Faire le point : Mathématiques complémentaires, Terminale

Une question par chapitre, 10 en tout, tirées des exercices corrigés du cours. Réponds à celles que tu sais faire et passe celles d'un chapitre que tu n'as pas encore vu : chaque réponse se vérifie tout de suite, et la correction s'ouvre après.

Avec ton espace gratuit, chaque réponse est gardée et ton tableau de bord range chaque chapitre : réussi au test, ou à travailler. Ce sont les mêmes questions que sur les pages des séries : une réponse donnée ici compte là-bas.

Ce que le cours suppose

Ces chapitres viennent d'une année précédente, et le cours s'appuie dessus dès les premières semaines.

Mathématiques · Première · Les suites numériques

$(v_n)$ est géométrique de raison $q=2$ avec $v_0=3$ . $(w_n)$ est géométrique avec $w_1=12$ et $w_4=1{,}5$ .

Dans une suite géométrique, ce sont les quotients qui sont constants, pas les écarts : toutes les formules du chapitre en découlent.

a) Exprimez $v_n$ en fonction de $n$ , puis calculez $v_{10}$ .

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Réponse

a) $v_n=3\times 2^{n}$ , $v_{10}=3\,072$

a) $v_n=v_0\times q^n=3\times 2^n$ , donc $v_{10}=3\times 2^{10}=3\times 1024=3072$ . Le facteur $3$ ne s'élève pas à la puissance $n$ : seule la raison le fait. Écrire $(3\times 2)^n$ est l'erreur la plus fréquente, et elle donnerait $6^{10}$ , soit environ $60$ millions.

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La série du chapitre · la fiche de révision

Mathématiques · Première · La fonction exponentielle

Le signe d'une exponentielle ne se discute pas : elle est toujours strictement positive. Tout le travail porte donc sur l'autre facteur.

b) Déterminez le signe de $\left(x^{2}-4\right)\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$ .

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Réponse

b) Positif sur $]-\infty;-2[$ et $]2;+\infty[$ , négatif sur $]-2;2[$

b) Le facteur $\mathrm{e}^{x}$ étant strictement positif, l'expression a exactement le signe de $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ , trinôme de coefficient dominant positif : positive sur $]-\infty\,;\,-2[$ , négative sur $]-2\,;\,2[$ , positive sur $]2\,;\,+\infty[$ , et nulle en $-2$ et en $2$ . On notera que les zéros de l'expression sont ceux du polynôme SEUL, l'exponentielle n'en apportant aucun.

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Mathématiques · Première · Les variables aléatoires

On lance un dé équilibré à six faces. Un joueur gagne 10 dollars s'il obtient 6, gagne 2 dollars s'il obtient 4 ou 5, et perd 3 dollars sinon.

On note $X$ le gain algébrique du joueur, en dollars.

Algébrique signifie que les pertes sont comptées négativement : c'est ce qui permet de traiter gains et pertes dans un seul et même calcul.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Donnez les valeurs prises par $X$ .

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Réponse

a) $-3$ , $2$ et $10$

a) Une variable aléatoire ne retient que les gains, pas les faces : deux faces différentes qui rapportent la même somme donnent la même valeur de $X$ . Ici $X$ prend trois valeurs : $10$ , $2$ et $-3$ .

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Les chapitres du cours

Dans l'ordre du cours.

Chapitre 1 · Fonctions et modèles d'évolution

Le nombre cumulé d'inscriptions à un service, en milliers, est modélisé par $C(t)=t^{3}-9t^{2}+30t+50$ pour $t$ compris entre 0 et 8, où $t$ est le nombre de mois écoulés.

a) Calculez $C'(t)$ . Cette dérivée s'annule-t-elle sur $[0;8]$ ?

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Réponse

a) $C'(t)=3t^{2}-18t+30$ , $\Delta<0$ : jamais nulle

a) $C'(t)=3t^{2}-18t+30$ . Son discriminant vaut $\Delta=(-18)^{2}-4\times 3\times 30=324-360=-36<0$ : la dérivée ne s'annule JAMAIS et garde donc le signe de son coefficient dominant, qui est positif. Le nombre d'inscriptions est ainsi toujours croissant sur $[0\,;\,8]$ , ce qui est rassurant pour un cumul.

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Chapitre 2 · Suites et modèles discrets

On considère les quatre suites suivantes, définies chacune d'une manière différente.

$u_{n}=3n+5$ ; $v_{n+1}=0{,}8v_{n}$ avec $v_{0}=200$ ; $w_{n+1}=w_{n}+2n+1$ avec $w_{0}=0$ ; $t_{n}=\frac{2^{n+1}}{5}$ .

a) Pour chacune des quatre suites, dites si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre. Justifiez à chaque fois.

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Réponse

a) $u$ arithmétique, $v$ et $t$ géométriques, $w$ ni l'une ni l'autre

a) Pour $(u_{n})$ : $u_{n+1}-u_{n}=3(n+1)+5-(3n+5)=3$ , constante. La suite est arithmétique de raison 3, de premier terme $u_{0}=5$ . Pour $(v_{n})$ : la relation donnée est exactement $v_{n+1}=0{,}8\,v_{n}$ , donc la suite est géométrique de raison $0{,}8$ . Pour $(w_{n})$ : $w_{n+1}-w_{n}=2n+1$ , qui dépend de $n$ , donc elle n'est pas arithmétique ; et le rapport $\frac{w_{1}}{w_{0}}$ n'existe même pas puisque $w_{0}=0$ , donc elle n'est pas géométrique. Pour $(t_{n})$ : $\frac{t_{n+1}}{t_{n}}=\frac{2^{n+2}/5}{2^{n+1}/5}=2$ , constante : elle est géométrique de raison 2.

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Chapitre 3 · La fonction logarithme, approche historique

Résolvez chacune des équations ou inéquations suivantes. Les solutions approchées seront données au dix-millième, et les rangs entiers seront exacts.

c) $0{,}85^{n}\leq 0{,}01$ , où $n$ est un entier naturel

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Réponse

c) $n=29$

c) $n\ln 0{,}85\leq\ln 0{,}01$ . Ici $\ln 0{,}85\approx -0{,}1625$ est négatif, donc la division renverse l'inégalité : $n\geq\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}85}\approx\frac{-4{,}6052}{-0{,}1625}\approx 28{,}3362$ . Le plus petit entier convenable est $n=29$ . C'est l'erreur de signe la plus fréquente du chapitre : la solution est bien $n\geq 29$ et non $n\leq 28$ .

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Chapitre 4 · Le logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle

Chaque question commence par la condition d'existence : tout ce qui est sous un $\ln$ doit être strictement positif. Une solution qui n'y satisfait pas est rejetée par écrit.

b) Résolvez $2\ln x=\ln(x+6)$ .

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Réponse

b) $S=\{3\}$ ; $x=-2$ rejeté (hors du domaine $x>0$ )

b) Domaine : il faut $x>0$ ET $x+6>0$ , donc $x>0$ . Sur ce domaine, $2\ln x=\ln\left(x^{2}\right)$ , et l'équation devient $\ln\left(x^{2}\right)=\ln(x+6)$ . Comme $\ln$ est strictement croissante, deux nombres positifs de même logarithme sont égaux : $x^{2}=x+6$ , soit $x^{2}-x-6=0$ , de discriminant $25$ et de racines $3$ et $-2$ . Or $-2$ n'est pas dans le domaine : il est REJETÉ, et $S=\{3\}$ . Vérification : $2\ln 3=\ln 9=\ln(3+6)$ . Sans l'écriture du domaine, l'élève garde $-2$ et perd la question, alors que tout son calcul est juste.

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Chapitre 5 · Intégrales et calculs d'aires

Déterminez une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, puis répondez à la dernière question.

b) $g(x)=\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ sur $\mathbb{R}$

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Réponse

b) $-2\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}+C$

b) Une primitive de $\mathrm{e}^{ax}$ est $\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}$ . Ici $a=-0{,}5$ , donc $G(x)=\frac{1}{-0{,}5}\mathrm{e}^{-0{,}5x}=-2\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}+C$ . Vérification : $G'(x)=-2\times(-0{,}5)\mathrm{e}^{-0{,}5x}=\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ .

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Chapitre 6 · Probabilités et statistiques

Un site constate que 25 % des visiteurs créent un compte. On observe 8 visiteurs, considérés comme indépendants.

On note $X$ le nombre de comptes créés. Les résultats seront arrondis au dix-millième.

a) Justifiez que $X$ suit une loi binomiale et donnez ses paramètres.

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Réponse

a) $\mathcal{B}(8\,;0{,}25)$

a) Trois conditions doivent être réunies et il faut les énoncer toutes : l'épreuve se RÉPÈTE un nombre fixé de fois, ici $8$ ; chaque répétition n'a que deux issues, créer un compte ou non ; les répétitions sont INDÉPENDANTES et la probabilité de succès reste constante à $0{,}25$ . Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(8\,;\,0{,}25)$ .

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Chapitre 7 · Lois à densité et temps d'attente

Un cycliste note la distance $X$ , en kilomètres, parcourue avec un pneu neuf avant la première crevaison. On modélise $X$ par la LOI EXPONENTIELLE de paramètre $\lambda=0{,}002$ , de densité $f(x)=0{,}002\,\mathrm{e}^{-0{,}002x}$ sur $[0\,;+\infty[$ . La loi exponentielle ne sert pas qu'aux durées : toute grandeur qui « attend » un événement survenant sans usure s'y prête.

La figure représente la fonction de répartition $F$ de $X$ sur $[0\,;1\,500]$ .

b) Calculez $P(X\le 200)$ et $P(X>1\,000)$ , arrondies au millième.

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Réponse

b) $P(X\le 200)=1-\mathrm{e}^{-0{,}4}\approx 0{,}330$ ; $P(X>1\,000)=\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$

b) $P(X\le 200)=F(200)=1-\mathrm{e}^{-0{,}002\times 200}=1-\mathrm{e}^{-0{,}4}\approx 1-0{,}6703\approx 0{,}330$ : un pneu sur trois crève dans les $200$ premiers kilomètres. $P(X>1\,000)=\mathrm{e}^{-0{,}002\times 1\,000}=\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}135$ . Ici, pas besoin de calculer $1-F$ : la probabilité de dépasser se lit directement dans l'exponentielle. L'erreur coûteuse est d'écrire $P(X>1\,000)=1-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}865$ , qui confond « dépasser » et « ne pas dépasser » : on la repère en voyant qu'elle ferait crever presque tous les pneus avant $1\,000$ km, alors que la courbe de $F$ en $1\,000$ n'atteint que $0{,}86$ .

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