.

Vérification sur les premiers termes : $n=0$ donne $\dfrac{1}{2-1}=1=u_{0}$ ; $n=1$ donne $\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}=u_{1}$ ; $n=2$ donne $\dfrac{1}{4{,}5-1}=\dfrac{2}{7}$, et en effet $u_{2}=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{3{,}5}=\dfrac{2}{7}$.

B.4. Limite d'une suite géométrique : comme $\dfrac{3}{2}>1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}=+\infty$. Par produit et somme, $2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1\to+\infty$, et par quotient, $u_{n}=\dfrac{1}{2\left(\frac{3}{2}\right)^{n}-1}\to 0$. La suite $(u_{n})$ converge vers $0$.

Vérification avec la partie A : la fonction $f$ étant continue, la limite $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$, soit $\ell(\ell+3)=2\ell$, c'est-à-dire $\ell(\ell+1)=0$ : $\ell=0$ ou $\ell=-1$. Comme tous les termes sont positifs, $\ell\geqslant 0$, donc $\ell=0$, ce qui confirme le résultat.

B.5.a. La fonction part de $n=0$ et $u=u_{0}=1$, puis calcule les termes un par un. Ligne 4 : la boucle continue TANT QUE le seuil n'est pas atteint, c'est-à-dire tant que $u>10^{-3}$ : while u > 10**(-3):. Ligne 6 : terme suivant, $u_{n+1}=f(u_{n})$ : u = 2*u/(u + 3). Ligne 7 : on renvoie le rang, return n. Le script complété figure en fin de corrigé.

Remarque : à la ligne 6, u = 1/(2*(3/2)**n - 1) est aussi correct, puisque $n$ vient d'être augmenté de $1$ à la ligne 5 et que la formule de B.3 donne directement $u_{n}$. La boucle s'arrête bien, puisque $(u_{n})$ tend vers $0$ d'après B.4.

Piège : écrire la condition d'ARRÊT dans le while, while u <= 10**(-3):, au lieu de la condition de POURSUITE. Avec $u_{0}=1$, la boucle ne tournerait jamais et la fonction renverrait $0$.

B.5.b. On résout l'inéquation, la suite étant décroissante. $u_{n}\leqslant 10^{-3}\iff 2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}-1\geqslant 1\,000$ (les deux membres sont positifs, et la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$) $\iff\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\geqslant 500{,}5\iff n\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)\geqslant\ln(500{,}5)$, par croissance de la fonction $\ln$.

Comme $\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)>0$, on divise sans changer le sens : $n\geqslant\dfrac{\ln(500{,}5)}{\ln(1{,}5)}\approx 15{,}33$. Le plus petit entier qui convient est $n=16$ : la fonction seuil() renvoie $16$.

Vérification : $u_{15}=\dfrac{1}{2\times 1{,}5^{15}-1}\approx 1{,}14\times 10^{-3}>10^{-3}$ et $u_{16}\approx 7{,}6\times 10^{-4}\leqslant 10^{-3}$. Erreur fréquente : diviser par $\ln(1{,}5)$ en croyant ce nombre négatif, ou arrondir $15{,}33$ à $15$ au lieu de prendre l'entier SUPÉRIEUR.

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while u > 10**(-3):
        n = n + 1
        u = 2*u/(u + 3)
    return n

1. Méthode : trois vecteurs forment une base de l'espace si et seulement s'ils ne sont pas coplanaires. On vérifie d'abord que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de $\vec{v}$ est nulle et pas celle de $\vec{u}$, alors que la deuxième de $\vec{u}$ est nulle et pas celle de $\vec{v}$ ; aucun réel $k$ ne vérifie $\vec{v}=k\vec{u}$.

On cherche ensuite s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$, c'est-à-dire $\begin{cases}2=a\\1=b\\0=2a+3b\end{cases}$. Les deux premières équations imposent $a=2$ et $b=1$ ; la troisième devient $0=2\times 2+3\times 1=7$, ce qui est faux. Le système n'a pas de solution : $\vec{w}$ n'est pas une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires et forment une base de l'espace. L'affirmation 1 est VRAIE.

Piège : vérifier seulement que les vecteurs sont deux à deux non colinéaires. Trois vecteurs deux à deux non colinéaires peuvent très bien être coplanaires ; c'est la non-coplanarité qu'il faut établir.

2. Méthode : une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs NON COLINÉAIRES de ce plan. On calcule $\overrightarrow{\mathrm{CD}}\begin{pmatrix}0-0\\4-1\\-1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\-3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}$. Les points A, B et C n'étant pas alignés, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ne sont pas colinéaires et dirigent le plan $(\mathrm{ABC})$.

Produits scalaires dans un repère orthonormé : $\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\times 1+3\times(-2)+(-3)\times(-2)=0-6+6=0$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0\times(-1)+3\times(-1)+(-3)\times(-1)=0-3+3=0$. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(\mathrm{ABC})$ : la droite $(\mathrm{CD})$ est orthogonale au plan $(\mathrm{ABC})$. L'affirmation 2 est VRAIE.

Erreur fréquente : s'arrêter après un seul produit scalaire nul. Être orthogonal à UNE droite du plan ne suffit pas, il en faut deux sécantes, donc deux vecteurs non colinéaires. Et le repère doit être orthonormé pour calculer le produit scalaire par les coordonnées, ce que l'énoncé garantit.

3. Méthode : on cherche l'équation cartésienne de $P_{1}$, puis on y substitue la représentation paramétrique de $d$. Un plan de vecteur normal $\vec{n}(1\,;-2\,;3)$ a une équation de la forme $x-2y+3z+c=0$. Il passe par $\mathrm{E}(1\,;1\,;-1)$ : $1-2-3+c=0$, donc $c=4$, et $P_{1}$ : $x-2y+3z+4=0$.

Un point de $d$ de paramètre $t$ appartient à $P_{1}$ si et seulement si $2t-2(-2+4t)+3(-2+t)+4=0$, soit $2t+4-8t-6+3t+4=0$, soit $-3t+2=0$, donc $t=\dfrac{2}{3}$. Le point d'intersection a pour coordonnées $x=\dfrac{4}{3}$, $y=-2+\dfrac{8}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $z=-2+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}$. Contrôle : $\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3}-4+4=0$.

L'intersection est le point $\left(\dfrac{4}{3}\,;\dfrac{2}{3}\,;-\dfrac{4}{3}\right)$, et non $\mathrm{M}(2\,;2\,;-1)$. L'affirmation 3 est FAUSSE.