Faire le point : Spécialité mathématiques, Première

a) $f(x)=-(x^2-6x)-5=-((x-3)^2-9)-5=-(x-3)^2+9-5=-(x-3)^2+4$. Sommet $S(3,\ 4)$, axe de symétrie $x=3$. Pourquoi l'axe est-il en $x=3$ : la valeur de $f$ ne dépend de $x$ que par $(x-3)^2$, et deux nombres opposés ont le même carré. Donc $3+d$ et $3-d$ ont toujours la même image, quelle que soit la distance $d$.

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b) Ici les deux vecteurs partent du même point, il n'y a donc rien à enchaîner directement. On transforme la soustraction en addition de l'opposé : $-\vec{AC}=\vec{CA}$, d'où $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$. Règle utile à mémoriser sous cette forme : $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$, une différence de deux vecteurs de même origine relie leurs extrémités, en partant de celui qu'on retranche.

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a) Par rapport à $\widehat{B}$, le côté $[AC]$ est opposé et $[AB]$ adjacent : $\tan\widehat{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{4}=1{,}75$. Donc $\widehat{B}=\arctan(1{,}75)\approx 60{,}3^{\circ}$. Sur la calculatrice, c'est la touche TANGENTE INVERSE qu'il faut employer, et non une division par la tangente : $\frac{1{,}75}{\tan}$ n'a aucun sens.

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c) La fonction inverse est DÉCROISSANTE sur $]0;+\infty[$, donc elle renverse l'ordre : $0<a<b$ entraîne $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$. Il faut citer le sens de variation, c'est lui qui justifie le renversement ; l'affirmer sans justification ne vaut aucun point.

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a) Une fonction est affine lorsqu'elle s'écrit $ax+b$, donc lorsque la variable n'apparaît qu'au premier degré et jamais au dénominateur. $f(x)=3x-7$ est affine avec $a=3$ et $b=-7$. $g$ ne l'est pas, à cause du carré. $h$ ne l'est pas, à cause du $x$ au dénominateur. $k(x)=-4$ est affine avec $a=0$ et $b=-4$. Enfin $m(x)=2(x-3)+x=2x-6+x=3x-6$ est bien affine, avec $a=3$ et $b=-6$ : il faut développer avant de conclure, et c'est le cas qui piège le plus souvent.

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d) Pièces conformes : $5\,000-200=4\,800$, dont $2\ \%$ rejetées, soit $96$ pièces rejetées à tort ; en probabilité, $P(\overline{D}\cap R)=0{,}96\times 0{,}02=0{,}0192$ et $0{,}0192\times 5\,000=96$. Au total $180+96=276$ pièces rejetées. Parmi elles, la proportion de défectueuses est $P_{R}(D)=\dfrac{180}{276}\approx 0{,}652$. Le contrôle rejette donc $90\ \%$ des défectueuses, mais seulement $65\ \%$ environ des pièces rejetées sont défectueuses : les $96$ conformes rejetées pèsent lourd parce qu'elles sont prélevées dans une population $24$ fois plus nombreuse. Pour retourner le conditionnement, on n'a utilisé aucune formule nouvelle : on a compté sur une journée, puis divisé par le bon total, celui des rejetées.

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a) len(notes) vaut $6$, notes[0] vaut $12$, notes[2] vaut $15$ et notes[len(notes) - 1] vaut $11$. Les indices commencent à ZÉRO, donc le dernier indice est $5$ et non $6$ : écrire notes[6] provoquerait une erreur d'indice. L'écriture notes[len(notes) - 1] est la façon standard de désigner le dernier élément sans connaître la taille.

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a) $\Delta=7^{2}-4\times(-2)\times(-3)=49-24=25>0$, donc $\sqrt{\Delta}=5$ et les racines sont $x=\frac{-7\pm 5}{2\times(-2)}=\frac{-7\pm 5}{-4}$, soit $x=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$ et $x=\frac{-12}{-4}=3$. Comme $a=-2<0$, le trinôme est NÉGATIF à l'extérieur des racines et POSITIF entre elles. On peut le confirmer en testant trois valeurs, une par zone : $f(0)=-3<0$, $f(1)=2>0$ et $f(4)=-7<0$ ✓.

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a) $v_n=v_0\times q^n=3\times 2^n$, donc $v_{10}=3\times 2^{10}=3\times 1024=3072$. Le facteur $3$ ne s'élève pas à la puissance $n$ : seule la raison le fait. Écrire $(3\times 2)^n$ est l'erreur la plus fréquente, et elle donnerait $6^{10}$, soit environ $60$ millions.

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a) $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de $3$, valeur qui annule le dénominateur. Avec $u=2x+1$ et $v=x-3$, donc $u'=2$ et $v'=1$ : $f'(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)\times 1}{(x-3)^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\frac{-7}{(x-3)^2}$. Le piège est la soustraction : il faut distribuer le signe moins sur tout le second produit, faute de quoi on trouve $\frac{4x-5}{(x-3)^2}$, qui est faux.

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b) Le facteur $\mathrm{e}^{x}$ étant strictement positif, l'expression a exactement le signe de $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$, trinôme de coefficient dominant positif : positive sur $]-\infty\,;\,-2[$, négative sur $]-2\,;\,2[$, positive sur $]2\,;\,+\infty[$, et nulle en $-2$ et en $2$. On notera que les zéros de l'expression sont ceux du polynôme SEUL, l'exponentielle n'en apportant aucun.

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b) On écrit $\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$, donc le point est le symétrique de celui de $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe des ORDONNÉES, dans le deuxième quadrant. L'abscisse change de signe et l'ordonnée est conservée : $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

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a) On développe comme une identité remarquable, le produit scalaire se comportant exactement comme une multiplication vis-à-vis de l'addition : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}=9+10+16=35$, donc $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{35}\approx 5{,}92$. Le point de méthode est de toujours passer par le CARRÉ de la norme, jamais par la norme elle-même, car seul le carré se développe.

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a) Un vecteur directeur de $d_{1}$ est $\vec{u_{1}}\,(3\,;\,2)$ et un vecteur directeur de $d_{2}$ est $\vec{u_{2}}\,(-6\,;\,-4)$. Le DÉTERMINANT vaut $3\times(-4)-2\times(-6)=-12+12=0$, donc les deux directeurs sont colinéaires et les droites sont parallèles. Reste à savoir si elles sont confondues. En multipliant $d_{1}$ par $-2$ on obtient $-4x+6y-2=0$, qui a les mêmes coefficients que $d_{2}$ mais une constante différente, $-2$ contre $+5$. Les droites sont donc STRICTEMENT parallèles.

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a) $P(R)=0{,}12$ est une probabilité simple. La phrase « parmi les colis en retard, $30$ % ont été expédiés le vendredi » se restreint aux colis en retard : c'est $P_R(V)=0{,}30$. Enfin $P(V)=0{,}20$ porte sur l'ensemble des colis, c'est donc une probabilité simple. L'énoncé fournit délibérément le conditionnement dans le sens $R$ vers $V$ alors que la question c) le demandera dans l'autre sens : c'est le cœur de l'exercice.

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a) Une variable aléatoire ne retient que les gains, pas les faces : deux faces différentes qui rapportent la même somme donnent la même valeur de $X$. Ici $X$ prend trois valeurs : $10$, $2$ et $-3$.

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c) Elle calcule $\Delta=3^2-0=9>0$ et renvoie $2$. C'est faux : avec $a=0$ l'équation n'est pas du second degré, elle s'écrit $3x-6=0$ et n'a qu'UNE solution, $x=2$. La formule du discriminant n'a de sens que pour $a\ne 0$, hypothèse que le programme ne vérifie pas. On corrige en plaçant un test en tête : if a == 0: puis if b == 0: puis return 0 puis return 1. Ce cas $a=0$ est régulièrement introduit en contrôle par un paramètre, par exemple $(m-1)x^2+3x-6=0$ avec $m=1$, et l'oublier coûte tous les points de la question.

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