Faire le point : Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)

Méthode en trois temps, toujours la même : on pose le DOMAINE d'existence, on passe à la forme exponentielle pour résoudre, puis on VÉRIFIE que la solution appartient au domaine. Sauter la première étape est ce qui fait accepter des solutions inexistantes.

b) Domaine : l'argument doit être strictement positif, donc $x-1>0$ et $x>1$. La notation $\log$ sans indice désigne le logarithme DÉCIMAL, de base $10$ : c'est une convention à connaître, et la confondre avec $\ln$ change complètement la réponse. On obtient $x-1=10^{2}=100$, donc $x=101$. Comme $101>1$, la solution est admissible ✓.

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Principe des trois questions : une fonction définie par parties est continue en un point de raccord si les deux morceaux y donnent la MÊME valeur. Quand un paramètre est en jeu, on écrit cette égalité et on la résout, ce qui donne une équation à une inconnue.

a) Le point de raccord est $x=1$. Le morceau de gauche, $2x+1$, y tend vers $2\times 1+1=3$. Le morceau de droite, $ax+2$, y vaut $a\times 1+2=a+2$. L'égalité $3=a+2$ donne $a=1$. Remarquez que le morceau de gauche est défini pour $x<1$ strictement, donc $1$ n'y appartient pas : on calcule bien une LIMITE, la valeur vers laquelle le morceau tend, et non une valeur atteinte. Le résultat numérique est le même parce que $2x+1$ est une fonction affine, donc sans surprise, mais la rédaction correcte le distingue.

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Principe unique de la conversion : faire apparaître le DÉNOMINATEUR à l'intérieur du numérateur, de façon à pouvoir séparer la fraction en deux morceaux dont l'un se simplifie. C'est une division déguisée, et elle réussit toujours.

a) $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$. On veut voir $(x-1)$ dans le numérateur : comme $2x+1=2(x-1)+2+1=2(x-1)+3$, on écrit $f(x)=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$, soit $f(x)=\frac{3}{x-1}+2$. Asymptotes : $x=1$ et $y=2$. Contrôle numérique en un point quelconque, $x=3$ : la forme de départ donne $\frac{7}{2}=3{,}5$, la forme canonique donne $\frac{3}{2}+2=3{,}5$ ✓.

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b) Une composition se lit de l'intérieur vers l'extérieur, en deux lectures successives de la table. $(f\circ g)(1)$ : on cherche d'abord $g(1)=3$, puis on cherche $f$ de ce résultat, $f(3)=4$. Donc $(f\circ g)(1)=4$. $(g\circ f)(2)$ : d'abord $f(2)=3$, puis $g(3)=1$. Donc $(g\circ f)(2)=1$. Le résultat intermédiaire doit être traité comme une nouvelle entrée, et l'erreur classique consiste à relire la même colonne au lieu de changer de fonction.

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Méthode commune : on cherche sur le cercle trigonométrique les points dont l'ordonnée (pour un sinus) ou l'abscisse (pour un cosinus) vaut la valeur donnée. Il y en a en général DEUX par tour, et donner une seule solution est l'erreur la plus sanctionnée.

a) $\sin x=\frac{1}{2}$ : on cherche les points d'ordonnée $\frac{1}{2}$, donc au-dessus de l'axe des abscisses, ce qui désigne les quadrants I et II. L'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$. Au quadrant I : $x=\frac{\pi}{6}$. Au quadrant II : $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$. Deux solutions : $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$. Notez la règle propre au SINUS : la seconde solution s'obtient par $\pi-x_{0}$, symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

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a) $(f\circ g)(x)=f\left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$. Le domaine se construit en DEUX temps, jamais en un seul. Premier temps : $x$ doit appartenir au domaine de $g$, donc $x\ge 0$. Second temps : $g(x)$ doit appartenir au domaine de $f$, donc $\sqrt{x}\neq 2$, c'est-à-dire $x\neq 4$. Conclusion : $\text{dom}(f\circ g)=\left[0,4\right[\cup\left]4,+\infty\right[$. Lire le domaine sur l'expression simplifiée $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ donnerait ici le bon résultat par chance, mais la méthode en deux temps est la seule sûre.

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a) Méthode générale : diviser haut et bas par la plus haute puissance présente, ici $x^{2}$ : $f(x)=\frac{3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{4}{x^{2}}}$. Quand $x\to\pm\infty$, tous les termes en $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ s'effacent : la limite vaut $\frac{3}{1}=3$ des DEUX côtés. Asymptote horizontale : $y=3$, la droite horizontale en pointillé de la figure du corrigé. Raccourci légitime pour une fonction rationnelle de degrés ÉGAUX : le rapport des coefficients dominants, ici $\frac{3}{1}$.

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b) Par la règle du produit : $\begin{aligned}&h'(x) \\ &\quad = (2x)(x^{3}-2x)+(x^{2}+1)(3x^{2}-2) \\ &\quad = 2x^{4}-4x^{2}+3x^{4}-2x^{2}+3x^{2}-2 \\ &\quad = 5x^{4}-3x^{2}-2\end{aligned}$ Vérification en développant d'abord : $h(x)=x^{5}-x^{3}-2x$, donc $h'=5x^{4}-3x^{2}-2$ ✓. Conclusion : les deux voies donnent le même résultat, mais le développement préalable n'est possible que pour des polynômes ; la règle du produit, elle, marche sur n'importe quel produit ($xe^{x}$, $x\sin x$). Piège : croire que $(fg)'=f'g'$. Ici $f'g'=(2x)(3x^{2}-2)=6x^{3}-4x$, sans rapport.

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a) Trois couches : l'exponentielle, puis le sinus, puis $2x$. $f'(x)=e^{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x)e^{\sin(2x)}$. Le facteur 2 de la couche la plus intérieure est celui qu'on oublie : vérification en $x=0$, $f'(0)=2\cdot 1\cdot e^{0}=2$, alors que sans le facteur on trouverait 1, soit une pente deux fois trop faible.

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c) $\frac{d}{dx}(xy)=1\cdot y+x\cdot y'=y+xy'$ : c'est la règle du PRODUIT, et l'oubli du terme $y$ est la deuxième erreur la plus fréquente du chapitre. $\frac{d}{dx}(x^{2}y^{3})=2xy^{3}+x^{2}\cdot 3y^{2}y'=2xy^{3}+3x^{2}y^{2}y'$, produit puis chaîne. $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1\cdot y-x\cdot y'}{y^{2}}=\frac{y-xy'}{y^{2}}$, règle du quotient.

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a) Le grand triangle, formé par le lampadaire et l'extrémité de l'ombre, et le petit triangle, formé par la personne et cette même extrémité, sont semblables : mêmes angles, deux verticales et un sol commun. Le rapport hauteur sur base est donc identique : $\frac{6}{x+s}=\frac{1{,}8}{s}$. En croisant : $6s=1{,}8(x+s)$, soit $4{,}2s=1{,}8x$ et $s=\frac{3}{7}x$. Le piège d'écriture est ici : la base du GRAND triangle est $x+s$, pas $x$. Une copie qui écrit $\frac{6}{x}=\frac{1{,}8}{s}$ traite l'ombre comme si le lampadaire était à la place de la personne.

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a) $f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $f(4)=2$ et $f'(4)=\frac{1}{4}$. La linéarisation est $L(x)=2+\frac{1}{4}(x-4)$. Estimation : $\sqrt{4{,}1}\approx L(4{,}1)=2+\frac{0{,}1}{4}=2{,}025$. Valeur exacte : $\sqrt{4{,}1}\approx 2{,}0248457$. L'erreur absolue vaut environ $0{,}000154$, soit une erreur relative de $0{,}0076$ pour cent. Pour un calcul mental, la performance est remarquable : trois décimales correctes sans aucun outil.

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c) Le mobile accélère (sa VITESSE en valeur absolue augmente) quand $v$ et $a$ sont de MÊME signe, c'est-à-dire quand $v(t)\,a(t)>0$. Examinons les quatre zones délimitées par $t=2$, $t=3$, $t=4$. Sur $\left]0,2\right[$ : $v>0$ et $a<0$, produit négatif, il RALENTIT (il avance en freinant vers son arrêt). Sur $\left]2,3\right[$ : $v<0$ et $a<0$, produit positif, il ACCÉLÈRE (il recule de plus en plus vite). Sur $\left]3,4\right[$ : $v<0$ et $a>0$, produit négatif, il RALENTIT (il recule en freinant). Sur $\left]4,+\infty\right[$ : $v>0$ et $a>0$, produit positif, il ACCÉLÈRE. Conclusion : il accélère sur $\left]2,3\right[\cup\left]4,+\infty\right[$. Le point clef est qu'une accélération NÉGATIVE ne signifie pas « ralentir » : entre $t=2$ et $t=3$, l'accélération est négative et pourtant le mobile va de plus en plus vite, parce qu'il se déplace dans le sens négatif. C'est le signe du PRODUIT qui tranche, jamais celui de $a$ seul.

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a) Le déplacement est $s(5)-s(0)=20-0=20$ mètres. C'est une différence de deux positions, rien de plus : le chemin suivi entre les deux n'intervient pas. Un déplacement peut d'ailleurs être nul alors que le mobile a beaucoup bougé, s'il revient à son point de départ.

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a) Si $f$ est continue sur $[a\ ;\ b]$ et dérivable sur $\left]a\ ;\ b\right[$, alors il existe au moins un $c$ dans $\left]a\ ;\ b\right[$ tel que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Géométriquement : il existe au moins un point de la courbe où la TANGENTE est parallèle à la CORDE joignant les deux extrémités. Quand $f(a)=f(b)$, la corde est horizontale et l'on retrouve exactement Rolle.

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a) Avec $\sqrt{2}=1{,}41421356$ : $e_{0}=\left|2-1{,}41421356\right|=0{,}58578644$ ; $e_{1}=\left|1{,}5-1{,}41421356\right|=0{,}08578644$ ; $e_{2}=\left|1{,}41666667-1{,}41421356\right|=0{,}00245310$ ; $e_{3}=\left|1{,}41421569-1{,}41421356\right|=2{,}1239\times 10^{-6}$.

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c) $\dfrac{x+1}{x^{2}+3}$ en $0$ vaut $\dfrac{1}{3}$ par substitution : DÉTERMINÉE. $\dfrac{\ln x}{x}$ en $0^{+}$ donne $\dfrac{-\infty}{0^{+}}$, ce qui n'est pas une forme indéterminée : la limite vaut $-\infty$. Les deux autres le sont : $\dfrac{\infty}{\infty}$ pour la troisième, $\dfrac{0}{0}$ pour la quatrième. Attention au piège de la deuxième : $\dfrac{0}{0}$ est indéterminé, mais $\dfrac{\text{non nul}}{0}$ ne l'est jamais.

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d) $h(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$ donne $h'(x)=-x^{-2}$ et $h''(x)=2x^{-3}=\frac{2}{x^{3}}$. Pour $x>0$ : $h''>0$, la courbe est convexe. Pour $x<0$ : $h''<0$, elle est concave. La dérivée seconde change donc bien de signe en traversant $x=0$, mais il n'y a PAS de point d'inflexion, car $x=0$ n'appartient pas au domaine : il n'existe aucun point de la courbe à cette abscisse. Un point d'inflexion est un POINT de la courbe, il lui faut donc une image. C'est le piège classique des fonctions rationnelles, et il se neutralise en revenant systématiquement au domaine établi à la première étape de l'étude : d'où l'importance de l'ordre imposé.

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a) Le cylindre étant inscrit et centré, son axe passe par le centre de la sphère et ses deux cercles de base sont à la distance $\frac{h}{2}$ du centre. Un rayon de la sphère joignant le centre à un point du bord d'une base forme un triangle rectangle de côtés $r$ et $\frac{h}{2}$ et d'hypoténuse $R$. La contrainte est donc $r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}=R^{2}$, soit ici $r^{2}+\frac{h^{2}}{4}=9$.

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a) On dérive les deux candidates. $F'(x)=2\tan x\cdot\sec^{2}x$ par la règle de puissance et la chaîne, puisque $\left(\tan x\right)'=\sec^{2}x$. $G'(x)=2\sec x\cdot\left(\sec x\tan x\right)=2\sec^{2}x\tan x$, puisque $\left(\sec x\right)'=\sec x\tan x$. Les deux dérivées valent $f$, donc les deux fonctions sont bien des primitives de $f$ ✓. Elles ne se ressemblent pourtant pas. L'identité $\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$ règle l'affaire : $G-F=1$, la constante qui les sépare vaut exactement $1$. Vérification numérique en $x=\frac{\pi}{4}$ : $F=1$ et $G=2$ ✓. Deux réponses d'allure très différente peuvent donc être justes toutes les deux, et c'est le cas le plus fréquent de dispute autour d'une copie.

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