Chapitre 1 · Nombres réels, racines et ensembles

On considère l'univers $U$ des entiers de $1$ à $20$ , l'ensemble $A$ des multiples de $3$ dans $U$ et l'ensemble $B$ des nombres pairs dans $U$ . Le diagramme ci-dessous en donne le squelette, sans les nombres.

a) Écrivez $A$ et $B$ en extension, puis $A\cap B$ et $A\cup B$ .

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Réponse

a) $A\cap B=\{6\,;12\,;18\}$ , les multiples de $6$ ; $A\cup B$ a $13$ éléments

a) $A=\{3\,;6\,;9\,;12\,;15\,;18\}$ et $B=\{2\,;4\,;6\,;8\,;10\,;12\,;14\,;16\,;18\,;20\}$ . L'INTERSECTION est ce qui est dans les deux à la fois, les multiples de $3$ qui sont pairs, c'est-à-dire les multiples de $6$ : $A\cap B=\{6\,;12\,;18\}$ . L'UNION est ce qui est dans au moins un des deux : $A\cup B=\{2\,;3\,;4\,;6\,;8\,;9\,;10\,;12\,;14\,;15\,;16\,;18\,;20\}$ . Un élément qui est dans les deux ne s'écrit qu'UNE fois dans l'union : $6$ , $12$ et $18$ n'apparaissent pas deux fois.

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Chapitre 2 · Lois des exposants et notation scientifique

Élever un PRODUIT à une puissance, c'est élever chaque facteur. Élever une SOMME à une puissance, c'est autre chose, et la parenthèse dit à quoi s'applique l'exposant. La figure compare un cube d'arête $2a$ et deux cubes d'arête $a$ .

a) Exprimez le volume du grand cube et celui des deux petits cubes réunis. Combien de petits cubes faudrait-il pour égaler le grand ?

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Réponse

a) $8a^{3}$ contre $2a^{3}$ : il faudrait HUIT petits cubes

a) Le grand cube a pour volume $(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$ . Les deux petits cubes ont ensemble $2a^{3}$ . Il faudrait donc HUIT petits cubes, et pas deux, pour égaler le grand : doubler l'arête multiplie le volume par $2^{3}=8$ . La figure le dit : le grand cube a deux petits cubes de largeur, deux de profondeur et deux de hauteur. C'est la raison pour laquelle $(2a)^{3}\neq 2a^{3}$ : dans le premier, le $2$ est élevé au cube avec $a$ ; dans le second, il ne l'est pas.

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Chapitre 3 · Expressions algébriques et mise en évidence

Un MONÔME est un produit d'un nombre, le coefficient, et de variables affectées d'exposants entiers positifs. Son DEGRÉ est la somme des exposants de ses variables. Deux monômes sont SEMBLABLES quand ils ont exactement les mêmes variables avec les mêmes exposants : seuls leurs coefficients peuvent différer.

On considère l'expression $E=5x^{2}y-3xy^{2}+7-2x^{2}y+xy^{2}-4$ .

a) Donnez le coefficient et le degré de chacun des six termes de $E$ .

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Réponse

a) $5$ et $3$ ; $-3$ et $3$ ; $7$ et $0$ ; $-2$ et $3$ ; $1$ et $3$ ; $-4$ et $0$

a) $5x^{2}y$ : coefficient $5$ , degré $2+1=3$ . $-3xy^{2}$ : coefficient $-3$ (le signe fait partie du coefficient), degré $1+2=3$ . $7$ : coefficient $7$ , degré $0$ , c'est un terme constant. $-2x^{2}y$ : coefficient $-2$ , degré $3$ . $xy^{2}$ : coefficient $1$ , qu'on n'écrit pas, degré $3$ . $-4$ : coefficient $-4$ , degré $0$ . Le degré compte les variables, pas le coefficient : $7$ est de degré $0$ même s'il vaut $7$ .

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Chapitre 4 · Équations et inéquations du premier degré

Devant une équation à fractions, on multiplie les DEUX membres par un dénominateur commun : toutes les fractions disparaissent d'un coup et il reste une équation ordinaire.

a) Résolvez $\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=7$ .

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Réponse

a) $x=12$

a) Le dénominateur commun de $3$ et $4$ est $12$ . On multiplie tout par $12$ : $12\times\dfrac{x}{3}+12\times\dfrac{x}{4}=12\times 7$ , soit $4x+3x=84$ , donc $7x=84$ et $x=12$ . Vérification : $\dfrac{12}{3}+\dfrac{12}{4}=4+3=7$ . Le piège est d'oublier de multiplier le membre de droite : $4x+3x=7$ donne $x=1$ , une réponse qui ne vérifie rien.

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Chapitre 5 · Systèmes d'équations : comparaison et graphique

Quand aucune des deux équations n'est écrite en $y=\ldots$ , on isole la MÊME variable dans chacune, puis on compare. On peut isoler $y$ ou $x$ : on choisit la variable dont le coefficient rend le calcul le plus simple.

a) Résolvez $\begin{cases}x+y=12\\ x-y=4\end{cases}$ en isolant $y$ dans chaque équation.

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Réponse

a) $(8\,;4)$

a) Première équation : $y=12-x$ . Seconde : $y=x-4$ . Comparaison : $12-x=x-4$ , donc $16=2x$ et $x=8$ . Puis $y=12-8=4$ . Solution : $(8\,;4)$ . Vérification : $8+4=12$ et $8-4=4$ . Le signe de $y$ dans la seconde équation est le piège : de $x-y=4$ on tire $-y=4-x$ , donc $y=x-4$ , et non $y=4-x$ .

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Chapitre 6 · Fonctions : propriétés et réciproque

Le graphique donne la température extérieure $T$ , en degrés Celsius, au cours d'une journée d'avril, en fonction de l'heure $h$ , de $0$ h à $24$ h. Les quatre premières propriétés d'une fonction se lisent directement dessus, à condition de savoir sur quel AXE regarder.

a) Donnez le domaine et l'image de la fonction.

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Réponse

a) Domaine $[0\,;24]$ h, image $[-6\,;8]$ degrés

a) Le DOMAINE se lit sur l'axe horizontal : la courbe existe de $h=0$ à $h=24$ , donc le domaine est $[0\,;24]$ heures. L'IMAGE se lit sur l'axe vertical : la courbe descend au plus bas à $-6$ (à $3$ h) et monte au plus haut à $8$ (à $15$ h), donc l'image est $[-6\,;8]$ degrés. Ce sont deux intervalles, l'un de $x$ , l'autre de $y$ , et on les écrit avec des crochets fermés parce que les extrémités sont atteintes.

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Chapitre 7 · Fonction de degré 1 : variations directe et partielle

Le TAUX DE VARIATION $a$ entre deux points $(x_{1}\,;y_{1})$ et $(x_{2}\,;y_{2})$ est $a=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ : l'écart vertical divisé par l'écart horizontal. Il dit de combien $y$ change quand $x$ augmente de $1$ .

b) Calculez le taux entre $(-2\,;7)$ et $(4\,;-5)$ . Interprétez son signe.

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Réponse

b) $a=-2$ : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ diminue de $2$

b) $a=\dfrac{-5-7}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$ . Le taux est NÉGATIF : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ DIMINUE de $2$ . La fonction est décroissante, la droite descend vers la droite. Le piège de cette question est le dénominateur, $4-(-2)=6$ et non $2$ : soustraire un négatif, c'est additionner.

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Chapitre 8 · Variation inverse et proportionnalité

La règle d'une variation inverse est $y=\dfrac{k}{x}$ , et un seul couple $(x\,;y)$ suffit pour trouver $k=xy$ . On peut ensuite calculer n'importe quel $y$ , ou n'importe quel $x$ .

b) Complétez la table d'une variation inverse : $x=2$ donne $y=30$ ; $x=5$ donne $y=$ ? ; $x=$ ? donne $y=4$ ; $x=0{,}5$ donne $y=$ ?

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Réponse

b) $12$ , $15$ , $120$

b) $k=2\times 30=60$ . Pour $x=5$ : $y=12$ . Pour $y=4$ : $x=\dfrac{60}{4}=15$ . Pour $x=0{,}5$ : $y=\dfrac{60}{0{,}5}=120$ . Ce dernier cas surprend : diviser par un nombre plus petit que $1$ AGRANDIT, et plus $x$ s'approche de $0$ , plus $y$ devient grand. C'est le comportement typique près de l'axe vertical.

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Chapitre 9 · Aire et volume des solides

Pour une pyramide régulière ou un cône, l'aire latérale utilise l'APOTHÈME $a$ , la distance du sommet au bord de la base le long d'une face, et non la hauteur $h$ : $A_{lat}=\dfrac{P_{base}\times a}{2}$ pour la pyramide, $A_{lat}=\pi ra$ pour le cône. Le volume vaut le TIERS de celui du prisme ou du cylindre de même base et même hauteur.

a) Une pyramide régulière a une base carrée de $6$ cm de côté, une hauteur de $4$ cm et un apothème de $5$ cm. Calculez son aire latérale, son aire totale et son volume.

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Réponse

a) Latérale $60$ , totale $96$ cm $^{2}$ , volume $48$ cm $^{3}$

a) Périmètre de la base : $4\times 6=24$ cm. Aire latérale : $\dfrac{24\times 5}{2}=60$ cm $^{2}$ , soit quatre triangles de base $6$ et de hauteur $5$ , l'apothème étant la hauteur de chaque face. Aire totale : $60+6^{2}=96$ cm $^{2}$ . Volume : $\dfrac{1}{3}\times 36\times 4=48$ cm $^{3}$ . La hauteur $4$ ne sert QUE dans le volume, l'apothème $5$ QUE dans l'aire : les mélanger est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

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Chapitre 10 · Figures et solides semblables : k, k², k³

Deux figures sont SEMBLABLES quand l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre : mêmes angles, et tous les côtés correspondants dans le MÊME rapport $k$ , le rapport de similitude. Si $k=1$ , les figures sont ISOMÉTRIQUES. La figure montre trois rectangles.

a) Les rectangles A et B sont-ils semblables ? Et A et C ? Justifiez par des rapports.

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Réponse

a) A et B oui, $k=1{,}5$ ; A et C non, $\dfrac{8}{6}\neq\dfrac{5}{4}$

a) A et B : $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ et $\dfrac{6}{4}=1{,}5$ , les deux rapports sont égaux, donc A et B sont semblables, avec $k=1{,}5$ de A vers B. A et C : $\dfrac{8}{6}\approx 1{,}33$ mais $\dfrac{5}{4}=1{,}25$ ; les rapports diffèrent, donc A et C ne sont PAS semblables, même si C « ressemble » à A. Deux rectangles ont toujours les mêmes angles : pour eux, tout se joue sur les rapports des côtés.

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Chapitre 11 · Théorème de Pythagore et réciproque

Dans un triangle RECTANGLE, le carré de l'HYPOTÉNUSE est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, les cathètes. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : elle ne le touche pas, et c'est toujours le plus long. Les trois triangles de la figure sont rectangles, mais orientés différemment.

a) Pour chacun des trois triangles, nommez l'hypoténuse et écrivez la relation de Pythagore avec les noms des côtés.

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Réponse

a) $ABC$ : hypoténuse $BC$ , $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ ; $DEF$ : $DF$ ; $GHI$ : $GH$

a) Triangle $ABC$ , angle droit en $A$ : l'hypoténuse est $BC$ , le côté qui ne touche pas $A$ ; relation $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ . Triangle $DEF$ , angle droit en $E$ : hypoténuse $DF$ , relation $DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$ . Triangle $GHI$ , angle droit en $I$ : hypoténuse $GH$ , le côté du BAS, relation $GH^{2}=GI^{2}+HI^{2}$ . Le troisième cas est le piège : l'hypoténuse n'est pas « le côté penché », c'est le côté opposé à l'angle droit, même quand il est horizontal.

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Chapitre 12 · Dénombrement et probabilité géométrique

Une COMBINAISON de $k$ éléments parmi $n$ est un choix NON ORDONNÉ de $k$ éléments distincts : un groupe, une poignée, un comité. Chaque combinaison correspond à $k!$ arrangements, ceux qu'on obtient en ordonnant ses éléments de toutes les façons. Donc : nombre de combinaisons $=\dfrac{\text{nombre d'arrangements}}{k!}$ .

a) Parmi $8$ élèves, on forme un comité de $3$ personnes aux rôles identiques. Combien de comités possibles ? Partez des $336$ arrangements de l'exercice 3.

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Réponse

a) $\dfrac{336}{3!}=56$ comités

a) Chaque comité $\{A, B, C\}$ compte pour $3!=6$ podiums différents (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Les $336$ arrangements regroupent donc les comités par paquets de $6$ : $\dfrac{336}{6}=56$ comités. On peut aussi écrire directement $\dfrac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$ . Passer d'un arrangement à une combinaison, c'est diviser par les ordres qu'on ne distingue plus.

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Chapitre 13 · Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesures

La POPULATION est l'ensemble complet qu'on veut décrire ; l'ÉCHANTILLON est la partie qu'on observe réellement. Quatre méthodes pour le constituer : ALÉATOIRE SIMPLE (tirage au sort dans toute la population), SYSTÉMATIQUE (un individu sur $k$ dans une liste), STRATIFIÉ (la population est découpée en groupes et chaque groupe est représenté en proportion), PAR GRAPPES (on tire au sort des groupes entiers et on interroge tout le groupe).

a) Une école de $900$ élèves veut connaître l'avis de ses élèves sur la cafétéria. Nommez la population, puis proposez un échantillon de $90$ élèves pour chacune des quatre méthodes.

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Réponse

a) Population : les $900$ élèves ; quatre échantillons de $90$ , un par méthode

a) Population : les $900$ élèves de l'école, tous, y compris ceux qu'on n'interrogera pas. Aléatoire simple : on numérote les $900$ élèves et on tire $90$ numéros au sort. Systématique : sur la liste alphabétique, on tire un point de départ au hasard entre $1$ et $10$ , puis on prend un élève sur $10$ . Stratifié : on tire au sort, dans chaque niveau, un nombre d'élèves proportionnel à l'effectif du niveau, voir b). Par grappes : on tire au sort $3$ classes de $30$ élèves parmi toutes les classes, et on interroge les $90$ élèves de ces $3$ classes.

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Faire le point : Mathématiques, Secondaire 3

Les chapitres du cours

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