Faire le point : Mathématiques CST, Secondaire 5 CST

a) Périmètre de la base : $4\times 6=24$ cm. Aire latérale : $\dfrac{24\times 5}{2}=60$ cm$^{2}$, soit quatre triangles de base $6$ et de hauteur $5$, l'apothème étant la hauteur de chaque face. Aire totale : $60+6^{2}=96$ cm$^{2}$. Volume : $\dfrac{1}{3}\times 36\times 4=48$ cm$^{3}$. La hauteur $4$ ne sert QUE dans le volume, l'apothème $5$ QUE dans l'aire : les mélanger est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

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a) Abonnement A : $3\times 10=30$ dollars. Abonnement B : $20+1\times 10=30$ dollars. Les deux cases valent $30$. Une table de valeurs est souvent le chemin le plus rapide vers le seuil en CST, à condition de ne pas oublier les frais fixes de B, qui s'ajoutent même quand le nombre de déplacements est nul.

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a) Une hausse de $8\,\%$ garde les $100\,\%$ de départ et ajoute $8\,\%$, soit $108\,\%$ : la base vaut $c=1{,}08$. Une hausse de $150\,\%$ donne $100\,\%+150\,\%=250\,\%$, donc $c=2{,}5$. Attention à celle-ci : augmenter de $150\,\%$ ne revient pas à multiplier par $1{,}5$, mais par $2{,}5$, c'est-à-dire à plus que doubler.

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c) $1344\times 4{,}25=5712$ dollars. Le gazon se compte en mètres carrés, donc il suit l'AIRE, pas le périmètre. Confondre les deux est l'erreur qui coûte le plus dans ce genre de problème, et elle se repère aux unités : un prix au mètre carré ne peut multiplier qu'une aire.

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b) Les sommets sont $(0\,;0)$, $(8\,;0)$, $(6\,;3)$ et $(0\,;6)$. On les obtient en croisant les frontières deux à deux : les deux axes donnent l'origine ; l'axe des abscisses et la droite $3x+2y=24$ donnent $(8\,;0)$, car $3x=24$ ; les deux obliques donnent $(6\,;3)$, calculé en a) ; l'axe des ordonnées et la droite $x+2y=12$ donnent $(0\,;6)$, car $2y=12$. Chaque sommet doit ensuite être VÉRIFIÉ dans toutes les contraintes, et c'est précisément ce que la question suivante met en défaut.

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a) Placer $4$ ans puis $8$ ans de plus, c'est multiplier par $(1{,}05)^4$ puis par $(1{,}05)^8$. La loi du produit de puissances de même base donne $(1{,}05)^4\times(1{,}05)^8=(1{,}05)^{4+8}=(1{,}05)^{12}$, dont la valeur est environ $1{,}7959$. On additionne les exposants et on ne les multiplie surtout pas : $12$ périodes de placement, pas $32$. Le capital est donc multiplié par environ $1{,}7959$, soit une hausse de près de $80\,\%$.

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a) L'ORDRE d'un graphe est son nombre de sommets : ici $6$, les relais $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$. On compte ensuite les arêtes une par une, en suivant d'abord le contour puis les liaisons intérieures : $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ et $FA$ pour le tour, puis $BE$ et $AD$ qui traversent. Le graphe possède donc $8$ arêtes. Le comptage des arêtes est la première source d'erreur du chapitre : on en oublie une, ou bien on prend un croisement de traits pour un sommet. Le point où $BE$ et $AD$ se croisent au milieu de la figure n'est PAS un relais, aucun point n'y est tracé, et le graphe garde bien six sommets.

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b) Première façon, par la formule : $P(S \text{ ou } I) = P(S)+P(I)-P(S \text{ et } I) = 0{,}6+0{,}35-\dfrac{45}{200} = 0{,}6+0{,}35-0{,}225 = 0{,}725$. On retire l'intersection parce que les $45$ élèves qui font les deux ont été comptés une fois dans $120$ et une fois dans $70$. Deuxième façon, par dénombrement direct : les élèves concernés sont ceux des trois cases $45$, $75$ et $25$, soit $145$ élèves, d'où $\dfrac{145}{200}=0{,}725$. Les deux méthodes concordent, et faire les deux est la meilleure façon de ne pas oublier la soustraction.

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a) Le nombre d'électeurs est la SOMME des effectifs de colonnes : $36+25+21+10+8=100$. Le nombre de bulletins différents est le nombre de COLONNES, soit $5$. Les deux nombres n'ont aucune raison d'être égaux : le tableau regroupe les bulletins identiques, exactement comme un tableau de fréquences regroupe les valeurs répétées d'une série statistique. Un tableau de préférences n'est rien d'autre qu'un tableau de fréquences dont les valeurs sont des ORDRES et non des nombres. Avec quatre candidatures il existe $4\times 3\times 2\times 1=24$ ordres possibles ; ici seulement $5$ ont été utilisés, ce qui est normal, un électorat réel se répartit sur une poignée d'ordres et non sur les vingt-quatre.

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b) Même formule, avec un angle obtus : $a^{2}=5^{2}+8^{2}-2\times 5\times 8\times\cos 124^\circ$. Les carrés donnent $89$ et le double produit vaut $80$. Or $\cos 124^\circ\approx -0{,}55919$, un nombre NÉGATIF. Le terme retranché vaut donc $80\times(-0{,}55919)\approx -44{,}74$, et soustraire un nombre négatif revient à ajouter : $a^{2}\approx 89+44{,}74=133{,}74$, donc $a\approx 11{,}56$. Le piège du chapitre est là, entier : on tape la formule dans la calculatrice en oubliant que le cosinus d'un angle obtus est négatif, on écrit $89-44{,}74$ et on trouve $6{,}65$, une valeur plus petite que $8$ alors que la figure montre clairement le contraire.

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b) De $1$ à $2$, l'aire passe de $6$ à $24$ : elle est multipliée par $4$. Le volume passe de $1$ à $8$ : il est multiplié par $8$. De $2$ à $4$, même chose, $24$ devient $96$ et $8$ devient $64$. La règle s'écrit avec les puissances : si l'arête est multipliée par $k$, l'aire est multipliée par $k^{2}$ et le volume par $k^{3}$. C'est pour cela qu'un modèle réduit à l'échelle $1:2$ ne pèse pas la moitié, mais le huitième.

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