Faire le point : Mathématiques expertes, Terminale

1) Première division : $1071=2\times 462+147$, reste $147$. Deuxième : $462=3\times 147+21$, reste $21$. Troisième : $147=7\times 21+0$, reste nul. Le dernier reste NON NUL est $21$, donc le plus grand diviseur commun de $1071$ et $462$ vaut $21$.

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a) Une fonction est affine lorsqu'elle s'écrit $ax+b$, donc lorsque la variable n'apparaît qu'au premier degré et jamais au dénominateur. $f(x)=3x-7$ est affine avec $a=3$ et $b=-7$. $g$ ne l'est pas, à cause du carré. $h$ ne l'est pas, à cause du $x$ au dénominateur. $k(x)=-4$ est affine avec $a=0$ et $b=-4$. Enfin $m(x)=2(x-3)+x=2x-6+x=3x-6$ est bien affine, avec $a=3$ et $b=-6$ : il faut développer avant de conclure, et c'est le cas qui piège le plus souvent.

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a) $\Delta=7^{2}-4\times(-2)\times(-3)=49-24=25>0$, donc $\sqrt{\Delta}=5$ et les racines sont $x=\frac{-7\pm 5}{2\times(-2)}=\frac{-7\pm 5}{-4}$, soit $x=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$ et $x=\frac{-12}{-4}=3$. Comme $a=-2<0$, le trinôme est NÉGATIF à l'extérieur des racines et POSITIF entre elles. On peut le confirmer en testant trois valeurs, une par zone : $f(0)=-3<0$, $f(1)=2>0$ et $f(4)=-7<0$ ✓.

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b) On écrit $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$, donc le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe des ORDONNÉES, dans le deuxième quadrant. L'abscisse change de signe et l'ordonnée est conservée : $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

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a) $u_{0}=\frac{1}{2}$, $u_{1}=\frac{4}{3}\approx 1{,}333$ et $u_{10}=\frac{31}{12}\approx 2{,}583$. Les valeurs montent en se rapprochant de $3$, ce qui oriente déjà vers les questions suivantes.

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b) $|z'|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, puis $z'=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, ce qui correspond à $\cos\frac{3\pi}{4}$ et $\sin\frac{3\pi}{4}$. Donc $\arg(z')=\frac{3\pi}{4}$. Le contrôle par le quadrant est ici décisif : la partie réelle est négative et l'imaginaire positive, on est donc dans le DEUXIÈME quadrant, ce qui exclut $-\frac{\pi}{4}$ ✓.

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b) On développe le membre de droite : $(z-1)(z^{2}+bz+c)=z^{3}+(b-1)z^{2}+(c-b)z-c$. Deux polynômes égaux pour tout $z$ ont les mêmes coefficients (le programme l'admet : une fonction polynôme nulle a tous ses coefficients nuls). On identifie : $b-1=-3$, $c-b=12$ et $-c=-10$. La première donne $b=-2$, la dernière $c=10$, et la deuxième sert de VÉRIFICATION : $c-b=10+2=12$. Trois équations pour deux inconnues, c'est normal, puisque le système n'a de solution que parce que $P(1)=0$. Si la vérification échoue, l'erreur est en amont : soit $1$ n'est pas racine, soit le développement est faux. Sautez cette ligne et vous perdez le seul contrôle gratuit de l'exercice.

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b) Le piège est ici, et il coûte des points chaque année. On cherche $q$ tel que le reste tombe dans $[0\,;\,5[$. Avec $q=-4$ : $5\times(-4)=-20$ et $-17-(-20)=3$, donc $-17=5\times(-4)+3$, avec quotient $-4$ et reste $3$ ✓. L'erreur classique consiste à écrire $-17=5\times(-3)-2$, ce qui est une égalité vraie mais N'EST PAS une division euclidienne, car $-2$ n'est pas un reste valable. Le reste est toujours POSITIF, même pour un dividende négatif, et le quotient descend donc d'une unité.

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a) $M^{2}=\begin{pmatrix} 1\times 1+1\times 0 & 1\times 1+1\times 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, puis $M^{3}=M^{2}M=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Seul le coefficient en haut à droite bouge, et il augmente de $1$ à chaque multiplication.

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a) $M^{2}=\begin{pmatrix}2&1&1&2&0\\1&3&2&1&1\\1&2&3&1&1\\2&1&1&3&0\\0&1&1&0&1\end{pmatrix}$

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