La structure de la matière : exercices corrigés de CHE0501 (Polytechnique)

Trois relations suffisent à tout le tableau : protons $=Z$ ; neutrons $=A-Z$ ; électrons $=Z-q$.

Protons : $Z=28$.

Neutrons : $n=A-Z=58-28=30$.

Électrons : $e=Z-q=28-(+2)=26$.

Un cation est un atome qui a PERDU des électrons ; son noyau, lui, n'a pas changé.

Piège : écrire 30 électrons en « ajoutant » la charge. Une charge positive signale un DÉFICIT d'électrons.

Protons : $Z=52$ ; neutrons : $128-52=76$ ; électrons : $52-(-2)=54$.

Un anion a GAGNÉ des électrons : la charge $2-$ en ajoute deux.

Le tellure est dans le groupe 16, comme l'oxygène et le soufre : l'ion 2− est son ion le plus probable.

$A=Z+n=24+28=52$.

$q=Z-e=24-21=+3$.

24 protons : c'est le chrome, $^{52}_{24}\mathrm{Cr}^{3+}$.

Piège : chercher l'élément qui a 21 électrons (le scandium). Le nombre d'électrons change d'un ion à l'autre ; seul le nombre de protons identifie l'élément.

$A=15+16=31$ ; $q=15-18=-3$ ; 15 protons : phosphore, $^{31}_{15}\mathrm{P}^{3-}$.

Cet ion a 18 électrons, comme l'atome d'argon : on dit qu'il est isoélectronique de l'argon. Il n'est pas de l'argon pour autant.

Piège : lire l'élément sur le nombre d'électrons, ou écrire la charge +3 en soustrayant dans le mauvais sens. Contrôle : plus d'électrons que de protons, la charge est négative.

On compte sur la figure 8 disques pleins (protons) et 10 disques vides (neutrons) dans le noyau, puis 2 électrons sur la couche intérieure et 8 sur la couche extérieure.

$Z=8$ : oxygène. $A=8+10=18$. $q=8-10=-2$.

Symbole complet : $^{18}_{8}\mathrm{O}^{2-}$, l'ion oxyde formé sur l'isotope oxygène 18.

Le nombre de masse se lit dans le NOYAU (protons et neutrons), jamais sur les couches électroniques.

Le magnésium a $Z=12$ : chaque isotope a 12 protons. Neutrons $=A-Z$ :

$^{24}\mathrm{Mg}$ : $24-12=12$ ; $^{25}\mathrm{Mg}$ : $13$ ; $^{26}\mathrm{Mg}$ : $14$.

Des isotopes ont le même numéro atomique (même élément, mêmes électrons, même chimie) et des nombres de neutrons différents, donc des masses différentes.

La moyenne pondérée tombe entre la plus petite et la plus grande masse, du côté de l'isotope le plus abondant.

$^{24}\mathrm{Mg}$ fait $78{,}99\ \%$ des atomes : la moyenne sera proche de $24\ \mathrm{u}$, un peu au-dessus à cause des deux isotopes plus lourds.

Abondances en fractions, puis somme des produits, terme par terme avec ses chiffres significatifs :

Chaque produit garde quatre chiffres significatifs, ceux de l'abondance. La somme garde le moins de décimales, deux, celles de $18{,}95$ :

Contrôle : la valeur du tableau périodique est $24{,}31$. Contrôle de vraisemblance : $23{,}985<24{,}31<25{,}983$, et plus près de $24$ comme annoncé en b).

Piège : oublier de convertir les pourcentages et obtenir $2431\ \mathrm{u}$, ou écrire $24{,}3051\ \mathrm{u}$, une précision que les abondances ne donnent pas.

La moyenne simple donne le même poids, $\frac{1}{3}$, à chaque isotope. Elle n'est juste que si chacun représente un tiers des atomes.

Ici l'élève suppose $33{,}3\ \%$ de $^{26}\mathrm{Mg}$ au lieu de $11{,}01\ \%$ : il surestime la masse de $24{,}98-24{,}31=0{,}67\ \mathrm{u}$.

Piège : une moyenne de masses atomiques est TOUJOURS pondérée par les abondances. La moyenne simple est le cas particulier des abondances égales, qu'on ne rencontre pratiquement jamais (le brome, à 50,69 % et 49,31 %, en est proche).

Analyse dimensionnelle, facteur par facteur :

Cinq chiffres significatifs, ceux des deux facteurs.

Aucun atome de magnésium ne pèse $24{,}31\ \mathrm{u}$ : chaque atome est un $^{24}\mathrm{Mg}$, un $^{25}\mathrm{Mg}$ ou un $^{26}\mathrm{Mg}$. La masse du tableau est celle d'un atome « moyen » d'un très grand nombre d'atomes, utile pour peser un échantillon réel.

La moyenne pondérée se place du côté de l'isotope le plus abondant.

Écart à $^{69}\mathrm{Ga}$ : $69{,}72-68{,}926=0{,}79\ \mathrm{u}$ ; écart à $^{71}\mathrm{Ga}$ : $70{,}925-69{,}72=1{,}21\ \mathrm{u}$.

La moyenne est plus proche de $^{69}\mathrm{Ga}$ : c'est lui le plus abondant. Le plus abondant est « l'isotope du côté le plus court ».

Soit $x$ la fraction de $^{69}\mathrm{Ga}$ ; celle de $^{71}\mathrm{Ga}$ vaut $1-x$, puisque les abondances font $100\ \%$.

Chiffres significatifs, étape par étape : la soustraction du numérateur garde deux décimales, celles de $69{,}72$, soit trois chiffres significatifs ($1{,}21$). On garde les chiffres de calcul et on arrondit à la fin à trois chiffres significatifs.

$^{69}\mathrm{Ga}$ : $60{,}3\ \%$ ; $^{71}\mathrm{Ga}$ : $100-60{,}3=39{,}7\ \%$.

Contrôle : $(0{,}603)(68{,}926)+(0{,}397)(70{,}925)=69{,}72\ \mathrm{u}$.

Piège : écrire $60{,}28\ \%$. La masse moyenne n'a que deux décimales, et c'est elle qui limite la précision.

Même équation pour le bore, $x$ la fraction de $^{10}\mathrm{B}$ :

La soustraction $11{,}009-10{,}81$ garde deux décimales : $0{,}20$, soit DEUX chiffres significatifs seulement.

Abondance de $^{10}\mathrm{B}$ : $20\ \%$ à deux chiffres significatifs, qu'on écrit $2{,}0\times 10^{1}\ \%$ pour que le zéro compte.

Piège : la soustraction de deux nombres voisins détruit des chiffres significatifs. $10{,}81$ en a quatre, le résultat n'en a que deux.

$80\ \%$ est la fraction de $^{11}\mathrm{B}$ : l'élève a posé $x$ pour un isotope et lu le résultat pour l'autre.

Contrôle rapide : $10{,}81\ \mathrm{u}$ est plus proche de $11{,}009$ que de $10{,}013$, donc $^{11}\mathrm{B}$ domine. Avec $80\ \%$ de $^{10}\mathrm{B}$, la moyenne vaudrait $(0{,}80)(10{,}013)+(0{,}20)(11{,}009)=10{,}2\ \mathrm{u}$.

Le raisonnement sans calcul de la question a) sert justement de garde-fou au calcul.

Non. Avec trois isotopes, il y a trois inconnues $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, mais seulement deux équations :

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ et $23{,}985\,x_{1}+24{,}986\,x_{2}+25{,}983\,x_{3}=24{,}31$.

Une infinité de jeux d'abondances donnent la même moyenne. Il faut une donnée de plus, par exemple une abondance mesurée au spectromètre de masse, ou le spectre entier.

Avec deux isotopes seulement, la somme des abondances fournit la deuxième équation : c'est ce qui rend les questions b) et c) possibles.

$Z=79$ : $79$ protons et, l'atome étant neutre, $79$ électrons. Neutrons : $197-79=118$.

Un facteur de conversion par ligne, les unités s'annulent :

Cinq chiffres significatifs : $196{,}967$ en a six, le facteur $1{,}6605$ en a cinq ; le produit garde le plus petit nombre.

On divise la masse de la pièce par la masse d'un atome :

Quatre chiffres significatifs, ceux de $31{,}10\ \mathrm{g}$, le zéro final compris.

Près de cent mille milliards de milliards d'atomes dans une seule pièce : c'est pour compter de tels nombres que le chapitre suivant introduit la mole.

L'or est un cas commode : un seul isotope, donc tous les atomes ont la même masse. Pour un élément à plusieurs isotopes, on diviserait par la masse MOYENNE.

L'unité de masse atomique est définie par le carbone 12 : $1\ \mathrm{u}=\frac{1}{12}$ de la masse d'un atome de $^{12}\mathrm{C}$, qui pèse donc $12\ \mathrm{u}$ exactement.

Mais le carbone naturel n'est pas du carbone 12 pur :

Le $1{,}07\ \%$ de carbone 13 suffit à déplacer la moyenne de $0{,}01\ \mathrm{u}$. L'or, avec son seul isotope, a pour masse atomique la masse de cet isotope.

Piège : invoquer la masse des électrons. Elle est déjà comprise dans la masse de l'atome de carbone 12 qui définit l'unité.

Presque toutes les particules traversent : l'atome est essentiellement du vide.

Quelques particules positives sont fortement déviées, et de rares rebondissent : elles ont rencontré une charge positive et une masse concentrées dans un volume minuscule, le noyau.

Les électrons, plus de $7000$ fois plus légers qu'une particule alpha, ne peuvent pas la renvoyer. Le rayon du noyau est de l'ordre de $10^{-15}$ à $10^{-14}\ \mathrm{m}$, celui de l'atome de $10^{-10}\ \mathrm{m}$ : un rapport de dix mille à cent mille.

Ce résultat renverse le modèle de Thomson, celui qui avait découvert l'électron en 1897 et le voyait incrusté dans une sphère pleine de charge positive. Le neutron, lui, sera découvert par Chadwick en 1932.

On lit la COLONNE, pas la ligne : la famille est celle du groupe.

A, groupe 1, période 4 : alcalin (le potassium). B, groupe 2 : alcalino-terreux (le magnésium). D, groupe 17 : halogène (le brome). H, groupe 18 : gaz noble (l'argon). G, groupe 8, au milieu de la période 4 : métal de transition (le fer).

Piège : l'hydrogène, en tête du groupe 1, n'est PAS un alcalin ; c'est un non-métal.

Les métaux sont à gauche de l'escalier B, Si, Ge, As, Sb, Te ; les non-métaux à droite ; les métalloïdes sur l'escalier.

C, groupe 13, période 3 : l'aluminium, un métal. E, groupe 16, période 2 : l'oxygène, un non-métal. F, groupe 14, période 3 : le silicium, un métalloïde.

Les éléments des groupes 1, 2, 13, 16 et 17 tendent à former l'ion qui a le nombre d'électrons du gaz noble le plus proche ; ceux du groupe 14 forment plutôt des liaisons covalentes.

A (groupe 1) perd un électron : $\mathrm{A^{+}}$. B (groupe 2) en perd deux : $\mathrm{B^{2+}}$. C (groupe 13) en perd trois : $\mathrm{C^{3+}}$.

D (groupe 17) en gagne un : $\mathrm{D^{-}}$. E (groupe 16) en gagne deux : $\mathrm{E^{2-}}$.

Règle pratique : métaux, charge positive égale au numéro du groupe (1, 2, ou 3 pour le groupe 13) ; non-métaux, charge négative égale au numéro du groupe moins 18.

Un composé ionique est NEUTRE : la somme des charges est nulle. On croise les charges, puis on simplifie.

$\mathrm{A^{+}}$ et $\mathrm{D^{-}}$ : $\mathrm{AD}$ (KBr). $\mathrm{B^{2+}}$ et $\mathrm{E^{2-}}$ : $\mathrm{B_{2}E_{2}}$ se simplifie en $\mathrm{BE}$ (MgO).

$\mathrm{C^{3+}}$ et $\mathrm{E^{2-}}$ : $2\times(+3)+3\times(-2)=0$, donc $\mathrm{C_{2}E_{3}}$ ($\mathrm{Al_{2}O_{3}}$).

$\mathrm{B^{2+}}$ et $\mathrm{D^{-}}$ : $\mathrm{BD_{2}}$ ($\mathrm{MgBr_{2}}$).

Piège : écrire $\mathrm{CE}$ en mettant un atome de chaque. La formule n'est juste que si les charges positives et négatives se compensent exactement.

Non. G est dans le bloc des métaux de transition (groupes 3 à 12). Ces métaux forment souvent plusieurs ions, que la position dans le tableau ne permet pas de prévoir par une règle de famille : le fer donne $\mathrm{Fe^{2+}}$ et $\mathrm{Fe^{3+}}$.

C'est pourquoi on précise la charge dans le nom de leurs composés : chlorure de fer(II), chlorure de fer(III).

Le symbole se lit comme tout autre : $Z=43$, $A=99$.

Protons : $43$ ; neutrons : $99-43=56$ ; électrons, atome neutre : $43$.

Le « m » (métastable) dit que le noyau est dans un état d'énergie EXCITÉ. En revenant à son état fondamental, il émet le photon gamma qu'on détecte, sans changer de composition : $^{99m}\mathrm{Tc}$ et $^{99}\mathrm{Tc}$ ont le même nombre de protons et de neutrons.

Piège : lire « m » comme un neutron de plus ou une masse différente.

Une masse atomique moyenne suppose des abondances naturelles. Le technétium n'a AUCUN isotope stable : il n'existe pratiquement pas dans la nature et on le fabrique.

Le tableau donne alors, entre parenthèses, le nombre de masse d'un de ses isotopes à longue demi-vie ; c'est un nombre de nucléons, pas une moyenne pondérée.

Piège : utiliser $(98)$ comme une masse moyenne au centième. Pour le technétium 99m d'un hôpital, la masse d'un atome est voisine de $99\ \mathrm{u}$, pas de $98$.

$Z=53$ pour les deux isotopes.

$^{131}\mathrm{I}$ : $131-53=78$ neutrons ; $^{127}\mathrm{I}$ : $127-53=74$ neutrons. Seul le nombre de NEUTRONS diffère.

Ion iodure : $e=Z-q=53-(-1)=54$ électrons, le nombre du xénon ($Z=54$), le gaz noble qui suit l'iode.

C'est la règle des halogènes : ils gagnent un électron pour atteindre le nombre d'électrons du gaz noble suivant.

Les propriétés chimiques d'un atome ou d'un ion sont fixées par ses ÉLECTRONS, et le nombre d'électrons est fixé par le nombre de protons et la charge.

$^{131}\mathrm{I}^{-}$ et $^{127}\mathrm{I}^{-}$ ont $53$ protons et $54$ électrons chacun : même chimie. Seule la masse du noyau diffère, d'environ $3\ \%$.

C'est ce qui rend le traitement possible : la glande capte l'iode 131 exactement comme l'iode ordinaire, et le rayonnement agit là où l'iode s'accumule.

Fraction de $^{131}\mathrm{I}$ : $x=1{,}0\times 10^{-6}$. Moyenne pondérée :

Deux chiffres significatifs, ceux de $1{,}0\times 10^{-6}$. L'écart touche la sixième décimale : au centième, la masse reste $126{,}90\ \mathrm{u}$.

Une trace d'isotope radioactif, suffisante pour un diagnostic, ne change pas la masse atomique utilisée dans les calculs.

Le krypton a $36$ électrons. Un ion $2-$ a deux électrons de plus que de protons :

$Z=e+q=36+(-2)=34$ : le sélénium.

$A=Z+n=34+46=80$ : l'ion $^{80}\mathrm{Se}^{2-}$.

Contrôle par la position : le sélénium est dans le groupe 16, dont l'ion probable porte justement la charge $2-$.

Piège : répondre « krypton » parce qu'on a lu 36 électrons. Avoir les électrons d'un gaz noble, c'est être isoélectronique de lui, pas être lui.

$Z=e+q=10+3=13$ : l'aluminium, bien dans la troisième période et dans le groupe 13, dont l'ion probable est $3+$.

$A=13+14=27$ : $^{27}\mathrm{Al}^{3+}$.

L'atome neutre a deux électrons de plus que son ion $2+$ : $Z=28+2=30$, le zinc.

Il est bien dans la quatrième période, dans le groupe 12, à la fin du bloc des métaux de transition. Le laiton est un alliage de cuivre et de zinc.

Piège : prendre 28, le nickel, en oubliant que l'ion a PERDU deux électrons.

Ion à $10$ électrons de charge $3-$ : $Z=10-3=7$, l'azote, groupe 15 de la deuxième période.

$A=7+7=14$ : $^{14}\mathrm{N}$, qui forme l'ion nitrure $\mathrm{N^{3-}}$.

Dans la convention du cours, les métaux de transition occupent les groupes 3 à 12 (au sens strict, le zinc, de sous-couche 3d pleine, en est parfois exclu) : dans la quatrième période, du scandium ($Z=21$) au zinc ($Z=30$), soit $30-21+1=10$ éléments.

Sur l'escalier des métalloïdes, la quatrième période en porte deux : le germanium (groupe 14) et l'arsenic (groupe 15).

Piège : compter $30-21=9$ en oubliant la borne. On compte les deux extrémités.

Faux. Des isotopes ont le même numéro atomique $Z$ (même élément) et des nombres de neutrons différents, donc des nombres de masse $A=Z+n$ DIFFÉRENTS.

Énoncé corrigé : « Deux isotopes d'un même élément ont le même numéro atomique et des nombres de masse différents, parce que leurs nombres de neutrons diffèrent. »

Deux noyaux de même nombre de masse et de numéros atomiques différents s'appellent des isobares, et sont deux éléments différents.

Vrai. Le carbone a $Z=6$ : $6$ protons dans les deux isotopes.

$^{14}\mathrm{C}$ : $14-6=8$ neutrons ; $^{12}\mathrm{C}$ : $6$ neutrons. Deux neutrons de plus.

Ce noyau trop riche en neutrons est instable : sa lente désintégration, à un rythme connu, sert d'horloge en datation.

Faux. Une masse moyenne ne désigne pas un isotope. Le brome naturel contient $50{,}69\ \%$ de $^{79}\mathrm{Br}$ ($78{,}918\ \mathrm{u}$) et $49{,}31\ \%$ de $^{81}\mathrm{Br}$ ($80{,}916\ \mathrm{u}$) :

La moyenne tombe presque au milieu, sur une masse qu'aucun atome de brome naturel ne possède.

Énoncé corrigé : « La masse atomique du brome vaut 79,90 u parce que ses deux isotopes, le brome 79 et le brome 81, sont presque également abondants. »

Faux. Les propriétés chimiques viennent des électrons de la couche externe, et ce sont les éléments d'une même COLONNE, un groupe, qui en ont le même nombre.

Énoncé corrigé : « Les éléments d'un même groupe ont des propriétés chimiques semblables. » Le sodium et le potassium réagissent de la même façon avec l'eau ; le sodium et le chlore, de la même période, ont des chimies opposées : l'un cède un électron, l'autre en capte un.

Le même nombre de couches occupées est ce qui définit la période, pas une famille chimique.

Faux, les découvreurs sont inversés.

Énoncé corrigé : « Thomson a découvert l'électron (1897), et Rutherford le noyau atomique (1911). » Chadwick a ensuite découvert le neutron (1932), et Dalton avait proposé, un siècle plus tôt, l'atome indivisible propre à chaque élément.

Les hauteurs du spectre sont relatives au pic le plus haut. Leur somme vaut :

Chaque pourcentage est une abondance relative divisée par cette somme :

$\dfrac{5{,}19}{119{,}35}\times 100=4{,}35\ \%$ ; $\dfrac{100}{119{,}35}\times 100=83{,}79\ \%$ ; $\dfrac{11{,}34}{119{,}35}\times 100=9{,}501\ \%$ ; $\dfrac{2{,}82}{119{,}35}\times 100=2{,}36\ \%$

Le pic de base, $100$, est une référence exacte ; chaque quotient garde les chiffres significatifs de sa donnée : trois pour $5{,}19$ et $2{,}82$, quatre pour $11{,}34$ et pour la somme.

Contrôle : la somme des pourcentages fait 100,00 %, aux arrondis près.

Piège : prendre 100 % pour l'isotope 52. Le pic le plus haut vaut 100 par convention, pas parce qu'il serait seul.

Moyenne pondérée, directement avec les abondances relatives :

Le résultat garde quatre chiffres significatifs. Parmi les candidats, seul le chrome a cette masse : X est le chrome, $Z=24$, le métal qui rend l'acier inoxydable.

Contrôle : $49{,}946<52{,}00<53{,}939$, et la moyenne est tout près de l'isotope 52, qui domine à $84\ \%$.

Chrome : $Z=24$. Protons : $24$ ; neutrons : $53-24=29$ ; électrons : $24-3=21$.

L'oxyde de chrome(III) forme à la surface de l'acier une couche fine et étanche qui empêche le fer de rouiller.

L'élève a calculé $\sum a_{i}m_{i}$ puis divisé par $100$, comme si les hauteurs étaient des pourcentages :

Son résultat dépasse la masse du plus lourd des isotopes, 53,939 u : c'est impossible pour une moyenne. Ce seul contrôle suffisait à rejeter le calcul, et non l'échantillon.

Piège : des abondances relatives ne font pas 100 ; il faut diviser par leur somme.

$^{54}\mathrm{Cr}$ a $54-24=30$ neutrons. L'isotope du fer qui a $30$ neutrons a pour nombre de masse $26+30=56$ : c'est $^{56}\mathrm{Fe}$, justement l'isotope principal du fer.

$^{54}\mathrm{Cr}$ et $^{54}\mathrm{Fe}$ ont le même nombre de masse mais pas le même numéro atomique ($24$ contre $26$) : ce sont deux éléments différents, PAS des isotopes.

Au spectromètre de masse, ils tombent pourtant au même endroit : c'est pourquoi on sépare chimiquement les éléments AVANT de mesurer leurs isotopes.