Exercice 1 : Pression absolue et pression de jauge : la bouteille d'oxygène d'un poste d'oxycoupage

11 réponses vérifiables

Un poste d'oxycoupage d'atelier réunit une bouteille d'oxygène et une bouteille d'acétylène, chacune munie d'un détendeur à deux manomètres. Les manomètres des détendeurs indiquent des pressions de JAUGE, c'est-à-dire l'écart avec la pression de l'air ambiant ; le baromètre de l'atelier indique la pression atmosphérique, qui est une pression absolue. Données : $1\ \mathrm{atm}=101{,}325\ \mathrm{kPa}=760\ \mathrm{mm\,Hg}=14{,}696\ \mathrm{psi}$ ; $R=8{,}314\ \mathrm{kPa\cdot L/(mol\cdot K)}$ ; $M(\mathrm{O_{2}})=32{,}00\ \mathrm{g/mol}$ .

Le tableau donne trois lectures faites le même jour dans l'atelier.

Instrument	Lecture	Pression lue
Baromètre de l'atelier	748,6 mm Hg	absolue
Manomètre haute pression, bouteille d'O₂	1845 psi	de jauge
Vacuomètre de la pompe de purge	−712 mm Hg	de jauge

a) Complétez le tableau : convertissez chaque lecture en kPa par analyse dimensionnelle, puis donnez la pression ABSOLUE correspondante, avec le bon nombre de chiffres significatifs.
b) La bouteille d'oxygène a un volume intérieur de $43{,}8\ \mathrm{L}$ et sa température est de $21{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ . Calculez la quantité (mol) puis la masse (kg) de dioxygène qu'elle contient.
c) Après plusieurs jours de coupe, le manomètre haute pression indique $0\ \mathrm{psi}$ , robinet fermé, toujours à $21{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ . Un apprenti affirme que la bouteille est vide. Vérifiez par un calcul : quelle masse de dioxygène contient-elle encore ?
d) Cette bouteille, robinet fermé, est apportée sur un chantier en altitude où la pression atmosphérique vaut $79{,}6\ \mathrm{kPa}$ , à la même température. Déterminez ce qu'indique maintenant son manomètre, en kPa puis en psi.
e) Par sécurité, la pression de jauge de l'acétylène dans les tuyaux ne doit jamais dépasser $15{,}0\ \mathrm{psi}$ . Un apprenti écrit : « 15 psi, c'est à peu près une atmosphère : l'acétylène est à la pression ambiante. » Exprimez cette limite en pression absolue dans l'atelier, en kPa puis en atm, et corrigez l'affirmation.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

P_{atm}

kPa

P_{abs}

de la bouteille d'O₂ kPa

P_{abs}

côté pompe kPa

b)

n(\mathrm{O_{2}})

mol

m(\mathrm{O_{2}})

kg

c)

La bouteille est-elle vide ?

Masse de O₂ restante g

d)

Lecture du manomètre kPa

Lecture du manomètre psi

e)

Limite en pression absolue kPa

Limite en pression absolue atm

Voir la correction

Réponses

a) $P_{atm}=99{,}81\ \mathrm{kPa}$ ; bouteille : $1{,}272\times 10^{4}\ \mathrm{kPa}$ de jauge, $1{,}282\times 10^{4}\ \mathrm{kPa}$ absolus ; pompe : $-94{,}9\ \mathrm{kPa}$ de jauge, $4{,}9\ \mathrm{kPa}$ absolus
b) $n=2{,}30\times 10^{2}\ \mathrm{mol}$ ; $m=7{,}35\ \mathrm{kg}$
c) Non : il reste $1{,}79\ \mathrm{mol}$ , soit $57{,}2\ \mathrm{g}$ de dioxygène à la pression atmosphérique
d) $20{,}2\ \mathrm{kPa}$ , soit $2{,}93\ \mathrm{psi}$ de jauge
e) $203\ \mathrm{kPa}$ , soit $2{,}01\ \mathrm{atm}$ absolus : deux atmosphères, pas une

a)

Baromètre : $748{,}6\ \mathrm{mm\,Hg}\times\dfrac{101{,}325\ \mathrm{kPa}}{760\ \mathrm{mm\,Hg}}=99{,}81\ \mathrm{kPa}$

Quatre chiffres significatifs, comme la lecture : le facteur de conversion est une définition, il ne limite rien. Cette pression est absolue, c'est $P_{atm}$ .

Bouteille : $1845\ \mathrm{psi}\times\dfrac{101{,}325\ \mathrm{kPa}}{14{,}696\ \mathrm{psi}}=1{,}272\times 10^{4}\ \mathrm{kPa}$ de jauge.

\displaystyle P_{abs}=P_{jauge}+P_{atm}=1{,}272\times 10^{4}+99{,}81=1{,}282\times 10^{4}\ \mathrm{kPa}

Dans une somme, c'est la position décimale la moins précise qui décide : $1{,}272\times 10^{4}$ est connu à la dizaine près, le résultat aussi, soit $12\,820\ \mathrm{kPa}$ .

Pompe : $-712\ \mathrm{mm\,Hg}\times\dfrac{101{,}325\ \mathrm{kPa}}{760\ \mathrm{mm\,Hg}}=-94{,}9\ \mathrm{kPa}$ de jauge : négative, la pression est SOUS la pression atmosphérique.

$P_{abs}=99{,}81+(-94{,}9)=4{,}9\ \mathrm{kPa}$ , connue au dixième : deux chiffres significatifs seulement.

Piège : garder les $4{,}88$ de la calculatrice. Une soustraction de deux nombres voisins détruit des chiffres significatifs ; ici il n'en reste que deux.

b)

La loi des gaz parfaits demande la pression ABSOLUE et la température en kelvins : $T=21{,}0+273{,}15=294{,}2\ \mathrm{K}$ .

\displaystyle n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{12\,820\ \mathrm{kPa}\times 43{,}8\ \mathrm{L}}{8{,}314\ \dfrac{\mathrm{kPa\cdot L}}{\mathrm{mol\cdot K}}\times 294{,}15\ \mathrm{K}}=229{,}6\ \mathrm{mol}\approx 2{,}30\times 10^{2}\ \mathrm{mol}

\displaystyle m=229{,}6\ \mathrm{mol}\times\dfrac{32{,}00\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{mol}}\times\dfrac{1\ \mathrm{kg}}{1000\ \mathrm{g}}=7{,}35\ \mathrm{kg}

Trois chiffres significatifs, imposés par le volume $43{,}8\ \mathrm{L}$ .

À plus de cent atmosphères, le dioxygène s'écarte de quelques pour cent du gaz parfait : le résultat est une bonne estimation dans le modèle du cours, pas une pesée.

Piège : prendre la lecture de jauge. On trouve $227{,}8\ \mathrm{mol}$ , à $0{,}8\ \%$ près seulement à cette pression ; la question c) montre que l'écart devient total quand la bouteille se vide.

c)

$P_{jauge}=0$ signifie $P_{abs}=P_{atm}=99{,}81\ \mathrm{kPa}$ : la bouteille contient encore du gaz, à la pression de l'air.

$n=\dfrac{99{,}81\times 43{,}8}{8{,}314\times 294{,}15}=1{,}79\ \mathrm{mol}$ , soit $m=1{,}79\times 32{,}00=57{,}2\ \mathrm{g}$

La bouteille n'est donc pas vide ; on la rend d'ailleurs avec un peu de pression résiduelle, robinet fermé, pour que l'air humide n'y entre pas.

Piège : lire « 0 » comme « vide ». Un manomètre de jauge ne mesure jamais le vide absolu ; il mesure l'écart avec l'atmosphère.

d)

La bouteille est rigide et fermée, à la même température : $n$ , $V$ et $T$ ne changent pas, donc sa pression ABSOLUE reste $99{,}81\ \mathrm{kPa}$ .

\displaystyle P_{jauge}=P_{abs}-P_{atm}=99{,}81-79{,}6=20{,}2\ \mathrm{kPa}

\displaystyle 20{,}2\ \mathrm{kPa}\times\dfrac{14{,}696\ \mathrm{psi}}{101{,}325\ \mathrm{kPa}}=2{,}93\ \mathrm{psi}

Rien n'est entré dans la bouteille, et pourtant l'aiguille a bougé : c'est l'air extérieur qui a changé, et la jauge mesure une différence.

e)

$15{,}0\ \mathrm{psi}\times\dfrac{101{,}325\ \mathrm{kPa}}{14{,}696\ \mathrm{psi}}=103{,}4\ \mathrm{kPa}$ de jauge.

$P_{abs}=103{,}4+99{,}81=203{,}2\ \mathrm{kPa}\approx 203\ \mathrm{kPa}$ , soit $\dfrac{203{,}2\ \mathrm{kPa}}{101{,}325\ \mathrm{kPa/atm}}=2{,}01\ \mathrm{atm}$

L'affirmation est fausse : 15 psi de jauge, c'est une atmosphère DE PLUS que l'air ambiant, donc environ deux atmosphères absolues dans le tuyau.

Remarque : la bouteille d'acétylène elle-même ne se calcule pas par $PV=nRT$ , car le gaz y est dissous dans de l'acétone imprégnant une masse poreuse.

Piège : confondre « psi de jauge » et « psi absolus ». Les fiches techniques américaines écrivent psig et psia ; le manomètre d'un détendeur ou d'un pneu indique une pression de jauge, sauf mention contraire.

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Exercice 2 : Manomètres en U : bout ouvert, bout fermé, et le sens de la dénivellation

7 réponses vérifiables

Au laboratoire, des ballons de néon sont reliés à des manomètres en U remplis de mercure, $\rho_{Hg}=13{,}55\times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}$ . Ce jour-là, $P_{atm}=101{,}1\ \mathrm{kPa}$ ; $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^{2}}$ . On néglige la masse volumique du néon devant celle du mercure. La figure montre les deux montages ; les hauteurs n'y sont pas à l'échelle, seules les valeurs écrites comptent.

a) Montage (1), à bout ouvert : le mercure est plus haut dans la branche OUVERTE, avec une dénivellation $h=21{,}6\ \mathrm{cm}$ . Déterminez la pression absolue du néon, en kPa.
b) On refroidit le ballon du montage (1). Le mercure est maintenant plus haut dans la branche reliée au BALLON, de $4{,}8\ \mathrm{cm}$ . Déterminez la nouvelle pression absolue du néon, puis sa pression de jauge.
c) Montage (2), à bout fermé : la branche fermée contient du vide au-dessus du mercure, et le mercure y est plus haut de $38{,}5\ \mathrm{cm}$ . Déterminez la pression absolue du néon de ce second ballon. La pression atmosphérique intervient-elle ? Justifiez.
d) Déterminez la dénivellation qu'il faudrait lire, pour la pression de a), sur un manomètre à bout ouvert rempli d'eau ( $\rho=998\ \mathrm{kg/m^{3}}$ ). Concluez sur le choix du mercure.
e) On remplace le tube du montage (1) par un tube de diamètre double, la pression du néon restant celle de a). La dénivellation change-t-elle ? Justifiez.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/7

a)

P_{Ne}

kPa

b)

P_{Ne}

kPa

Pression de jauge kPa

c)

P_{Ne}

kPa

P_{atm}

intervient-elle ?

d)

Dénivellation d'eau m

e)

La dénivellation

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Réponses

a) $P_{Ne}=129{,}8\ \mathrm{kPa}$
b) $P_{Ne}=94{,}7\ \mathrm{kPa}$ , soit $-6{,}4\ \mathrm{kPa}$ de jauge
c) $P_{Ne}=51{,}2\ \mathrm{kPa}$ ; $P_{atm}$ n'intervient pas
d) $2{,}93\ \mathrm{m}$ d'eau : un tube trop haut pour une paillasse
e) Elle ne change pas : la dénivellation ne dépend que de l'écart de pression, du liquide et de g (capillarité négligée)

Méthode pour tout manomètre en U : dans un même liquide au repos, continu, deux points à la même hauteur sont à la même pression. On choisit le niveau de la surface la plus BASSE et on écrit la pression de part et d'autre.

a)

Au niveau de la surface côté ballon (la plus basse), la branche ouverte porte au-dessus d'elle $h=21{,}6\ \mathrm{cm}$ de mercure et l'atmosphère :

\displaystyle P_{Ne}=P_{atm}+\rho g h

\displaystyle \rho g h=13\,550\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^{3}}}\times 9{,}81\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^{2}}}\times 0{,}216\ \mathrm{m}=2{,}871\times 10^{4}\ \mathrm{Pa}=28{,}7\ \mathrm{kPa}

$P_{Ne}=101{,}1+28{,}7=129{,}8\ \mathrm{kPa}$ , au dixième comme $P_{atm}$ .

Contrôle par la table : $216\ \mathrm{mm\,Hg}$ valent $28{,}8\ \mathrm{kPa}$ ; le léger écart vient de la masse volumique, le mm Hg étant défini avec le mercure à $0\ ^\circ\mathrm{C}$ .

b)

Le mercure est maintenant plus haut côté ballon : la surface la plus basse est dans la branche ouverte, où règne $P_{atm}$ . À ce niveau, côté ballon, on a le néon PLUS $4{,}8\ \mathrm{cm}$ de mercure :

\displaystyle P_{atm}=P_{Ne}+\rho g h\quad\Rightarrow\quad P_{Ne}=101{,}1-13\,550\times 9{,}81\times 0{,}048\times 10^{-3}=101{,}1-6{,}38=94{,}7\ \mathrm{kPa}

$P_{jauge}=P_{Ne}-P_{atm}=-6{,}4\ \mathrm{kPa}$ : le néon refroidi est sous la pression atmosphérique.

Piège : ajouter $\rho g h$ par habitude. Le côté où le liquide est le plus HAUT est celui de la plus FAIBLE pression ; on le lit sur la figure avant d'écrire la formule.

c)

La surface la plus basse est côté ballon. À ce niveau, dans la branche fermée, on a $38{,}5\ \mathrm{cm}$ de mercure surmontés du VIDE, de pression nulle :

\displaystyle P_{Ne}=0+\rho g h=13\,550\times 9{,}81\times 0{,}385=5{,}12\times 10^{4}\ \mathrm{Pa}=51{,}2\ \mathrm{kPa}

La pression atmosphérique n'apparaît nulle part : un manomètre à bout fermé donne directement une pression ABSOLUE, comme un baromètre, alors qu'un manomètre à bout ouvert donne une pression de jauge.

Piège : ajouter $P_{atm}$ par réflexe ; on trouverait $152{,}3\ \mathrm{kPa}$ , trois fois trop.

d)

Même écart de pression, autre liquide : $\rho_{eau}\,g\,h_{eau}=\rho_{Hg}\,g\,h_{Hg}$ , et $g$ se simplifie.

\displaystyle h_{eau}=h_{Hg}\times\dfrac{\rho_{Hg}}{\rho_{eau}}=0{,}216\ \mathrm{m}\times\dfrac{13\,550}{998}=2{,}93\ \mathrm{m}

Le mercure, treize fois et demie plus dense que l'eau, ramène la dénivellation à une vingtaine de centimètres. L'eau reste utile pour mesurer de petits écarts, qu'elle lit avec treize fois plus de résolution.

e)

Elle ne change pas. L'équilibre porte sur des PRESSIONS : $\Delta P=\rho g h$ ne fait intervenir ni la section ni la forme du tube.

Un tube plus large contient plus de mercure, donc une colonne plus lourde, mais cette force se répartit sur une surface plus grande dans la même proportion.

Piège : raisonner en forces ou en volumes. C'est le même argument qui fait qu'un baromètre à mercure marque $760\ \mathrm{mm}$ quelle que soit la largeur de son tube.

Exercice 3 : Boyle, Charles, Gay-Lussac, Avogadro : le cylindre à piston

8 réponses vérifiables

Un cylindre fermé par un piston mobile sans frottement contient $n$ moles d'un gaz parfait à la pression $P$ , au volume $V$ et à la température $T$ (figure). Pour chacune des transformations a) à d), on repart de cet état initial et on cherche le facteur $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}$ par lequel le volume est multiplié.

a) On porte la pression exercée sur le piston à $2{,}50$ fois sa valeur, $n$ et $T$ restant constants. Nommez la loi utilisée et donnez $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}$ .
b) On chauffe le gaz de $20{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ à $80{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ , $n$ et $P$ restant constants. Nommez la loi et donnez $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}$ . Un élève répond « 4 » : expliquez son erreur.
c) On injecte du gaz par une valve jusqu'à doubler $n$ , et on refroidit de $127\ ^\circ\mathrm{C}$ à $-73\ ^\circ\mathrm{C}$ , la pression restant constante. Donnez $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}$ .
d) La pression triple et la température ABSOLUE double, $n$ restant constant. Donnez $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}$ .
e) Le cylindre contient maintenant $2{,}40\ \mathrm{L}$ d'air à $1{,}15\ \mathrm{atm}$ et $18{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ . On le comprime jusqu'à $0{,}650\ \mathrm{L}$ , et la température monte à $96{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ . Calculez la pression finale, en atm puis en kPa.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

a)

Loi utilisée

\dfrac{V_{f}}{V_{i}}

b)

Loi utilisée

\dfrac{V_{f}}{V_{i}}

c)

\dfrac{V_{f}}{V_{i}}

d)

\dfrac{V_{f}}{V_{i}}

e)

P_{f}

atm

P_{f}

kPa

Voir la correction

Réponses

a) Loi de Boyle-Mariotte ; $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=0{,}400$
b) Loi de Charles ; $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=1{,}20$ (et non 4 : les degrés Celsius ne sont pas une échelle absolue)
c) $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=1{,}00$
d) $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=0{,}667$
e) $P_{f}=5{,}38\ \mathrm{atm}=546\ \mathrm{kPa}$

Les quatre lois de cet exercice se lisent dans une seule, celle du gaz parfait : $V=\dfrac{nRT}{P}$ , donc $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=\dfrac{n_{f}}{n_{i}}\times\dfrac{T_{f}}{T_{i}}\times\dfrac{P_{i}}{P_{f}}$ , températures en kelvins.

a)

$n$ et $T$ constants : loi de Boyle-Mariotte, $PV$ constant.

\displaystyle \dfrac{V_{f}}{V_{i}}=\dfrac{P_{i}}{P_{f}}=\dfrac{1}{2{,}50}=0{,}400

Le piston descend : le volume est divisé par 2,50 et le gaz occupe 40 % de son volume initial.

b)

$n$ et $P$ constants : loi de Charles, $\dfrac{V}{T}$ constant, $T$ en kelvins.

\displaystyle \dfrac{V_{f}}{V_{i}}=\dfrac{T_{f}}{T_{i}}=\dfrac{80{,}0+273{,}15}{20{,}0+273{,}15}=\dfrac{353{,}15\ \mathrm{K}}{293{,}15\ \mathrm{K}}=1{,}20

L'élève a divisé 80 par 20. Or l'échelle Celsius a un zéro arbitraire (la fusion de la glace) : un rapport de températures n'a de sens que sur l'échelle absolue, dont le zéro est le zéro de l'agitation.

Piège : quadrupler le volume. Une hausse de 60 degrés autour de la température ambiante ne fait gagner que 20 % de volume.

c)

$P$ constante ; $n$ double et $T$ passe de $400{,}15\ \mathrm{K}$ à $200{,}15\ \mathrm{K}$ .

\displaystyle \dfrac{V_{f}}{V_{i}}=\dfrac{n_{f}}{n_{i}}\times\dfrac{T_{f}}{T_{i}}=2\times\dfrac{200{,}15}{400{,}15}=1{,}00

Les deux effets se compensent : la loi d'Avogadro (volume proportionnel à $n$ ) double le volume, la loi de Charles le divise par deux. Le piston revient à sa place.

d)

$n$ constant : $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=\dfrac{T_{f}}{T_{i}}\times\dfrac{P_{i}}{P_{f}}=2\times\dfrac{1}{3}=0{,}667$

Le même raisonnement par facteurs évite d'écrire une formule par loi : on multiplie les rapports, chacun dans le sens qui augmente ou diminue le volume.

e)

Deux états d'une même quantité de gaz : loi combinée $\dfrac{P_{i}V_{i}}{T_{i}}=\dfrac{P_{f}V_{f}}{T_{f}}$ .

\displaystyle P_{f}=P_{i}\times\dfrac{V_{i}}{V_{f}}\times\dfrac{T_{f}}{T_{i}}=1{,}15\ \mathrm{atm}\times\dfrac{2{,}40\ \mathrm{L}}{0{,}650\ \mathrm{L}}\times\dfrac{369{,}15\ \mathrm{K}}{291{,}15\ \mathrm{K}}=5{,}38\ \mathrm{atm}

$5{,}384\ \mathrm{atm}\times\dfrac{101{,}325\ \mathrm{kPa}}{1\ \mathrm{atm}}=546\ \mathrm{kPa}$ , avec la valeur non arrondie

Contrôle des sens : la compression multiplie la pression par 3,69, l'échauffement par 1,27 ; le produit, 4,68, appliqué à 1,15 atm donne bien 5,38 atm.

Piège : les unités de pression et de volume n'ont pas besoin d'être converties dans un RAPPORT, mais la température, elle, doit toujours l'être.

Exercice 4 : PV = nRT, TPN et masse volumique : l'extincteur au CO₂ et un gaz à identifier

10 réponses vérifiables

Un extincteur portatif contient $5{,}00\ \mathrm{lbm}$ de dioxyde de carbone. Dans l'appareil, le $\mathrm{CO_{2}}$ est en grande partie LIQUIDE, sous environ $58\ \mathrm{atm}$ à $21\ ^\circ\mathrm{C}$ : la loi des gaz parfaits ne décrit pas son contenu, seulement le gaz une fois libéré. On le décharge entièrement dans le local fermé de la figure, à $22{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ sous $100{,}4\ \mathrm{kPa}$ .

Données : $1\ \mathrm{lbm}=453{,}593\ \mathrm{g}$ ; $M(\mathrm{CO_{2}})=44{,}01\ \mathrm{g/mol}$ ; masse molaire moyenne de l'air $28{,}96\ \mathrm{g/mol}$ ; $R=8{,}314\ \mathrm{kPa\cdot L/(mol\cdot K)}$ ; volume molaire à TPN ( $0\ ^\circ\mathrm{C}$ , $1\ \mathrm{atm}$ ) : $22{,}4\ \mathrm{L/mol}$ .

a) Calculez, par analyse dimensionnelle, la quantité de $\mathrm{CO_{2}}$ (mol) contenue dans l'extincteur.
b) Calculez le volume qu'occupe ce gaz dans le local. Un élève utilise $22{,}4\ \mathrm{L/mol}$ : quel volume trouve-t-il, et pourquoi est-ce faux ici ?
c) Calculez la masse volumique du $\mathrm{CO_{2}}$ et celle de l'air dans le local, en g/L. Où le $\mathrm{CO_{2}}$ s'accumule-t-il d'abord ?
d) Si le $\mathrm{CO_{2}}$ finissait par se répartir uniformément dans le local, l'air en trop s'échappant par les fentes, quelle serait sa fraction molaire ? La limite de danger immédiat retenue en santé au travail est de $4\ \%$ de $\mathrm{CO_{2}}$ : concluez, en tenant compte de c).
e) Dans un laboratoire voisin, un échantillon de gaz de $0{,}500\ \mathrm{L}$ , à $25{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ et $101{,}3\ \mathrm{kPa}$ , a une masse de $1{,}309\ \mathrm{g}$ . Calculez sa masse molaire et identifiez-le parmi : $\mathrm{SO_{2}}$ ( $64{,}07$ ) ; $\mathrm{Cl_{2}}$ ( $70{,}90$ ) ; $\mathrm{C_{4}H_{10}}$ ( $58{,}12$ ) ; $\mathrm{CO_{2}}$ ( $44{,}01\ \mathrm{g/mol}$ ).

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

n(\mathrm{CO_{2}})

mol

b)

V

dans le local L

V

de l'élève L

c)

\rho(\mathrm{CO_{2}})

g/L

\rho(\mathrm{air})

g/L

Le CO₂ s'accumule d'abord

d)

Fraction molaire de CO₂ %

Conclusion

e)

M

g/mol

Le gaz est

Voir la correction

Réponses

a) $n=51{,}5\ \mathrm{mol}$
b) $V=1{,}26\times 10^{3}\ \mathrm{L}$ ; l'élève trouve $1{,}15\times 10^{3}\ \mathrm{L}$ , valable seulement à TPN
c) $\rho(\mathrm{CO_{2}})=1{,}80\ \mathrm{g/L}$ , $\rho(\mathrm{air})=1{,}18\ \mathrm{g/L}$ : le $\mathrm{CO_{2}}$ s'accumule près du sol
d) $3{,}33\ \%$ en moyenne, sous $4\ \%$ , mais sans doute plus près du sol tant que le gaz n'est pas mélangé
e) $M=64{,}1\ \mathrm{g/mol}$ : $\mathrm{SO_{2}}$

a)

\displaystyle n=5{,}00\ \mathrm{lbm}\times\dfrac{453{,}593\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{lbm}}\times\dfrac{1\ \mathrm{mol}}{44{,}01\ \mathrm{g}}=51{,}5\ \mathrm{mol}

Chaque facteur vaut 1 et chaque unité s'annule avec celle du facteur voisin : il reste des moles. Trois chiffres significatifs, ceux de $5{,}00\ \mathrm{lbm}$ .

b)

Conditions du local : $T=22{,}0+273{,}15=295{,}15\ \mathrm{K}$ , $P=100{,}4\ \mathrm{kPa}$ .

\displaystyle V=\dfrac{nRT}{P}=\dfrac{51{,}53\ \mathrm{mol}\times 8{,}314\ \dfrac{\mathrm{kPa\cdot L}}{\mathrm{mol\cdot K}}\times 295{,}15\ \mathrm{K}}{100{,}4\ \mathrm{kPa}}=1{,}26\times 10^{3}\ \mathrm{L}

L'élève : $51{,}53\ \mathrm{mol}\times 22{,}4\ \mathrm{L/mol}=1{,}15\times 10^{3}\ \mathrm{L}$ , soit $8\ \%$ de moins.

$22{,}4\ \mathrm{L/mol}$ est le volume molaire à TPN, $0\ ^\circ\mathrm{C}$ et $1\ \mathrm{atm}$ . À $22\ ^\circ\mathrm{C}$ , une mole occupe plus de place ; à TPS ( $25\ ^\circ\mathrm{C}$ , $1\ \mathrm{atm}$ ), ce serait $24{,}5\ \mathrm{L/mol}$ .

Piège : un volume molaire « par cœur » appliqué hors de ses conditions. Dès que les conditions sont données, on calcule par $PV=nRT$ .

c)

De $PV=nRT$ et $n=\dfrac{m}{M}$ : $\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{PM}{RT}$ .

$\rho(\mathrm{CO_{2}})=\dfrac{100{,}4\times 44{,}01}{8{,}314\times 295{,}15}=1{,}80\ \mathrm{g/L}$ ; $\rho(\mathrm{air})=\dfrac{100{,}4\times 28{,}96}{8{,}314\times 295{,}15}=1{,}18\ \mathrm{g/L}$

À mêmes $P$ et $T$ , le rapport des masses volumiques est celui des masses molaires, $\dfrac{44{,}01}{28{,}96}=1{,}52$ : le $\mathrm{CO_{2}}$ , une fois et demie plus dense que l'air, coule vers le sol et s'y accumule, surtout dans les parties basses (fosse, sous-sol).

Ce n'est qu'un état transitoire : la diffusion et les courants d'air finissent par mélanger les gaz, ils ne se séparent pas d'eux-mêmes une fois mélangés.

d)

Volume du local : $4{,}20\times 3{,}60\times 2{,}50=37{,}8\ \mathrm{m^{3}}=3{,}78\times 10^{4}\ \mathrm{L}$ .

À mêmes $P$ et $T$ , la fraction molaire égale la fraction volumique (Avogadro) : $x(\mathrm{CO_{2}})=\dfrac{1{,}26\times 10^{3}\ \mathrm{L}}{3{,}78\times 10^{4}\ \mathrm{L}}=0{,}0333=3{,}33\ \%$

En moyenne, on reste sous le seuil de 4 %. Mais juste après la décharge, le gaz plus dense occupe d'abord le bas du local, où la concentration peut dépasser nettement cette moyenne : c'est là que respire une personne tombée ou accroupie.

D'où la consigne réelle : ventiler, et ne pas rester dans un petit local après avoir vidé un extincteur au $\mathrm{CO_{2}}$ .

e)

\displaystyle n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{101{,}3\times 0{,}500}{8{,}314\times 298{,}15}=2{,}043\times 10^{-2}\ \mathrm{mol}

\displaystyle M=\dfrac{m}{n}=\dfrac{1{,}309\ \mathrm{g}}{2{,}043\times 10^{-2}\ \mathrm{mol}}=64{,}1\ \mathrm{g/mol}

Seul le dioxyde de soufre, $64{,}07\ \mathrm{g/mol}$ , est compatible au chiffre près ; le butane ( $58{,}12$ ) et le dichlore ( $70{,}90$ ) s'écartent de 9 % et 11 %.

Piège : oublier les kelvins. Avec $25\ \mathrm{K}$ , on trouverait $5{,}4\ \mathrm{g/mol}$ , un gaz qui n'existe pas dans la liste.

Exercice 5 : Loi de Dalton : deux réservoirs mis en communication, puis du gaz soutiré

10 réponses vérifiables

Pour préparer le gaz de protection d'un poste de soudage MIG, on relie deux réservoirs rigides par un tube de volume négligeable (figure). Le réservoir A contient de l'argon : $20{,}0\ \mathrm{L}$ à $4{,}50\ \mathrm{atm}$ ; le réservoir B contient du $\mathrm{CO_{2}}$ : $8{,}00\ \mathrm{L}$ à $3{,}75\ \mathrm{atm}$ . Tout est à $20{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ . On ouvre le robinet et on attend l'équilibre, la température restant constante. $R=0{,}08206\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}$ .

a) Calculez la pression partielle de chaque gaz, puis la pression totale, une fois le robinet ouvert.
b) Calculez la fraction molaire de chaque gaz. Expliquez pourquoi on peut l'obtenir sans calculer une seule quantité de matière.
c) Le mélange reste au soleil et monte à $45{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ . Calculez la nouvelle pression totale. Les fractions molaires changent-elles ?
d) De retour à $20{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ , on soutire du mélange jusqu'à ce que la pression des réservoirs tombe à $3{,}10\ \mathrm{atm}$ . Le gaz soutiré est recueilli à $1{,}00\ \mathrm{atm}$ et $20{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ . Déterminez le volume qu'il occupe, puis la quantité d'argon qu'il contient.
e) Un troisième réservoir, de volume $V$ inconnu, contient le même mélange à $2{,}480\ \mathrm{atm}$ . On en soutire un échantillon qui occupe $6{,}50\ \mathrm{L}$ à $1{,}00\ \mathrm{atm}$ , à la même température ; la pression du réservoir tombe alors à $2{,}115\ \mathrm{atm}$ . Déterminez $V$ .

Voir la correction

Réponses

a) $P_{Ar}=3{,}21\ \mathrm{atm}$ ; $P_{CO_{2}}=1{,}07\ \mathrm{atm}$ ; $P_{totale}=4{,}29\ \mathrm{atm}$
b) $x_{Ar}=0{,}750$ ; $x_{CO_{2}}=0{,}250$ : le mélange à 75 % d'argon et 25 % de $\mathrm{CO_{2}}$
c) $P_{totale}=4{,}65\ \mathrm{atm}$ ; fractions inchangées
d) $33{,}2\ \mathrm{L}$ à $1{,}00\ \mathrm{atm}$ ; $1{,}04\ \mathrm{mol}$ d'argon
e) $V=17{,}8\ \mathrm{L}$

a)

Après ouverture, chaque gaz occupe tout le volume, $V=20{,}0+8{,}00=28{,}0\ \mathrm{L}$ , à la même température. Pour chacun, $n$ et $T$ sont constants : $P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}$ .

$P_{Ar}=4{,}50\ \mathrm{atm}\times\dfrac{20{,}0\ \mathrm{L}}{28{,}0\ \mathrm{L}}=3{,}21\ \mathrm{atm}$ ; $P_{CO_{2}}=3{,}75\ \mathrm{atm}\times\dfrac{8{,}00\ \mathrm{L}}{28{,}0\ \mathrm{L}}=1{,}07\ \mathrm{atm}$

Loi de Dalton : $P_{totale}=P_{Ar}+P_{CO_{2}}=3{,}214+1{,}071=4{,}29\ \mathrm{atm}$

Piège : additionner les pressions initiales, $4{,}50+3{,}75=8{,}25\ \mathrm{atm}$ . Ces pressions s'exerçaient dans des volumes différents ; il faut d'abord ramener chaque gaz au volume commun.

b)

À $V$ et $T$ communs, $P_{i}=\dfrac{n_{i}RT}{V}$ : les pressions partielles sont proportionnelles aux quantités de matière, et $x_{i}=\dfrac{P_{i}}{P_{totale}}$ .

$x_{Ar}=\dfrac{3{,}214}{4{,}286}=0{,}750$ ; $x_{CO_{2}}=\dfrac{1{,}071}{4{,}286}=0{,}250$

Le rapport se lit même avant l'ouverture : $n\propto PV$ , soit $4{,}50\times 20{,}0=90{,}0$ contre $3{,}75\times 8{,}00=30{,}0\ \mathrm{atm\cdot L}$ , trois pour un.

C'est le mélange courant des postes MIG, 75 % d'argon et 25 % de dioxyde de carbone.

c)

Volume et quantités fixés : $\dfrac{P}{T}$ constant (Gay-Lussac).

\displaystyle P=4{,}286\ \mathrm{atm}\times\dfrac{318{,}15\ \mathrm{K}}{293{,}15\ \mathrm{K}}=4{,}65\ \mathrm{atm}

Les fractions molaires ne changent pas : aucune molécule n'entre ni ne sort, et toutes les pressions partielles sont multipliées par le même facteur.

d)

À $T$ et $V$ constants, la quantité qui sort est proportionnelle à la baisse de pression : $\Delta n=\dfrac{\Delta P\,V}{RT}$ .

Ce même gaz, recueilli à $P'=1{,}00\ \mathrm{atm}$ et à la même température, occupe $V'=\dfrac{\Delta n\,RT}{P'}=\dfrac{\Delta P\times V}{P'}=\dfrac{(4{,}286-3{,}10)\ \mathrm{atm}\times 28{,}0\ \mathrm{L}}{1{,}00\ \mathrm{atm}}=33{,}2\ \mathrm{L}$

$\Delta n=\dfrac{1{,}00\times 33{,}2}{0{,}08206\times 293{,}15}=1{,}38\ \mathrm{mol}$ , dont $75{,}0\ \%$ d'argon : $n(\mathrm{Ar})=0{,}750\times 1{,}38=1{,}04\ \mathrm{mol}$ .

Le gaz soutiré a la composition du mélange : on ne soutire pas « de l'argon » ou « du CO₂ », on soutire du mélange.

e)

Même raisonnement à l'envers. Moles sorties du réservoir : $\Delta n=\dfrac{(2{,}480-2{,}115)\,V}{RT}$ ; moles recueillies : $\dfrac{1{,}00\times 6{,}50}{RT}$ . Elles sont égales, et $RT$ se simplifie.

\displaystyle V=\dfrac{1{,}00\ \mathrm{atm}\times 6{,}50\ \mathrm{L}}{0{,}365\ \mathrm{atm}}=17{,}8\ \mathrm{L}

Chiffres significatifs : la différence $2{,}480-2{,}115=0{,}365$ est connue au millième, elle garde trois chiffres ; le résultat aussi.

Piège : diviser par la pression finale, $\dfrac{6{,}50}{2{,}115}=3{,}07\ \mathrm{L}$ , ou par la pression initiale. C'est l'ÉCART de pression qui compte ce qui est sorti.

Exercice 6 : Stœchiométrie des gaz : le reformage à sec du méthane, volumes mesurés dans des conditions différentes

8 réponses vérifiables

Le reformage à sec transforme deux gaz à effet de serre, le méthane et le dioxyde de carbone, en gaz de synthèse : $\mathrm{CH_{4}(g)+CO_{2}(g)\rightarrow 2\,CO(g)+2\,H_{2}(g)}$ . On alimente un réacteur rigide de $60{,}0\ \mathrm{L}$ , vidé au préalable, avec $42{,}0\ \mathrm{L}$ de méthane mesurés à $96{,}8\ \mathrm{kPa}$ et $55{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ , et $28{,}5\ \mathrm{L}$ de $\mathrm{CO_{2}}$ mesurés à $1{,}92\ \mathrm{atm}$ et $22{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ (figure).

On suppose la réaction complète ; en réalité, elle conduit à un équilibre et demande un catalyseur vers $800\ ^\circ\mathrm{C}$ . Données : $R=8{,}314\ \mathrm{kPa\cdot L/(mol\cdot K)}=0{,}08206\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}$ ; $M(\mathrm{H_{2}})=2{,}016\ \mathrm{g/mol}$ .

a) Calculez la quantité de matière de chaque réactif.
b) Un élève affirme : « Il y a plus de méthane, 42,0 L contre 28,5 L, donc le $\mathrm{CO_{2}}$ est limitant. » Déterminez le réactif limitant par $x_{max}$ et corrigez l'élève.
c) Calculez la masse de dihydrogène produite.
d) À la fin, le réacteur est à $750\ ^\circ\mathrm{C}$ . Calculez la pression totale, en kPa.
e) Le capteur du réacteur indique en fait $1{,}02\times 10^{3}\ \mathrm{kPa}$ à la fin, la réaction étant complète. Déterminez la température réelle du réacteur, en $^\circ\mathrm{C}$ , puis la pression partielle du dihydrogène.

Voir la correction

Réponses

a) $n(\mathrm{CH_{4}})=1{,}49\ \mathrm{mol}$ ; $n(\mathrm{CO_{2}})=2{,}26\ \mathrm{mol}$
b) $\mathrm{CH_{4}}$ limitant, $x_{max}=1{,}49\ \mathrm{mol}$ : ici, c'est le gaz mesuré dans le plus grand volume qui est limitant
c) $m(\mathrm{H_{2}})=6{,}01\ \mathrm{g}$
d) $P_{totale}=954\ \mathrm{kPa}$
e) $T=1{,}09\times 10^{3}\ \mathrm{K}$ , environ $820\ ^\circ\mathrm{C}$ ; $P_{H_{2}}=452\ \mathrm{kPa}$

a)

Chaque gaz se convertit dans SES conditions de mesure, températures en kelvins.

\displaystyle n(\mathrm{CH_{4}})=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{96{,}8\ \mathrm{kPa}\times 42{,}0\ \mathrm{L}}{8{,}314\ \dfrac{\mathrm{kPa\cdot L}}{\mathrm{mol\cdot K}}\times 328{,}15\ \mathrm{K}}=1{,}49\ \mathrm{mol}

\displaystyle n(\mathrm{CO_{2}})=\dfrac{1{,}92\ \mathrm{atm}\times 28{,}5\ \mathrm{L}}{0{,}08206\ \dfrac{\mathrm{L\cdot atm}}{\mathrm{mol\cdot K}}\times 295{,}15\ \mathrm{K}}=2{,}26\ \mathrm{mol}

On choisit la valeur de $R$ dont les unités sont celles des données : aucune conversion de pression n'est alors nécessaire.

b)

Coefficients 1 et 1 : $x_{max}(\mathrm{CH_{4}})=\dfrac{1{,}49}{1}=1{,}49\ \mathrm{mol}$ et $x_{max}(\mathrm{CO_{2}})=\dfrac{2{,}26}{1}=2{,}26\ \mathrm{mol}$ .

Le plus petit l'emporte : $x_{max}=1{,}49\ \mathrm{mol}$ , le méthane est limitant ; il reste $2{,}259-1{,}490=0{,}769\ \mathrm{mol}$ de $\mathrm{CO_{2}}$ .

L'élève a comparé des volumes mesurés dans des conditions différentes : le méthane, chaud et à basse pression, occupe beaucoup de place pour peu de molécules ; le CO₂, comprimé à presque deux atmosphères, l'inverse.

Piège : raisonner sur les volumes. La loi d'Avogadro ne permet de comparer des volumes qu'à mêmes pression et température.

c)

Tableau d'avancement : $n(\mathrm{H_{2}})=2\,x_{max}=2\times 1{,}490=2{,}980\ \mathrm{mol}$ .

\displaystyle m(\mathrm{H_{2}})=2{,}980\ \mathrm{mol}\times\dfrac{2{,}016\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{mol}}=6{,}01\ \mathrm{g}

d)

Bilan final en gaz : $\mathrm{CO}$ $2{,}980\ \mathrm{mol}$ ; $\mathrm{H_{2}}$ $2{,}980\ \mathrm{mol}$ ; $\mathrm{CO_{2}}$ restant $0{,}769\ \mathrm{mol}$ ; $\mathrm{CH_{4}}$ $0$ .

\displaystyle n_{totale}=2{,}980+2{,}980+0{,}769=6{,}730\ \mathrm{mol}

\displaystyle P=\dfrac{n_{totale}RT}{V}=\dfrac{6{,}730\times 8{,}314\times 1023{,}15}{60{,}0}=954\ \mathrm{kPa}

Piège : oublier le réactif en excès ; avec seulement $\mathrm{CO}$ et $\mathrm{H_{2}}$ , on trouve $845\ \mathrm{kPa}$ . La pression compte TOUTES les molécules de gaz présentes, quelle que soit leur nature.

e)

La quantité de gaz est connue, $6{,}730\ \mathrm{mol}$ ; on isole $T$ :

$T=\dfrac{PV}{n_{totale}R}=\dfrac{1{,}02\times 10^{3}\ \mathrm{kPa}\times 60{,}0\ \mathrm{L}}{6{,}730\ \mathrm{mol}\times 8{,}314\ \dfrac{\mathrm{kPa\cdot L}}{\mathrm{mol\cdot K}}}=1{,}09\times 10^{3}\ \mathrm{K}$ , soit environ $820\ ^\circ\mathrm{C}$ .

\displaystyle P_{H_{2}}=x_{H_{2}}\,P_{totale}=\dfrac{2{,}980}{6{,}730}\times 1{,}02\times 10^{3}=452\ \mathrm{kPa}

Le capteur indique plus que prévu : à quantité et volume fixés, c'est le signe que le réacteur est plus chaud que la consigne.

Exercice 7 : Réacteur avec gaz inerte : le rendement de la synthèse de l'ammoniac lu sur la pression

10 réponses vérifiables

Dans un réacteur d'essai rigide de $50{,}0\ \mathrm{L}$ , on commence par introduire de l'argon jusqu'à remplir le réacteur à TPS ( $25\ ^\circ\mathrm{C}$ et $1\ \mathrm{atm}$ ) ; l'argon, inerte, sert de gaz de dilution. On ajoute ensuite $84{,}0\ \mathrm{g}$ de $\mathrm{N_{2}}$ et $18{,}0\ \mathrm{g}$ de $\mathrm{H_{2}}$ , on ferme et on porte le réacteur à $450\ ^\circ\mathrm{C}$ sur catalyseur (figure) : $\mathrm{N_{2}(g)+3\,H_{2}(g)\rightarrow 2\,NH_{3}(g)}$ . La réaction n'est pas complète : elle s'arrête à un état d'équilibre.

Données : $R=8{,}314\ \mathrm{kPa\cdot L/(mol\cdot K)}$ ; $1\ \mathrm{atm}=101{,}325\ \mathrm{kPa}$ ; $M(\mathrm{N_{2}})=28{,}02$ ; $M(\mathrm{H_{2}})=2{,}016$ ; $M(\mathrm{NH_{3}})=17{,}03\ \mathrm{g/mol}$ .

a) Calculez la quantité d'argon introduite.
b) Déterminez le réactif limitant par $x_{max}$ , puis la masse d'ammoniac qu'on obtiendrait avec un rendement de $100\ \%$ .
c) Calculez la pression qui règnerait à $450\ ^\circ\mathrm{C}$ , avant toute réaction.
d) La pression se stabilise à $1{,}50\times 10^{3}\ \mathrm{kPa}$ , toujours à $450\ ^\circ\mathrm{C}$ . Déterminez l'avancement $x$ , la quantité d'ammoniac formée et le rendement de la synthèse.
e) Calculez, à la fin, la pression partielle de l'ammoniac et celle de l'argon. La pression partielle de l'argon a-t-elle changé pendant la réaction ? Justifiez.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

n(\mathrm{Ar})

mol

b)

Réactif limitant

m(\mathrm{NH_{3}})

théorique g

c)

P

avant réaction kPa

d)

x

mol

n(\mathrm{NH_{3}})

mol

Rendement %

e)

P_{NH_{3}}

kPa

P_{Ar}

kPa

P_{Ar}

a-t-elle changé ?

Voir la correction

Réponses

a) $n(\mathrm{Ar})=2{,}04\ \mathrm{mol}$
b) $\mathrm{H_{2}}$ limitant ( $x_{max}=2{,}98\ \mathrm{mol}$ ) ; $5{,}95\ \mathrm{mol}$ , soit $101\ \mathrm{g}$ de $\mathrm{NH_{3}}$
c) $P=1{,}68\times 10^{3}\ \mathrm{kPa}$
d) $x=0{,}748\ \mathrm{mol}$ ; $n(\mathrm{NH_{3}})=1{,}50\ \mathrm{mol}$ ; rendement $25{,}1\ \%$
e) $P_{NH_{3}}=180\ \mathrm{kPa}$ ; $P_{Ar}=246\ \mathrm{kPa}$ , inchangée

a)

À TPS : $n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{101{,}325\ \mathrm{kPa}\times 50{,}0\ \mathrm{L}}{8{,}314\ \dfrac{\mathrm{kPa\cdot L}}{\mathrm{mol\cdot K}}\times 298{,}15\ \mathrm{K}}=2{,}04\ \mathrm{mol}$

Même résultat par le volume molaire à TPS : $\dfrac{50{,}0\ \mathrm{L}}{24{,}5\ \mathrm{L/mol}}=2{,}04\ \mathrm{mol}$ . Le chauffage à $450\ ^\circ\mathrm{C}$ ne change pas cette quantité, le réacteur étant fermé.

b)

$n(\mathrm{N_{2}})=\dfrac{84{,}0}{28{,}02}=3{,}00\ \mathrm{mol}$ ; $n(\mathrm{H_{2}})=\dfrac{18{,}0}{2{,}016}=8{,}93\ \mathrm{mol}$ .

$x_{max}(\mathrm{N_{2}})=\dfrac{3{,}00}{1}=3{,}00\ \mathrm{mol}$ ; $x_{max}(\mathrm{H_{2}})=\dfrac{8{,}93}{3}=2{,}98\ \mathrm{mol}$ : le dihydrogène est limitant, de peu ; les proportions sont presque stœchiométriques.

$n(\mathrm{NH_{3}})_{max}=2\times 2{,}976=5{,}95\ \mathrm{mol}$ , soit $m=5{,}952\times 17{,}03=101\ \mathrm{g}$ .

c)

Avant réaction, trois gaz : $n_{0}=2{,}044+2{,}998+8{,}929=13{,}97\ \mathrm{mol}$ , à $T=723{,}15\ \mathrm{K}$ .

\displaystyle P_{0}=\dfrac{13{,}97\times 8{,}314\times 723{,}15}{50{,}0}=1{,}68\times 10^{3}\ \mathrm{kPa}

d)

Tableau d'avancement en gaz : $\mathrm{Ar}$ $2{,}044$ ; $\mathrm{N_{2}}$ $2{,}998-x$ ; $\mathrm{H_{2}}$ $8{,}929-3x$ ; $\mathrm{NH_{3}}$ $2x$ . Total : $n_{f}=13{,}97-2x$ .

La pression finale donne $n_{f}=\dfrac{1{,}50\times 10^{3}\times 50{,}0}{8{,}314\times 723{,}15}=12{,}47\ \mathrm{mol}$ .

$x=\dfrac{13{,}97-12{,}47}{2}=0{,}748\ \mathrm{mol}$ ; $n(\mathrm{NH_{3}})=2x=1{,}50\ \mathrm{mol}$

Rendement $=\dfrac{1{,}496}{5{,}952}\times 100=25{,}1\ \%$ , l'ordre de grandeur d'un passage industriel dans un réacteur de synthèse.

Piège : oublier l'argon. On écrit alors $n_{0}=11{,}93\ \mathrm{mol}$ et on trouve $x<0$ , un rendement négatif : l'absurdité signale la molécule oubliée. Le gaz inerte ne réagit pas, mais il pousse sur les parois comme les autres.

e)

\displaystyle P_{NH_{3}}=\dfrac{n(\mathrm{NH_{3}})}{n_{f}}\,P_{f}=\dfrac{1{,}496}{12{,}47}\times 1{,}50\times 10^{3}=180\ \mathrm{kPa}

\displaystyle P_{Ar}=\dfrac{n(\mathrm{Ar})\,RT}{V}=\dfrac{2{,}044\times 8{,}314\times 723{,}15}{50{,}0}=246\ \mathrm{kPa}

Elle n'a pas changé : dans le modèle des gaz parfaits (loi de Dalton), la pression partielle d'un gaz ne dépend que de SA quantité, de $T$ et de $V$ , tous fixes ici. Sa FRACTION molaire, elle, a augmenté, de $\dfrac{2{,}04}{13{,}97}=14{,}6\ \%$ à $\dfrac{2{,}04}{12{,}47}=16{,}4\ \%$ , parce que le total a baissé.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

5 réponses vérifiables

Pour chaque affirmation, dites si elle est vraie ou fausse et justifiez en une ou deux phrases, comme au contrôle périodique : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

a) « Le manomètre d'une bouteille de gaz comprimé indique 0 : la bouteille ne contient plus de gaz. »
b) « Quand on vide d'un coup un extincteur au $\mathrm{CO_{2}}$ , le cornet se couvre de givre parce que le gaz sort à la température de la bouteille, qui est très froide. »
c) « À pression constante, quand on chauffe l'air d'une montgolfière, sa masse volumique augmente, parce que ses molécules s'agitent davantage. »
d) « Dans un mélange gazeux, deux gaz qui ont la même pression partielle ont la même quantité de matière, même si l'un a une masse molaire cent fois plus grande que l'autre. »
e) « Un gaz réel obéit d'autant mieux à $PV=nRT$ que sa pression est élevée et sa température basse. »

Voir la correction

Réponses

a) Faux : la bouteille contient encore du gaz, à la pression atmosphérique
b) Faux : le CO₂ liquide qui se vaporise absorbe de la chaleur, et le gaz se refroidit aussi en se détendant brusquement
c) Faux : la masse volumique diminue, c'est pourquoi la montgolfière monte
d) Vrai : à même volume et même température, la pression partielle ne dépend que de la quantité de matière
e) Faux : c'est l'inverse, le modèle convient à basse pression et à haute température

a)

Faux. Un manomètre de bouteille mesure une pression de JAUGE, l'écart avec l'air ambiant. Une lecture nulle signifie que la pression intérieure égale la pression atmosphérique : une bouteille de 40 L à 20 °C contient alors encore environ $1{,}7$ mol de gaz.

Une pression de jauge peut même devenir négative (vacuomètre) ; seule la pression absolue ne descend jamais sous zéro, valeur qui correspondrait au vide parfait.

Piège : lire la jauge comme une pression absolue. C'est une erreur qui fausse les calculs de $PV=nRT$ , d'autant plus que la bouteille est presque vide.

b)

Faux. La bouteille est à la température de la pièce. Le jet se refroidit en SORTANT, d'abord parce que le CO₂ liquide de l'appareil se vaporise brutalement : cette vaporisation absorbe de la chaleur, et une partie du gaz se solidifie même en neige carbonique.

La détente y contribue aussi : en passant brusquement de plusieurs dizaines d'atmosphères à une, le gaz repousse l'air extérieur et fournit ce travail aux dépens de son énergie interne, trop vite pour recevoir de la chaleur du milieu. Le givre est la vapeur d'eau de l'air qui gèle sur le cornet refroidi.

Une bombe aérosol se refroidit de la même façon après quelques secondes d'utilisation, par la vaporisation de son gaz propulseur liquéfié.

c)

Faux. De $PV=nRT$ et $n=\dfrac{m}{M}$ : $\rho=\dfrac{PM}{RT}$ . À pression constante, la masse volumique est inversement proportionnelle à la température absolue.

Chauffé de $15\ ^\circ\mathrm{C}$ à $100\ ^\circ\mathrm{C}$ , l'air de l'enveloppe voit sa masse volumique multipliée par $\dfrac{288{,}15}{373{,}15}=0{,}772$ : une partie de l'air est sortie par l'ouverture, il reste moins de molécules par litre.

Les molécules s'agitent bien davantage, mais elles sont moins nombreuses dans le même volume : c'est cette différence de masse volumique avec l'air extérieur qui fait monter la montgolfière.

Piège : confondre agitation et densité. Plus de vitesse ne veut pas dire plus de matière.

d)

Vrai. Chaque gaz d'un mélange occupe tout le volume à la même température : $P_{i}=\dfrac{n_{i}RT}{V}$ . La masse molaire n'apparaît pas dans cette relation.

Deux pressions partielles égales impliquent donc $n_{1}=n_{2}$ , que le gaz soit le dihydrogène ( $2{,}016\ \mathrm{g/mol}$ ) ou l'hexafluorure de soufre ( $146{,}06\ \mathrm{g/mol}$ ) ; leurs MASSES, elles, sont dans le rapport des masses molaires.

C'est pourquoi la loi de Dalton se raisonne en fractions MOLAIRES, jamais en fractions massiques.

e)

Faux, c'est l'inverse. Le modèle du gaz parfait suppose des molécules au volume propre négligeable et sans interactions entre elles, sauf pendant les chocs.

À haute pression, les molécules sont serrées : leur volume propre n'est plus négligeable devant celui du récipient. À basse température, les attractions entre molécules pèsent davantage par rapport à leur agitation, jusqu'à la liquéfaction.

Le modèle convient donc d'autant mieux que la pression est basse et la température élevée, loin des conditions de liquéfaction. Aux conditions usuelles, l'écart pour l'air reste inférieur à un pour cent.

Exercice 9 : Problème de contrôle : le réservoir à piston et le manomètre à deux liquides

10 réponses vérifiables

Le réservoir à piston d'un laboratoire sert de référence de pression : son piston impose dans le cylindre une pression ABSOLUE $P_{cyl}=32{,}4\ \mathrm{psi}$ . Le cylindre est relié par un tube en U à un réservoir rigide de méthane de $18{,}5\ \mathrm{L}$ , placé dans une chambre froide à $-15{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ (figure, hauteurs pas à l'échelle).

Le tube contient du mercure, $\rho_{Hg}=13{,}55\times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , et, dans la branche du réservoir, une colonne d'huile, $\rho_{h}=870\ \mathrm{kg/m^{3}}$ , posée sur le mercure. On lit $h=12{,}5\ \mathrm{cm}$ (mercure plus haut du côté du cylindre) et $d=18{,}0\ \mathrm{cm}$ (hauteur de la colonne d'huile). On néglige la masse volumique des gaz. Données : $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^{2}}$ ; $1\ \mathrm{atm}=101{,}325\ \mathrm{kPa}=14{,}696\ \mathrm{psi}$ ; $R=8{,}314\ \mathrm{kPa\cdot L/(mol\cdot K)}$ ; $M(\mathrm{CH_{4}})=16{,}04\ \mathrm{g/mol}$ .

a) Convertissez $P_{cyl}$ en kPa par analyse dimensionnelle.
b) En choisissant un niveau de référence, établissez l'expression de la pression $P_{res}$ du réservoir en fonction de $P_{cyl}$ , $h$ et $d$ , puis calculez-la.
c) Calculez la quantité (mol) puis la masse (g) de méthane contenue dans le réservoir.
d) Le réservoir, séparé du manomètre et toujours fermé, est sorti de la chambre froide et revient à $24{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ . Calculez sa pression absolue, puis ce qu'indiquerait un manomètre de jauge branché dessus, en kPa et en psi, si $P_{atm}=100{,}9\ \mathrm{kPa}$ .
e) Deux élèves se trompent à la question b) : le premier oublie la colonne d'huile ; le second prend $P_{cyl}$ pour une pression de jauge, avec $P_{atm}=100{,}9\ \mathrm{kPa}$ . Calculez l'écart relatif que chacun commet sur la quantité de méthane et dites laquelle des deux erreurs est grave.

Voir la correction

Réponses

a) $P_{cyl}=223{,}4\ \mathrm{kPa}$
b) $P_{res}=P_{cyl}+\rho_{Hg}gh-\rho_{h}gd=238{,}5\ \mathrm{kPa}$
c) $n=2{,}06\ \mathrm{mol}$ ; $m=33{,}0\ \mathrm{g}$
d) $274\ \mathrm{kPa}$ absolus ; le manomètre indiquerait $174\ \mathrm{kPa}$ , soit $25{,}2\ \mathrm{psi}$
e) $+0{,}64\ \%$ sans l'huile ; $+42{,}3\ \%$ avec la confusion jauge-absolue, l'erreur grave

a)

\displaystyle P_{cyl}=32{,}4\ \mathrm{psi}\times\dfrac{101{,}325\ \mathrm{kPa}}{14{,}696\ \mathrm{psi}}=223{,}4\ \mathrm{kPa}

On garde un chiffre de plus que les trois chiffres significatifs de la donnée, puisque cette valeur entre dans une somme.

b)

Référence : le niveau de l'interface huile-mercure, côté réservoir, qui est le niveau le plus BAS du mercure. Dans le mercure continu et au repos, la pression y est la même dans les deux branches.

Côté réservoir : $P_{res}$ plus la colonne d'huile, $P_{res}+\rho_{h}\,g\,d$ .

Côté cylindre : $P_{cyl}$ plus les $h$ de mercure situés au-dessus de ce niveau, $P_{cyl}+\rho_{Hg}\,g\,h$ .

\displaystyle P_{res}=P_{cyl}+\rho_{Hg}\,g\,h-\rho_{h}\,g\,d

$\rho_{Hg}gh=13\,550\times 9{,}81\times 0{,}125=1{,}662\times 10^{4}\ \mathrm{Pa}=16{,}62\ \mathrm{kPa}$ ; $\rho_{h}gd=870\times 9{,}81\times 0{,}180=1{,}54\ \mathrm{kPa}$

\displaystyle P_{res}=223{,}4+16{,}62-1{,}54=238{,}5\ \mathrm{kPa}

Contrôle par la figure : le mercure est repoussé vers le cylindre, donc le réservoir pousse plus fort. $P_{res}>P_{cyl}$ : cohérent.

Piège : faire un bilan avec les hauteurs mesurées depuis le fond du tube. Seules comptent les colonnes situées AU-DESSUS du niveau de référence, fluide par fluide.

c)

\displaystyle T=-15{,}0+273{,}15=258{,}15\ \mathrm{K}

\displaystyle n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{238{,}5\ \mathrm{kPa}\times 18{,}5\ \mathrm{L}}{8{,}314\ \dfrac{\mathrm{kPa\cdot L}}{\mathrm{mol\cdot K}}\times 258{,}15\ \mathrm{K}}=2{,}06\ \mathrm{mol}

\displaystyle m=2{,}056\ \mathrm{mol}\times 16{,}04\ \mathrm{g/mol}=33{,}0\ \mathrm{g}

d)

Réservoir rigide et fermé : $\dfrac{P}{T}$ constant.

\displaystyle P_{2}=238{,}5\times\dfrac{297{,}15}{258{,}15}=274\ \mathrm{kPa}

$P_{jauge}=274{,}5-100{,}9=174\ \mathrm{kPa}$ , soit $173{,}6\ \mathrm{kPa}\times\dfrac{14{,}696\ \mathrm{psi}}{101{,}325\ \mathrm{kPa}}=25{,}2\ \mathrm{psi}$

La pression absolue n'augmente que de 15 % ; la lecture du manomètre, elle, part d'une référence qui ne bouge pas, et l'écart à l'atmosphère grandit de 26 %.

e)

$n$ est proportionnel à $P_{res}$ : l'écart relatif sur $n$ est celui sur $P_{res}$ .

Premier élève : $P'=223{,}4+16{,}62=240{,}0\ \mathrm{kPa}$ , écart $\dfrac{240{,}0-238{,}5}{238{,}5}=+0{,}64\ \%$ .

Second élève : il ajoute $P_{atm}$ à une pression déjà absolue, $P''=238{,}5+100{,}9=339{,}4\ \mathrm{kPa}$ , écart $+42{,}3\ \%$ .

La colonne d'huile, peu dense, pèse peu ; on la garde parce que l'énoncé la donne, mais l'oublier ne coûte presque rien au résultat. Confondre jauge et absolue fausse la quantité de près de moitié.

Piège : ajouter $P_{atm}$ par réflexe. On ne l'ajoute qu'à une lecture de JAUGE ; l'énoncé dit ici que $P_{cyl}$ est absolue.

Exercice 10 : Problème de contrôle : combustion de l'acétylène en récipient fermé

8 réponses vérifiables

Pour étudier la flamme d'un chalumeau, on brûle de l'acétylène dans un récipient rigide de $12{,}0\ \mathrm{L}$ muni d'un allumeur et d'un manomètre de jauge (figure). À $25{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ , on y introduit $3{,}90\ \mathrm{g}$ de $\mathrm{C_{2}H_{2}}$ et $16{,}0\ \mathrm{g}$ de $\mathrm{O_{2}}$ , puis on déclenche l'étincelle. La combustion est complète et ne donne que du dioxyde de carbone et de l'eau.

Données : $M(\mathrm{C_{2}H_{2}})=26{,}04$ ; $M(\mathrm{O_{2}})=32{,}00\ \mathrm{g/mol}$ ; $R=0{,}08206\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}$ ; $1\ \mathrm{atm}=101{,}325\ \mathrm{kPa}$ ; pression de vapeur de l'eau à $25{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ : $3{,}17\ \mathrm{kPa}$ ; $P_{atm}=100{,}8\ \mathrm{kPa}$ .

a) Écrivez l'équation équilibrée de la combustion et déterminez le réactif limitant.
b) Calculez la quantité de $\mathrm{CO_{2}}$ formée.
c) Après la combustion, le récipient est stabilisé à $180\ ^\circ\mathrm{C}$ , où toute l'eau est gazeuse. Calculez la pression totale, en atm.
d) Calculez, à $180\ ^\circ\mathrm{C}$ , les pressions partielles du $\mathrm{CO_{2}}$ et de la vapeur d'eau.
e) On laisse revenir le récipient à $25{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ : l'eau se condense presque entièrement, et sa vapeur garde la pression de $3{,}17\ \mathrm{kPa}$ . Calculez la pression totale, en atm, et vérifiez qu'il reste bien de l'eau liquide.
f) Déterminez ce qu'indiquait le manomètre avant l'allumage, à $25{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ , et ce qu'il indique à la fin de la question e), en kPa.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

a)

Réactif limitant

b)

n(\mathrm{CO_{2}})

mol

c)

P_{totale}

à 180 °C atm

d)

P_{CO_{2}}

atm

P_{H_{2}O}

atm

e)

P_{totale}

à 25,0 °C atm

f)

Lecture avant l'allumage kPa

Lecture à la fin kPa

Voir la correction

Réponses

a) $2\,\mathrm{C_{2}H_{2}(g)}+5\,\mathrm{O_{2}(g)}\rightarrow 4\,\mathrm{CO_{2}(g)}+2\,\mathrm{H_{2}O}$ ; $\mathrm{C_{2}H_{2}}$ limitant
b) $n(\mathrm{CO_{2}})=0{,}300\ \mathrm{mol}$
c) $P_{totale}=1{,}78\ \mathrm{atm}$
d) $P_{CO_{2}}=0{,}928\ \mathrm{atm}$ ; $P_{H_{2}O}=0{,}464\ \mathrm{atm}$
e) $P_{totale}=0{,}898\ \mathrm{atm}$ ; il reste bien de l'eau liquide
f) $+33{,}4\ \mathrm{kPa}$ avant ; $-9{,}8\ \mathrm{kPa}$ à la fin

a)

\displaystyle 2\,\mathrm{C_{2}H_{2}(g)}+5\,\mathrm{O_{2}(g)}\rightarrow 4\,\mathrm{CO_{2}(g)}+2\,\mathrm{H_{2}O}

$n(\mathrm{C_{2}H_{2}})=\dfrac{3{,}90\ \mathrm{g}}{26{,}04\ \mathrm{g/mol}}=0{,}150\ \mathrm{mol}$ ; $n(\mathrm{O_{2}})=\dfrac{16{,}0}{32{,}00}=0{,}500\ \mathrm{mol}$

$x_{max}(\mathrm{C_{2}H_{2}})=\dfrac{0{,}1498}{2}=0{,}0749\ \mathrm{mol}$ ; $x_{max}(\mathrm{O_{2}})=\dfrac{0{,}500}{5}=0{,}100\ \mathrm{mol}$

L'acétylène est limitant : $x_{max}=0{,}0749\ \mathrm{mol}$ .

Piège : comparer les quantités sans les diviser par les coefficients. Il faut 2,5 moles de dioxygène par mole d'acétylène.

b)

\displaystyle n(\mathrm{CO_{2}})=4\,x_{max}=4\times 0{,}07490=0{,}300\ \mathrm{mol}

c)

Tableau d'avancement final : $\mathrm{CO_{2}}$ $0{,}2995$ ; $\mathrm{H_{2}O}$ $2x_{max}=0{,}1498$ ; $\mathrm{O_{2}}$ restant $0{,}500-5\times 0{,}0749=0{,}1256$ ; $\mathrm{C_{2}H_{2}}$ $0$ (mol).

$n_{totale}=0{,}2995+0{,}1498+0{,}1256=0{,}5749\ \mathrm{mol}$ , à $T=453{,}15\ \mathrm{K}$ .

\displaystyle P=\dfrac{nRT}{V}=\dfrac{0{,}5749\ \mathrm{mol}\times 0{,}08206\ \dfrac{\mathrm{L\cdot atm}}{\mathrm{mol\cdot K}}\times 453{,}15\ \mathrm{K}}{12{,}0\ \mathrm{L}}=1{,}78\ \mathrm{atm}

Piège : oublier le dioxygène en excès ou la vapeur d'eau. Toute espèce GAZEUSE présente dans le récipient compte.

d)

$P_{i}=\dfrac{n_{i}RT}{V}$ , ou $x_{i}P_{totale}$ :

$P_{CO_{2}}=\dfrac{0{,}2995\times 0{,}08206\times 453{,}15}{12{,}0}=0{,}928\ \mathrm{atm}$ ; $P_{H_{2}O}=\dfrac{0{,}1498\times 0{,}08206\times 453{,}15}{12{,}0}=0{,}464\ \mathrm{atm}$

Contrôle : avec $P_{O_{2}}=0{,}389\ \mathrm{atm}$ , la somme redonne $1{,}78\ \mathrm{atm}$ .

e)

À $25{,}0\ ^\circ\mathrm{C}$ , restent gazeux $\mathrm{CO_{2}}$ et $\mathrm{O_{2}}$ , plus la vapeur d'eau à sa pression de vapeur :

\displaystyle P=\dfrac{(0{,}2995+0{,}1256)\times 0{,}08206\times 298{,}15}{12{,}0}+\dfrac{3{,}17}{101{,}325}=0{,}867+0{,}0313=0{,}898\ \mathrm{atm}

Vérification : la vapeur d'eau à $3{,}17\ \mathrm{kPa}$ dans $12{,}0\ \mathrm{L}$ ne représente que $\dfrac{3{,}17\times 12{,}0}{8{,}314\times 298{,}15}=0{,}0153\ \mathrm{mol}$ , sur $0{,}150\ \mathrm{mol}$ d'eau formée : près de 90 % de l'eau est liquide.

L'eau liquide occupe quelques millilitres : on néglige son volume devant les 12,0 L du récipient.

f)

Avant l'allumage : $n=0{,}1498+0{,}500=0{,}6498\ \mathrm{mol}$ de gaz à $298{,}15\ \mathrm{K}$ .

$P=\dfrac{0{,}6498\times 0{,}08206\times 298{,}15}{12{,}0}=1{,}325\ \mathrm{atm}=134{,}2\ \mathrm{kPa}$ , donc une lecture de $134{,}2-100{,}8=+33{,}4\ \mathrm{kPa}$ .

À la fin : $0{,}898\ \mathrm{atm}=91{,}0\ \mathrm{kPa}$ , donc une lecture de $91{,}0-100{,}8=-9{,}8\ \mathrm{kPa}$ .

La combustion fait passer le récipient d'une surpression à une dépression : 7 moles de gaz deviennent 4 moles de CO₂ et de l'eau qui se condense. Ouvrir ce récipient aspirerait de l'air.

Le comportement des gaz : exercices corrigés de CHE0501 (Polytechnique)

Rappel de cours

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Pression absolue et pression de jauge : la bouteille d'oxygène d'un poste d'oxycoupage

Exercice 2 : Manomètres en U : bout ouvert, bout fermé, et le sens de la dénivellation

Exercice 3 : Boyle, Charles, Gay-Lussac, Avogadro : le cylindre à piston

Exercice 4 : PV = nRT, TPN et masse volumique : l'extincteur au CO₂ et un gaz à identifier

Exercice 5 : Loi de Dalton : deux réservoirs mis en communication, puis du gaz soutiré

Partie B : problèmes de contrôle (/50)

Exercice 6 : Stœchiométrie des gaz : le reformage à sec du méthane, volumes mesurés dans des conditions différentes

Exercice 7 : Réacteur avec gaz inerte : le rendement de la synthèse de l'ammoniac lu sur la pression

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème de contrôle : le réservoir à piston et le manomètre à deux liquides

Exercice 10 : Problème de contrôle : combustion de l'acétylène en récipient fermé

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