Faire le point : Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB)

a) Méthode générale : diviser haut et bas par la plus haute puissance présente, ici $x^{2}$ : $f(x)=\frac{3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{4}{x^{2}}}$. Quand $x\to\pm\infty$, tous les termes en $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ s'effacent : la limite vaut $\frac{3}{1}=3$ des DEUX côtés. Asymptote horizontale : $y=3$, la droite horizontale en pointillé de la figure du corrigé. Raccourci légitime pour une fonction rationnelle de degrés ÉGAUX : le rapport des coefficients dominants, ici $\frac{3}{1}$.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) Trois couches : l'exponentielle, puis le sinus, puis $2x$. $f'(x)=e^{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x)e^{\sin(2x)}$. Le facteur 2 de la couche la plus intérieure est celui qu'on oublie : vérification en $x=0$, $f'(0)=2\cdot 1\cdot e^{0}=2$, alors que sans le facteur on trouverait 1, soit une pente deux fois trop faible.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) Pour $x\geq 0$, $|x|=x$ donc une primitive est $\frac{x^{2}}{2}+C_{1}$. Pour $x<0$, $|x|=-x$ donc une primitive est $-\frac{x^{2}}{2}+C_{2}$. Ces deux morceaux doivent se RECOLLER : une primitive est dérivable, donc continue, et la continuité en 0 impose $\frac{0}{2}+C_{1}=-\frac{0}{2}+C_{2}$, c'est-à-dire $C_{1}=C_{2}$. Il n'y a donc qu'une seule constante, et non deux : $F(x)=\frac{x^{2}}{2}+C$ pour $x\geq 0$, $F(x)=-\frac{x^{2}}{2}+C$ pour $x<0$.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) On exclut les racines du dénominateur. $2x-5=0$ donne $x=\frac52$, donc le domaine est $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac52\right\}$. $x^2+9$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$, donc le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier : un dénominateur irréductible ne crée aucune valeur interdite, ce qui est le premier signe visible qu'il est irréductible. $2x^2-8x=2x(x-4)$ s'annule en 0 et en 4, donc le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{0;4\}$. Enfin $(x-3)^2$ s'annule en 3 seulement, domaine $\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) $x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$. On pose $\frac{x+5}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$, soit $x+5=A(x-1)+B(x+2)$. Méthode des valeurs commodes : $x=1$ : $6=3B$, $B=2$; $x=-2$ : $3=-3A$, $A=-1$. D'où $\int=-\ln|x+2|+2\ln|x-1|+C=\ln\frac{(x-1)^{2}}{|x+2|}+C$.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

d) La substitution exige que $t=\tan\frac{x}{2}$ soit continue, donc que $\frac{x}{2}$ évite $\frac{\pi}{2}$ : elle n'est légitime que sur un intervalle inclus dans $\left]-\pi,\pi\right[$ modulo $2\pi$. Sur $[0,2\pi]$, $t$ part de 0, tend vers $+\infty$ en $x=\pi$, réapparaît en $-\infty$ et remonte à 0 : appliquer aveuglément la primitive $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\dfrac{t}{\sqrt{3}}$ donne $F\left(2\pi\right)-F\left(0\right)=0-0=0$. Or l'intégrande $\dfrac{1}{2+\cos x}$ est partout supérieur à $\frac{1}{3}$ : l'intégrale vaut au moins $\frac{2\pi}{3}$. La vraie valeur, obtenue en coupant en $x=\pi$ et en doublant par symétrie, est $\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}\approx 3{,}628$. Retenir : un zéro pour l'intégrale d'une fonction strictement positive n'est pas une erreur de calcul, c'est une erreur de DOMAINE.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) Quand $x\to+\infty$ : l'asymptote oblique s'écrit $y=mx+p$ avec $m=\lim\frac{f(x)}{x}$ et $p=\lim\left(f(x)-mx\right)$. Ici $\frac{\sqrt{x^{2}+3x}}{x}=\sqrt{1+\frac{3}{x}}\to 1$, donc $m=1$; puis $p=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3x}-x\right)=\frac{3}{2}$ par le conjugué, calcul déjà fait à l'exercice 3d. L'asymptote est $y=x+\frac{3}{2}$. Quand $x\to-\infty$ : attention, $\sqrt{x^{2}}=|x|=-x$ puisque $x$ est négatif. Alors $\frac{\sqrt{x^{2}+3x}}{x}=\frac{|x|\sqrt{1+\frac{3}{x}}}{x}=-\sqrt{1+\frac{3}{x}}\to -1$, donc $m=-1$; et $p=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3x}+x\right)=-\frac{3}{2}$ par le même conjugué. L'asymptote est $y=-x-\frac{3}{2}$. L'écart vient ENTIÈREMENT de la simplification $\sqrt{x^{2}}=|x|$ : écrire $\sqrt{x^{2}}=x$ sans discuter du signe est la faute la plus répandue sur les asymptotes obliques, et elle donne une droite fausse d'un côté du graphe sur deux. Contrôle numérique : pour $x=10^{6}$, $f(x)-x\approx 1{,}4999989$; pour $x=-10^{6}$, $f(x)+x\approx -1{,}5000011$.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

b) Le théorème fondamental donne $F'=f$ : le signe de $f$ pilote les variations de $F$. Or $f>0$ sur $]0,4[$ et $f<0$ sur $]4,8[$. Donc $F$ CROÎT sur $[0,4]$ et DÉCROÎT sur $[4,8]$, avec un maximum en $x=4$, de valeur $F(4)=8$. La confusion de l'étudiant est de lire le graphe comme s'il s'agissait de $F$ : ce qui est dessiné est $f$, c'est-à-dire la DÉRIVÉE de $F$. En $x=2$, $f$ atteint son maximum, ce qui signifie que $F$ croît le plus VITE, pas qu'elle est la plus haute. $F$ culmine là où sa dérivée s'annule en changeant de signe, donc en $x=4$, exactement le moment où $f$ traverse l'axe du positif vers le négatif.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

b) L'aire ne peut pas être nulle : la courbe s'écarte visiblement de l'axe. Il faut découper aux ZÉROS de $f$, c'est-à-dire là où $x(x-2)(x+2)=0$, donc en $-2$, $0$ et $2$. Sur $\left]-2,0\right[$, $f>0$ (par exemple $f(-1)=3$); sur $\left]0,2\right[$, $f<0$ (par exemple $f(1)=-3$). Donc $\mathcal{A}=\int_{-2}^{0}f(x)\,dx-\int_{0}^{2}f(x)\,dx$. Le premier morceau vaut $\left[\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}\right]_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$ et le second $\left[\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}\right]_{0}^{2}=-4$. D'où $\mathcal{A}=4-(-4)=8$.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

b) On impose $\frac{M(b-a)^{5}}{180n^{4}}<10^{-4}$ avec $M=24$, soit $\frac{24}{180n^{4}}<10^{-4}$, donc $n^{4}>\frac{24\times 10^{4}}{180}=1333{,}33$, donc $n>6{,}04$. L'entier suivant serait 7, mais $n$ doit être PAIR pour Simpson : on prend donc $n=8$. Vérification : $\frac{24}{180\times 4096}=3{,}26\times 10^{-5}<10^{-4}$ ✓. On note au passage que $n=6$ ne suffirait pas, puisque $\frac{24}{180\times 1296}=1{,}03\times 10^{-4}$, très légèrement au-dessus du seuil : l'arrondi au pair supérieur n'est pas une précaution superflue, c'est ici la différence entre garantir et ne pas garantir.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) Sur une tranche, la courbe avance de $dx$ et monte de $dy=f'(x)dx$ : sa longueur est l'hypoténuse $\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\,dx$, qu'on somme. Ici $f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}$ : $L=\int_{0}^{4}\sqrt{1+\frac{9x}{4}}\,dx=\left[\frac{8}{27}\left(1+\frac{9x}{4}\right)^{3/2}\right]_{0}^{4}=\frac{8}{27}\left(10^{3/2}-1\right)\approx 9{,}07$ : un peu plus que la corde $\sqrt{4^{2}+8^{2}}\approx 8{,}94$, comme il se doit.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) $x'(t)=2t$ et $y'(t)=3t^{2}-3$, donc $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-3}{2t}$ pour $t\neq 0$. Le quotient n'a pas de sens en $t=0$, précisément là où la tangente sera verticale.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) $r=\sqrt{1+3}=2$. Le point est dans le DEUXIÈME quadrant ($x<0$, $y>0$). La calculatrice donne $\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)=\arctan\left(-\sqrt{3}\right)=-\frac{\pi}{3}$, qui désigne un point du quatrième quadrant : c'est faux. Il faut ajouter $\pi$ : $\theta=-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}$. Vérification : $2\cos\frac{2\pi}{3}=-1$ et $2\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}$.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

b) Le raisonnement est faux parce que le NOMBRE de termes augmente en même temps que chaque terme diminue. Chaque terme $\frac{1}{n+k}$ est de l'ordre de $\frac{1}{n}$, mais il y en a $n$ : le total reste de l'ordre de $n\cdot\frac{1}{n}=1$, donc rien ne tend vers 0. C'est la même illusion que pour la série harmonique : une infinité de contributions minuscules peut totaliser une quantité non nulle, et « passer à la limite terme à terme » n'est licite que si le nombre de termes est FIXE. Calcul correct : $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n\left(1+\frac{k}{n}\right)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, qui est la somme de Riemann de $f(x)=\frac{1}{1+x}$ sur $[0,1]$. La limite vaut donc $\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x}=\left[\ln(1+x)\right]_{0}^{1}=\ln 2\approx 0{,}693$. Contrôle numérique : la somme vaut $0{,}6688$ pour $n=10$ et $0{,}69314$ pour $n=10^{5}$, la convergence est lente et par en dessous.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

b) $(-1)^{n}\frac{n}{n+1}$ : le terme général ne tend pas vers 0 (il oscille entre des valeurs proches de $+1$ et $-1$) : DIVERGENTE par le test du terme général : Leibniz est inapplicable ($b_{n}\to 1\ne 0$) et il ne faut même pas l'invoquer. $\frac{n^{2}}{n^{4}+1}$ : positive, se compare à $\frac{n^{2}}{n^{4}}=\frac{1}{n^{2}}$ : $\frac{n^{2}}{n^{4}+1}\le\frac{1}{n^{2}}$, Riemann $p=2$ : CONVERGENTE (absolument, elle est positive).

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) La suite $\frac{1}{n^{2}}$ est positive, décroissante et tend vers 0 : le critère des séries alternées s'applique, la série converge. Le reste après $N$ termes vérifie $|R_{N}|\leq\dfrac{1}{(N+1)^{2}}$. On veut $\dfrac{1}{(N+1)^{2}}<10^{-3}$, soit $(N+1)^{2}>1000$, donc $N+1>31{,}6$ et $N\geq 31$. Vérification : avec 31 termes l'écart réel avec $\frac{\pi^{2}}{12}\approx 0{,}8224670$ vaut $5{,}0\times 10^{-4}$, effectivement sous la borne.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

b) $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$. Le décalage étant de 2, les termes ne s'annulent qu'un sur deux et il RESTE deux termes au début : $S_{N}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right)\longrightarrow\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$. La règle générale est qu'un décalage de $k$ laisse $k$ termes de chaque côté.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) D'Alembert : $\left|\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{x^{n}}\right|=|x|\frac{n}{n+1}\to|x|$ : convergence pour $|x|<1$, donc $R=1$. Bornes : en $x=1$, la série harmonique $\sum\frac{1}{n}$ DIVERGE; en $x=-1$, la harmonique alternée CONVERGE (Leibniz). Intervalle : $[-1,1[$ : fermé d'un côté, ouvert de l'autre, et il fallait les deux tests pour le savoir.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →

a) Le piège est dans l'exposant : $e^{2x+y}=e^{2x}\,e^{y}$, et non $e^{2x}+e^{y}$. On met $e^{y}$ en facteur : $\dfrac{dy}{dx}=e^{y}\left(e^{2x}+1\right)$, équation SÉPARABLE. $e^{-y}\,dy=\left(e^{2x}+1\right)dx$, donc $-e^{-y}=\dfrac{e^{2x}}{2}+x+C$. Au point $(0\,;0)$ : $-1=\frac{1}{2}+C$, $C=-\frac{3}{2}$. Donc $e^{-y}=\dfrac{3}{2}-x-\dfrac{e^{2x}}{2}$ et $y=-\ln\left(\dfrac{3}{2}-x-\dfrac{e^{2x}}{2}\right)$. En $x=-\frac{1}{2}$ : $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{e^{-1}}{2}=2-\frac{1}{2e}\approx 1{,}816$, d'où $y\approx -0{,}597$. La solution n'existe que tant que le logarithme a un argument positif : $3-2x-e^{2x}>0$. Cette fonction est strictement décroissante, vaut $1$ en $0$ et s'annule entre $0{,}39$ et $0{,}40$ ; par dichotomie, la borne droite vaut environ $0{,}396$. En s'en approchant, $e^{-y}\to 0$ et $y\to+\infty$ : la solution explose en temps fini, alors que le second membre semblait inoffensif.

L'exercice complet, avec toutes ses questions →