Faire le point : Maths du tronc commun, Première

a) Après la hausse : $200\times 1{,}20=240$ dollars. Après la baisse, les $20\ \%$ portent sur $240$ et non sur $200$ : $240\times 0{,}80=192$ dollars.

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a) $f(x)=-(x^2-6x)-5=-((x-3)^2-9)-5=-(x-3)^2+9-5=-(x-3)^2+4$. Sommet $S(3,\ 4)$, axe de symétrie $x=3$. Pourquoi l'axe est-il en $x=3$ : la valeur de $f$ ne dépend de $x$ que par $(x-3)^2$, et deux nombres opposés ont le même carré. Donc $3+d$ et $3-d$ ont toujours la même image, quelle que soit la distance $d$.

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a) Une fonction est affine lorsqu'elle s'écrit $ax+b$, donc lorsque la variable n'apparaît qu'au premier degré et jamais au dénominateur. $f(x)=3x-7$ est affine avec $a=3$ et $b=-7$. $g$ ne l'est pas, à cause du carré. $h$ ne l'est pas, à cause du $x$ au dénominateur. $k(x)=-4$ est affine avec $a=0$ et $b=-4$. Enfin $m(x)=2(x-3)+x=2x-6+x=3x-6$ est bien affine, avec $a=3$ et $b=-6$ : il faut développer avant de conclure, et c'est le cas qui piège le plus souvent.

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La méthode est la même pour chaque phrase : le groupe qui suit « des » ou « parmi » est la population dans laquelle on compte, et c'est SON total qui va au dénominateur. Le groupe qui suit « sont » est ce qu'on compte, et c'est la case qui va au numérateur.

b) « Des chômeurs » : on compte cette fois parmi les $123$ chômeurs, total de la colonne. $\dfrac{45}{123}\approx 0{,}366$, soit environ $36{,}6\ \%$. La phrase est FAUSSE : elle a gardé le pourcentage de a) en échangeant les deux groupes. Les mêmes $45$ personnes pèsent $15\ \%$ d'un groupe et $36{,}6\ \%$ de l'autre, parce que les deux groupes n'ont pas la même taille. Ce retournement de phrase est la faute que les médias commettent le plus souvent.

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d) Pièces conformes : $5\,000-200=4\,800$, dont $2\ \%$ rejetées, soit $96$ pièces rejetées à tort ; en probabilité, $P(\overline{D}\cap R)=0{,}96\times 0{,}02=0{,}0192$ et $0{,}0192\times 5\,000=96$. Au total $180+96=276$ pièces rejetées. Parmi elles, la proportion de défectueuses est $P_{R}(D)=\dfrac{180}{276}\approx 0{,}652$. Le contrôle rejette donc $90\ \%$ des défectueuses, mais seulement $65\ \%$ environ des pièces rejetées sont défectueuses : les $96$ conformes rejetées pèsent lourd parce qu'elles sont prélevées dans une population $24$ fois plus nombreuse. Pour retourner le conditionnement, on n'a utilisé aucune formule nouvelle : on a compté sur une journée, puis divisé par le bon total, celui des rejetées.

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b) Coefficient directeur : $a=\dfrac{37-25}{27{,}5-7{,}5}=\dfrac{12}{20}=0{,}6$. La droite passe par $G_{1}$ : $25=0{,}6\times 7{,}5+b$, donc $b=25-4{,}5=20{,}5$. Équation : $y=0{,}6x+20{,}5$. Unités : $y$ est en milliers d'habitants et $x$ en années, donc $0{,}6$ millier d'habitants par an, c'est-à-dire $600$ habitants de plus chaque année, en moyenne sur la période. L'ordonnée à l'origine $20{,}5$ est la population que la droite attribue à 1990, $20\,500$ habitants, proche des $20\,000$ recensés : la droite résume le nuage, elle ne passe exactement par aucun de ses points.

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b) Règle du chemin : on multiplie les pondérations rencontrées. $P(V_{1}\cap V_{2})=0{,}5\times 0{,}9=0{,}45$ et $P(\overline{V_{1}}\cap V_{2})=0{,}5\times 0{,}3=0{,}15$. L'évènement $V_{2}$ est atteint par DEUX chemins, qui ne se recouvrent pas : on additionne, $P(V_{2})=0{,}45+0{,}15=0{,}6$. Contrôle : les deux autres chemins valent $0{,}05$ et $0{,}35$, et les quatre ensemble font $0{,}45+0{,}05+0{,}15+0{,}35=1$. Le produit se justifie par la définition, $P_{V_{1}}(V_{2})=\dfrac{P(V_{1}\cap V_{2})}{P(V_{1})}$ : c'est une proportion de proportion, $90\ \%$ de la moitié des trajets.

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a) Sur le graphique, le point d'abscisse $20$ est à $600$ et celui d'abscisse $40$ à $300$ : $D(20)=600$ et $D(40)=300$. Le taux d'accroissement vaut $\frac{D(40)-D(20)}{40-20}=\frac{300-600}{20}=\frac{-300}{20}=-15$. Interprétation : chaque dollar de plus sur le prix fait perdre $15$ milliers de boîtes vendues par mois. Le signe compte : un taux négatif dit que la demande BAISSE quand le prix monte. Écrire $15$ sans le signe fait perdre l'interprétation, et souvent le point.

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a) Dans le repère 1, les pieds de l'arche sont les points $(0\,;0)$ et $(40\,;0)$ : ce sont deux points de hauteur nulle, donc les racines $0$ et $40$. La forme factorisée s'impose : $A_1(x)=a(x-0)(x-40)=a\,x(x-40)$. Les racines ne fixent pas $a$ : il faut une troisième information, la hauteur. Le sommet est au milieu des racines, en $x=20$, et il est à $16$ m : $A_1(20)=a\times 20\times(-20)=-400a=16$, donc $a=-\frac{16}{400}=-0{,}04$. Le signe est cohérent : une arche est tournée vers le bas, $a<0$.

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a) Chaque évolution se traduit par un coefficient : $+60\ \%$ donne $1{,}6$, $+20\ \%$ donne $1{,}2$, $-10\ \%$ donne $0{,}9$. Des évolutions successives se composent en MULTIPLIANT les coefficients : $1{,}6\times 1{,}2=1{,}92$, puis $1{,}92\times 0{,}9=1{,}728$. Le coefficient global est $1{,}728$, soit une hausse globale de $72{,}8\ \%$. Additionner les taux, $60+20-10=70\ \%$, sous-estime l'évolution : chaque taux s'applique à une valeur déjà modifiée par les précédents.

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