Faire le point : Calcul I, Polytechnique (MTH1101)

b) On divise par le terme DOMINANT, celui du plus haut échelon. Pour la première, c'est $n!$ : $\frac{n!+5^n}{n!-n^3}=\frac{1+\frac{5^n}{n!}}{1-\frac{n^3}{n!}}\to\frac{1+0}{1-0}=1$, car $5^n\ll n!$ et $n^3\ll n!$. Pour la seconde, c'est $n^n$ : $\frac{3n^n+n!}{2n^n-7^n}=\frac{3+\frac{n!}{n^n}}{2-\left(\frac{7}{n}\right)^n}\to\frac{3}{2}$, car $n!\ll n^n$ et $\left(\frac{7}{n}\right)^n\to 0$ (pour $n\ge 14$, $0<\left(\frac{7}{n}\right)^n\le\left(\frac{1}{2}\right)^n$). L'erreur fréquente est de diviser par $7^n$ dans la seconde, parce que l'exponentielle « a l'air » la plus forte : $n^n$ a une base qui grandit, il domine tout.

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a) Forme $\infty - \infty$ : on multiplie par la quantité conjuguée. $n - \sqrt{n^{2}+n} = \frac{n^{2} - (n^{2} + n)}{n + \sqrt{n^{2} + n}} = \frac{-n}{n + \sqrt{n^{2}+n}} = \frac{-1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \to -\frac{1}{2}$. La limite existe et n'est pas nulle : la série DIVERGE, et l'étude s'arrête là. Les sommes partielles se comportent comme $-\frac{N}{2}$ : on ajoute indéfiniment des termes proches de $-\frac{1}{2}$. Un réflexe utile : un terme qui tend vers une constante non nulle ajoute à peu près cette constante à chaque pas, aucune somme finie ne peut en résulter.

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a) Avec $a_{n}=\frac{3^{n}x^{n}}{n^{2}}$ et $x\neq 0$ fixé, $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=3|x|\,\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to 3|x|$. Le critère de d'Alembert donne la convergence absolue si $3|x|<1$, la divergence si $3|x|>1$ : $R=\frac{1}{3}$. Le piège est d'écrire $R=3$ par réflexe : la puissance $3^{n}$ est au NUMÉRATEUR, elle accélère la croissance des termes et rétrécit le rayon. Bornes : en $x=\frac{1}{3}$, la série devient $\sum\frac{1}{n^{2}}$, série de Riemann avec $p=2>1$, convergente ; en $x=-\frac{1}{3}$, elle devient $\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$, dont la série des valeurs absolues est la même série de Riemann : convergence absolue. Intervalle : $\left[-\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right]$.

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a) Avec $u=x^{2}$ dans la série de $\sin u$ : $\sin\left(x^{2}\right)=\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^{n}x^{4n+2}}{(2n+1)!}$, puis on multiplie par $x^{3}$ : $f(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^{n}x^{4n+5}}{(2n+1)!}=x^{5}-\frac{x^{9}}{6}+\frac{x^{13}}{120}-\cdots$, pour tout $x$. Les seuls exposants présents sont $5$, $9$, $13$, $17$, ... ; $12$ n'en fait pas partie, donc $c_{12}=0$ et $f^{(12)}(0)=0$. Pour $13=4n+5$, $n=2$ et $c_{13}=\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}$, d'où $f^{(13)}(0)=13!\cdot\frac{1}{120}=\frac{6\,227\,020\,800}{120}=51\,891\,840$. Deux pièges ici : répondre $\frac{1}{120}$, c'est-à-dire donner le coefficient au lieu de la dérivée (oubli du facteur $13!$) ; et confondre le rang $n$ de la somme avec l'exposant de $x$, ce qui ferait chercher $n=13$. Treize dérivations du produit $x^{3}\sin\left(x^{2}\right)$ auraient demandé une page de règle de Leibniz.

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a) Toutes les dérivées de $e^{x}$ valent $e^{t}$, fonction croissante : sur $[0\,;0{,}1]$, leur maximum est $e^{0{,}1}$, et $e^{0{,}1}\le e^{1}<3$. Donc $M=3$ convient pour tout $n$. L'inégalité de Taylor donne $|R_n(0{,}1)|\le\frac{3}{(n+1)!}(0{,}1)^{n+1}$. Pour $n=1$ : $\frac{3\times 0{,}01}{2}=\frac{3}{200}=0{,}015$, trop grand. Pour $n=2$ : $\frac{3\times 0{,}001}{6}=\frac{1}{2000}=5\times 10^{-4}<10^{-3}$. Le plus petit degré est $n=2$. Le majorant n'a pas besoin d'être fin, il doit être VRAI et SUFFISANT : $M=2$ serait aussi justifiable ($e^{0{,}1}<2$ car $e<3<2^{10}$), mais il ne change pas la réponse. Attention au sens de la question : on cherche $n$ tel que la BORNE soit sous $10^{-3}$, puisque l'erreur réelle est précisément ce qu'on ignore.

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a) Module : $\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$. Puis $\cos\theta=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}$ et $\sin\theta=\frac{-8\sqrt{3}}{16}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ : les deux signes sont négatifs, troisième quadrant, donc $\theta=-\frac{2\pi}{3}$. Le calcul $\arctan\frac{-8\sqrt{3}}{-8}=\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$ donnerait un angle du premier quadrant, et toutes les racines seraient fausses : c'est le même piège qu'à l'exercice 2, et il coûte ici la question entière. Donc $-8-8\sqrt{3}\,i=16e^{-i2\pi/3}$.

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b) Dans le plan $x=2$ : $z=y^{2}-4$, la même parabole que dans le plan $x=0$, descendue de $4$ ; son minimum est $-4$, atteint en $y=0$. Dans le plan $y=3$ : $z=9-x^{2}$, la parabole du plan $y=0$ remontée de $9$ ; son maximum est $9$, en $x=0$. Toutes les traces $x=a$ sont donc des copies translatées les unes des autres, et de même pour les traces $y=b$ : la surface est engendrée par une parabole qui glisse le long d'une autre parabole tournée dans l'autre sens.

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c) Pour $x\neq 0$, $f(x,kx^{2})=\dfrac{kx^{4}}{x^{4}+k^{2}x^{4}}=\dfrac{k}{1+k^{2}}$, constante : chaque parabole $y=kx^{2}$ est une courbe de niveau. Avec $k=-2$ : $-\dfrac{2}{5}$. Deux chemins, la droite $y=x$ qui donne $0$ et la parabole $y=x^{2}$ qui donne $\frac{1}{2}$, mènent à deux limites différentes : la limite en $(0,0)$ n'existe pas. Pourquoi les droites ratent-elles ces valeurs ? Le long d'une droite, $y$ est de l'ordre de $x$, donc $y^{2}$ écrase $x^{4}$ au dénominateur et la fraction s'effondre. L'équilibre se produit quand $x^{4}$ et $y^{2}$ sont du MÊME ordre, c'est-à-dire quand $y$ est de l'ordre de $x^{2}$ : d'où les paraboles. C'est la recette générale pour choisir un chemin : égaler les ordres des termes du dénominateur, ici $x^{4}\sim y^{2}$, ce qui donne une courbe $y=kx^{m}$.

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a) Avec $y$ gelé, $x^{y}$ est une PUISSANCE de $x$ à exposant constant : $p_x=y\,x^{y-1}$, et $p_x(2,3)=3\times 2^{2}=12$. Avec $x$ gelé, $x^{y}$ est une EXPONENTIELLE de base constante $x>0$ : $x^{y}=\mathrm{e}^{y\ln x}$, donc $p_y=\ln x\cdot\mathrm{e}^{y\ln x}=x^{y}\ln x$, et $p_y(2,3)=8\ln 2\approx 5{,}545$. Les deux erreurs symétriques sont classiques : écrire $p_x=x^{y}\ln x$, en traitant $x$ comme la base fixe alors que c'est lui qui varie, ou $p_y=y\,x^{y-1}$, en appliquant la règle des puissances à un exposant qui bouge. Une seule question tranche tout : laquelle des deux lettres est gelée ?

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c) Le long de l'axe des $x$, $f$ tend vers $0$ ; le long de la diagonale, $f$ tend vers $\frac{1}{2}$. Deux chemins donnent deux limites différentes, donc $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ n'existe pas et $f$ n'est pas continue en $(0,0)$. Le théorème du cours dit : si $f$ est différentiable en $(a,b)$, alors $f$ est continue en $(a,b)$. Par contraposée, $f$ n'est pas différentiable en $(0,0)$, et la surface n'a pas de plan tangent au-dessus de l'origine. Le résultat à retenir : l'existence de $f_x(a,b)$ et de $f_y(a,b)$ n'entraîne ni la différentiabilité, ni même la continuité. C'est la différence avec une variable, où « dérivable » entraîne « continue ».

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b) On calcule d'abord le point : en $t=1$, $x=2$ et $y=2$. Puis les dérivées partielles en CE point : $f_x=2xy-3y$ donne $f_x(2,2)=8-6=2$, et $f_y=x^{2}-3x$ donne $f_y(2,2)=4-6=-2$. Enfin les dérivées de la trajectoire : $x'(t)=2t$ vaut $2$ et $y'(t)=-1$. Donc $\frac{dz}{dt}=2\times 2+(-2)\times(-1)=4+2=6$. L'ordre des gestes compte : le point d'abord, les dérivées partielles évaluées en ce point ensuite, le produit à la fin.

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a) On écrit les deux surfaces comme surfaces de niveau : $F=x^{2}+y^{2}+z^{2}-8$ et $G=x^{2}+y^{2}-z^{2}$, avec $\nabla F=(2x,2y,2z)$ et $\nabla G=(2x,2y,-2z)$. Le point $(2,0,2)$ est sur les deux : $4+0+4=8$ et $4=4+0$. En ce point, $\nabla F=(4,0,4)$, $\nabla G=(4,0,-4)$ et $\nabla F\cdot\nabla G=16+0-16=0$ : orthogonaux. En un point quelconque, $\nabla F\cdot\nabla G=4x^{2}+4y^{2}-4z^{2}=4\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)$, qui est nul dès que le point est sur le cône : l'orthogonalité vaut sur TOUTE l'intersection, sans calcul point par point. Pour décrire l'intersection, on reporte $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ dans la sphère : $2z^{2}=8$, donc $z=\pm 2$ et $x^{2}+y^{2}=4$ : deux cercles de rayon $2$, dans les plans $z=2$ et $z=-2$. Géométriquement : les génératrices du cône passent par le centre de la sphère, ce sont des rayons, et un rayon est perpendiculaire à la sphère.

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a) $q_{1}=2h^{2}+2hk+k^{2}=(h+k)^{2}+h^{2}$ : somme de deux carrés, nulle seulement si $h=0$ ET $h+k=0$, c'est-à-dire en $(0,0)$. Donc $q_{1}>0$ pour $(h,k)\neq(0,0)$ : forme définie positive. $q_{2}=h^{2}+4hk+k^{2}=(h+2k)^{2}-4k^{2}+k^{2}=(h+2k)^{2}-3k^{2}$ : DIFFÉRENCE de deux carrés. Elle vaut $1$ en $(1,0)$ et $1+4(1)(-1)+1=-2$ en $(1,-1)$ : elle change de signe. $q_{3}=-(h^{2}-2hk+k^{2})=-(h-k)^{2}$ : toujours $\leq 0$, mais nulle sur toute une droite, pas seulement en $(0,0)$ : forme semi-définie négative, dégénérée. La complétion du carré se fait en regroupant tout ce qui contient $h$ ; ce qui reste en $k^{2}$ décide.

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a) $\nabla f=\left(2x\,;4y^{3}\right)$, $\nabla g=\left(-3x^{2}\,;2y\right)$, $\nabla h=\left(-8xy+12x^{3}\,;2y-4x^{2}\right)$ : les trois gradients sont nuls en $(0,0)$. À l'origine : pour $f$, $f_{xx}=2$, $f_{yy}=12y^{2}=0$, $f_{xy}=0$ ; pour $g$, $g_{xx}=-6x=0$, $g_{yy}=2$, $g_{xy}=0$ ; pour $h$, $h_{xx}=-8y+36x^{2}=0$, $h_{yy}=2$, $h_{xy}=-8x=0$. Dans les trois cas $D(0,0)=0$, et le théorème ne dit alors RIEN : ni minimum, ni maximum, ni selle. Écrire « $D=0$, donc point de selle » est l'erreur classique, et les trois fonctions vont la réfuter : même $D$, natures différentes. Il faut revenir à la définition et étudier le signe de $F(x,y)-F(0,0)$ près de l'origine.

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a) $f_{xx}=2$, $f_{xy}=f_{yx}=2$ et $f_{yy}=6$, donc $H=\begin{pmatrix}2&2\\2&6\end{pmatrix}$. Les coefficients de $f$ sont $1$, $2$ et $3$ ; ceux de $H$ sont leurs dérivées secondes, ce qui DOUBLE les termes carrés ($x^{2}$ donne $2$, $3y^{2}$ donne $6$) et garde le terme croisé ($2xy$ donne $2$). C'est exactement l'endroit où la question c) va piéger.

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b) Cas $\lambda=0$ : (1), (2), (3) deviennent $yz=0$, $xz=0$, $xy=0$. Si deux coordonnées étaient non nulles, leur produit le serait aussi : au plus une coordonnée est non nulle, donc au moins deux sont nulles. Avec (4), la troisième vaut $\pm\sqrt{3}$. On obtient six points, $(\pm\sqrt{3}\,;0\,;0)$, $(0\,;\pm\sqrt{3}\,;0)$, $(0\,;0\,;\pm\sqrt{3})$, qui vérifient bien le système avec $\lambda=0$, et $f=0$ en chacun : en ces points, $\nabla f$ est le vecteur nul. Ils ne sont pas des extrema, puisque $f$ prend des valeurs positives et négatives sur la sphère, mais ils sont des candidats, et il fallait les écrire.

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