Faire le point : Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA)

b) $\|\vec{R}\|=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10000}=100$ N. On retrouve le triplet $3$-$4$-$5$ multiplié par $20$. L'orientation vaut $\theta=\arctan\frac{80}{60}=\arctan\frac{4}{3}\approx 53{,}13^{\circ}$ au nord de l'est, et le résultat est acceptable tel quel puisque les deux composantes sont positives, donc le vecteur est au premier quadrant. Contrôle de plausibilité, à faire systématiquement en physique : la résultante $100$ N est plus grande que chacune des deux forces mais plus petite que leur somme $140$ N, ce qui est toujours le cas pour deux forces non colinéaires ✓. Et l'angle dépasse $45^{\circ}$, ce qui est cohérent avec une composante nord plus grande que la composante est.

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a) $t_{1}=\frac{12}{24}=0{,}50$ h et $t_{2}=\frac{12}{12}=1{,}0$ h, soit 1,5 h pour 24 km. Vitesse moyenne : $\frac{24}{1{,}5}=16$ km/h, et NON 18 km/h. La moyenne des deux vitesses donnerait 18, mais ce n'est pas ainsi qu'on calcule une vitesse moyenne : on divise la distance TOTALE par le temps TOTAL. Or la cycliste passe deux fois plus de temps à rouler lentement qu'à rouler vite, et c'est la partie lente qui pèse le plus dans la moyenne.

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a) Accélération nulle : $F_{N}=m g=60\times 9{,}8=588$ N.

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a) $k=\dfrac{F}{x}=\dfrac{25}{0{,}10}=250$ N/m.

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b) Par la règle du produit : $\begin{aligned}&h'(x) \\ &\quad = (2x)(x^{3}-2x)+(x^{2}+1)(3x^{2}-2) \\ &\quad = 2x^{4}-4x^{2}+3x^{4}-2x^{2}+3x^{2}-2 \\ &\quad = 5x^{4}-3x^{2}-2\end{aligned}$ Vérification en développant d'abord : $h(x)=x^{5}-x^{3}-2x$, donc $h'=5x^{4}-3x^{2}-2$ ✓. Conclusion : les deux voies donnent le même résultat, mais le développement préalable n'est possible que pour des polynômes ; la règle du produit, elle, marche sur n'importe quel produit ($xe^{x}$, $x\sin x$). Piège : croire que $(fg)'=f'g'$. Ici $f'g'=(2x)(3x^{2}-2)=6x^{3}-4x$, sans rapport.

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a) $f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $f(4)=2$ et $f'(4)=\frac{1}{4}$. La linéarisation est $L(x)=2+\frac{1}{4}(x-4)$. Estimation : $\sqrt{4{,}1}\approx L(4{,}1)=2+\frac{0{,}1}{4}=2{,}025$. Valeur exacte : $\sqrt{4{,}1}\approx 2{,}0248457$. L'erreur absolue vaut environ $0{,}000154$, soit une erreur relative de $0{,}0076$ pour cent. Pour un calcul mental, la performance est remarquable : trois décimales correctes sans aucun outil.

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a) La plus petite graduation vaut $1$ mm, donc $\Delta L=0{,}5$ mm $=0{,}05$ cm. On lit la position de chaque extrémité à la demi-graduation près.

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b) L'aire sous la courbe est un trapèze qu'on découpe : triangle $\frac{1}{2}(8)(20)=80$ m, rectangle $(20)(20)=400$ m, triangle $\frac{1}{2}(8)(20)=80$ m. Distance totale : $80+400+80=560$ m.

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a) « $20^{\circ}$ à l'ouest du nord » se lit dans l'ordre : on part du NORD et on tourne de $20^{\circ}$ vers l'ouest. L'angle est donc mesuré à partir de l'axe des $y$, et c'est le SINUS qui donne la composante en $x$ : $\Delta x_{2}=-3{,}00\sin 20{,}0^{\circ}=-1{,}03$ km (vers l'ouest, donc négatif) et $\Delta y_{2}=3{,}00\cos 20{,}0^{\circ}=2{,}82$ km. Le piège classique est d'écrire $3\cos 20^{\circ}$ en $x$ par réflexe : on obtiendrait une étape presque plein est, ce que la figure dément immédiatement. Règle sûre : le cosinus va sur l'axe DONT ON PART pour mesurer l'angle.

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a) Seuil de glissement : $f_{s,max}=\mu_{s}N=\mu_{s}mg=(0{,}50)(20)(9{,}8)=98$ N. Comme 90 N $<$ 98 N, la caisse ne bouge pas. Le frottement vaut alors exactement 90 N (et non 98 N !) : le frottement statique s'ajuste pour annuler la résultante, il n'atteint son maximum qu'au seuil du glissement.

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b) Ici il faut conserver l'énergie, pas équilibrer les forces. Le bloc part du repos et s'arrête au point le plus bas, donc $\Delta K=0$ : toute l'énergie potentielle gravitationnelle perdue s'est stockée dans le ressort. $mgx_{max}=\frac{1}{2}kx_{max}^{2}$, d'où $x_{max}=\frac{2mg}{k}=0{,}157$ m, soit $15{,}7$ cm. C'est EXACTEMENT le double de l'allongement d'équilibre, et le résultat est général : $x_{max}=2x_{eq}$, quelles que soient la masse et la raideur. Un chargement lâché brutalement sollicite une structure deux fois plus qu'un chargement posé doucement, ce qui est un principe de base du dimensionnement en génie.

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b) Pour un projectile frappant une cible immobile, la résolution du système donne $v_{1}'=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}=\frac{1-3}{4}(4)=-2$ m/s et $v_{2}'=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}=\frac{2}{4}(4)=2$ m/s. Le chariot léger REBONDIT en arrière ($v_{1}'<0$) : il frappe plus lourd que lui; le chariot lourd part vers l'avant à 2 m/s.

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e) Première erreur : le théorème $I=I_{cm}+Md^{2}$ part OBLIGATOIREMENT du centre de masse. Cherchons le moment d'inertie de la tige seule autour d'un axe situé au quart de sa longueur, soit $0{,}200$ m du centre. La bonne réponse est $0{,}0640+1{,}20(0{,}200)^{2}=0{,}112$ kg$\cdot$m$^{2}$. En partant à tort de l'extrémité, on écrirait $0{,}256+1{,}20(0{,}200)^{2}=0{,}304$ kg$\cdot$m$^{2}$, presque le triple. Le théorème n'est pas une règle de translation quelconque, c'est une relation privilégiée avec le centre de masse, et il en découle que $I_{cm}$ est toujours le PLUS PETIT des moments d'inertie pour une direction d'axe donnée. Seconde erreur : la même tige de $1{,}20$ kg et $0{,}800$ m vaut $0{,}0640$ kg$\cdot$m$^{2}$ autour de son centre, $0{,}256$ kg$\cdot$m$^{2}$ autour d'une extrémité, et pratiquement zéro autour de son propre axe longitudinal. Parler du moment d'inertie d'un corps sans nommer l'axe n'a aucun sens, alors que parler de sa masse en a toujours un.

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a) Rectangle 1, la base : aire $A_{1}=2{,}00\times 0{,}50=1{,}00$ m², centre en $\left(1{,}00\ ;\ 0{,}25\right)$. Rectangle 2, le montant : aire $A_{2}=0{,}50\times 1{,}80=0{,}90$ m², centre en $\left(0{,}25\ ;\ 0{,}50+0{,}90\right)=\left(0{,}25\ ;\ 1{,}40\right)$, puisqu'il repose sur le premier.

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c) On veut $\dfrac{GM}{r^{2}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{GM}{R^{2}}$, donc $r^{2}=2R^{2}$ et $r=R\sqrt{2}=9{,}010\times 10^{6}$ m. L'altitude vaut $r-R=2{,}639\times 10^{6}$ m, soit environ 2640 km. Il faut donc s'élever de plus du tiers d'un rayon terrestre pour que la gravité tombe de moitié : elle décroît beaucoup plus lentement que ne le croit l'intuition.

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