Faire le point : Calcul différentiel, Sciences humaines (201-103)

Méthode en trois temps, toujours la même : on pose le DOMAINE d'existence, on passe à la forme exponentielle pour résoudre, puis on VÉRIFIE que la solution appartient au domaine. Sauter la première étape est ce qui fait accepter des solutions inexistantes.

b) Domaine : l'argument doit être strictement positif, donc $x-1>0$ et $x>1$. La notation $\log$ sans indice désigne le logarithme DÉCIMAL, de base $10$ : c'est une convention à connaître, et la confondre avec $\ln$ change complètement la réponse. On obtient $x-1=10^{2}=100$, donc $x=101$. Comme $101>1$, la solution est admissible ✓.

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Principe des trois questions : une fonction définie par parties est continue en un point de raccord si les deux morceaux y donnent la MÊME valeur. Quand un paramètre est en jeu, on écrit cette égalité et on la résout, ce qui donne une équation à une inconnue.

a) Le point de raccord est $x=1$. Le morceau de gauche, $2x+1$, y tend vers $2\times 1+1=3$. Le morceau de droite, $ax+2$, y vaut $a\times 1+2=a+2$. L'égalité $3=a+2$ donne $a=1$. Remarquez que le morceau de gauche est défini pour $x<1$ strictement, donc $1$ n'y appartient pas : on calcule bien une LIMITE, la valeur vers laquelle le morceau tend, et non une valeur atteinte. Le résultat numérique est le même parce que $2x+1$ est une fonction affine, donc sans surprise, mais la rédaction correcte le distingue.

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Principe unique de la conversion : faire apparaître le DÉNOMINATEUR à l'intérieur du numérateur, de façon à pouvoir séparer la fraction en deux morceaux dont l'un se simplifie. C'est une division déguisée, et elle réussit toujours.

a) $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$. On veut voir $(x-1)$ dans le numérateur : comme $2x+1=2(x-1)+2+1=2(x-1)+3$, on écrit $f(x)=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$, soit $f(x)=\frac{3}{x-1}+2$. Asymptotes : $x=1$ et $y=2$. Contrôle numérique en un point quelconque, $x=3$ : la forme de départ donne $\frac{7}{2}=3{,}5$, la forme canonique donne $\frac{3}{2}+2=3{,}5$ ✓.

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b) Une composition se lit de l'intérieur vers l'extérieur, en deux lectures successives de la table. $(f\circ g)(1)$ : on cherche d'abord $g(1)=3$, puis on cherche $f$ de ce résultat, $f(3)=4$. Donc $(f\circ g)(1)=4$. $(g\circ f)(2)$ : d'abord $f(2)=3$, puis $g(3)=1$. Donc $(g\circ f)(2)=1$. Le résultat intermédiaire doit être traité comme une nouvelle entrée, et l'erreur classique consiste à relire la même colonne au lieu de changer de fonction.

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a) $x=12$ tombe dans la première tranche : $C(12)=45$ dollars. $x=35$ tombe dans la deuxième : $C(35)=45+7\times(35-20)=45+105=150$ dollars. $x=60$ tombe dans la troisième : $C(60)=250$ dollars. Le seul geste à soigner est de LIRE la condition avant de choisir la formule ; appliquer la deuxième formule à $x=60$ donnerait $45+280=325$ dollars, un montant que personne ne paie.

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a) En approchant 2 par la GAUCHE, on suit la branche $x+3$, qui tend vers $2+3=5$. En approchant par la DROITE, on suit la branche $7-x$, qui tend vers $7-2=5$. Les deux limites unilatérales sont égales, donc $\lim_{x\to 2}f(x)=5$. Mais le rond plein est en $(2\,;3)$ : $f(2)=3$. La limite existe et vaut 5, la valeur existe et vaut 3, et elles diffèrent. C'est le cas qui justifie à lui seul qu'on ait inventé la notion de limite : la fonction sait où elle va sans y être.

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a) On réécrit d'abord chaque terme en puissance : $f(x)=5x^{4}-3x^{-2}+7x^{1/2}-9$. La règle $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ s'applique alors à tous, y compris aux exposants négatifs et fractionnaires. $f'(x)=20x^{3}+6x^{-3}+\dfrac{7}{2}x^{-1/2}$, soit $f'(x)=20x^{3}+\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{7}{2\sqrt{x}}$. Deux signes à surveiller : $-3x^{-2}$ donne $-3\times(-2)x^{-3}=+6x^{-3}$, le moins devient plus, et la constante $-9$ disparaît.

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e) Ici la capitalisation est ANNUELLE, donc le capital vaut $C_{0}\times 1{,}2^{t}$ et non $C_{0}e^{0{,}2t}$. Le doublement exige $1{,}2^{t}=2$, donc $t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}2}=\dfrac{0{,}693\,15}{0{,}182\,32}\approx 3{,}80$ années, alors que la règle annonce $\dfrac{70}{20}=3{,}5$ années, soit une erreur de 8 %. Deux causes se superposent. D'abord la règle repose sur l'approximation $\ln(1+r)\approx r$, excellente pour $r$ petit et médiocre pour $r=0{,}2$ où $\ln 1{,}2$ ne vaut que 0,182 au lieu de 0,2. Ensuite, un intérêt versé une fois l'an rapporte moins qu'un intérêt versé en continu. La règle de 70 est donc un outil de taux faibles, ce qui couvre l'essentiel de la démographie et de la macroéconomie, et pas les rendements à deux chiffres.

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d) En oubliant le second terme de la règle du produit, il écrit $2+0{,}05y+3\dfrac{dy}{dx}=0$, donc $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2{,}8}{3}\approx -0{,}933$. Le rapport des deux valeurs vaut $\dfrac{0{,}9333}{0{,}7467}=1{,}25$ : il surestime le sacrifice de 25 pour cent, exactement. Une erreur de ce genre ne se voit pas à l'oeil, parce que le résultat reste négatif et plausible, et c'est ce qui la rend coûteuse en examen.

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d) Le numérateur est constant et le dénominateur varie, donc $\dfrac{dN}{dt}=1\,000\,B\times\left(-\dfrac{1}{P^{2}}\right)\dfrac{dP}{dt}=-\dfrac{1\,000\times 1\,120\times 120}{48\,000^{2}}=-\dfrac{134\,400\,000}{2\,304\,000\,000}\approx -0{,}058$ pour mille par année. Le taux de natalité brut BAISSE, alors que le nombre de naissances n'a pas bougé d'une unité.

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c) $\dfrac{dA}{A}=2\,\dfrac{dr}{r}$, l'exposant 2 sortant par la dérivation logarithmique. La marge vaut donc $2\times 3=6$ %. Une puissance MULTIPLIE l'erreur relative par son exposant, ce qui est la raison pour laquelle on ne mesure jamais une aire ou un volume en mesurant seulement une longueur, quand on peut faire autrement.

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c) $29\,e^{-0{,}5t}=1$ donne $e^{-0{,}5t}=\dfrac{1}{29}$, donc $-0{,}5t=-\ln 29$ et $t=2\ln 29\approx 2\times 3{,}367=6{,}73$ mois. L'ordonnée vaut alors $N=\dfrac{9\,000}{1+1}=4\,500$, exactement la MOITIÉ du plafond. C'est une propriété générale du modèle logistique : son point d'inflexion est toujours à mi-hauteur.

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e) Doubler la durée ne double pas l'effet, parce que le gain suit une RACINE : passer de 16 à 32 jours multiplie le gain brut par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ et non par 2, alors que le coût, lui, double exactement. Le calcul donne $N(32)=1\,600\sqrt{32}-6\,400\approx 9\,051-6\,400=2\,651$ dollars, soit 549 dollars de MOINS qu'avec seize jours. La proposition fait donc perdre de l'argent tout en immobilisant deux fois plus de temps de travail. La règle générale, valable pour toute activité à rendements décroissants : on augmente l'effort tant que le gain MARGINAL dépasse le coût marginal, ici tant que $\dfrac{800}{\sqrt{d}}>200$, et pas une heure de plus.

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a) $\sin(0{,}2)=0{,}198669$, donc $\dfrac{\sin(0{,}2)}{0{,}2}=0{,}993347\approx 0{,}9933$. Puis $\sin(0{,}05)=0{,}0499792$, donc $\dfrac{\sin(0{,}05)}{0{,}05}=0{,}999583\approx 0{,}9996$. La tendance est nette : en divisant l'entrée par 4, on a divisé l'ÉCART À 1 par environ 16. C'est la signature d'une convergence en $x^{2}$, et l'approximation $\sin x\approx x-\dfrac{x^{3}}{6}$ le confirme, puisqu'elle donne $\dfrac{\sin x}{x}\approx 1-\dfrac{x^{2}}{6}$. Attention : la calculatrice doit être en radians, sinon ces deux nombres valent environ $0{,}0175$ et rien ne converge vers 1.

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b) $R'(q)=100-q$. En $q=40$ : $R'(40)=100-40=60$ dollars. Vendre une 41e unité rapporterait donc environ 60 dollars de plus, et non 80 dollars, alors que c'est bien 80 dollars que le client paierait.

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d) Non, l'élasticité VARIE tout au long d'une demande pourtant linéaire : elle vaut 0 en $p=0$, $-1$ à mi-parcours et tend vers l'infini quand $p$ approche 100. La raison est dans la formule : la pente est constante, mais le facteur $\dfrac{p}{q}$ ne l'est pas, et il explose quand $q$ devient petit. Cette distinction entre pente et élasticité est le point le plus mal compris du chapitre : une droite n'a pas une élasticité, elle en a une par point.

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