Faire le point : Mathématiques, Cinquième

Une question par chapitre, 18 en tout, tirées des exercices corrigés du cours. Réponds à celles que tu sais faire et passe celles d'un chapitre que tu n'as pas encore vu : chaque réponse se vérifie tout de suite, et la correction s'ouvre après.

Avec ton espace gratuit, chaque réponse est gardée et ton tableau de bord range chaque chapitre : réussi au test, ou à travailler. Ce sont les mêmes questions que sur les pages des séries : une réponse donnée ici compte là-bas.

Ce que le cours suppose

Ces chapitres viennent d'une année précédente, et le cours s'appuie dessus dès les premières semaines.

Mathématiques · Sixième · Les nombres décimaux

Pour comparer deux décimaux, on compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, et ainsi de suite, rang par rang.

1) Comparez $7{,}9$ et $7{,}15$ , puis $0{,}4$ et $0{,}40$ , puis $12{,}3$ et $12{,}300$ .

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Réponse

1) $7{,}9>7{,}15$ ; $0{,}4=0{,}40$ ; $12{,}3=12{,}300$

1) $7{,}9>7{,}15$ : les parties entières sont égales, on compare donc les dixièmes, $9$ contre $1$ , et $9>1$ . Le nombre de chiffres écrits ne joue aucun rôle. $0{,}4=0{,}40$ : le zéro final n'ajoute aucun centième. $12{,}3=12{,}300$ pour la même raison.

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Mathématiques · Sixième · Fractions et proportionnalité

Multiplier ou diviser le numérateur ET le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la fraction : on partage en parts plus fines ou plus grosses, mais on garde la même part du tout.

2) Simplifiez $\dfrac{12}{18}$ , puis $\dfrac{25}{100}$ .

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Réponse

2) $\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{1}{4}$

2) $\dfrac{12}{18}$ : $12$ et $18$ sont tous deux divisibles par $6$ , donc $\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$ . $\dfrac{25}{100}$ : on divise par $25$ , ce qui donne $\dfrac{1}{4}$ . On cherche toujours le plus grand diviseur commun, sinon la simplification reste à moitié faite, comme $\dfrac{12}{18}=\dfrac{6}{9}$ , qui peut encore être réduite.

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Mathématiques · Sixième · Géométrie et grandeurs

Le triangle $ABC$ est tracé sur un quadrillage, et $(d)$ est une droite verticale. Le symétrique d'un point $M$ par rapport à $(d)$ est le point $M'$ tel que $(d)$ soit la MÉDIATRICE de $[MM']$ .

2) Quelles sont les coordonnées, en carreaux, de $A'$ et de $C'$ ?

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Réponse

2) A'(9 ; 1) ; C'(9 ; 4)

2) La droite $(d)$ est la verticale d'abscisse $5$ . Le point $A$ a pour abscisse $1$ , donc $A'$ a pour abscisse $5+4=9$ et la même ordonnée $1$ : $A'(9\,;1)$ . De même $C(1\,;4)$ donne $C'(9\,;4)$ . L'ordonnée ne change JAMAIS dans une symétrie d'axe vertical, seule l'abscisse est renvoyée de l'autre côté.

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Mathématiques · Sixième · Solides, patrons et volumes

Un patron est le dessin à plat d'un solide : en le découpant et en le pliant, on doit obtenir le solide, sans trou et sans superposition. Les quatre figures ci-dessous sont formées de carrés identiques.

2) Parmi les figures $A$ , $B$ , $C$ et $D$ , lesquelles sont des patrons de cube ?

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Réponse

2) A et C

2) Seules les figures $A$ et $C$ sont des patrons de cube. La figure $A$ est la croix : la colonne de quatre carrés fait le tour du cube, le carré de gauche devient une face latérale et celui de droite la face opposée. La figure $C$ est un escalier : il ne ressemble pas à une croix, et pourtant il se plie parfaitement. C'est le piège le plus courant du chapitre, celui qui consiste à croire qu'un patron de cube a forcément la forme d'une croix.

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Mathématiques · Sixième · Durées, tableaux et graphiques

Les unités de temps ne suivent pas le système décimal : on passe de l'heure à la minute et de la minute à la seconde en multipliant par $60$ . Toute conversion se fait donc avec $60$ , jamais avec $10$ ni avec $100$ .

2) Convertir $2$ h $15$ min en minutes.

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Réponse

2) 135 min

2) $2$ h $=2\times 60=120$ minutes, auxquelles s'ajoutent les $15$ minutes : $2$ h $15$ min $=135$ minutes. Il faut convertir la partie en heures AVANT d'ajouter les minutes ; écrire $215$ minutes serait recopier les chiffres au lieu de calculer.

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Mathématiques · Sixième · Algorithmique et Scratch

La scène d'un jeu est un quadrillage. Chaque point y est désigné par un COUPLE de deux nombres $(x\,;y)$ : le premier se lit sur l'axe horizontal, le second sur l'axe vertical. L'ordre des deux nombres n'est jamais interchangeable.

1) Donner les coordonnées des points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

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Réponse

1) A(2 ; 6), B(2 ; 3), C(8 ; 7), D(5 ; 1)

1) On lit chaque point en descendant vers l'axe horizontal, puis en allant vers l'axe vertical : $A(2\,;6)$ , $B(2\,;3)$ , $C(8\,;7)$ et $D(5\,;1)$ . On écrit toujours les deux nombres entre parenthèses, séparés par un point-virgule, dans l'ordre horizontal puis vertical.

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Les chapitres du cours

Dans l'ordre du cours.

Chapitre 1 · Calculs numériques et priorités

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d'abord les écrire avec le MÊME dénominateur. On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux.

1) Calculez $\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}$ .

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Réponse

1) $\frac{5}{7}$

1) Les dénominateurs sont déjà égaux : on additionne les numérateurs et on GARDE le dénominateur, $\dfrac{2+3}{7}=\dfrac{5}{7}$ . Écrire $\dfrac{5}{14}$ en additionnant aussi les dénominateurs est l'erreur classique, et elle se détecte au bon sens : deux septièmes plus trois septièmes font forcément plus qu'un demi.

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Chapitre 2 · Les fractions

La droite ci-dessous va de $0$ à $2$ . Chaque petit intervalle vaut un sixième.

2) Où placer sur cette droite les nombres $\frac{5}{6}$ , $\frac{4}{3}$ et $\frac{3}{2}$ ?

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Réponse

2) 5e, 8e et 9e graduations

2) $\frac{5}{6}$ est la cinquième graduation, juste avant $1$ . $\frac{4}{3}$ se convertit d'abord en sixièmes : $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}$ , c'est la huitième graduation, donc deux crans après $1$ . $\frac{3}{2}=\frac{9}{6}$ , la neuvième graduation, c'est-à-dire le milieu de $1$ et $2$ . La méthode générale est toujours celle-là : pour placer une fraction sur une droite graduée en sixièmes, on la réécrit en sixièmes, puis on compte les crans.

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Chapitre 3 · Les nombres relatifs

Sur la droite graduée ci-dessous, l'unité est le centimètre. Le nombre associé à un point s'appelle son ABSCISSE.

1) Donnez l'abscisse de chacun des quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

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Réponse

1) $A(-4)$ , $B(-1{,}5)$ , $C(2)$ , $D(3{,}5)$

1) On lit directement : $A$ a pour abscisse $-4$ , $B$ a pour abscisse $-1{,}5$ , $C$ a pour abscisse $2$ et $D$ a pour abscisse $3{,}5$ . On note cela $A(-4)$ , $B(-1{,}5)$ , et ainsi de suite. Attention à ne pas oublier le signe moins : une abscisse à gauche de l'origine est NÉGATIVE, et l'omettre change complètement le nombre.

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Chapitre 4 · Le calcul littéral

Réduire, c'est regrouper les termes SEMBLABLES, c'est-à-dire ceux qui ont exactement la même partie littérale. On ne regroupe jamais un terme en $x$ avec un nombre seul.

2) Réduisez $7a-2a+a$ .

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Réponse

2) $6a$

2) Les trois termes sont en $a$ , et le dernier a un coefficient sous-entendu de $1$ : $7-2+1=6$ , donc le résultat est $6a$ . Oublier ce coefficient invisible est une erreur fréquente et donnerait $5a$ .

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Chapitre 5 · Distributivité et factorisation

Développez chaque expression, à la main, puis réduisez si c'est possible. Un seul réflexe à tenir : le facteur placé devant la parenthèse multiplie TOUS les termes qu'elle contient, avec leur signe.

1) $A=7(x-2)$

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Réponse

1) $A=7x-14$

1) $A=7\times x-7\times 2=7x-14$ . Le $7$ multiplie aussi le $2$ : écrire $7x-2$ est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. Contrôle pour $x=1$ : l'expression de départ vaut $7\times(-1)=-7$ , et $7-14=-7$ ✓, alors que la forme fautive donnerait $5$ .

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Chapitre 6 · Proportionnalité et pourcentages

Augmenter de $t$ pour cent, c'est ajouter $\frac{t}{100}$ de la valeur. Diminuer de $t$ pour cent, c'est la retrancher. Dans les deux cas, on peut le faire en une seule multiplication.

4) Un vélo passe de $250$ à $300$ dollars. De quel pourcentage a-t-il augmenté ?

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Réponse

4) 20 %

4) L'augmentation vaut $300-250=50$ dollars. On la compare au prix de DÉPART : $\frac{50}{250}=0{,}2$ , soit $20$ pour cent. Le dénominateur est le point crucial : c'est toujours la valeur initiale, jamais la valeur finale. Diviser par $300$ donnerait environ $16{,}7$ pour cent, ce qui est une autre question.

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Chapitre 7 · Statistiques et probabilités

Le diagramme donne le nombre de buts marqués par une équipe lors de ses six derniers matchs.

4) Lors de combien de matchs l'équipe a-t-elle marqué au moins $3$ buts ? Quelle fréquence cela représente-t-il ?

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Réponse

4) 4 matchs, $\frac{2}{3}$

4) Au moins $3$ buts, cela veut dire $3$ ou plus : les matchs 1, 3, 5 et 6, soit $4$ matchs. La fréquence vaut $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 0{,}67$ , soit environ $67$ pour cent des matchs. Attention à ne pas confondre « au moins $3$ », qui inclut $3$ , avec « plus de $3$ », qui l'exclut et ne donnerait que $2$ matchs.

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Chapitre 8 · Angles et parallélisme

Deux angles sont ADJACENTS quand ils ont le même sommet et un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté. Deux angles sont SUPPLÉMENTAIRES quand la somme de leurs mesures vaut $180°$ . Le premier mot parle de position, le second de mesure : l'un ne donne pas l'autre.

La figure ci-dessous montre quatre paires d'angles, marqués chacun par une couleur.

b) Pour chaque paire qui n'est pas adjacente, indiquez la condition qui manque.

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Réponse

b) paire 1 : de part et d'autre du côté commun ; paire 3 : le même sommet ; paire 4 : un côté commun

b) Paire 1 : le côté commun existe, mais les deux angles sont du même côté et l'un est dans l'autre. Paire 3 : les deux angles ont un segment en commun, mais pas le même sommet. Paire 4 : même sommet, mais aucun côté commun.

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Chapitre 9 · Les triangles

Un schéma n'est pas une preuve : ce sont les CODAGES qui disent ce qu'on sait. Deux petits traits identiques signalent deux longueurs égales, un petit carré signale un angle droit. Ce qui n'est pas codé n'est pas acquis, même si l'œil le croit.

Voici six schémas, nommés de $T_{1}$ à $T_{6}$ .

b) Le triangle $T_{1}$ est isocèle : donnez son sommet principal et sa base. Donnez aussi le sommet principal de $T_{4}$ .

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Réponse

b) $T_{1}$ : sommet principal $A$ , base $[BC]$ ; $T_{4}$ : sommet principal $K$

b) Le sommet principal est celui d'où partent les deux côtés égaux : pour $T_{1}$ , c'est $A$ ; la base est le côté opposé, $[BC]$ . Pour $T_{4}$ , les côtés égaux $[KJ]$ et $[KL]$ partent de $K$ : le sommet principal est $K$ . Piège : chercher le sommet principal « en haut du dessin ». $T_{1}$ est couché et son sommet principal est à gauche.

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Chapitre 10 · Géométrie de Cinquième

Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180$ degrés. Cette propriété seule permet de résoudre presque tous les exercices d'angles du chapitre.

3) Un triangle $GHI$ est isocèle en $G$ et $\widehat{H}=71$ degrés. Calculer $\widehat{G}$ .

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Réponse

3) 38°

3) Isocèle en $G$ signifie que les angles à la base $\widehat{H}$ et $\widehat{I}$ sont égaux, donc $\widehat{I}=71$ degrés également. Alors $\widehat{G}=180-71-71=180-142=38$ degrés. Attention à bien identifier QUEL angle est le sommet principal : ici c'est $G$ , donc ce sont $H$ et $I$ qui sont égaux, et non $G$ et $H$ .

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Chapitre 11 · Aires, volumes et conversions

Le disque de gauche a pour rayon $4$ centimètres. Le demi-disque de droite est bâti sur le diamètre tracé. On donnera d'abord la valeur exacte avec $\pi$ , puis l'arrondi au centième.

3) Pour le demi-disque : calculer son aire, puis la longueur totale de son contour. Attention, ce contour n'est pas la moitié du cercle.

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Réponse

3) $8\pi\approx 25{,}13$ cm² ; $4\pi+8\approx 20{,}57$ cm

3) L'aire du demi-disque est la moitié de celle du disque de même rayon : $\dfrac{16\pi}{2}=8\pi$ centimètres carrés, environ $25{,}13$ centimètres carrés. Le contour, lui, se compose de DEUX morceaux : le demi-cercle, de longueur $\dfrac{8\pi}{2}=4\pi\approx 12{,}57$ centimètres, et le diamètre, de longueur $2\times 4=8$ centimètres. Le contour mesure donc $4\pi+8\approx 20{,}57$ centimètres. Couper un disque en deux divise bien l'aire par $2$ , mais pas le périmètre : la coupe crée un nouveau bord, le diamètre, qui n'existait pas avant.

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Chapitre 12 · Algorithmique et Scratch

Pour alléger l'écriture, la scène a été réduite à un repère où une unité vaut $40$ pas. Le lutin part du point $A$ et doit parcourir le contour $ABCD$ en n'utilisant que les blocs $\mathtt{ajouter\ \ldots\ à\ x}$ et $\mathtt{ajouter\ \ldots\ à\ y}$ .

4) Calculer l'aire de $ABCD$ , en unités d'aire, puis en pas carrés.

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Réponse

4) 21 u.a. = 33 600 pas²

4) L'aire du rectangle vaut $7\times 3=21$ unités d'aire. Une unité valant $40$ pas, une unité d'aire vaut $40\times 40=1\,600$ pas carrés, donc l'aire vaut $21\times 1\,600=33\,600$ pas carrés. Le facteur est bien $1\,600$ et non $40$ : une aire est un produit de deux longueurs, donc le coefficient s'applique deux fois.

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Et maintenant ?

Ton tableau de bord range chaque chapitre selon tes réponses et te dit par où commencer. Une date d'examen en tête ? Note-la sur la carte du cours : il en tire un plan, jour après jour.

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