Faire le point : Mathématiques CST, Secondaire 4 CST

a) Le grand cube a pour volume $(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$. Les deux petits cubes ont ensemble $2a^{3}$. Il faudrait donc HUIT petits cubes, et pas deux, pour égaler le grand : doubler l'arête multiplie le volume par $2^{3}=8$. La figure le dit : le grand cube a deux petits cubes de largeur, deux de profondeur et deux de hauteur. C'est la raison pour laquelle $(2a)^{3}\neq 2a^{3}$ : dans le premier, le $2$ est élevé au cube avec $a$ ; dans le second, il ne l'est pas.

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a) Première équation : $y=12-x$. Seconde : $y=x-4$. Comparaison : $12-x=x-4$, donc $16=2x$ et $x=8$. Puis $y=12-8=4$. Solution : $(8\,;4)$. Vérification : $8+4=12$ et $8-4=4$. Le signe de $y$ dans la seconde équation est le piège : de $x-y=4$ on tire $-y=4-x$, donc $y=x-4$, et non $y=4-x$.

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a) Le DOMAINE se lit sur l'axe horizontal : la courbe existe de $h=0$ à $h=24$, donc le domaine est $[0\,;24]$ heures. L'IMAGE se lit sur l'axe vertical : la courbe descend au plus bas à $-6$ (à $3$ h) et monte au plus haut à $8$ (à $15$ h), donc l'image est $[-6\,;8]$ degrés. Ce sont deux intervalles, l'un de $x$, l'autre de $y$, et on les écrit avec des crochets fermés parce que les extrémités sont atteintes.

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b) $a=\dfrac{-5-7}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$. Le taux est NÉGATIF : quand $x$ augmente de $1$, $y$ DIMINUE de $2$. La fonction est décroissante, la droite descend vers la droite. Le piège de cette question est le dénominateur, $4-(-2)=6$ et non $2$ : soustraire un négatif, c'est additionner.

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a) A et B : $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ et $\dfrac{6}{4}=1{,}5$, les deux rapports sont égaux, donc A et B sont semblables, avec $k=1{,}5$ de A vers B. A et C : $\dfrac{8}{6}\approx 1{,}33$ mais $\dfrac{5}{4}=1{,}25$ ; les rapports diffèrent, donc A et C ne sont PAS semblables, même si C « ressemble » à A. Deux rectangles ont toujours les mêmes angles : pour eux, tout se joue sur les rapports des côtés.

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a) Triangle $ABC$, angle droit en $A$ : l'hypoténuse est $BC$, le côté qui ne touche pas $A$ ; relation $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. Triangle $DEF$, angle droit en $E$ : hypoténuse $DF$, relation $DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$. Triangle $GHI$, angle droit en $I$ : hypoténuse $GH$, le côté du BAS, relation $GH^{2}=GI^{2}+HI^{2}$. Le troisième cas est le piège : l'hypoténuse n'est pas « le côté penché », c'est le côté opposé à l'angle droit, même quand il est horizontal.

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a) Population : les $900$ élèves de l'école, tous, y compris ceux qu'on n'interrogera pas. Aléatoire simple : on numérote les $900$ élèves et on tire $90$ numéros au sort. Systématique : sur la liste alphabétique, on tire un point de départ au hasard entre $1$ et $10$, puis on prend un élève sur $10$. Stratifié : on tire au sort, dans chaque niveau, un nombre d'élèves proportionnel à l'effectif du niveau, voir b). Par grappes : on tire au sort $3$ classes de $30$ élèves parmi toutes les classes, et on interroge les $90$ élèves de ces $3$ classes.

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b) $0{,}25^{1/2}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5$, car $0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$. $0{,}81^{1/2}=\sqrt{0{,}81}=0{,}9$, car $0{,}9\times 0{,}9=0{,}81$. Vérifiez toujours par le carré plutôt que de faire confiance à la calculatrice : c'est immédiat et cela attrape les erreurs de virgule, la plus courante étant de lire $\sqrt{0{,}25}=0{,}05$.

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a) Abonnement A : $3\times 10=30$ dollars. Abonnement B : $20+1\times 10=30$ dollars. Les deux cases valent $30$. Une table de valeurs est souvent le chemin le plus rapide vers le seuil en CST, à condition de ne pas oublier les frais fixes de B, qui s'ajoutent même quand le nombre de déplacements est nul.

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d) Une variation directe s'écrit $y=ax$ et se reconnaît à un rapport $\dfrac{y}{x}$ constant. Ici ce rapport vaut $\dfrac{3}{1}=3$, puis $\dfrac{12}{2}=6$, puis $\dfrac{27}{3}=9$ : il change à chaque colonne, donc la fonction n'est pas une variation directe. Passer par l'origine est une condition NÉCESSAIRE d'une variation directe, pas une condition suffisante : toutes les fonctions $f(x)=ax^{2}$ passent aussi par l'origine sans être des variations directes. Le graphique tranche aussi : une variation directe est une DROITE, alors que cette table donne une courbe.

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a) Une hausse de $8\,\%$ garde les $100\,\%$ de départ et ajoute $8\,\%$, soit $108\,\%$ : la base vaut $c=1{,}08$. Une hausse de $150\,\%$ donne $100\,\%+150\,\%=250\,\%$, donc $c=2{,}5$. Attention à celle-ci : augmenter de $150\,\%$ ne revient pas à multiplier par $1{,}5$, mais par $2{,}5$, c'est-à-dire à plus que doubler.

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c) $g(3)=11$, parce que l'intervalle qui contient $3$ est $x\ge 3$, celui de la seconde règle. La valeur $12$ n'est PAS une valeur de $g$ : c'est celle vers laquelle tend le premier morceau sans jamais l'atteindre. Pour $f$, les deux morceaux donnent la même chose, donc la question ne se pose pas : $f(2)=8$.

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a) Un jour exactement : un seul jour est entamé, donc $1\times 0{,}40=0{,}40$ dollar. Trois jours et demi : trois jours complets, plus un quatrième entamé, donc quatre jours facturés et $4\times 0{,}40=1{,}60$ dollar. Le geste du chapitre tient ici : on ne multiplie jamais la durée par le tarif, on compte d'abord le nombre de TRANCHES, puis on multiplie ce nombre entier par le tarif.

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a) La valeur $30$ est atteinte deux fois par cycle, une fois à la montée et une fois à la descente, et c'est cela qu'il faut voir avant de calculer. À la montée : $10+20x=30$, donc $20x=20$ et $x=1$. À la descente : $50-20(x-3)=30$, donc $20(x-3)=20$, $x-3=1$ et $x=4$. Sur $[0;6]$, les solutions sont $x=1$ et $x=4$. Ne donner que $x=1$, c'est oublier la moitié des réponses, et c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

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a) Deux côtés sont déjà égaux deux à deux. Deux possibilités closent le dossier. Première : le TROISIÈME côté, $AC=DF$, ce qui donne le cas côté-côté-côté. Deuxième : l'angle COMPRIS entre les deux côtés connus, $\widehat{B}=\widehat{E}$, ce qui donne le cas côté-angle-côté. Attention, l'angle $\widehat{A}$ ne conviendrait PAS : il n'est pas compris entre $AB$ et $BC$, et deux côtés plus un angle non compris ne garantissent rien, comme le montre l'exercice 3.

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c) Chaque cathète se relie à SA projection, celle qui la touche. La cathète $AB$ touche la projection $BH=9$, donc $AB^{2}=9\times 25=225$ et $AB=15$ cm. La cathète $AC$ touche la projection $HC=16$, donc $AC^{2}=16\times 25=400$ et $AC=20$ cm. L'erreur classique est de croiser les projections : elle donnerait $AB^{2}=16\times 25$, donc $20$ cm pour la cathète la plus courte, ce qu'un regard sur la figure suffit à écarter.

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c) $1344\times 4{,}25=5712$ dollars. Le gazon se compte en mètres carrés, donc il suit l'AIRE, pas le périmètre. Confondre les deux est l'erreur qui coûte le plus dans ce genre de problème, et elle se repère aux unités : un prix au mètre carré ne peut multiplier qu'une aire.

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d) La température ne change pas, donc la variation verticale est nulle : $m=\dfrac{-18-(-18)}{6-0}=\dfrac{0}{6}=0$. Interprétation : la température est CONSTANTE, la droite est horizontale. Une pente nulle ne signifie pas une valeur nulle : le congélateur est bien à $-18\,^\circ$C, c'est sa VARIATION qui est nulle.

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e) Le point moyen global a pour abscisse $\dfrac{560}{8}=70$ et pour ordonnée $\dfrac{32{,}2}{8}=4{,}025$. On remplace : $0{,}025625\times 70+2{,}23125=1{,}79375+2{,}23125=4{,}025$. La droite passe donc exactement par ce point. Ce n'est pas un hasard : la droite de Mayer passe TOUJOURS par le point moyen global, parce que celui-ci est le milieu des deux points moyens partiels quand les groupes ont le même effectif. C'est la vérification gratuite du chapitre, et elle contrôle d'un coup la pente et l'ordonnée à l'origine.

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b) Les résultats strictement inférieurs à $64$ sont au nombre de $11$. La valeur $64$ apparaît DEUX fois, ce qui ajoute $\dfrac{2}{2}=1$. On obtient $\dfrac{11+1}{25}\times 100 = 48$, donc un rang centile de $48$. Compter la moitié des données égales est ce qui donne le même rang centile aux deux élèves qui ont obtenu $64$, ce qui est équitable : deux résultats identiques doivent occuper la même position dans le groupe.

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