Mathématiques · Secondaire 5 · Les vecteurs et la géométrie vectorielle

Deux câbles tirent sur un anneau : le premier exerce une force $\vec{F_{1}}$ de 60 N vers l'est, le second une force $\vec{F_{2}}$ de 80 N vers le nord. Le schéma à l'échelle ci-dessous (1 carreau = 10 N) montre les deux forces et la résultante $\vec{R}$ , diagonale du parallélogramme.

b) Calculez l'intensité (norme) de $\vec{R}$ et son orientation par rapport à l'est (au centième de degré).

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Réponse

b) $100$ N à $53{,}13°$ au nord de l'est

b) $\|\vec{R}\|=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10000}=100$ N. On retrouve le triplet $3$ - $4$ - $5$ multiplié par $20$ . L'orientation vaut $\theta=\arctan\frac{80}{60}=\arctan\frac{4}{3}\approx 53{,}13^{\circ}$ au nord de l'est, et le résultat est acceptable tel quel puisque les deux composantes sont positives, donc le vecteur est au premier quadrant. Contrôle de plausibilité, à faire systématiquement en physique : la résultante $100$ N est plus grande que chacune des deux forces mais plus petite que leur somme $140$ N, ce qui est toujours le cas pour deux forces non colinéaires ✓. Et l'angle dépasse $45^{\circ}$ , ce qui est cohérent avec une composante nord plus grande que la composante est.

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Chapitre 1 · Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire

Un multimètre numérique n'a pas d'incertitude de lecture au sens de la règle graduée : l'affichage est net. Son incertitude est écrite dans la NOTICE, sous la forme $\pm(a\,\%\ \text{de la lecture}+n\ \text{digits})$ , où un digit vaut une unité du dernier chiffre affiché.

L'appareil utilisé ici est spécifié $\pm(0{,}5\,\%+2\ \text{digits})$ en tension continue. Sur le calibre $20{,}00$ V, il affiche $12{,}47$ V. Le schéma ci-dessous représente l'afficheur sur les deux calibres.

b) Calculez l'incertitude absolue sur la lecture $12{,}47$ V, puis écrivez le résultat, en V.

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Réponse

b) $\Delta U=0{,}08$ V, donc $U=(12{,}47\pm 0{,}08)$ V

b) La notice donne deux termes à ADDITIONNER. Terme proportionnel : $0{,}5\,\%\times 12{,}47=0{,}0624$ V. Terme de digits : $2\times 0{,}01=0{,}02$ V. Total : $\Delta U=0{,}0624+0{,}02=0{,}0824$ V, que l'on arrondit à UN chiffre significatif, $0{,}08$ V. La valeur s'aligne sur la même décimale : $U=(12{,}47\pm 0{,}08)$ V. Écrire $(12{,}4700\pm 0{,}0824)$ V serait faux par excès de précision : les quatre chiffres de l'afficheur ne sont pas quatre chiffres justes.

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Chapitre 2 · Charge, champ et potentiel électriques

Une charge $q_{1}=+4{,}0$ μC est placée à l'origine et une charge $q_{2}=+9{,}0$ μC en $x=0{,}50$ m.

d) On place une charge $q_{0}=-5{,}0$ μC au milieu du segment ( $x=0{,}25$ m). Calculez la force qu'elle subit (grandeur et sens). Attention au signe de $q_{0}$ .

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Réponse

d) $E=7{,}2\times 10^{5}$ N/C vers $-x$ , donc $F=3{,}6$ N vers $+x$

d) En $x=0{,}25$ m : $E_{1}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(4{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}25)^{2}}=5{,}76\times 10^{5}$ N/C vers $+x$ ; $E_{2}=\frac{(9{,}0\times 10^{9})(9{,}0\times 10^{-6})}{(0{,}25)^{2}}=1{,}296\times 10^{6}$ N/C vers $-x$ . Champ résultant : $7{,}2\times 10^{5}$ N/C vers $-x$ (vers $q_{1}$ ). Force sur $q_{0}<0$ : $F=|q_{0}|E=(5{,}0\times 10^{-6})(7{,}2\times 10^{5})=3{,}6$ N, dirigée à l'OPPOSÉ du champ, donc vers $+x$ , c'est-à-dire vers $q_{2}$ . Le signe négatif de la charge renverse le sens : oublier ce renversement est le piège classique.

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Chapitre 3 · Le théorème de Gauss

Une sphère isolante de rayon $R=12{,}0$ cm porte une charge dont la densité volumique croît avec la distance au centre selon $\rho(r)=\rho_{0}\dfrac{r}{R}$ , avec $\rho_{0}=2{,}50$ μC/m $^{3}$ .

Le schéma ci-dessous représente la sphère en coupe.

a) Calculez la charge totale de la sphère, en explicitant l'intégrale.

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Réponse

a) $Q=\pi\rho_{0}R^{3}=1{,}36\times 10^{-8}$ C

a) On découpe la sphère en coquilles d'épaisseur $dr'$ , de volume $4\pi r'^{2}dr'$ , chacune à densité constante : $Q=\displaystyle\int_{0}^{R}\rho_{0}\dfrac{r'}{R}4\pi r'^{2}\,dr'=\dfrac{4\pi\rho_{0}}{R}\displaystyle\int_{0}^{R}r'^{3}dr'=\dfrac{4\pi\rho_{0}}{R}\cdot\dfrac{R^{4}}{4}=\pi\rho_{0}R^{3}$ . Numériquement : $\pi\times 2{,}50\times 10^{-6}\times(0{,}120)^{3}=1{,}36\times 10^{-8}$ C, soit $13{,}6$ nC. Notez que le résultat est $\pi\rho_{0}R^{3}$ et non $\dfrac{4}{3}\pi\rho_{0}R^{3}$ : la densité étant nulle au centre et maximale au bord, la moyenne pondérée par le volume vaut $\dfrac{3}{4}\rho_{0}$ .

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Chapitre 4 · Le potentiel électrique et les condensateurs

Une coquille conductrice sphérique, de rayon intérieur $a=4{,}00$ cm et de rayon extérieur $b=6{,}00$ cm, porte une charge nette $Q=-8{,}00$ nC. Une charge ponctuelle $q=+3{,}00$ nC est placée au centre de la cavité.

d) On relie maintenant la coquille à la terre. Que deviennent les charges des deux surfaces, et que vaut le champ en $r=10{,}0$ cm ?

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Réponse

d) La surface intérieure garde $-3{,}00$ nC, l'extérieure passe à $0$ , et $E=0$ dehors

d) Relier à la terre, c'est imposer $V=0$ à la coquille. La surface intérieure ne peut pas changer, elle est verrouillée par le théorème de Gauss appliqué dans le métal tant que $q$ reste en place : elle garde $-3{,}00$ nC. C'est la surface EXTÉRIEURE qui s'ajuste, en évacuant sa charge vers la terre jusqu'à ce que le potentiel s'annule, ce qui exige une charge extérieure nulle. Le champ en $r=10{,}0$ cm devient donc nul, et il l'est partout à l'extérieur. La mise à la terre a rendu la coquille électriquement invisible du dehors.

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Chapitre 5 · Circuits à courant continu

Une source idéale de 18 V alimente une résistance $R_{1}=6{,}0$ Ω placée en série avec un groupement parallèle formé de $R_{2}=12$ Ω et $R_{3}=4{,}0$ Ω.

a) Calculez la résistance équivalente du circuit.

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Réponse

a) $R_{23}=3{,}0$ Ω, $R_{eq}=9{,}0$ Ω

a) Parallèle d'abord : $R_{23}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}=\frac{(12)(4)}{16}=3{,}0$ Ω. Puis la série : $R_{eq}=6+3=9{,}0$ Ω.

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Chapitre 6 · Les circuits RC en courant continu

Dans le circuit ci-dessous, une source de $10{,}0$ V alimente, à travers $R_{1}=6{,}00$ kΩ, la résistance $R_{2}=3{,}00$ kΩ en parallèle avec un condensateur $C=100$ µF initialement déchargé. L'interrupteur K est fermé à $t=0$ .

a) Quelle tension atteint le condensateur en régime permanent ?

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Réponse

a) $v_{C}=3{,}33$ V

a) En régime permanent le condensateur ne laisse plus passer de courant : $R_{1}$ et $R_{2}$ forment un diviseur de tension parcouru par $\dfrac{10{,}0}{9{,}00\times 10^{3}}=1{,}11$ mA. $v_{C}=R_{2}I=\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\mathcal{E}=3{,}33$ V, et non $10{,}0$ V.

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Chapitre 7 · Magnétisme et induction

Dans un spectromètre de masse, des ions positifs de charge $+e$ traversent d'abord un sélecteur de vitesse où règnent un champ électrique de $8{,}0\times 10^{4}$ V/m et un champ magnétique de 0,40 T croisés (perpendiculaires entre eux et à la vitesse). Les ions non déviés entrent ensuite dans une région où seul règne un champ magnétique de 0,50 T, et y décrivent un demi-cercle de rayon 5,0 cm.

Le schéma ci-dessous représente l'appareil.

a) Expliquez le principe du sélecteur : quelle condition les forces doivent-elles vérifier, et quelle vitesse est sélectionnée ?

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Réponse

a) $qE=qvB$ donne $v=E/B=2{,}0\times 10^{5}$ m/s, indépendante de la charge

a) L'ion subit la force électrique $qE$ et la force magnétique $qvB$ , montées en opposition. Il traverse sans dévier si elles se compensent : $qE=qvB$ , d'où $v=\frac{E}{B}=\frac{8{,}0\times 10^{4}}{0{,}40}=2{,}0\times 10^{5}$ m/s. La charge s'est simplifiée : le sélecteur trie sur la vitesse seule, quelle que soit la masse ou la charge.

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Chapitre 8 · L'induction électromagnétique

Une bobine plate de $N=200$ spires, d'aire $A=25{,}0$ cm $^{2}$ et de résistance totale $R=12{,}0$ Ω, est placée perpendiculairement à un champ dont l'intensité varie selon $B(t)=0{,}0800+0{,}240\,t-0{,}0600\,t^{2}$ , en teslas, avec $t$ en secondes. La courbe donne $B(t)$ .

a) Établissez l'expression de la fem induite en fonction du temps, puis calculez-la à $t=0$ , $t=2{,}00$ s et $t=4{,}00$ s.

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Réponse

a) $\varepsilon(t)=-0{,}120+0{,}0600t$ : $-120$ mV, $0$ , puis $+120$ mV

a) $\varepsilon=-N A\dfrac{dB}{dt}$ avec $\dfrac{dB}{dt}=0{,}240-0{,}120\,t$ . Donc $\varepsilon(t)=-200\times 2{,}50\times 10^{-3}\times(0{,}240-0{,}120t)=-0{,}120+0{,}0600\,t$ , en volts. À $t=0$ : $\varepsilon=-0{,}120$ V, de module $120$ mV. À $t=2{,}00$ s : $\varepsilon=0$ exactement. À $t=4{,}00$ s : $\varepsilon=+0{,}120$ V, même module qu'au départ mais signe OPPOSÉ. Remarquez que $NA=0{,}500$ m $^{2}$ ici, ce qui simplifie tous les calculs : la fem vaut simplement la moitié de $\dfrac{dB}{dt}$ .

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Chapitre 9 · Sources du champ magnétique

Un solénoïde de longueur $L=40$ cm compte 1200 spires jointives parcourues par un courant de 2,5 A. La figure le montre en coupe : le courant sort de la feuille dans les spires du haut (⊙) et y entre dans celles du bas (⊗). Le rectangle en pointillés est le contour d'Ampère : un côté de longueur $\ell$ à l'intérieur, parallèle à l'axe, un côté à l'extérieur, deux côtés perpendiculaires à l'axe.

a) À l'aide du contour de la figure, démontrez que $B=\mu_{0}nI$ à l'intérieur, où $n$ est le nombre de spires par mètre. Précisez le sort de chacun des quatre côtés.

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Réponse

a) $B\ell=\mu_{0}n\ell I$ donne $B=\mu_{0}nI$ ; ni $\ell$ ni le rayon ne survivent

a) Côté intérieur (longueur $\ell$ , parallèle à l'axe) : $\vec{B}$ uniforme et parallèle, contribution $B\ell$ . Côté extérieur : champ pratiquement nul autour d'un long solénoïde (les spires lointaines compensent les proches), contribution nulle. Deux côtés perpendiculaires : $\vec{B}\perp d\vec{l}$ à l'intérieur et $B\approx 0$ à l'extérieur, contributions nulles. Total : $\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=B\ell$ . Courant enlacé : le rectangle embrasse $n\ell$ spires portant chacune $I$ , soit $I_{\text{int}}=n\ell I$ . Ampère : $B\ell=\mu_{0}n\ell I$ , donc $B=\mu_{0}nI$ . Remarquez tout ce qui a disparu : $\ell$ (le champ est uniforme), la position du côté intérieur, et même le RAYON du solénoïde.

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Chapitre 10 · Circuits RC, RL et RLC

Une bobine idéale d'inductance $L=0{,}30$ H est branchée à $t=0$ en série avec une résistance $R=6{,}0$ Ω et une pile de fem $E=12$ V. La figure montre le courant $i(t)$ .

a) Expliquez, avec la loi de Lenz, pourquoi le courant ne peut pas s'établir instantanément. Comment la bobine se comporte-t-elle à $t=0^{+}$ et en régime permanent ? Donnez le courant final.

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Réponse

a) Lenz s'oppose à la croissance : coupure au départ, fil à la fin, $I_{\infty}=2{,}0$ A

a) Toute croissance de $i$ fait croître le flux du champ de la bobine à travers elle-même : par la loi de Lenz, la fem induite $e=-L\frac{di}{dt}$ s'OPPOSE à cette croissance. Un saut instantané de courant exigerait une fem infinie : le courant s'installe donc progressivement. À $t=0^{+}$ : $i=0$ , la bobine se comporte comme un INTERRUPTEUR OUVERT (toute la tension est à ses bornes). En régime permanent : $\frac{di}{dt}=0$ , plus aucune fem, la bobine idéale est un simple FIL : $I_{\infty}=\frac{E}{R}=\frac{12}{6{,}0}=2{,}0$ A. C'est le miroir exact du condensateur, qui fait fil au départ et coupure à l'arrivée.

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Faire le point : Électricité et magnétisme 203-SN2-RE (ancien 203-NYB)

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