Faire le point : Mathématiques SN, Secondaire 4

a) $5x^{2}y$ : coefficient $5$, degré $2+1=3$. $-3xy^{2}$ : coefficient $-3$ (le signe fait partie du coefficient), degré $1+2=3$. $7$ : coefficient $7$, degré $0$, c'est un terme constant. $-2x^{2}y$ : coefficient $-2$, degré $3$. $xy^{2}$ : coefficient $1$, qu'on n'écrit pas, degré $3$. $-4$ : coefficient $-4$, degré $0$. Le degré compte les variables, pas le coefficient : $7$ est de degré $0$ même s'il vaut $7$.

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a) Le dénominateur commun de $3$ et $4$ est $12$. On multiplie tout par $12$ : $12\times\dfrac{x}{3}+12\times\dfrac{x}{4}=12\times 7$, soit $4x+3x=84$, donc $7x=84$ et $x=12$. Vérification : $\dfrac{12}{3}+\dfrac{12}{4}=4+3=7$. Le piège est d'oublier de multiplier le membre de droite : $4x+3x=7$ donne $x=1$, une réponse qui ne vérifie rien.

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a) Première équation : $y=12-x$. Seconde : $y=x-4$. Comparaison : $12-x=x-4$, donc $16=2x$ et $x=8$. Puis $y=12-8=4$. Solution : $(8\,;4)$. Vérification : $8+4=12$ et $8-4=4$. Le signe de $y$ dans la seconde équation est le piège : de $x-y=4$ on tire $-y=4-x$, donc $y=x-4$, et non $y=4-x$.

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a) Le DOMAINE se lit sur l'axe horizontal : la courbe existe de $h=0$ à $h=24$, donc le domaine est $[0\,;24]$ heures. L'IMAGE se lit sur l'axe vertical : la courbe descend au plus bas à $-6$ (à $3$ h) et monte au plus haut à $8$ (à $15$ h), donc l'image est $[-6\,;8]$ degrés. Ce sont deux intervalles, l'un de $x$, l'autre de $y$, et on les écrit avec des crochets fermés parce que les extrémités sont atteintes.

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b) $a=\dfrac{-5-7}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$. Le taux est NÉGATIF : quand $x$ augmente de $1$, $y$ DIMINUE de $2$. La fonction est décroissante, la droite descend vers la droite. Le piège de cette question est le dénominateur, $4-(-2)=6$ et non $2$ : soustraire un négatif, c'est additionner.

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a) A et B : $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ et $\dfrac{6}{4}=1{,}5$, les deux rapports sont égaux, donc A et B sont semblables, avec $k=1{,}5$ de A vers B. A et C : $\dfrac{8}{6}\approx 1{,}33$ mais $\dfrac{5}{4}=1{,}25$ ; les rapports diffèrent, donc A et C ne sont PAS semblables, même si C « ressemble » à A. Deux rectangles ont toujours les mêmes angles : pour eux, tout se joue sur les rapports des côtés.

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a) Triangle $ABC$, angle droit en $A$ : l'hypoténuse est $BC$, le côté qui ne touche pas $A$ ; relation $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. Triangle $DEF$, angle droit en $E$ : hypoténuse $DF$, relation $DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$. Triangle $GHI$, angle droit en $I$ : hypoténuse $GH$, le côté du BAS, relation $GH^{2}=GI^{2}+HI^{2}$. Le troisième cas est le piège : l'hypoténuse n'est pas « le côté penché », c'est le côté opposé à l'angle droit, même quand il est horizontal.

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a) Population : les $900$ élèves de l'école, tous, y compris ceux qu'on n'interrogera pas. Aléatoire simple : on numérote les $900$ élèves et on tire $90$ numéros au sort. Systématique : sur la liste alphabétique, on tire un point de départ au hasard entre $1$ et $10$, puis on prend un élève sur $10$. Stratifié : on tire au sort, dans chaque niveau, un nombre d'élèves proportionnel à l'effectif du niveau, voir b). Par grappes : on tire au sort $3$ classes de $30$ élèves parmi toutes les classes, et on interroge les $90$ élèves de ces $3$ classes.

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b) Ici $a=4a$ et $b=7b$, et le signe du milieu est négatif : $(4a-7b)^{2}=16a^{2}-2\times 4a\times 7b+49b^{2}=16a^{2}-56ab+49b^{2}$. Les deux carrés restent POSITIFS, même avec la soustraction : $(-7b)^{2}=+49b^{2}$. Seul le double produit porte le signe moins. Contrôle avec $a=1$ et $b=1$ : $(4-7)^{2}=9$ et $16-56+49=9$.

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a) On factorise le dénominateur avant tout : $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, qui s'annule en $x=3$ et $x=-2$. Ce sont les valeurs interdites. Le numérateur se factorise en $(x-3)(x+3)$. On simplifie le facteur $(x-3)$ : l'expression vaut $\dfrac{x+3}{x+2}$. Point crucial : la forme simplifiée est définie en $x=3$ et y vaut $\dfrac{6}{5}$, mais l'expression D'ORIGINE ne l'est pas. Les deux valeurs interdites restent $x=3$ et $x=-2$.

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a) Le numérateur s'annule en $x=2$, le dénominateur en $x=-3$ (valeur interdite). Trois intervalles. Pour $x<-3$, par exemple $x=-4$ : $\dfrac{-6}{-1}=6>0$. Pour $-3<x<2$, par exemple $x=0$ : $\dfrac{-2}{3}<0$. Pour $x>2$, par exemple $x=3$ : $\dfrac{1}{6}>0$. On veut positif OU nul : on inclut $x=2$ (le quotient y vaut $0$) mais jamais $x=-3$. Donc $S=\left]-\infty;-3\right[\cup\left[2;+\infty\right[$. C'est l'asymétrie des crochets qui est évaluée ici : crochet fermé sur le zéro du numérateur, ouvert sur celui du dénominateur.

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b) $y$ est isolé. On remplace : $4x-3(5-2x)=13$, soit $4x-15+6x=13$, donc $10x=28$ et $x=2{,}8$. Puis $y=5-2(2{,}8)=5-5{,}6=-0{,}6$. Le couple est $(2{,}8;-0{,}6)$. Vérification : $4(2{,}8)-3(-0{,}6)=11{,}2+1{,}8=13$ ✓. Attention au signe lors de la distribution de $-3$ sur $(5-2x)$ : c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

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d) La fonction est croissante sur $[0\,;6]$, constante sur $[6\,;9]$ et décroissante sur $[9\,;12]$. Les bornes appartiennent aux deux intervalles voisins, et l'on écrit donc des crochets fermés partout. Un palier n'est ni croissant ni décroissant : il se nomme CONSTANT, et l'oublier coûte un point à chaque évaluation.

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a) Le sommet est donné, donc on part de la forme canonique : $f(x)=a(x+1)^{2}-4$, en n'oubliant pas que $h=-1$ s'écrit $(x-(-1))=(x+1)$. Le point $(1\,;4)$ donne $4=a(1+1)^{2}-4$, soit $4a=8$ et $a=2$. La règle est $f(x)=2(x+1)^{2}-4$. Vérification : $2\times 4-4=4$, l'ordonnée annoncée.

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a) On lit les paramètres sur $f(x)=2\lfloor x-1\rfloor+3$ : $a=2$, $b=1$ (sous-entendu devant le $x$), $h=1$ et $k=3$. La contremarche vaut $|a|=2$ : chaque saut fait monter la fonction de $2$. La marche vaut $\frac{1}{|b|}=1$ : chaque palier s'étend sur une unité. Le rôle de $a$ et celui de $b$ ne se confondent pas, l'un agit verticalement, l'autre horizontalement.

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c) Chaque projection se déduit de la relation de la cathète. Pour $BH$, projection de la cathète $AB=15$ : $AB^2=BH\times BC$, donc $225=BH\times 25$ et $BH=9$ cm. Pour $CH$, projection de $AC=20$ : $400=CH\times 25$, donc $CH=16$ cm. Les mesures complètes sont donc $AB=15$, $AC=20$, $BC=25$, $AH=12$, $BH=9$ et $CH=16$ cm.

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b) Chaque côté de $DEF$ est le côté homologue de $ABC$ multiplié par $k$. $EF$ est homologue de $BC$, donc $EF=12\times 1{,}5=18$. $DF$ est homologue de $AC$, donc $DF=10\times 1{,}5=15$. Le point à surveiller est l'appariement : c'est l'ordre des lettres dans $ABC\sim DEF$ qui dit que $BC$ va avec $EF$, et non avec $DF$.

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c) Il faut d'abord l'apothème $a$, qui est la distance du sommet à un point du bord de la base, donc l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la hauteur et le rayon : $a=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. Ensuite $A=\pi r^2+\pi ra=\pi(25)+\pi(5)(13)=25\pi+65\pi=90\pi\approx 282{,}74$ cm². Utiliser $12$ à la place de $13$ dans la formule est l'erreur qui coûte le plus de points sur le cône : la hauteur sert au VOLUME, l'apothème sert à l'AIRE.

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b) Configuration SAS : deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux. La loi des sinus est inutilisable, car aucun couple (côté, angle opposé) n'est complet. On commence donc par la loi des cosinus sur le côté opposé à l'angle connu : $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=49+81-2(7)(9)\cos 52^{\circ}=130-126(0{,}61566)\approx 52{,}4267$, d'où $c\approx 7{,}24$. Le triangle possède maintenant un couple complet $(c,C)$, et la loi des sinus prend le relais : $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{7(0{,}78801)}{7{,}2406}\approx 0{,}76182$, donc $A\approx 49{,}63^{\circ}$, puis $B=180^{\circ}-52^{\circ}-49{,}63^{\circ}\approx 78{,}37^{\circ}$.

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b) La pente est donnée, il ne manque que $b$ : $-1=\dfrac{2}{3}\times 3+b=2+b$, donc $b=-3$. L'équation est $y=\dfrac{2}{3}x-3$. Le piège est de remplacer $x$ et $y$ à l'envers : c'est l'abscisse $3$ qui entre dans la règle, et l'ordonnée $-1$ qui reste à gauche.

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a) On applique la formule : $1-\dfrac{l}{L}=1-\dfrac{3}{15}=1-0{,}2=0{,}8$. Le nuage monte de la gauche vers la droite, donc le signe est positif. On estime $r\approx 0{,}8$. Attention à ne pas inverser le quotient : c'est la largeur sur la longueur, et non l'inverse, sans quoi on obtiendrait $1-5=-4$, une valeur impossible puisque $r$ reste toujours entre $-1$ et $1$.

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