Bac 2026 de spécialité maths, Métropole septembre jour 2 : sujet officiel et corrigé

A.1.a. On reconnaît un schéma de Bernoulli. Chaque lancer est une épreuve à deux issues : succès « le lancer est réussi », de probabilité $p=0{,}6$, et échec, de probabilité $0{,}4$. L'énoncé modélise la situation par une succession d'épreuves INDÉPENDANTES, et les $5$ lancers se déroulent dans les mêmes conditions, donc les épreuves sont identiques. La variable $X$ compte le nombre de succès sur $5$ épreuves : elle suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}6$, notée $\mathcal{B}(5\,;0{,}6)$.

Les trois éléments attendus : deux issues, épreuves identiques et indépendantes, $X$ compte les succès. Les paramètres seuls, sans cette justification, ne rapportent pas tous les points.

A.1.b. « Au moins quatre lancers réussis » s'écrit $X\geqslant 4$, soit $X=4$ ou $X=5$. Par la formule de la loi binomiale, $P(X=k)=\binom{5}{k}0{,}6^{k}0{,}4^{5-k}$ : $P(X=4)=\binom{5}{4}\times 0{,}6^{4}\times 0{,}4=5\times 0{,}129\,6\times 0{,}4=0{,}259\,2$ et $P(X=5)=0{,}6^{5}=0{,}077\,76$.

Donc $P(X\geqslant 4)=0{,}259\,2+0{,}077\,76=0{,}336\,96\approx 0{,}34$. À la calculatrice, on obtient aussi $1-P(X\leqslant 3)\approx 1-0{,}663=0{,}337$.

Interprétation : sur une série de cinq lancers francs, la joueuse a environ $34\,\%$ de chances d'en réussir au moins quatre. Erreur fréquente : calculer $1-P(X\leqslant 4)$, qui est $P(X=5)$ seulement ; l'inégalité large « au moins 4 » compte la valeur $4$.

A.2.a. L'évènement contraire de « au moins un lancer réussi », $Y\geqslant 1$, est « aucun lancer réussi », $Y=0$. Donc $P(Y\geqslant 1)=1-P(Y=0)=1-\binom{n}{0}\times 0{,}6^{0}\times 0{,}4^{n}=1-0{,}4^{n}$.

Le passage par l'évènement contraire est la méthode de toute question « au moins un » : calculer directement $P(Y=1)+P(Y=2)+\cdots+P(Y=n)$ serait interminable. Contrôle : pour $n=1$, on retrouve $1-0{,}4=0{,}6$, la probabilité de réussir un lancer.

A.2.b. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1-0{,}4^{n}>0{,}999\,9$, c'est-à-dire $0{,}4^{n}<0{,}000\,1=10^{-4}$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, cette inégalité équivaut à $\ln(0{,}4^{n})<\ln(10^{-4})$, soit $n\ln(0{,}4)<\ln(10^{-4})$.

Comme $0{,}4<1$, $\ln(0{,}4)<0$ : en divisant par ce nombre négatif, on CHANGE le sens de l'inégalité. On obtient $n>\dfrac{\ln(10^{-4})}{\ln(0{,}4)}\approx 10{,}05$. Le plus petit entier qui convient est $n=11$ : c'est à partir de $11$ lancers que la probabilité d'en réussir au moins un dépasse $0{,}999\,9$.

Vérification : $0{,}4^{10}\approx 1{,}05\times 10^{-4}>10^{-4}$, donc pour $n=10$ la probabilité vaut environ $0{,}999\,895$, encore insuffisante ; $0{,}4^{11}\approx 4{,}19\times 10^{-5}<10^{-4}$, et la probabilité vaut environ $0{,}999\,958$. Erreur fréquente : oublier de changer le sens en divisant par $\ln(0{,}4)$, ce qui donne $n<10{,}05$, absurde.

A.2.c. Le script part de $n=1$ et $p=0{,}6$, qui est bien $P(Y\geqslant 1)$ pour un lancer. La boucle doit tourner TANT QUE la probabilité ne dépasse pas $0{,}999\,9$ : while p <= 0.9999 :. À chaque tour on ajoute un lancer, puis on recalcule la probabilité avec la formule de 2.a : p = 1 - 0.4**n. En sortie de boucle, on renvoie le nombre de lancers : return n. La fonction renvoie $11$. Le script complété figure en fin de corrigé.

Piège : « dépasse » veut dire strictement supérieur, donc on continue tant que p <= 0.9999, et non tant que p < 0.9999 (ici la différence ne change pas le résultat, aucune valeur n'étant égale à $0{,}999\,9$, mais c'est la condition fidèle à l'énoncé). L'ordre des deux lignes de la boucle compte aussi : $n$ est augmenté AVANT le calcul de p, pour que p corresponde au nouveau nombre de lancers.

B.1. On traduit l'énoncé en probabilités conditionnelles : $P_{G_{1}}(G_{2})=0{,}7$ (après un lancer réussi) et $P_{\overline{G_{1}}}(G_{2})=0{,}4$ (après un lancer raté), avec $P(G_{1})=0{,}5$ et $P(\overline{G_{1}})=0{,}5$. L'arbre pondéré figure en fin de corrigé.

Les évènements $G_{1}$ et $\overline{G_{1}}$ forment une partition de l'univers ; par la formule des probabilités totales, $P(G_{2})=P(G_{1})\times P_{G_{1}}(G_{2})+P(\overline{G_{1}})\times P_{\overline{G_{1}}}(G_{2})=0{,}5\times 0{,}7+0{,}5\times 0{,}4=0{,}35+0{,}2=0{,}55$.

Contrôle : la relation admise ensuite donne $p_{2}=0{,}3\times 0{,}5+0{,}4=0{,}55$, la même valeur. C'est d'ailleurs ainsi qu'on obtient cette relation : $p_{n+1}=0{,}7p_{n}+0{,}4(1-p_{n})=0{,}3p_{n}+0{,}4$.

B.2.a. Raisonnement par récurrence. Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $p_{n}\leqslant p_{n+1}$ ».

Initialisation : $p_{1}=P(G_{1})=0{,}5$ et $p_{2}=0{,}55$ (question B.1). On a bien $p_{1}\leqslant p_{2}$ : $\mathcal{P}(1)$ est vraie. Attention, la récurrence commence au rang $1$, pas au rang $0$ : la suite n'est définie qu'à partir de $n=1$.

Hérédité : soit $n\geqslant 1$ tel que $p_{n}\leqslant p_{n+1}$. En multipliant par $0{,}3>0$, le sens est conservé : $0{,}3p_{n}\leqslant 0{,}3p_{n+1}$. En ajoutant $0{,}4$ : $0{,}3p_{n}+0{,}4\leqslant 0{,}3p_{n+1}+0{,}4$, c'est-à-dire $p_{n+1}\leqslant p_{n+2}$. $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : $\mathcal{P}(1)$ est vraie et la propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence, $p_{n}\leqslant p_{n+1}$ pour tout $n\geqslant 1$. La suite $(p_{n})$ est croissante. Le point à écrire dans l'hérédité est la positivité du coefficient $0{,}3$ : c'est elle qui conserve le sens de l'inégalité.

B.2.b. Pour tout $n\geqslant 1$, $p_{n}$ est la PROBABILITÉ de l'évènement $G_{n}$ : elle est donc comprise entre $0$ et $1$. En particulier $p_{n}\leqslant 1$ pour tout $n$ : la suite $(p_{n})$ est majorée par $1$.

C'est un argument de sens, pas de calcul : aucune récurrence n'est nécessaire. Erreur fréquente : invoquer la croissance de la suite, qui fournit au contraire un MINORANT ($p_{n}\geqslant p_{1}=0{,}5$), ou la limite $\dfrac{4}{7}$, qui n'est admise qu'à la question suivante.

B.2.c. La suite $(p_{n})$ est croissante (B.2.a) et majorée par $1$ (B.2.b). Par le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge : $(p_{n})$ est convergente.

Le théorème dit que la limite existe et qu'elle est inférieure ou égale au majorant, ici $1$ ; il ne dit pas qu'elle vaut $1$. Erreur fréquente : conclure « elle converge vers $1$ ».

B.3. On peut retrouver la valeur admise : la limite $\ell$ vérifie $\ell=0{,}3\ell+0{,}4$ (par passage à la limite dans la relation de récurrence), donc $0{,}7\ell=0{,}4$ et $\ell=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}571$.

Interprétation : quand le nombre de lancers devient grand, la probabilité que le joueur réussisse son $n$-ième lancer franc se rapproche de $\dfrac{4}{7}$, soit environ $57\,\%$. À long terme, il réussit à peu près $4$ lancers francs sur $7$, quel que soit le résultat de son premier lancer.

Cohérence : $\dfrac{4}{7}$ est compris entre $0{,}4$ et $0{,}7$, les deux probabilités conditionnelles, et la suite croissante part de $0{,}5$ pour monter vers $0{,}571$, en restant sous sa limite.

def basket ():
    p = 0.6
    n = 1
    while p <= 0.9999 :
        n = n + 1
        p = 1 - 0.4**n
    return n

1. En $-\infty$ : $\lim\limits_{x\to-\infty}(3x-1)=-\infty$ et, comme $-x\to+\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$ par composition. Par produit, $(3x-1)\mathrm{e}^{-x}\to-\infty$, puis par somme $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Aucune forme indéterminée ici : les deux facteurs vont vers l'infini, l'un négativement, l'autre positivement. Erreur fréquente : écrire $\mathrm{e}^{-x}\to 0$ en $-\infty$, en confondant avec la limite en $+\infty$.

2. En $+\infty$ : $3x-1\to+\infty$ et $\mathrm{e}^{-x}\to 0$, forme indéterminée « $\infty\times 0$ ». On développe : $(3x-1)\mathrm{e}^{-x}=3\,\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}-\mathrm{e}^{-x}$. Par croissance comparée, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0$ ; et $\mathrm{e}^{-x}\to 0$. Par somme, $(3x-1)\mathrm{e}^{-x}\to 0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$.

Interprétation graphique : la droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $+\infty$. On peut préciser la position : pour $x>\dfrac{1}{3}$, $(3x-1)\mathrm{e}^{-x}>0$, donc la courbe est au-dessus de l'asymptote. L'erreur la plus coûteuse est d'écrire « $\infty\times 0=0$ » sans citer la croissance comparée.

3.a. Dérivée d'un produit $uv$ avec $u(x)=3x-1$, $u'(x)=3$, $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$. Alors $f'(x)=u'v+uv'+0=3\mathrm{e}^{-x}+(3x-1)\times(-\mathrm{e}^{-x})=(3-3x+1)\mathrm{e}^{-x}=(4-3x)\mathrm{e}^{-x}$. La constante $2$ a une dérivée nulle.

Erreur fréquente : oublier le signe moins de la dérivée de $\mathrm{e}^{-x}$, ce qui donne $(3x+2)\mathrm{e}^{-x}$ ; ou, en factorisant, oublier de distribuer le signe sur le $-1$ et obtenir $(2-3x)\mathrm{e}^{-x}$.

3.b. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $4-3x$, positif pour $x<\dfrac{4}{3}$, nul en $\dfrac{4}{3}$, négatif pour $x>\dfrac{4}{3}$.

Tableau de variations : $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;\dfrac{4}{3}\right]$, de $-\infty$ (question 1) jusqu'à $f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\left(3\times\dfrac{4}{3}-1\right)\mathrm{e}^{-\frac{4}{3}}+2=3\mathrm{e}^{-\frac{4}{3}}+2\approx 2{,}791$, puis strictement décroissante sur $\left[\dfrac{4}{3}\,;+\infty\right[$, de $3\mathrm{e}^{-\frac{4}{3}}+2$ vers la limite $2$ (question 2). Le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $3\mathrm{e}^{-\frac{4}{3}}+2$, atteint en $\dfrac{4}{3}$.

Le tableau doit porter les limites aux deux bornes et la valeur exacte du maximum ; la valeur approchée $2{,}79$ peut l'accompagner, pas la remplacer. La courbe, avec sa tangente en $0$, figure en fin de corrigé.

4.a. On traite séparément les deux intervalles de monotonie.

Sur $\left[\dfrac{4}{3}\,;+\infty\right[$ : $f$ est décroissante de limite $2$, donc $f(x)\geqslant 2>0$ pour tout $x$ de cet intervalle (on le voit aussi directement : $3x-1>0$ donc $f(x)>2$). L'équation $f(x)=0$ n'y a aucune solution.

Sur $\left]-\infty\,;\dfrac{4}{3}\right]$ : $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $f\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx 2{,}79>0$. Comme $0$ est compris entre $-\infty$ et $f\left(\dfrac{4}{3}\right)$, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone) assure que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle.

Au total, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. Le piège est d'oublier l'intervalle $\left[\dfrac{4}{3}\,;+\infty\right[$ : pour affirmer l'unicité sur TOUT $\mathbb{R}$, il faut aussi montrer qu'il n'y a pas d'autre solution là où $f$ décroît.

4.b. On a $f(0)=-1+2=1>0$ : la solution est négative. Par balayage à la calculatrice : $f(-0{,}21)\approx -0{,}011<0$ et $f(-0{,}20)\approx 0{,}046>0$, donc $-0{,}21<\alpha<-0{,}20$. Avec un pas plus fin, $\alpha\approx -0{,}208$, d'où la valeur approchée à $10^{-2}$ près : $\alpha\approx -0{,}21$.

Erreur fréquente : donner $-0{,}20$ en lisant seulement la première image positive. Un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ ne dit pas à lui seul quelle borne est la plus proche : il faut l'image en $-0{,}205$, ou une décimale de plus, pour trancher ($f(-0{,}205)\approx 0{,}018>0$, donc $\alpha<-0{,}205$ et l'arrondi est $-0{,}21$).

4.c. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;\dfrac{4}{3}\right]$ et s'annule en $\alpha$ : $f(x)<0$ pour $x<\alpha$ et $f(x)>0$ pour $\alpha<x\leqslant\dfrac{4}{3}$. Sur $\left[\dfrac{4}{3}\,;+\infty\right[$, $f(x)>2>0$. Tableau de signes : $f(x)<0$ sur $]-\infty\,;\alpha[$, $f(\alpha)=0$ et $f(x)>0$ sur $]\alpha\,;+\infty[$.

4.d. Comme $\alpha<0$, la fonction $f$ est positive sur $[0\,;2]$ (question 4.c) : l'aire du domaine, en unités d'aire, est l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x$. Avec la primitive $F$ donnée, $\mathcal{A}=F(2)-F(0)$.

$F(2)=(-6-2)\mathrm{e}^{-2}+4=4-8\mathrm{e}^{-2}$ et $F(0)=(0-2)\mathrm{e}^{0}+0=-2$. Donc $\mathcal{A}=4-8\mathrm{e}^{-2}-(-2)=6-8\mathrm{e}^{-2}\approx 4{,}917$ u.a. Le repère étant orthonormé sans unité précisée, la réponse reste en unités d'aire.

Vérification : on peut contrôler que $F$ est une primitive de $f$, $F'(x)=-3\mathrm{e}^{-x}-(-3x-2)\mathrm{e}^{-x}+2=(3x-1)\mathrm{e}^{-x}+2=f(x)$. Vraisemblance : $f$ varie entre $1$ et $2{,}79$ sur $[0\,;2]$, donc l'aire est comprise entre $2$ et $5{,}6$. Le piège est la condition de signe : l'aire n'est égale à l'intégrale que parce que $f\geqslant 0$ sur $[0\,;2]$, ce qu'il faut justifier par la position de $\alpha$.

5. Il s'agit de montrer que $\mathcal{C}_{f}$ est sous sa tangente en $0$. On étudie la convexité : $f''(x)$ est la dérivée de $(4-3x)\mathrm{e}^{-x}$, soit $f''(x)=-3\mathrm{e}^{-x}-(4-3x)\mathrm{e}^{-x}=(3x-7)\mathrm{e}^{-x}$, du signe de $3x-7$. Donc $f''(x)\leqslant 0$ sur $\left]-\infty\,;\dfrac{7}{3}\right]$ : $f$ est concave sur cet intervalle, et sa courbe y est en dessous de chacune de ses tangentes, en particulier de la tangente en $0$, qui est un point de l'intervalle. Pour tout $x\leqslant\dfrac{7}{3}$, $f(x)\leqslant 4x+1$.

Mais $f$ n'est PAS concave sur tout $\mathbb{R}$ : elle est convexe sur $\left[\dfrac{7}{3}\,;+\infty\right[$, et il faut un autre argument pour ces valeurs. Pour $x\geqslant\dfrac{7}{3}$, d'une part $f(x)\leqslant f\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx 2{,}79<3$, puisque c'est le maximum de $f$ ; d'autre part $4x+1\geqslant 4\times\dfrac{7}{3}+1=\dfrac{31}{3}>3$. Donc $f(x)<4x+1$ aussi sur cet intervalle.

Conclusion : pour tout réel $x$, $(3x-1)\mathrm{e}^{-x}+2\leqslant 4x+1$, avec égalité en $x=0$. Contrôle de la tangente admise : $f(0)=1$ et $f'(0)=4$, donc $y=4(x-0)+1=4x+1$.

Autre méthode, sans convexité : poser $g(x)=4x+1-f(x)$. Alors $g'(x)=4-f'(x)$, $g'(0)=0$, et $g''(x)=-f''(x)=(7-3x)\mathrm{e}^{-x}$. La fonction $g'$ croît sur $\left]-\infty\,;\dfrac{7}{3}\right]$ et décroît ensuite vers $4$ en restant au-dessus de $4$ ; elle est donc négative avant $0$ et positive après, et $g$ admet en $0$ un minimum égal à $g(0)=0$. Piège de la question : conclure « $f$ est concave donc sous sa tangente » sans vérifier le signe de $f''$ sur tout $\mathbb{R}$ ; l'argument n'est valable que là où $f''\leqslant 0$.

1. Méthode : on calcule $f'$ et on remplace dans le membre de gauche de l'équation. Dérivée d'un produit : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-2)\mathrm{e}^{x}=(x-1)\mathrm{e}^{x}$.

Alors $f'(x)-2f(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}-2(x-2)\mathrm{e}^{x}=(x-1-2x+4)\mathrm{e}^{x}=(3-x)\mathrm{e}^{x}=-(x-3)\mathrm{e}^{x}$. Ce n'est pas $(x-3)\mathrm{e}^{x}$ : les deux expressions sont opposées, et ne coïncident que pour $x=3$. Contre-exemple explicite en $x=0$ : $f'(0)-2f(0)=-1-2\times(-2)=3$, alors que $(0-3)\mathrm{e}^{0}=-3$. La fonction $f$ n'est pas solution de $(E)$ : l'affirmation 1 est FAUSSE.

Pour qu'une fonction soit solution, l'égalité doit être vraie pour TOUT réel $x$ ; un seul $x$ où elle échoue suffit à conclure. Remarque : c'est la fonction $-f$, $x\mapsto(2-x)\mathrm{e}^{x}$, qui est solution. Erreur fréquente : se tromper de signe en développant $-2(x-2)$.

Méthode à retenir : pour savoir si une fonction DONNÉE est solution d'une équation différentielle, on ne résout pas l'équation, on vérifie. Résoudre $(E)$ serait bien plus long, et inutile.

2. Intégration par parties avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$, $v'(x)=\cos(x)$ et $v(x)=\sin(x)$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\pi]$ : $\displaystyle\int_{0}^{\pi}(2x+1)\cos(x)\,\mathrm{d}x=\left[(2x+1)\sin(x)\right]_{0}^{\pi}-\displaystyle\int_{0}^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x$.

Le crochet est nul, puisque $\sin(\pi)=\sin(0)=0$. Puis $\displaystyle\int_{0}^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x=\left[-2\cos(x)\right]_{0}^{\pi}=-2\cos(\pi)+2\cos(0)=2+2=4$. Donc $\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=0-4=-4$.

La valeur est $-4$, et non $-4\pi$ : l'affirmation 2 est FAUSSE. Le piège est précisément le crochet $\left[(2x+1)\sin(x)\right]_{0}^{\pi}$ : c'est le seul terme qui aurait pu faire apparaître un $\pi$, par $(2\pi+1)$, et il s'annule à cause du sinus. Vérification de signe : $f$ est positive sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$ et négative, avec un facteur $2x+1$ plus grand, sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ ; une intégrale négative est donc cohérente.

3. Sur $]7\,;+\infty[$, les deux logarithmes sont définis. En effet $4x-8>0$ dès que $x>2$ ; et $2x^{2}-6x-56=2(x^{2}-3x-28)=2(x-7)(x+4)$, strictement positif pour $x>7$. C'est la raison du choix de l'intervalle.

La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, pour $x>7$ : $\ln\left(2x^{2}-6x-56\right)\geqslant\ln(4x-8)\iff 2x^{2}-6x-56\geqslant 4x-8\iff 2x^{2}-10x-48\geqslant 0\iff x^{2}-5x-24\geqslant 0$.