Faire le point : Ondes et physique moderne 203-SN3-RE (ancien 203-NYC)

Une question par chapitre, 17 en tout, tirées des exercices corrigés du cours. Réponds à celles que tu sais faire et passe celles d'un chapitre que tu n'as pas encore vu : chaque réponse se vérifie tout de suite, et la correction s'ouvre après.

Avec ton espace gratuit, chaque réponse est gardée et ton tableau de bord range chaque chapitre : réussi au test, ou à travailler. Ce sont les mêmes questions que sur les pages des séries : une réponse donnée ici compte là-bas.

Ce que le cours suppose

Ces chapitres viennent d'une année précédente, et le cours s'appuie dessus dès les premières semaines.

Mathématiques · Secondaire 5 · Les fonctions trigonométriques

Résolvez chaque équation dans l'intervalle $[0,\ 2\pi]$ .

a) $\sin x=\frac{1}{2}$

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Réponse

a) $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$

Méthode commune : on cherche sur le cercle trigonométrique les points dont l'ordonnée (pour un sinus) ou l'abscisse (pour un cosinus) vaut la valeur donnée. Il y en a en général DEUX par tour, et donner une seule solution est l'erreur la plus sanctionnée.

a) $\sin x=\frac{1}{2}$ : on cherche les points d'ordonnée $\frac{1}{2}$ , donc au-dessus de l'axe des abscisses, ce qui désigne les quadrants I et II. L'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$ . Au quadrant I : $x=\frac{\pi}{6}$ . Au quadrant II : $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ . Deux solutions : $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$ . Notez la règle propre au SINUS : la seconde solution s'obtient par $\pi-x_{0}$ , symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

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Physique · Secondaire 5 · Les lentilles convergentes

Une lentille convergente a une distance focale de 8 cm.

c) Calculez le grandissement et décrivez la nature de l'image.

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Réponse

c) $G\approx 2{,}67$ : virtuelle, droite, agrandie

c) $G=-\dfrac{d_{i}}{d_{o}}=-\dfrac{-13{,}3}{5}\approx 2{,}67$ : image virtuelle, droite, agrandie.

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Mathématiques · Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB) · Équations différentielles

Aucune de ces équations ne se présente sous sa forme de manuel. Avant tout calcul, réécrivez-la jusqu'à reconnaître son TYPE : séparable $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ , linéaire $y'+P(x)y=Q(x)$ , homogène $y'=F\left(\frac{y}{x}\right)$ , ou linéaire si l'on voit $x$ comme fonction de $y$ . Résolvez ensuite au point indiqué : le point $(x_{0}\,;y_{0})$ signifie $y(x_{0})=y_{0}$ .

a) $\dfrac{dy}{dx}=e^{2x+y}+e^{y}$ ; au point $(0\,;0)$ . Calculez $y\left(-\frac{1}{2}\right)$ et la borne droite de l'intervalle où la solution existe.

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Réponse

a) Séparable : $y=-\ln\left(\frac{3}{2}-x-\frac{e^{2x}}{2}\right)$ , $y\left(-\frac{1}{2}\right)\approx -0{,}597$ , borne droite $\approx 0{,}396$

a) Le piège est dans l'exposant : $e^{2x+y}=e^{2x}\,e^{y}$ , et non $e^{2x}+e^{y}$ . On met $e^{y}$ en facteur : $\dfrac{dy}{dx}=e^{y}\left(e^{2x}+1\right)$ , équation SÉPARABLE. $e^{-y}\,dy=\left(e^{2x}+1\right)dx$ , donc $-e^{-y}=\dfrac{e^{2x}}{2}+x+C$ . Au point $(0\,;0)$ : $-1=\frac{1}{2}+C$ , $C=-\frac{3}{2}$ . Donc $e^{-y}=\dfrac{3}{2}-x-\dfrac{e^{2x}}{2}$ et $y=-\ln\left(\dfrac{3}{2}-x-\dfrac{e^{2x}}{2}\right)$ . En $x=-\frac{1}{2}$ : $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{e^{-1}}{2}=2-\frac{1}{2e}\approx 1{,}816$ , d'où $y\approx -0{,}597$ . La solution n'existe que tant que le logarithme a un argument positif : $3-2x-e^{2x}>0$ . Cette fonction est strictement décroissante, vaut $1$ en $0$ et s'annule entre $0{,}39$ et $0{,}40$ ; par dichotomie, la borne droite vaut environ $0{,}396$ . En s'en approchant, $e^{-y}\to 0$ et $y\to+\infty$ : la solution explose en temps fini, alors que le second membre semblait inoffensif.

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Physique · Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) · Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire

Au laboratoire de mécanique, on mesure la longueur d'un objet avec une règle graduée en millimètres, puis la période d'un pendule au chronomètre manuel. Convention du laboratoire : l'incertitude de lecture d'un instrument à graduations vaut la moitié de la plus petite graduation ; celle d'un chronomètre déclenché à la main vaut $0{,}2$ s, le temps de réaction.

a) Quelle est l'incertitude absolue de lecture de la règle, en cm ?

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Réponse

a) $\Delta L=0{,}05$ cm

a) La plus petite graduation vaut $1$ mm, donc $\Delta L=0{,}5$ mm $=0{,}05$ cm. On lit la position de chaque extrémité à la demi-graduation près.

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Physique · Mécanique 203-SN1-RE (ancien 203-NYA) · Travail, énergie et puissance

Un ressort vertical de constante $k=250$ N/m est fixé au plafond, l'autre extrémité pendant librement. On y accroche un bloc de $2{,}00$ kg. On prend $g=9{,}80$ m/s $^{2}$ et on néglige la masse du ressort.

b) On recommence en accrochant le bloc alors que le ressort est à sa longueur naturelle, puis en le lâchant sans vitesse. Calculez l'allongement MAXIMAL atteint. Comparez au résultat de a) et énoncez le rapport général.

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Réponse

b) $x_{max}=2mg/k=15{,}7$ cm, exactement le double

b) Ici il faut conserver l'énergie, pas équilibrer les forces. Le bloc part du repos et s'arrête au point le plus bas, donc $\Delta K=0$ : toute l'énergie potentielle gravitationnelle perdue s'est stockée dans le ressort. $mgx_{max}=\frac{1}{2}kx_{max}^{2}$ , d'où $x_{max}=\frac{2mg}{k}=0{,}157$ m, soit $15{,}7$ cm. C'est EXACTEMENT le double de l'allongement d'équilibre, et le résultat est général : $x_{max}=2x_{eq}$ , quelles que soient la masse et la raideur. Un chargement lâché brutalement sollicite une structure deux fois plus qu'un chargement posé doucement, ce qui est un principe de base du dimensionnement en génie.

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Les chapitres du cours

Dans l'ordre du cours.

Chapitre 1 · Optique géométrique et instruments

Une seule équation gouverne lentilles et miroirs. Ce qui change d'un cas à l'autre, ce ne sont pas les formules mais les SIGNES, et c'est là que se joue la totalité du chapitre.

On dispose d'une lentille convergente de distance focale 20,0 cm.

a) Un objet est placé à 30,0 cm de la lentille. Calculez la position de l'image et le grandissement, puis décrivez complètement l'image.

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Réponse

a) $d_{i}=+60{,}0$ cm, $\gamma=-2{,}00$ : réelle, renversée, agrandie

a) $\dfrac{1}{d_{i}}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{d_{o}}=\dfrac{1}{20{,}0}-\dfrac{1}{30{,}0}=\dfrac{3-2}{60}=\dfrac{1}{60}$ , donc $d_{i}=+60{,}0$ cm. Le grandissement vaut $\gamma=-\dfrac{60{,}0}{30{,}0}=-2{,}00$ . L'image est donc RÉELLE puisque $d_{i}>0$ , RENVERSÉE puisque $\gamma<0$ , et AGRANDIE deux fois puisque $\left|\gamma\right|=2$ . Elle se forme à 60 cm de l'autre côté de la lentille et pourrait être recueillie sur un écran : c'est la configuration du projecteur.

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Chapitre 2 · Mesures, incertitudes et analyse graphique au laboratoire

Au spectromètre à réseau, une raie apparaît de part et d'autre du faisceau direct. On lit sa position sur le cercle gradué à GAUCHE puis à DROITE, et l'angle de déviation est la DEMI-DIFFÉRENCE des deux lectures.

Lectures : $\theta_{g}=(139^{\circ}12'\pm 2')$ et $\theta_{d}=(221^{\circ}00'\pm 2')$ . Le schéma ci-dessous représente le spectromètre vu de dessus.

c) Calculez l'incertitude sur $\theta$ , en minutes puis en degrés.

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Réponse

c) $\Delta\theta=2'=0{,}0333^{\circ}$

c) Les deux lectures sont indépendantes et chacune porte $2'$ : la différence additionne les incertitudes absolues, $\Delta(2\theta)=2'+2'=4'$ . En divisant par deux, $\Delta\theta=\dfrac{4'}{2}=2'$ , soit $0{,}0333^{\circ}$ , ou encore $5{,}82\times 10^{-4}$ rad. Résultat : $\theta=(40{,}900\pm 0{,}033)^{\circ}$ , une incertitude relative de $0{,}08\,\%$ seulement.

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Chapitre 3 · MHS et ondes mécaniques

Un bloc de 0,50 kg est fixé à un ressort horizontal de constante $k=200$ N/m et glisse sans frottement. On l'écarte de 8,0 cm de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse à $t=0$ .

d) Calculez la vitesse du bloc lorsqu'il passe à 4,0 cm de l'équilibre, et vérifiez la cohérence avec la conservation de l'énergie.

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Réponse

d) $v\approx 1{,}39$ m/s ; à mi-amplitude il reste les TROIS QUARTS de l'énergie en cinétique

d) $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}=20\sqrt{(0{,}080)^{2}-(0{,}040)^{2}}=20\sqrt{0{,}0048}\approx 1{,}39$ m/s. Énergie : $E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}(200)(0{,}0064)=0{,}64$ J; en $x=0{,}040$ m, $E_{p}=\frac{1}{2}(200)(0{,}0016)=0{,}16$ J, donc $E_{k}=0{,}48$ J et $v=\sqrt{\frac{2(0{,}48)}{0{,}50}}\approx 1{,}39$ m/s : les deux voies concordent. À mi-amplitude, il reste les trois quarts de l'énergie en forme cinétique, pas la moitié : l'énergie va comme le CARRÉ de l'élongation.

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Chapitre 4 · Le son et les ondes stationnaires

Un haut-parleur émet uniformément dans toutes les directions une puissance acoustique de 0,50 W. Seuil d'audibilité : $I_{0}=10^{-12}$ W/m². Le schéma ci-dessous représente la situation.

a) Calculez l'intensité sonore à 10 m du haut-parleur, puis le niveau sonore en décibels.

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Réponse

a) $I\approx 4{,}0\times 10^{-4}$ W/m² et $\beta\approx 86$ dB

a) $I=\frac{P}{4\pi r^{2}}=\frac{0{,}50}{4\pi(10)^{2}}\approx 4{,}0\times 10^{-4}$ W/m². Niveau : $\beta=10\log\frac{4{,}0\times 10^{-4}}{10^{-12}}=10\log(4{,}0\times 10^{8})\approx 86$ dB : le niveau d'une rue très bruyante.

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Chapitre 5 · L'effet Doppler : source mobile, observateur mobile et composante radiale

Un train siffle à $f_{0}=450$ Hz et roule à $70{,}0$ m/s sur une voie rectiligne. Un observateur $O$ se tient à $d=60{,}0$ m de la voie. Vitesse du son : $v=340$ m/s.

Seule compte la projection de la vitesse sur la ligne de visée, $v_{r}=v_{s}\cos\theta$ , où $\theta$ est l'angle entre la vitesse du train et la direction train vers observateur. On écrit donc $f'=f_{0}\dfrac{v}{v-v_{s}\cos\theta}$ , et on néglige le temps de propagation du son.

b) Le train passe au point de la voie le plus proche de $O$ . Quelle fréquence $O$ entend-il alors, et pourquoi ?

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Réponse

b) $f'=450$ Hz exactement : la composante radiale s'annule

b) Au point le plus proche, la vitesse est perpendiculaire à la ligne de visée : $\theta=90°$ , $\cos\theta=0$ , $v_{r}=0$ . Le train ne se rapproche plus ni ne s'éloigne de $O$ à cet instant, sa distance passe par un minimum et sa dérivée est nulle. Donc $f'=f_{0}=450$ Hz exactement. Aucun décalage au moment du passage : c'est le résultat le plus contre-intuitif du chapitre, et celui que l'examen aime poser.

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Chapitre 6 · L'optique ondulatoire

Un laser de 500 nm traverse une fente unique de largeur 0,10 mm. L'écran est à 3,0 m.

Le schéma ci-dessous n'est pas à l'échelle : la fente y est très agrandie.

b) Calculez la largeur de la tache centrale sur l'écran.

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Réponse

b) Premier minimum à $15$ mm, tache centrale de $30$ mm

b) Premier minimum : $\sin\theta=\frac{\lambda}{a}=\frac{500\times 10^{-9}}{0{,}10\times 10^{-3}}=5{,}0\times 10^{-3}$ (angle petit). Position : $y=L\tan\theta\approx(3{,}0)(5{,}0\times 10^{-3})=15$ mm. La tache centrale s'étend d'un minimum à l'autre : $30$ mm de largeur.

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Chapitre 7 · La physique moderne

Données : $h=6{,}63\times 10^{-34}$ J·s, $c=3{,}0\times 10^{8}$ m/s, 1 eV $=1{,}6\times 10^{-19}$ J. Le schéma ci-dessous situe ces trois rayonnements.

a) Calculez l'énergie d'un photon de lumière verte (500 nm), en joules puis en électrons-volts.

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Réponse

a) $E=\dfrac{hc}{\lambda}\approx 4{,}0\times 10^{-19}$ J, soit $\approx 2{,}5$ eV

a) $E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{(6{,}63\times 10^{-34})(3{,}0\times 10^{8})}{500\times 10^{-9}}\approx 4{,}0\times 10^{-19}$ J, soit $\frac{3{,}98\times 10^{-19}}{1{,}6\times 10^{-19}}\approx 2{,}5$ eV. (Raccourci : $\frac{1240}{500}=2{,}48$ eV.) Les photons du visible vivent tous entre 1,8 et 3,1 eV : la même échelle que les liaisons chimiques, ce qui explique que la lumière visible pilote la photosynthèse et la vision.

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Chapitre 8 · Physique quantique : photon, spectres de raies et dualité

Un ion hydrogénoïde possède un noyau de charge $+Ze$ et un seul électron : He⁺ ( $Z=2$ ), Li²⁺ ( $Z=3$ ). Le modèle de Bohr s'y applique avec $E_{n}=-\dfrac{13{,}6\,Z^{2}}{n^{2}}$ eV et $r_{n}=\dfrac{n^{2}}{Z}a_{0}$ . On prend $hc=1240$ eV·nm.

a) Calculez l'énergie d'ionisation de He⁺ depuis son état fondamental.

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Réponse

a) $54{,}4$ eV

a) $E_{ion}=13{,}6\times 2^{2}=54{,}4$ eV. L'électron est attiré par une charge double, à une distance moitié : il est quatre fois plus lié.

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Chapitre 9 · Physique nucléaire et radioactivité

On rappelle les numéros atomiques utiles : Th 90, Pa 91, U 92, Ra 88, Rn 86, C 6, N 7, Na 11, Ne 10, Co 27, Ni 28, K 19, Ar 18, Ca 20. Le schéma ci-dessous représente la désintégration du cobalt 60.

a) Énoncez les deux lois de conservation qui suffisent à équilibrer toute équation nucléaire, puis complétez : $^{238}_{92}\mathrm{U}\to\,?+^{4}_{2}\mathrm{He}$ et $^{226}_{88}\mathrm{Ra}\to\,?+^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

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Réponse

a) $A$ et $Z$ se conservent : thorium 234 et radon 222

a) Conservation du nombre de masse $A$ et conservation de la charge $Z$ : la somme des $A$ et la somme des $Z$ sont les mêmes des deux côtés. Ces deux lignes suffisent, il n'y a rien à mémoriser d'autre. $^{238}_{92}\mathrm{U}\to\,^{234}_{90}\mathrm{Th}+^{4}_{2}\mathrm{He}$ : $238=234+4$ et $92=90+2$ . $^{226}_{88}\mathrm{Ra}\to\,^{222}_{86}\mathrm{Rn}+^{4}_{2}\mathrm{He}$ : le radium donne bien le radon, ce qui explique au passage pourquoi ce gaz apparaît dans les sous-sols des régions granitiques.

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Chapitre 10 · La relativité restreinte

Un vaisseau de longueur propre $L_{0}=120$ m et de largeur propre $18{,}0$ m file à $v=0{,}600c$ vers une étoile située à $6{,}00$ années-lumière de la Terre, distance mesurée par les astronomes terrestres. La figure, sans échelle, montre le vaisseau au repos avec ses dimensions propres, et le même vaisseau mesuré depuis la Terre, dont les dimensions sont à trouver.

a) Calculez la longueur et la largeur du vaisseau mesurées depuis la Terre. Que mesure l'équipage à bord, avec son propre mètre ruban ?

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Réponse

a) $96{,}0$ m sur $18{,}0$ m vus de la Terre ; $120$ m sur $18{,}0$ m à bord

a) $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}360}}=\dfrac{1}{0{,}800}=1{,}250$ . Longueur vue de la Terre : $L=\dfrac{L_{0}}{\gamma}=\dfrac{120}{1{,}250}=96{,}0$ m. Largeur vue de la Terre : $18{,}0$ m, INCHANGÉE, parce que la contraction n'agit que dans la direction du mouvement. À bord, l'équipage mesure toujours $120$ m sur $18{,}0$ m : dans son propre référentiel, le vaisseau est immobile, donc c'est la longueur propre qu'il lit, et rien n'a changé pour lui. Aucun des deux n'a tort.

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Chapitre 11 · Chaleur, température et transferts thermiques

La conduction à travers une paroi plane obéit à la loi de Fourier : $\Phi=\dfrac{kA\,\Delta T}{e}$ , qu'on écrit $\Phi=\dfrac{\Delta T}{R}$ avec la résistance thermique $R=\dfrac{e}{kA}$ . Une fenêtre de $1{,}20$ m² sépare une pièce à $20$ °C de l'extérieur à $-10$ °C. Verre : $k=0{,}80$ W/(m·K), épaisseur $4{,}0$ mm. Air immobile : $k=0{,}026$ W/(m·K).

a) Calculez la résistance thermique d'une vitre seule.

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Réponse

a) $R=4{,}17\times 10^{-3}$ K/W

a) $R=\dfrac{e}{kA}=\dfrac{4{,}0\times 10^{-3}}{0{,}80\times 1{,}20}=4{,}17\times 10^{-3}$ K/W. L'épaisseur doit être en mètres.

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Chapitre 12 · Effet de serre, albédo et forçage radiatif

La luminosité du Soleil vaut $L=3{,}828\times 10^{26}$ W et la distance moyenne Terre-Soleil $d=1{,}496\times 10^{11}$ m. Rayon terrestre : $R=6{,}371\times 10^{6}$ m. L'albédo moyen de la Terre vaut $\alpha=0{,}30$ . Le schéma ci-dessous, sans échelle, représente la situation.

a) Calculez la constante solaire $S$ , flux reçu sur une surface perpendiculaire aux rayons à la distance de la Terre.

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Réponse

a) $S=1361$ W/m²

a) La puissance du Soleil se répartit sur une sphère de rayon $d$ : $S=\dfrac{L}{4\pi d^{2}}=\dfrac{3{,}828\times 10^{26}}{4\pi\times(1{,}496\times 10^{11})^{2}}=1361$ W/m².

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